Slide - Taxa de Juros - Mat Fin

© 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 1 Capítulo 1 Matemática Financeira Taxa de juros © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 2 Taxas de juros 3.1 Taxa de juros nominal Trata-se de uma taxa referencial em que os juros são capitalizados (incorporados ao principal) mais de uma vez no período a que a taxa se refere. Em geral, a taxa nominal é aquela calculada com base no valor nominal; se for conhecida, é a que incide sobre o valor nominal da aplicação ou do empréstimo. Exemplo: Vamos supor que um empréstimo de $30.000 será quitado por meio de um único pagamento de $38.000 no prazo de um mês. No ato da contratação, foi paga uma tarifa de serviço bancário de 5% cobrada sobre o valor do empréstimo. © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 3 1. A taxa nominal é a razão entre os juros pagos e o valor nominal do empréstimo: 2. A taxa efetiva é a razão entre os valores efetivamente pagos e o valor do empréstimo efetivamente liberado: © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 4 Exemplos de taxas nominais • 18% ao ano capitalizada mensalmente; • 8% ao semestre capitalizada mensalmente; • operações de overnight em que a taxa de juros é mensal, com capitalizações diárias. Observação: Nesses exemplos, o prazo de capitalização dos juros (ou seja, o período de formação e incorporação dos juros ao principal) não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros. Logo, trata -se de taxas nominais. © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 5 Cálculo do montante a juros nominais Vamos considerar um capital aplicado a uma taxa de juros efetiva ao ano cujos os juros são capitalizados uma única vez ao ano. O montante ao término do primeiro ano de aplicação será: Se a taxa de juros for nominal ao ano, capitalizada semestralmente (duas vezes por ano), o montante ao final de um ano será: Se a taxa de juros for nominal ao ano, capitalizada mensalmente (12 vezes por ano), o valor do montante ao final do terceiro ano será: © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 6 Em geral, o montante de um capital aplicado pelo prazo m a uma taxa nominal j com juros capitalizados k vezes durante o período Referencial da taxa nominal pode ser expresso como: onde: j = taxa de juros nominal; k = número de vezes em que os juros são capitalizados no período a que a taxa nominal se refere; m = prazo da aplicação na mesma unidade de tempo da taxa nominal; P = principal ou capital aplicado. © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 7 Determinar as seguintes taxas proporcionais: a) 2,5% a.m. é proporcional a qual taxa anual? → 2,5% ´ 12 = 30% a.a. b) 3% a.s. é proporcional a qual taxa anual? → 3% ´ 2 = 6% a.a. c) 4% a.t. é proporcional a qual taxa anual? → 4% ´ 4 = 16% a.a. d) 9% a.s. é proporcional a qual taxa trimestral? → 9% ÷ 2 = 4,5% a.t. Exercício © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 8 3.2 Taxa proporcional (taxa linear) Os juros praticados no sistema financeiro nacional e internacional encontram-se referenciados na taxa linear. O mesmo ocorre com a remuneração linear da caderneta de poupança, as taxas internacionais libor e prime rate, o desconto bancário, os juros da Tabela Price e as taxas do mercado interfinanceiro etc. A taxa proporcional é determinada pela relação simples entre a taxa considerada na operação (taxa nominal) e o número de vezes em que ocorrem juros (quantidade de períodos de capitalização). © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 9 A taxa proporcional ao mês para uma taxa nominal de 18% a.a., capitalizada mensalmente, é de 1,5% a.m.: Nesse caso, o percentual de juros que incidirá sobre o capital a cada mês será 1,5%. A taxa proporcional de 6% a.m., para três meses, é de 18%; a de 24% a.a., para cinco meses, é de 10%; e assim sucessivamente, variando linearmente. Assim, as taxas proporcionais devem atender à seguinte proporção: onde: n1 e n2 representam os prazos de cada taxa; e i1 e i2 correspondem aos percentuais das taxas consideradas. Exemplos © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 10 A taxa proporcional não é um tipo de taxa de juros, é apenas uma