P1 - Matemática Financeira - 2023-1

Página 1 de 3 Primeira Prova (P1) de Matemática Financeira – 2023.1 – Turma B (22/05/2023) Questões Observação: há mais de uma forma de fazer os cálculos, tendo algumas alternativas sido comentadas e apresentadas em aula. Deixo aqui um caminho de solução de cada questão, não sendo exaustivos. 1. Relembre da teoria estudada e responda os itens a seguir. a. Diferencie o regime de juros simples do de compostos e dê um exemplo de uso de cada um. Nenhum aluno teve problema com a diferenciação. Em caso de dúvidas, revejam a apostila. Quanto ao exemplo, podia tanto ser numérico (vide equações na apostila) quanto situações de uso de cada regime (ex.: juros simples em cobrança de atraso em boletos; juros compostos em investimentos no geral). Alguns alunos se embolaram nos exemplos ou esqueceram. Um ponto de atenção que vale mencionar é que para 1 único período, não há diferença entre o regime simples ou composto. b. Para uma mesma taxa, prazo e regime de juros, qual tipo de desconto retorna um maior valor descontado? Justifique. Notem que é para um mesmo regime de juros, então, a diferença é entre o desconto comercial ou racional. O que retorna maior valor descontado é o racional e a forma mais prática de justificar seria através de exemplo numérico. Ex.: VN = 1.000; d = 1%; n = 10; regime simples Desconto comercial: VD = 1.000 x (1 - 0,01 x 10) -> VD = 900 Desconto racional: VD = 1.000 / (1 + 0,01 x 10) -> VD = 909,09 Prova com dados numéricos modelo 1 2. Dois irmãos (Tico e Teco) acabam da saber que receberão o valor devido de uma herança após 16 anos de espera. Esse valor estava “investido” em uma conta judicial com rendimento próximo ao da poupança (juros compostos). Tico, então, diz a Teco: “O valor deve ter rendido 100%!”. Teco fica meio confuso e pergunta: “Você quer dizer que receberemos o dobro do valor depositado na conta judicial em 2007?”. Tico responde: “Isso mesmo!”. Assumindo como exata a afirmação de Tico, responda aos itens a seguir. a. Qual teria sido a taxa de juros anual desse investimento? Duas formas de pensar: 1) Cálculo de taxa equivalente: i = [(1 + 100%)^(1/16)] - 1-> i = 4,4274% a.a. 2) Capitalização em juros compostos: VF = VP x (1 + i)^n 2 = 1 x (1 + i)^16 -> i = 2^(1/16) - 1 -> i = 4,4274% a.a. b. Sabendo que a inflação acumulada nos 16 anos foi de 146%, calcule qual a foi a taxa real do investimento e diga se a espera teria valido a pena para os irmãos, justificando. Podia tanto ser calculada a taxa real anual quanto acumulada nos 16 anos. Um cuidado é que se fosse ser feito o cálculo ao ano, a taxa de inflação precisava ser convertida para anual. Deixarei o cálculo da taxa real acumulada: (1 + taxa aparente) = (1 + taxa real) x (1 + inflação) Taxa real = [(1 + 1) / (1 + 1,46)] - 1 Taxa real = [(1 + 1) / (1 + 1,46)] - 1 -> Taxa real = - 18,6692% A espera não teria valido a pena, uma vez que a taxa real foi negativa, demonstrando que houve perda do poder de compra ao desses anos. 3. Uma empresa precisa hoje de R$ 787.000,00 para pagamento de algumas obrigações. Como não dispõe do valor, procurou o banco para descontar algumas duplicatas cujo vencimento é para daqui a 45 dias. O Banco Alfa informou à empresa que a taxa de desconto comercial simples da operação seria de 3% a.m., enquanto o Banco Beta ofereceu à empresa uma taxa de desconto racional simples de 42% a.a. Atenção! Como ambos os casos eram do regime simples, o cálculo de taxa equivalente é linear (proporcional). a. Qual deve ser o valor nominal dos recebíveis para que a empresa consiga pagar suas obrigações ao contratar a operação com o Banco Alfa? VD = VN x (1 - d x n) 787.000 = VN x [1 - 0,03 x (45/30)] VN = 787.000 / 0,955 -> VN = R$ 824.083,77 Página 2 de 3 b. Qual seria o desconto se a operação fosse realizada com o Banco Beta e o valor nominal dos recebíveis fosse de R$ 830.000,00? Diga se teria adiantado contratar a operação neste caso, justificando. VD = VN / (1 + d x n) VD = 830.000 / [1 + 0,42 x (45/360)] VD = 788.598,57 D = VN - VD D = 830.000,00 - 788.598,57 D = R$ 41.401,43 Teria adiantado, uma vez que o valor recebido pela empresa seria de 788.598,57, superior os 787 mil que eram necessários. 