Apostila Matfin 2021-2

Material produzido pela professora Cristina Pimenta de Mello Spineti Luz, FACC/UFRJ, para disciplina ACA226-Matemática Financeira (2021.1) - Turma C. Sua reprodução não está autorizada. ACA226-Matemática Financeira Sumário Introdução ........................................................................................................................ 3 1 - Juros simples e juros compostos ................................................................................. 3 1.1 - Juros simples ......................................................................................................... 5 1.2 - Juros compostos ................................................................................................... 8 2 - Fluxos financeiros, valor presente e valor futuro ..................................................... 11 2.1 Fluxos financeiros ................................................................................................. 11 2.2 Valor presente e valor futuro ............................................................................... 14 3 - Anuidades e perpetuidades ....................................................................................... 16 3.1 Séries de pagamento uniformes finitas ................................................................ 16 3.2 Perpetuidades ....................................................................................................... 19 4 - Operações de descontos ........................................................................................... 19 4.1 Desconto racional ................................................................................................. 20 4.2 Desconto comercial .............................................................................................. 21 4.3 Relação entre desconto comercial e juros compostos, os juros implícitos .......... 23 5 - Sistemas de amortização e cálculo de prestações .................................................... 24 5.1 Sistema de prestação constantes (SPC) e a tabela Price ...................................... 25 5.3 Outros sistemas de amortização .......................................................................... 30 6 - Taxas de juros, suas relações e custos de operações................................................ 31 6.1 Taxa de juros efetiva ............................................................................................. 31 6.2 Taxa de juros nominal ........................................................................................... 31 6.3 Taxa de juros proporcional ................................................................................... 32 6.4 Taxa de juros equivalentes ................................................................................... 33 6.5 Taxa de juros real e aparente ............................................................................... 34 6.6 Custo efetivo total (CET) ....................................................................................... 37 6.7 Taxa over ............................................................................................................... 37 7 - Métodos de análise de fluxo de caixa (TIR e VPL) ..................................................... 38 7.1 Valor presente líquido (VPL) ................................................................................. 39 7.2 Taxa interna de retorno (TIR)................................................................................ 39 8 - Uso de planilhas eletrônicas e calculadoras em operações financeiras ................... 40 8.1 Calculadora financeira .......................................................................................... 40 ACA226-Matemática Financeira (2021.1) - Turma C 2 8.2 Planilhas eletrônicas ............................................................................................. 41 Referências bibliográficas ............................................................................................... 42 Outras fontes de consulta .............................................................................................. 42 ACA226-Matemática Financeira (2021.1) - Turma C 3 Introdução Esta apostila é destinada especificamente aos alunos do curso de Administração da Faculdade de Administração e Ciências Contábeis da UFRJ e aborda os principais aspectos da ementa da disciplina Matemática Financeira (ACA226). O presente material não exauri o conteúdo da disciplina e pode ser complementado com as referências bibliográficas e fontes de consulta indicadas. O principal objeto de estudo da matemática financeira é o valor do dinheiro no decorrer do tempo. Seu princípio básico é que certa quantia, avaliada em uma dada moeda e data, tem um valor financeiro diferente desta quantia na mesma moeda, porém, em uma outra data. Se pensarmos em poder de compra e inflação, essa ideia logo começa a fazer sentido. Contudo, não cabe à Matemática Financeira adentrar nas questões de política econômica, que abrem caminho para uma compreensão mais extensa esse assunto. A matéria visa apresentar os conceitos e as ferramentas para fazer contas com o dinheiro ao longo do tempo. Fazendo uma analogia, na Matemática Financeira vemos que frutas verdes se juntam apenas com frutas verdes, maduras com maduras e passadas com passadas, mas que é possível ter uma fotografia dessas frutas a cada dia dos diferentes estágios se soubermos a regra (equação) do efeito do etileno nelas. Mal comparando, nossas frutas são as quantias de dinheiro (entradas e saídas) e o etileno são os juros. 