característica do regime de juros simples. A taxa nominal pode ser proporcionalizada de modo que seja expressa em diferentes períodos. Basicamente, o conceito de taxa proporcional somente é utilizado no regime de juros simples, no sentido de que o valor dos juros é proporcional apenas ao tempo. Observação: © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 11 Exercício Uma pessoa aplicou $4.000 por dois anos a juros nominais de 12% a.a., capitalizados semestralmente. Ao término desse prazo, reaplicou o montante por três anos à taxa de juros de 16% a.a., capitalizados trimestralmente. Calcular o valor de resgate da aplicação. Dados: © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 12 3.3 Taxa de juros efetiva A taxa nominal é uma taxa declarada ou taxa cotada que não incorpora capitalizações. Ou seja: é necessário calcular a taxa efetiva equivalente quando pretendemos efetuar cálculos e comparações no regime de juros compostos. Assim, para uma taxa de juros é nominal, admite-se que o prazo de capitalização dos juros não seja o mesmo daquele definido para a taxa de juros. © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 13 Exemplo • Na taxa nominal de juros de 12% ao ano capitalizada mensalmente, os prazos não são coincidentes. • O prazo de capitalização é de um mês, e o prazo a que se refere a taxa de juros é de um ano (12 meses). Assim, 12% representam uma taxa nominal expressa para um período inteiro (ano) que deve ser proporcionalizada ao período de capitalização (mês). No exemplo, a taxa proporcional por período de capitalização é de 12%/12 = 1% ao mês. Ao se capitalizar essa taxa nominal, apura-se uma taxa anual efetiva de juros superior àquela declarada para a operação. © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 14 Assim, vejamos: © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 15 Ilustração Diversas frequências das capitalizações da taxa nominal, os montantes e as taxas efetivas para um capital de $100 aplicado por dois anos a uma taxa nominal de 10% a.a.: Pode-se observar que o montante aumenta à medida que a frequência das capitalizações da taxa nominal cresce. Igualmente, quanto maior for essa frequência, maior será a taxa efetiva implícita. © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 16 3.4 Equivalência entre taxas de juros efetivas Pelo critério de juros simples, a taxa equivalente é a própria taxa proporcional. Por exemplo: 2% a.t. é uma taxa proporcional (equivalente) a 8% a.a. Dessa forma, temos: 4 trimestres x 2% a.t. = 8% a.a. A importância da equivalência entre taxas de juros corresponde às operações que referenciam suas taxas em juros compostos. Assim, duas taxas são ditas equivalentes quando, incidindo sobre um mesmo capital durante certo prazo, produzem montantes iguais pelo regime de capitalização composta. © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 17 Vamos considerar uma aplicação de $1.000 pelo prazo de um ano. Se o capital for aplicado à taxa efetiva de 42,5761% a.a., ou à taxa efetiva de 3% a.m., o montante será o mesmo, visto que essas duas taxas são equivalentes. Dessa forma, temos: Exemplo © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 18 Logo, pode-se constatar que as taxas efetivas de 42,5761% a.a. e 3% a.m. são equivalentes, pois resultam no mesmo montante a partir do mesmo capital. Portanto, na primeira ilustração anterior, ao se definir em 42,5761% a.a. o juro efetivo da operação, o percentual ao mês deverá, após os 12 períodos de capitalização no ano, produzir uma taxa acumulada (efetiva) de 42,5761%. Assim, obtemos: © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 19 Toda taxa de juros se encontra em determinado prazo. Considerando -se o ano comercial (360 dias), a seguinte identidade nos permite relacionar por equivalência algumas taxas efetivas: Aqui, usa-se a seguinte convenção para as taxas de juros efetivas: © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 20 Ao passar de uma unidade de tempo menor para uma maior, como de mês para ano, devemos elevar a taxa de juros pelo número de períodos correspondentes. No sentido contrário, por exemplo, de ano para mês, devemos elevar ao inverso do período. Eis