4. Quando seu filho Jack nasceu, Mont resolveu fazer uma previdência infantil para a criança, passando a investir R$ 120,00 todo mês na mesma. Hoje, Jack completou 18 anos e pode escolher entre: (i) receber o valor acumulado; (ii) continuar com os depósitos até atingir 60 anos e, então, passar a receber um valor mensal por prazo indeterminado. Considerando que essa previdência rende 0,6% a.m., responda aos itens. A série poderia ser pensada tanto antecipada como postecipada, sendo apresentados os resultados da postecipada, que foi a interpretação da maioria. a. Quanto Jack pode receber hoje? 18 x 12 = 216 meses. Na HP: 120 PMT; 0,6 i; 216 n; FV? -> FV = - 52.810,47 Hoje ele pode receber R$ 52.810,47. b. Caso Jack decida-se pela opção (ii), de quanto espera-se que seja o valor mensal? Primeiro, calcular o valor acumulado até os 60 anos (60 x 12 = 720 meses): Na HP: 120 PMT; 0,6 i; 720 n; FV? -> FV = - 1.464.486,03 Após, calcular o pagamento “perpetuo”: R = VP x i -> R = 1.464.486,03 x 0,006 -> R = 8.786,92 Espera-se que o valor seja de R$ 8.786,92. c. Caso Jack decida-se pela opção (ii), mas passe a fazer depósitos anuais ao invés de mensais, de quanto devem ser esses depósitos para que não mude o valor calculado no item b.? Obs.: Esta questão foi pontuada como extra. A forma mais fácil de pensar é ver que as 12 parcelas de cada ano passaram a ser pagas apenas no fim de cada ano. Assim, na HP: 120 PMT; 0,6 i; 12 n; FV? -> FV = - 1.488,48 Outra forma, seria pensar o cálculo anual e o valor como um todo. Antes, porém, é necessário obter a taxa anual: (1 + 0,6%)^12 - 1 = 7,4424% a.a.; nº anos = 60 -18 -> nº anos = 42 Na HP: 52.810,47 CHS PV; 1.464.483,03 FV; 0,6 i; 42 n; PMT? -> PMT = - 1.488,48 Os depósitos devem ser de R$ 1.488,48. Prova com dados numéricos modelo 2 Uma vez que já foram indicados caminhos de solução no “modelo 1”, deixarei aqui apenas os valores numéricos ou comentários que forem diferentes. 1. Dois irmãos (Tico e Teco) acabam da saber que receberão o valor devido de uma herança após 14 anos de espera. Esse valor estava “investido” em uma conta judicial com rendimento próximo ao da poupança (juros compostos). Tico, então, diz a Teco: “O valor deve ter rendido 100%!”. Teco fica meio confuso e pergunta: “Você quer dizer que receberemos o dobro do valor depositado na conta judicial em 2009?”. Tico responde: “Isso mesmo!”. Assumindo como exata a afirmação de Tico, responda aos itens a seguir. a. Qual teria sido a taxa de juros anual desse investimento? 5,0757% a.a. b. Sabendo que a inflação acumulada nos 14 anos foi de 125%, calcule qual a foi a taxa real do investimento e diga se a espera teria valido a pena para os irmãos, justificando. -11,1111% acumulada nos 14 anos Página 3 de 3 2. Uma empresa precisa hoje de R$ 785.000,00 para pagamento de algumas obrigações. Como não dispõe do valor, procurou o banco para descontar algumas duplicatas cujo vencimento é para daqui a 75 dias. O Banco Alfa informou à empresa que a taxa de desconto comercial simples da operação seria de 2% a.m., enquanto o Banco Beta ofereceu à empresa uma taxa de desconto racional simples de 45% a.a. a. Qual deve ser o valor nominal dos recebíveis para que a empresa consiga pagar suas obrigações ao contratar a operação com o Banco Alfa? R$ 826.315,19 b. Qual seria o desconto se a operação fosse realizada com o Banco Beta e o valor nominal dos recebíveis fosse de R$ 840.000,00? Diga se teria adiantado contratar a operação neste caso, justificando. O desconto seria de R$ 72.000,00 e não teria adiantado, pois a empresa receberia apenas R$ 768.000, não conseguindo valor suficiente para pagar suas obrigações. 3. Quando seu filho Jack nasceu, Mont resolveu fazer uma previdência infantil para a criança, passando a investir R$ 100,00 todo mês na mesma. Hoje, Jack completou 18 anos e pode escolher entre: (i) receber o valor acumulado; (ii) continuar com os depósitos até atingir 55 anos e, então, passar a receber um valor mensal por prazo indeterminado. Considerando que essa previdência rende 0,7% a.m., responda aos itens. a. Quanto Jack pode receber hoje? R$ 50.170,92 b. Caso Jack decida-se pela opção (ii), de quanto espera-se que seja o valor mensal? R$ 9.887,36 c. Caso Jack decida-se pela opção (ii), mas passe a fazer depósitos anuais ao invés de mensais, de quanto devem ser esses depósitos para que não mude o valor calculado no item b.? R$ 1.247,30