1 - Juros simples e juros compostos Partindo da analogia anterior, entendemos que os juros se referem ao valor do dinheiro no tempo e podem ser vistos como o valor do aluguel do dinheiro. Assim, os juros são a quantia cobrada pelo credor ao tomador pela utilização de seu capital por um certo período, tendo-se a seguinte relação fundamental da equivalência de capitais: 𝑀 = 𝐶 + 𝐽 𝑽𝑭 = 𝑽𝑷 + 𝑱 Onde: VF = M é o valor futuro ou montante1; VP = C é o valor presente ou capital2; 1 Montante, que é o capital acrescido dos juros, também pode ser chamado de valor futuro. Em termos de siglas, utilizamos, M (montante) ou VF (valor futuro) ou FV (future value). 2 Capital também pode ser chamado de capital inicial, valor presente ou valor atual. Em termos de siglas, utilizamos, C (capital inicial) ou VP (valor presente) ou PV (presente value). ACA226-Matemática Financeira (2021.1) - Turma C 4 J = juros. Juros é um valor monetário, expresso em uma certa moeda, contudo, ele é calculado a partir da taxa de juros. Taxa de juros é a taxa de crescimento de um capital ao longo de determinado período. Ela pode ser tanto uma taxa de rendimento de um investimento quanto a taxa cobrada pelo empréstimo de um certo valor, a depender do lado da operação que se esteja olhando. No caso de empréstimo bancário, por exemplo, a taxa de juros representa o quanto está sendo cobrado pelo empréstimo para o cliente e, o quanto de rendimento aquele empréstimo está gerando para o banco. A taxa juros é a responsável por dizer qual o valor financeiro (montante ou valor futuro) de uma certa quantia (capital ou valor presente) devida ou recebida em uma certa data em outras datas. Os juros de um determinado período são calculados multiplicando-se o capital (ou valor presente) pela taxa de juros efetiva para aquele período. Portanto, as equações que estabelecem a relação entre os juros de um determinado período, a taxa de juros i ao período e o valor presente são dadas por: 𝑖 = 𝐽 𝑉𝑃 𝐽 = 𝑉𝑃 × 𝑖 𝑉𝑃 = 𝐽 𝑖 Podemos, ainda, estabelecer a relação entre a taxa de juros efetiva para um determinado período, o montante (ou valor futuro) e o capital (ou valor presente), conforme abaixo: 𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 + 𝐽 𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 + 𝑉𝑃 × 𝑖 𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 × (1 + 𝑖) 𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 (1 + 𝑖) Observe o exemplo da figura 1 abaixo e, na sequência, a relação entre as taxas de juros efetivas de cada período, o valor presente na data 0, o valor futuro em cada uma das datas e os juros entre cada período. ACA226-Matemática Financeira (2021.1) - Turma C 5 Figura 1 – Crescimento (evolução) do capital em função da taxa de juros  A taxa 1 é a taxa de juros efetiva entre a data 1 e a data 0, ou seja, VF(1) = VP + J(1) = VP x (1 + taxa 1).  A taxa 2 é a taxa de juros efetiva entre a data 2 e a data 0, ou seja, VF(2) = VP + J(2) = VP x (1 + taxa 2).  A taxa 3 é taxa de juros efetiva entre a data 3 e a data 0, ou seja, VF(3) = VP + J(3) = VP x (1 + taxa 3). A taxa de juros é sempre expressa por um determinado período, como por exemplo: 3% a.p. (três por cento ao período); 10% a.a. (dez por cento ao ano); 4% a.s. (quatro por cento ao semestre); 1% a.m. (um por cento ao mês); 5% a.t. (cinco por cento ao trimestre). Sabendo que a taxa de juros efetiva de um empréstimo é 43% a.a., é possível saber qual a taxa de juros efetiva ao mês? A resposta é... Sim, desde que seja conhecido como ela será aplicada, ou seja, qual o regime de capitalização. Os regimes de capitalização existentes são dois: juros simples e juros compostos, sendo o regime de juros compostos o aplicado na grande maioria das situações. Ele é o regime conhecido como “juros sobre juros”, mas vejamos primeiro o caso do regime de juros simples. 1.1 - Juros simples No regime de capitalização de juros simples, a taxa de juros incide sempre sobre o capital (ou valor presente), não havendo a incidência de “juros sobre juros”. Matematicamente, o montante (ou valor futuro) cresce linearmente (operação de multiplicação) e as taxas de juros entre diferentes períodos podem ser somadas ou subtraídas para obtenção da taxa de juros entre outras periodicidades. Em geral, este regime de capitalização só é utilizado em operações de curtíssimo prazo. Data 0 Data 1 Data 2 Data 3 Capital ou valor presente (VP) Juros (J) Montante ou valor futuro (VF) taxa 1 taxa 2 taxa 3 Seja VP um capital aplicado a taxa de juros i ao periodo, no regime de juros simples, o total de juros até o periodo n é dado por: Jn) = JQ) +J@) ++ +I) n vezes J(n) =VP Xit+--+VP xi n vezes Logo, o valor futuro no periodo n é dado por?: VF(n) =VP+VPxixn fator de capitalizacao Assim, se temos um investimento de RS 1.000,00 que rende 1% ao més no regime de juros simples, qual o valor do investimento ao final de 1 ano? Temos: VP = 1.000; i = 1% a.m.; n = 12 meses; VF = ? Aplicando a formula: VF(n) =VP x (1+ixn) VF(12) = 1.000 x (1+ 0,01 x 12) = 1.000 x 1,12 VF(12) = 1.120 Resposta: RS 1.120,00. E qual a taxa de juros efetiva ao ano deste investimento? Temos: VF = 1.120; VP = 1.000; n = 1 ano; i = ? Aplicando a formula: VF(n) =VP x (1+ixn) VF(1) = 1.000 (1 +i x 1) = 1.000 + 1.000 xi 1.120 = 1.000 + 1.000 xi i= 120 = 0,12 1.000 3 Note que no regime de juros simples, o valor futuro 6 uma progressado aritmética (P.A.) de razdo igual a taxa de juros i. Contudo, dizemos que no termo inicial ocorre em n = O (VFo = VP). ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 6 Resposta: 12% a.a. Chamemos, agora de: e ja taxa efetiva ao ano e nj o numero de vezes que o periodo de referéncia (no caso, O mensal) cabe dentro do periodo anual, e; e iataxaefetiva ao més e nj o numero de periodos associados a taxa de referéncia (no caso, a mensal), normalmente igual a 1. Conforme observado nesse exemplo, vemos que a relacdo entre taxas de juros efetivas* no regime de capitalizacdo de juros simples é dada por: nN; j=ix— Nn; Periodicidade nat sdast]| x 12/1 Periodicidade anual e 12% a.a. (taxa j) E se tomarmos um empréstimo de RS 1.000,00 a uma taxa efetiva de 10% a.m. no regime de juros simples, qual o total de juros pago se o empréstimo for pago em 12 dias (considere 0 més com 30 dias)? Qual a taxa de juros efetiva ao dia desse empréstimo? Temos: VP = 1.000,00; i = 10% a.m.; n = 2/5 (12 dias/30 dias); J = ? J(n)=VPxixn J(2/5) = 1.000 x 0,1 x 2/5 J(2/5) = 40,00 Para saber a taxa de juros efetiva ao dia, usamos a relacdo: nN; Nj 4 Quando falamos da relacdo entre taxas de juros efetivas estamos falando, na verdade, de taxas de juros equivalentes. Na sessdo 6 veremos formalmente essa definic¢do. ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 7 Se j 6 a taxa efetiva ao dia, e i 6 a taxa efetiva ao més, como sabemos que para cada més, temos 30 dias, cada dia corresponde a 1/30 més e, portanto, ni = 1 e nj = 1/30. Assim: |} = 10% , = x— J °* 30 J = 0,3333% Resposta: O total de juros pago é de RS 40,00 e a taxa de juros efetiva ao dia é de 0,3333% a.d. 1.2 - Juros compostos No regime de capitalizacdo de juros compostos, a taxa de juros incide sempre sobre o montante (ou valor futuro) ja acumulado (capital + juros na data imediatamente anterior a de incidéncia dos juros), havendo a incidéncia de “juros sobre juros”. Matematicamente, o montante (ou valor futuro) cresce exponencialmente (opera¢do de potenciacdo) e as taxas de juros entre diferentes periodos devem ser consideradas em operacées de multiplicag¢do ou divisdo para obtenc¢do da taxa de juros entre outras periodicidades. Vejamos, entdo, os mesmos exemplos utilizados no regime de juros simples no caso de juros compostos. Seja VP um capital aplicado a taxa de juros i ao periodo, no regime de juros compostos, o total de juros até o periodo n é dado por: J@ =JQ)+U@) -J@M1+--+U@ -J@-—1)] n periodos Como no regime de juros compostos ha incidéncia de juros sobre os juros ja acumulados, os juros entre dois periodos, J(n-1) e J(n), sdo obtidos pela multiplicagdo da taxa de juros pelo valor futuro até o periodo inicial (VF (n-1)). Assim, temos: J(n) -J(m—-1) =VF(n-1)xi J(n) = VP Xi+VF(1) Xi+VF(2) xit+:+VP(n—2)xi+VP(n—-1)xi eee n periodos Além disso, o valor futuro a cada periodo é dado pelo valor futuro no periodo imediatamente anterior acrescido dos juros entre esses periodos. Assim, temos: VF(1) =VP+J(1) =VP+VPxi=VPx(1+i) VF(2) = VP(1) + (2) —JQ)] = VF) + VFQ) xi =VPx(1+i)+([VPxQ4+)|]xi=VPxQ+ix(Q+i) = VPx(1+i)? ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 8 Por fim, o valor futuro no periodo n é dado por’: VF(n)= VPXx (1+i)" —_—_—_— fator de capitalizacao E, retomando a relacdo basica entre juros, valor presente e futuro (VF = VP + J), os juros acumulados até o periodo n sdo dados por: J(n) = VF(n) —VP J(n) =VPx (1+ i)" —VP n)=VPx|(14+0"-1 Podemos, ainda, escrever o valor do periodo n e da taxa de juros i em funcgdo do VF e VP, conforme abaixo: 1 1 VF(n) __ (VF(n)yn “\ VP i= (=~) —1 n= ; VP In(1+i Assim, se temos um investimento de RS 1.000,00 que rende 1% ao més no regime de juros compostos, qual o valor do investimento ao final de 1 ano? Temos: VP = 1.000; i= 1% a.m.; n = 12 meses; VF = ? Aplicando a formula: VF(n) = VP x (1+ i)” VF(12) = 1.000 x (1 + 0,01)?* = 1.000 x 1,126825 VF (12) = 1.126,86 Resposta: RS 1.126,86. E qual a taxa de juros efetiva ao ano deste investimento? Temos: VF = 1.126,86; VP = 1.000; n = 1 ano; i = ? Aplicando a formula: VF(n) = VP x (1+ i)” VF(1) = 1.000 (1 + i)* = 1.000 + 1.000 x i 1.126,86 = 1.000 + 1.000 xi > Note que no regime de juros compostos, o valor futuro é uma progressdo geométrica (P.G.) de razdo igual a taxa de juros (1 + i). Contudo, dizemos que no termo inicial ocorre em n = O (VFo = VP). ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 9 , = 20,86 0,12686 L = = ) 1.000 Resposta: 12,686% a.a. Chamemos, agora de: e ja taxa efetiva ao ano e nj o numero de vezes que o periodo de referéncia (no caso, O mensal) cabe dentro do periodo anual, e; e iataxaefetiva ao més e nj o numero de periodos associados a taxa de referéncia (no caso, a mensal), normalmente igual a 1. Conforme observado nesse exemplo, vemos que a relacdo entre taxas de juros efetivas® no regime de capitalizacdo de juros compostos é dada por: ny Periodicidade mensal +1>9( )¥/45-1 Periodicidade anual e 12,686% a.a. (taxa j) E se tomarmos um empréstimo de RS 1.000,00 a uma taxa efetiva de 10% a.m. no regime de juros compostos, qual o total de juros pago se o empréstimo for pago em 12 dias (considere o més com 30 dias)? Qual a taxa de juros efetiva ao dia desse empréstimo? Temos: VP = 1.000,00; i = 10% a.m.; n = 2/5 (12 dias/30 dias); J = ? J(n) =VPx[(Q4+0"-1] 2 J(2/5) = 1.000 x lca +0,1)5 — 1 J(2/5) = 1.000 x (1,03886 — 1) J(2/5) = 38,86 Para saber a taxa de juros efetiva ao dia, usamos a relacdo: 5 Quando falamos da relacdo entre taxas de juros efetivas estamos falando, na verdade, de taxas de juros equivalentes. Na sessdo 6 veremos formalmente essa definic¢do. ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 10 nj J=QA+)"%-1 Se j 6 a taxa efetiva ao dia e i 6 a taxa efetiva ao més, para cada més (nj =1), temos 30 dias e um dia cabe 1/30 vezes (nj = 1/30), logo: a J =(1+4+10%)30 —1 J = 0,3182% Resposta: O total de juros pago é de RS 38,86 e a taxa de juros efetiva ao dia é de 0,3182% a.d. Para pensar: por que neste exemplo do empréstimo mensal, os juros pagos no regime de juros compostos foram menores do que os juros pagos no regime de juros simples? Dica: ao utilizar a taxa de juros efetiva informada, ela foi aplicada por um periodo menor do que 1. 2 - Fluxos financeiros, valor presente e valor futuro Compreendido os conceitos basicos sobre taxas de juros, que nada mais sdo do que percentuais que incidem sobre um certo capital e descrevem sua evolucdao ao longo do tempo, é importante entender como diferentes valores financeiros sdo apresentados e deslocados ao longo do tempo. 2.1 Fluxos financeiros Um fluxo financeiro € como uma linha do tempo das receitas (entradas) e despesas (saidas) de uma empresa, projeto, financiamento, investimento, entre outros. E importante ter atencdo para o fato de que os eventos (entradas e saidas) sdo sempre considerados no periodo em que efetivamente ocorrem. Portanto, se uma empresa tem um faturamento mensal e um custo de estoque trimestral, por exemplo, ao representar o fluxo de caixa anual da empresa, temos o valor faturado sendo recebido (entrando) a cada més e o custo do estoque sendo pago (saindo) a cada trés meses. Veja abaixo: ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 11 ACA226-Matemática Financeira (2021.1) - Turma C 12 Em um fluxo financeiro, valores de entradas (recebimentos, créditos) são representados com setas apontando para cima e valores de saídas (pagamentos, despesas, débitos) são representados com setas apontando para baixo7. Por convenção o momento atual (ou momento de avaliação do fluxo) é considerado como período 0 (zero) e considera-se a ocorrência de cada valor ao final do período indicado8. Retomando os exemplos da sessão anterior, vejamos a representação de um investimento de R$ 1.000,00 que rende 1% ao mês no regime de juros compostos e que é resgatado ao final de 1 ano: E, agora, vejamos a representação do empréstimo de R$ 1.000,00 a uma taxa efetiva de 10% a.m. no regime de juros compostos, pago integralmente 12 dias após de ter sido contratado: Vejamos, ainda, como fica o fluxo financeiro de um empréstimo de R$ 5.100,00, a ser pago em 12 meses com prestações mensais e iguais de R$ 598,11. Qual será a taxa de juros efetiva ao mês desse empréstimo? Até aqui, vimos as relações entre capital (ou valor presente), montante (ou valor futuro), juros, taxa de juros e número de períodos, mas agora temos: o valor presente (R$ 5.100,00) e o valor futuro de várias parcelas em diferentes períodos (mês 1 ao 12). 7 Cuidado para não confundir os conceitos de crédito e débito com aqueles utilizados em demonstrações contábeis, nem de entrada e saída, com os aplicáveis à emissão de notas fiscais. 8 Nas calculadoras financeiras e planilhas, a configuração padrão considera a ocorrência dos valores ao final de cada período, mas é possível alterar essa configuração. 0 1 anos R$ 1.000,00 R$ 1.126,86 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 dias R$ 1.000,00 R$ 1.038,86 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 meses R$ 5.100,00 Neste caso, a relacdo fundamental da equivaléncia de capitais continua valida: VF =VP+] Contudo, ao invés de termos um Unico valor presente (valor do empréstimo), é como se dividissemos os RS 5.100,00 em 12 parcelas desiguais e tivéssemos a relacado aplicada para cada uma dessas 12 parcelas: VF(1) =VP(1) + J(1); VF(2) = VP(2) + J(2);...; VF(12) = VP(12) + J(12) Ao somar todas as parcelas, temos: 598,11 598,11 598,11 VF(1) + VF(2)...+ VF(n) = VP(1) + VP(2) +--+ VF(n) +J/(1) + J(2) +++» +J(12) 5.100,00 ? Total de juros? 12 x 598,11 = 5.100,00 + Total de juros Total de juros = 2.077,32 reais Confirmamos, portanto, que a relacdo fundamental da equivaléncia de capitais também é valida para somatorios desde que: e operiodo 0 (zero) (ou momento atual) seja o mesmo para todas as parcelas; e as parcelas de valor futuro sejam somadas com suas respectivas parcelas de juros. Mas, qual a taxa de juros desse empréstimo? Se usarmos diretamente a formula de juros acumulados até um periodo n, terfamos: J(n) =VPx[Q+0"-1] JA) +J(2) ++ +J 2) = VP(1) x [1 +i)?- 1] +VP(2) x [A +i)* -1] +>: + VP(12) x [1+ i)? - 1] 2.077,32 = VP(1) x [((1 +i)? — 1] + VP(2) x [4 +i)? -1]+-: + VP(12) x [+ i?? - 1] 2.077,32 = VP(1) xX (1+ 01+VP(2) x (1+ 0% +++ VP(12) x (1+ i" — [VP(1) + VP(2) +--+ VP(12)] 5.100,00 7.177,32 = VP(1) X (1+ 01+VP(2) x (14+ 0% +-+VP(12) x (1+ i" Observamos que por este caminho nao é trivial chegar ao resultado! E, por isso, veremos como efetuar esses calculos em calculadoras financeiras e planilhas, bem como veremos as formulas que estado por tras dos calculos nessas ferramentas. Mas, por que as doze parcelas em que o empréstimo (VP) seria divido sdo desiguais? ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 13 Lembremos: VF(n) = VP x (1 +i)” Como VF(1) = VF(2) = VF(3) =... = VF(12) = 598,11 e a taxa de juros ié a mesma para todas as parcelas do empréstimo, a Unica forma de manter a igualdade é se tivermos um valor de VP diferente para cada uma das 12 parcelas. Logo, temos: VP(1) # VP(2) # VP(3) #::: # VP(12) VP(1) + VP(2) +--+ VP(12) = 5.100,00 598,11 = VP(1) x (1 +i)! 