as conversões necessárias: © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 21 Exercício Os juros reais da caderneta de poupança são de 6% a.a., com capitalizações mensais. Qual é a taxa efetiva ao ano? Dados: © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 22 Serão investidos $1.000 por um ano à taxa nominal de 50% a.a. Determinar a periodicidade da capitalização dos juros que representa o maior montante e a maior taxa efetiva anual. Dados: O quadro mostra que a capitalização diária produz o maior montante e a maior taxa efetiva anual; há um aumento destes com o aumento da frequência das capitalizações da taxa nominal. © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 23 3.5 Taxa over (taxa por dia útil) Overnight – refere -se a operações realizadas no mercado aberto (open market) pelo prazo mínimo de um dia. Open market, no sentido amplo, é qualquer mercado sem local físico determinado e com livre acesso à negociação. No Brasil, essa denominação se aplica ao conjunto de transações realizadas com títulos de renda fixa, de emissão pública ou privada. © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 24 A taxa over é geralmente adotada em operações financeiras no mercado aberto. Trata-se de uma taxa nominal, pois costuma ser expressa ao mês ou ao ano com capitalização diária — válida somente para dias úteis. Ou seja, sua capitalização ocorre unicamente em dia de funcionamento do mercado financeiro. Para realizar uma operação de mais de um dia, deve-se: • utilizar o conceito de taxa nominal para converter a taxa over para um dia, e, depois, • empregar o conceito de taxa efetiva para capitalizar (converter) a taxa de um dia para o prazo da operação. © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 25 O montante de um capital aplicado à taxa over mensal por determinado número de dias úteis é: Exemplo © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 26 Uma operação com duração de 35 dias corridos foi contratada a uma taxa over de 1,8% a.m. Se durante esse prazo houve 25 dias úteis, calcular a taxa efetiva mensal e o montante ao término do prazo, considerando-se que foram aplicados $100.000. Dados: Exercícios © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 27 Taxa efetiva mensal Montante © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 28 Um CDB está pagando a taxa bruta de 19% ao ano. A alíquota de IR é de 20%, incidente sobre os rendimentos totais por ocasião do resgate da operação. Determinar a taxa over equivalente à taxa de remuneração líquida, considerando que há 21 dias úteis no período. © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 29 Certificado de depósito interbancário Definição: Certificados de Depósito Interbancário (CDI) são os títulos de emissão das instituições financeiras que lastreiam as operações do mercado interbancário. Características: São similares às de um Certificado de Depósito Bancário (CDB), mas sua negociação é restrita ao mercado interbancário. © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 30 Função: Transferir recursos de uma instituição financeira para outra, de modo a manter a fluidez do sistema — quem tem dinheiro em excesso empresta para quem está precisando. Observações: • As operações se realizam fora do âmbito do Banco Central. • Não há incidência de qualquer tipo de imposto. • As transações são fechadas por meio eletrônico e registradas nos computadores das instituições envolvidas e nos terminais da Câmara de Custódia e Liquidação (CETIP). © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 31 CDIs São negociados por um dia são denominados Depósitos Interfinanceiros (DI). Funcionam como um padrão de taxa média diária, a CDI over. Sua taxa média diária é utilizada como parâmetro para avaliar a rentabilidade de fundos, como os DI e renda fixa. São usados também como parâmetro para operações de Swap (contrato de troca de qualquer tipo de ativo, seja ele de moedas, commodities, taxas de juros etc.) na Bolsa de Valores, Mercadorias e Futuros (BM&FBOVESPA) para o ajuste diário do DI futuro. As taxas do CDI over estabelecem os parâmetros das taxas referentes às operações de empréstimos de curtíssimo prazo, conhecidas