598,11 = VP(2) x (1+ i)? 598,11 = VP(12) x (1+ i) Somando as 12 parcelas, chegamos na mesma equacao obtida anteriormente: 12 x 598,11 = VP(1) x (1+ 014+VP(2) x (14+ 1)? +++ VP(12) x (1 +i)" 7.177,32 = VP(1) X (1+ 01+VP(2) x (14+ 0% +-+VP(12) x (1+ i" Observemos, agora, que se chamarmos de R cada uma das parcelas, temos: A R 598,11 = VP(n) x (1+ i)" => VP(n) = —_— (n)x (1+) ) =a>pe Logo, ao somar todas as n parcelas, temos: VP = VP(1)+ VP(2) +++ +VP(n) vp=—* + “ fot “ 214i! 140? (1+ i)” Esta soma lembra algo visto anteriormente? Talvez a soma de uma progressdo geométrica (P.G.)? Retomaremos este ponto e as relacdes entre valor presente, valor futuro, pagamento ou recebimento (constante), numero de periodos e taxa de juros de uma série de pagamentos uniformes na sessdo de Anuidades e Perpetuidades. 2.2 Valor presente e valor futuro Ao falar sobre taxas de juros e juros, ja foi apresentado o conceito de valor presente e valor futuro, retomemos eles agora. Valor presente ou valor atual refere-se a uma quantia hoje em dinheiro corrente. Se vocé recebera RS 300,00 dentro de seis meses, hoje, ele vale menos. Portanto, o valor presente é aquele valor que capitalizado pelo préximo semestre gera os RS 300,00 no ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 14 ACA226-Matemática Financeira (2021.1) - Turma C 15 final do semestre. Em outras palavras, o valor presente nada mais é do que o inverso do valor futuro. O cálculo de valores presentes é comum para se obter o valor a ser pago no desconto de notas promissórias e títulos, como veremos melhor ao falar de descontos. No caso de um financiamento ser quitado antecipadamente, também, é necessário calcular o valor presente das parcelas remanescentes, assim, obtém-se algum desconto em relação ao valor total que seria pago originalmente. Esse desconto é, na verdade, os juros que não serão mais devidos em relação às demais parcelas. O desconto mínimo devido é, portanto, aquele que fornece um rendimento exatamente igual à diferença descontada (desconto racional). Para pensar: qual a vantagem de quitar um empréstimo antecipadamente? Quem ganha com isso, o credor ou devedor? Dica: depende da expectativa de taxas de juros no momento da quitação e expectativa futura. Valor futuro refere-se à capitalização de um bem financeiro qualquer, pode ser um imóvel, ações, cotas de um fundo, empréstimo, restituição de imposto de renda, entre outros. Tomemos o exemplo da restituição do imposto de renda. Se duas pessoas declaram ter R$ 500,00 para receber e uma recebe nas primeiras levas, em junho, enquanto a outra recebe nas últimas levas, em outubro. Quem receberá mais? Quem terá maior poder aquisitivo com essa restituição no momento em que a receber? E se após recebido o valor da restituição, quem recebeu em junho guarda debaixo do colchão e quem recebeu em outubro, aplica na poupança. Quem terá maior poder aquisitivo no final do ano, em dezembro? Conforme o tempo passa, se não houver correção, o dinheiro perde valor, embora o valor de face9 (valor original) permaneça o mesmo. Ao calcularmos o valor futuro de um investimento estamos interessados em saber o quanto ele valerá no futuro. Esta é uma forma de planejamento, pois através deste conhecimento podemos tomar decisões sobre o consumo agora e o consumo no futuro. É importante ter sempre em mente a relação entre valor presente e futuro sob regime de juros compostos: 𝑽𝑭(𝒏) = 𝑽𝑷 × (𝟏 + 𝒊)𝒏 𝑽𝑷 = 𝑽𝑭(𝒏) (𝟏 + 𝒊)𝒏 9 Valor de face é o valor de referência de um ativo financeiro no momento de sua ocorrência, também é conhecido como valor nominal ou valor de resgate. E perceber, ainda, que para avancar k periodos basta multiplicar o valor do periodo de referéncia por (1+i)« e para retornar k periodos basta dividir 0 valor periodo de referéncia por (1+i)*: ~ k VF(n) VF(n+k) = VF(n)x(14+0 VF(n—-k) = Tape Vale notar, ainda, que também é possivel obter o valor futuro ou presente caso incidam taxas diferentes a cada periodo. Basta calcular a capitalizagdo total dos periodos e aplicar sobre o VP, caso se queira obter o VF. Ou calcular o desconto total, que é o inverso da capitalizagdo e aplicar sobre o VF para obter o VP. Tomemos como exemplo uma aplicacdo por trés periodos cujas taxas de juros foram, respectivamente, ii, i2 e iz. O valor futuro dessa aplicacdo é dado por e sua rentabilidade sdo dados por: Valor futuro: VF(3) = VP x (1+i,) x A +i,) x A+ is) Rentabilidade: (1+ i,) x (1 +i,) x (1 +i3)-1 3 - Anuidades e perpetuidades Anuidades e perpetuidades sdo séries de pagamentos ou recebimentos, de um mesmo valor, que ocorrem regularmente (todo periodo), por isso sdo conhecidas como séries de pagamento uniformes. No caso das perpetuidades, considera-se que esse valor ocorre por um prazo muito longo e indeterminado, ou seja, que ocorre de forma perpétua ou infinita. Anuidades, mensalidades, semestralidades, entre outras, sdo pagamentos que ocorrem, respectivamente, todo ano, més, semestre, entre outros, por um determinado prazo. Perpetuidades sdo frequentemente utilizadas na avaliag¢do de empresas e precificagdo de acgdes. Anuidades e similares sdo utilizadas no pagamento de empréstimos, aluguéis, servicos, investimentos em titulos pré-fixados com pagamento de dividendos, entre outros. 3.1 Séries de pagamento uniformes finitas No caso de séries de pagamento uniformes finitas (anuidades, por exemplo), seja: R o valor do pagamento (poderiam ser recebimentos) que ocorre regularmente a todo periodo; n o numero de periodos que se pretende observar; ia taxa de juros efetiva ao periodo; VP o valor presente total dos n pagamentos (poderiam ser recebimento); VF o valor futuro dos n pagamentos/recebimentos, entdo, ja vimos que: ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 16 VP a tt a Rt at ta (1+! (141)? +)" “1a+i1 (14+)? (1 +i)” 1 “atm Observamos que a equacdo do VP € o somatorio de uma progressdo geométrica (P.G.) decrescente?? com razao igual a (1 + i)+; termo inicial igual a R x (1 + i)? e termo final igual a R x (1 + i)". Chegamos, assim, as equacgGes para séries de pagamento uniformes apresentadas abaixo. Rx[1+0"-1] VPxix(1+i" Como valor presente > VP = —————— R= —_ ix(1+i" [(14+0"-1] xi in [1 - (“e)| n= -eo_—— In(1 + i) Rx[1+0"-1] VF xi Com o valor futuro > VF = ——,—— R= — i [(1+0"-1] in |=) +4] n= -— In(1 + i) No caso das formulas apresentadas, foi considerado um fluxo em que os pagamentos (poderiam ser recebimentos) ocorrem a partir do periodo 1 e estamos olhando no periodo 0 (zero). Essas séries sdo conhecidas como postecipadas e sdo a representacdo padrdo das calculadoras e planilhas. VF VP 0 1 2 bene n-1 n| periodos R R R R E se os pagamentos (poderiam ser recebimentos) comecassem no periodo O (zero), como no pagamento parcelado do IPVA ou IPTU? Neste caso, dizemos que que a série é antecipada. Ou se comegassem apenas no periodo 3, como em parcelamentos em que o pagamento comeca apos 90 dias (3 meses) da compra? Neste caso, dizemos que que a série é diferida. 10 Q somatério de uma P.G. decrescente é dado por: S,, = ae, onde a1 € o temo inicial; an 6 o temo finale q 6a razdo. ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 17 Em ambos os casos, a solucdo é simples, basta deslocarmos o valor presente que teriamos na série postecipada para a data correta, lembrando que um valor se desloca no tempo através do fator de capitalizagdo (1+ i). A cada periodo que valor “anda para frente”, multiplica-se ele por (1 + i) e, a cada periodo que ele “anda para tras”, divide-se ele por (1+ i) (ou, dito de outro modo, multiplica-se ele por (1 + i)*). No caso da série antecipada, o valor presente (VP) pode ser visto como o VP postecipado (VP) que andou um periodo para frente, portanto: VP, = VPx(1+i) Rx[Q1+i"-1] VP, = ———-_ X (1 +i a ix(1+i)” ( ) inl1— VP, Xi yp Rx[Q4+o0"-1] R VP,xix(1+i"1 n Rx(1+) Oe REO 1 = ooo a ix(1+i)"1 [(1+i)"-1] In(1 + i) A mesma ideia pode ser estendida para o valor futuro da série antecipada (VF.): Rx[{A4+i0"-1])xa+i VF, Xi VEQ == oom om i [(1+i)"-1]x(1+i) Observe a ideia do que ocorre no fluxo abaixo: VF & VFa VP VPa -1 0 1 vans n-1 n periodos R R R No caso da série diferida, ocorre o inverso, o valor presente da série diferida (VPa) pode ser visto como o VP postecipado que andou d - 1 periodos para tras, onde d é€ o numero de periodos entre o periodo atual (periodo zero) e o periodo inicial dos pagamentos (ou recebimentos), também conhecido como caréncia, portanto: VP, = VPx(14+i°@v Rx[{Q@+o0"-1]) (G+) a= Tx aso “ate rx ( + i) ( + i) Prazo total: caréncia + pagamentos —Rx(Q+)"-1) VPgxix (+E VPq ~ ix (1 + j)n-ita jR= [(1 + iy — 1] Numero de pagamentos A mesma ideia pode ser estendida para o valor futuro da série postecipada (VFq): VF, = VF x(14+i7@ ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 18 VE Rx[{Q4+H"-1] (+i) = ee XX a i (1+ i)4 VE Rx[Q4+0"-1]xQa+d R VF,xix(1+i)% a ix(1+i4 7" 114+ )"-1)x 140 Observe a ideia do que ocorre no fluxo abaixo, onde d = 4: [” VP 0 1 2 3 4 wee me mg periodos 3.2 Perpetuidades E se agora a série de pagamentos (ou recebimentos) for uma perpetuidade? Exemplos poderiam ser uma pensdo vitalicia ou dividendos pagos em perpetuidade. Neste caso, teriamos uma progressdo geométrica infinita’? e a formula aplicavel é€ a abaixo. Note que no caso de uma perpetuidade nado ha como calcular o valor futuro (VF), pois o periodo final inexiste! R VP=- Apesar de ser claro o conceito de perpetuidades, é dificil imaginar um valor constante, sem qualquer tipo de reajuste ou crescimento, ocorrendo por prazo indeterminado. Em avaliagdo de empresas é comum considerar que receitas ou fluxo de caixa ocorrerdo perpetuamente, mas crescendo a uma taxa g (ou seja, a cada periodo, a receita 6 a receita do periodo anterior multiplicada por (1 + g)). Neste caso, a razdo da progressdo geométrica passa a ser [(1 + g) / (1 + i)] e temos uma perpetuidade com crescimento constante. A formula aplicavel passa a ser: R VP=- l—g 4 - Operacdes de descontos Os principais conceitos da Matematica Financeira ja foram apresentados, passemos agora a aplicagdes mais praticas. Uma aplicagdo pratica sdo as operacdes de desconto. 11 Q somatério de uma P.G. infinita é dado por: S, = a onde a1 € o temo inicial e q 6a razao. ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 19 ACA226-Matemática Financeira (2021.1) - Turma C 20 A operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer determinar o seu valor atual (valor presente). O desconto (D) é um valor financeiro, que corresponde a diferença entre o valor de resgate de um título (seu valor futuro (VF)) e o seu valor descontado (VD)12, visto como seu valor presente (VP), na data da operação, ou seja: 𝑫 = 𝑽𝑭 − 𝑽𝑷 Assim como no caso dos juros, o valor do desconto também está associado a uma taxa e a determinado período de tempo. Note que na relação básica entre valor futuro e valor presente acima, o desconto e os juros são a mesma coisa, contudo eles são critérios distintos e claramente caracterizados. Enquanto no cálculo dos juros a taxa referente ao período da operação incide sobre o capital inicial ou valor presente, no desconto, taxa do período incide sobre o seu montante ou valor futuro. De modo análogo aos juros, os descontos são divididos em simples (cálculos lineares) e compostos (cálculos exponenciais) e, ainda, em:  desconto comercial (por fora), que vemos em compras quando é oferecido 10% de desconto para pagamento à vista, por exemplo;  desconto racional (por dentro), que é aquele aplicado quando deslocamos para trás (antecipamos) determinado valor em um fluxo financeiro. 