como hot Money, que embute o custo do CDI over acrescido do PIS e de um spread bancário. © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 32 Uma operação interbancária é realizada por três dias. As taxas over em cada dia são: 1,9%, 1,87%, 1,84%. Calcular a taxa efetiva no período e a taxa over média da operação. • taxa over1 = 1,9/30 = 0,06333% a.d. • taxa over2 = 1,87/30 = 0,06233% a.d. • taxa over3 = 1,84/30 = 0,06123% a.d. Taxa efetiva no período: (1,0006333) x (1,0006233) x (1,0006123) – 1 = 0,1871% Taxa média diária: (1,001871) 1/3 – 1 = 0,06233% ao dia Exercício MATEMÁTICA FINANCEIRA Dada a taxa efetiva de 48% a.a., determinar a taxa equivalente ao mês, ao trimestre e ao semestre. Calcular as taxas de juros efetivas mensal, trimestral e semestral, equivalentes à taxa nominal de 60% a.a. capitalizada mensalmente. Determinar a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 60% a.a. nas seguintes hipóteses de capitalização dos juros da taxa nominal: diária, mensal, trimestral e semestral. Calcular a taxa nominal anual equivalente à taxa efetiva de 40% a.a. nas seguintes hipóteses de capitalização dos juros da taxa nominal: mensal, trimestral e semestral. A que taxa nominal anual capitalizada mensalmente uma aplicação de $13.000 resulta em um montante de $23.000 em sete meses? Se uma aplicação de $18.000 à taxa nominal de 180% a.a. capitalizada mensalmente resultou em um montante de $36.204,48, quantos meses o capital ficou aplicado? Determinar: a) a taxa efetiva para dois meses equivalente à taxa nominal de 120% a.a., capitalizada mensalmente; b) a taxa efetiva para 18 meses equivalente à taxa nominal de 120% a.a., capitalizada semestralmente; c) a taxa nominal anual capitalizada mensalmente equivalente à taxa efetiva de 10% em 60 dias; d) a taxa nominal anual capitalizada trimestralmente equivalente à taxa efetiva de 15% em seis meses; Um capital foi aplicado à taxa nominal de 90% a.a. capitalizada mensalmente. Calcular a taxa efetiva equivalente para os seguintes prazos: 180 dias, 3 meses, 5 trimestres e 7 semestres. Uma aplicação de $18.000 rendeu juros efetivos de $4.200 em quatro meses. Qual seria o rendimento em 11 meses? Quanto devemos aplicar em um CDB que paga uma taxa nominal de 84% a.a. capitalizada mensalmente de modo que obtenhamos um montante de $ 76.000 após quatro meses? LISTA 1 (a) Taxas e Descontos MATEMÁTICA FINANCEIRA Em operações de crédito, o Banco A cobra uma taxa efetiva de 30% a.a. e o Banco B cobra juros nominais de 27% a.a. capitalizados mensalmente. Qual é a melhor taxa para o cliente? . Em que prazo um capital de $75.000 aplicado à taxa nominal de 22% a.a. capitalizada semestralmente resulta em um montante de $ 155.712? Dois capitais foram aplicados, o primeiro de $8.000 à taxa nominal de 20% a.a. capitalizada trimestralmente e o segundo de $33.800,80 à taxa nominal de 10% a.a. capitalizada semestralmente. Em quantos anos os dois capitais produzirão o mesmo rendimento? Uma duplicata de $ 180.000 é descontada quatro meses antes de seu vencimento. Considerando uma taxa simples de 60% ao semestre, calcular o valor do desconto e o valor liberado nas modalidades de desconto racional e desconto comercial. Calcular a taxa de desconto efetiva linear para uma operação de desconto comercial de um título de $ 135.000, descontado por $ 120.000 quatro meses antes de seu vencimento. A diferença entre o valor do desconto comercial e o valor do desconto racional simples é de $50.000. Considerando que o prazo de antecipação é de oito meses e que a taxa simples é de 30% a.a., calcular o valor de resgate do título. Descontado racionalmente três meses antes de seu vencimento a uma taxa simples de 20% a.a., um título sofreu um desconto de $15.000. Caso o título fosse descontado comercialmente, calcular o valor do desconto. Uma duplicata de $880.000 foi descontada comercialmente oito meses antes do vencimento. Considerando uma taxa de desconto de 145% a.a., calcular o valor liberado pelo banco. Um título de $ 10.000 teve um desconto financeiro de $ 148,43. Considerando uma taxa de juros efetiva utilizada pelo banco de 40% a.a., determinar o prazo da operação. LISTA 1 (b) Taxas e Descontos