4.1 Desconto racional O desconto racional nada mais é do que a utilização da fórmula de juros simples ou compostos, conforme o caso, passando-se a chamar de desconto os juros e de taxa de desconto, a taxa de juros. Assim, a taxa de desconto não é aplicada sobre o valor futuro diretamente (operação de multiplicação), sendo aplicada “por dentro” (operação de divisão). Desconto racional simples O desconto racional simples é pouco utilizado no país e sua fórmula é: 𝐷 = 𝐽(𝑛) = 𝑉𝑃 × 𝑖 × 𝑛 𝑫 = 𝑽𝑭 × 𝒊 × 𝒏 𝟏 + 𝒊 × 𝒏 12 Quando se fala de descontos, o valor presente (VP) ou valor descontado (VD) refere-se ao valor recebido antecipadamente pelo título quando contratada uma operação de desconto. ACA226-Matemática Financeira (2021.1) - Turma C 21 Onde: i = taxa de desconto. Desconto racional composto O desconto racional composto costuma ser utilizado em operações de antecipação de recebimentos (ou desembolsos) de longo prazo e refere-se ao valor presente obtido utilizando-se a fórmula de juros compostos. Assim, o valor descontado (VD) quando do desconto racional é dado por: 𝑽𝑫 = 𝑽𝑭 (𝟏 + 𝒊)𝒏 É comum serem feitas operações de desconto de um borderô, ou seja, diversos títulos conjuntamente. Neste caso, o valor do desconto é o somatório do valor do desconto de cada um dos títulos, conforme abaixo: 𝑽𝑫 = 𝑽𝑭𝟏 (𝟏 + 𝒊)𝒏𝟏 + 𝑽𝑭𝟐 (𝟏 + 𝒊)𝒏𝟐 + ⋯ + 𝑽𝑭𝑵 (𝟏 + 𝒊)𝒏𝑵 Onde: N = número total de títulos; i = taxa de desconto; nj = prazo até o vencimento do título j; VFj = valor de face (ou de resgate) do título j. 4.2 Desconto comercial Desconto comercial é aquele em que a taxa de desconto incide sobre valor futuro (valor de face ou de resgate). Desconto comercial simples A taxa de desconto incide sobre o valor futuro, considerando-se o regime de juros simples. É utilizado amplamente no Brasil, seja em operações de “desconto de duplicatas” realizadas por bancos ou “descontos” para pagamentos à vista, sendo por isso conhecido como desconto bancário ou comercial. É obtido multiplicando-se o valor de resgate do título (VF) pela taxa de desconto (d) e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento (n), ou seja: 𝑫 = 𝑽𝑭 × 𝒅 × 𝒏 Para obter o valor descontado neste caso, isto 6, aquele que sera efetivamente recebido ou pago, faz-se: VD =VF —-D VD = VF —-(VF xd xn) VD =VF x (1-d xn) E possivel, ainda, obter qual a taxa de juros simples (i) corresponde a taxa de desconto comercial simples (d), resolvendo a igualdade entre os descontos racional e comercial simples: VFxixn ———_ = VFxdxn 1+ixn —_——. — desconto comercial desconto racional q i . d = l= —— 1+ixn 1—-dxn A taxa de desconto comercial d também é conhecida como taxa de juros antecipada e a taxa de juros i, como taxa de juros postecipada. Note que i é necessariamente maior do que d, logo, o desconto comercial simples € uma forma “disfargada” de cobrar uma taxa de juros simples efetiva maior. A taxa de juros itambém pode ser vista como uma taxa implicita. Consideraremos taxa de juros implicita, a taxa de juros que realmente incide em uma operacdo e que nao foi explicitada. Desconto comercial composto Desconto comercial composto é raramente utilizado, mas em algumas situagdes em que se tem direito a descontos de origens diferentes, o calculo pode ser feito por composi¢ao. Um exemplo, seria uma escola que concede 5% de desconto a irmaos e 10% de desconto cumulativo em caso de pagamento a vista. A escola esclareceu que o desconto para pagamento a vista incide sobre o valor da mensalidade apos aplicacdo de outros descontos que o aluno possa ter. Como a taxa de desconto é aplicada sobre o valor de face da mensalidade, trata-se de desconto comercial e, como o segundo desconto incide sobre o valor ja atualizado com o primeiro desconto, trata-se de desconto composto. Digamos que a mensalidade seja de RS 1.000,00, qual o desconto total obtido na mensalidade escolar? Qual a taxa de desconto comercial aplicada? Temos: FV = 1.000,00 d1=5% d2 = 10% D1+D2=? ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 22 D1 = 1.000 X 0,05 X 1-> D1 = 50,00 Valor apos D1: 1.000 — 50 = 950,00 D2 = 950,00 X 0,10 X 1 = 95,00 Desconto total: 50,00 + 95,00 = 145,00 reais Taxa de desconto comercial: 145 / 1.000 = 14,5% Note que a taxa de desconto total pode ser obtida como: (1 + d1) X (1 + d2) - 1, seguindo o raciocinio de juros compostos. D=VFx{[(1+d)"-1] 4.3 Relacdo entre desconto comercial e juros compostos, os juros implicitos Observamos que quando uma taxa de desconto (d) é aplicada sob o valor futuro (desconto comercial), para com isto obter o valor atual, esta taxa é diferente da taxa de juros que seria aplicada no desconto racional e, portanto, podemos considerar que existem de juros implicitos. A relagdo entre a taxa de desconto comercial e racional sob o regime de juros simples ja foi vista. Vejamos agora a relagdo entre a taxa de desconto comercial simples e a taxa de juros compostos correspondente. Chamemos, entdo, de taxa de juros implicita ou custo efetivo do desconto comercial simples, a taxa de juros (i) do desconto racional composto que produz o mesmo valor presente (valor descontado) que a taxa d do desconto comercial simples. Portanto, a taxa i implicita 6 aquela obtida pela seguinte igualdade: * VFx(i-d ) — = x(1-dxn (1 +i)" —__—______— YN VP do desconto comercial VP do desconto racional , 1-d ——=1-dxn (1 +i)” 1 on (1+i)"-1 =i n +i)” — i= 1-dxn)w -1=|-—__ —1 d = ————_ ( ) (1-—dxn) nx (1+ i)” O conceito por tras dessas formulas, ou seja, igualar o valor presente dos fluxos é fundamental para calcular e avaliar quando os descontos oferecidos sdo ou ndo vantajosos. O calculo da taxa implicita pode ser efetuado diretamente através delas ou a partir da construcdo do fluxo das alternativas para o desconto comercial. Assista aos videos a seguir, produzidos pelo Bacen, para refletir sobre taxas de juros implicitas. ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 23 <https://www.youtube.com/watch?v=FdTip4SdWMw&list=PLhqfgkxuHXh7DCFzdNt3h tR_OnJr8QAlj&index=2> <https://www.youtube.com/watch?v=8bF4sRyAjdA&list=PLhqfgkxuHXh7DCFzdNt3htR _OnJr8QAlj&index=3> Para pensar: quais dos tipos de desconto apresentados possuem limitagao do prazo até o vencimento? Dica: ao ser aplicado um desconto, o valor descontado deve ser no minimo zero. 5 - Sistemas de amortiza¢do e calculo de prestagdes Outra aplicacdo pratica da Matematica Financeira e comum a boa parte da populacdo e de empresas é a tomada de empréstimos e aquisicdo de linhas de crédito. No caso de empréstimos (ou financiamentos) de médio e longo prazo podem ser oferecidas diferentes modalidades de pagamento, sendo as principais o Sistema de Prestacdes Constante e o Sistema de Amortizacgdo Constante. Independentemente de qual desses dois sistemas principais seja adotado, toda parcela de pagamento (prestacao) de um empréstimo (ou financiamento) pode ser dividida em duas partes: juros (ja falamos bastante sobre eles e sdo a remuneracdo paga pelo empréstimo); amortizagdo (sdo as parcelas de pagamento do valor inicial tomado de empréstimo (conhecido como principal ou mutuo), ou seja, as parcelas do VP no exemplo do empréstimo de RS 5.100,00). Prestacao = juros + amortizacao SS Lembrando, para cada parcela n: VF(n)=J(n)+VP(n) =Valor financiado ou principal ST Total prestacoes = Total juros + Total amortizado eee Lembrando: VF=J+ Total prestacoes = Total juros + Valor financiado Outras nomenclaturas utilizadas em empréstimos sao: credor ou mutuante, que é aqueles que empresta (ou financia) o valor; devedor ou mutudrio ou tomador, que aquele que toma o valor emprestado. Sobre operagdes financeiras, como empréstimos, podem incidir também impostos (como o IOF) e taxas de operacdo. Geralmente, o valor dos impostos e taxas é acrescido ao valor do financiamento solicitado para fins de calculo das prestagdes. Nao abordaremos o detalhamento de impostos e taxas. ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 24 ACA226-Matemática Financeira (2021.1) - Turma C 25 5.1 Sistema de prestação constantes (SPC) e a tabela Price No sistema de prestação constantes todas as parcelas do empréstimo são iguais, conforme o exemplo do empréstimo de R$ 5.100,00 apresentado quando abordamos fluxos financeiros. É o sistema mais comum utilizado em empréstimos pessoais. O cálculo das parcelas, valor presente e valor futuro são feitos utilizando as fórmulas de uma série de pagamentos uniforme postecipada. Para os cálculos é necessário utilizar a taxa efetiva ao período, sendo a periodicidade aquela correspondente a recorrência dos pagamentos (mensal, semestral, trimestral, anual, entre outras). Relembrando as fórmulas, o pagamento periódico (R) é dado por: 𝑹 = 𝑽𝑷 × 𝒊 × (𝟏 + 𝒊)𝒏 [(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏] = 𝑽𝑷 × 𝒊 × (𝟏 + 𝒊)𝒏 [(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏] Onde: R = valor das prestações constantes; VP = principal ou valor financiado (é o valor presente das prestações dada a taxa de empréstimo i a.p.); i = taxa de juros efetiva ao período; n = número total de prestações. Em algumas situações livros, exercícios ou mesmo lojas trabalham com a ideia de coeficiente, conforme apresentado na fórmula. O coeficiente é o valor pelo qual o valor à vista de certo bem ou o valor a ser financiado deve ser multiplicado para obtenção do valor das prestações. Caso sejam conhecidos o valor das prestações e a taxa de juros, também, é possível saber qual o valor financiado (VP): 𝑽𝑷 = 𝑹 × [(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏] 𝒊 × (𝟏 + 𝒊)𝒏 Ao abordamos os fluxos financeiros, vimos que cada prestação (ou parcela) é composta por uma parcela do valor nominal financiado (ou seja, um valor de amortização do principal) e uma parcela de juros incorridos. Assim, a cada período o saldo devedor do empréstimo vai diminuindo e, consequentemente, o valor correspondente aos juros, enquanto o valor correspondente à amortização cresce a cada período. Observemos o exemplo de um empréstimo de R$ 5.100,00 a ser pago em 12 meses, a uma taxa anual efetiva de 42,58% a.a. para construir sua tabela de prestações, amortizações, juros e saldo devedor a cada período (mês). Coeficiente Temos: Taxa efetiva anual: 42,58% a.a. e precisamos da taxa mensal. Aplicando a formula para equivaléncia de taxas: ny J=QA4+0"-1 i J = (1+ 42,58%)12 — 1 J = 3,0002% a.m. Agora, 6 necessario obter o valor das prestacées: R VPxjx(+j)” (1 +)” - 1] R 5.100 x 3,0002% x (1 + 3,0002%)?? 7 [(1 + 3,0002%)12 — 1] R= 512,26 reais A cada periodo, o valor dos juros é o saldo devedor apdos o pagamento da prestacdo do periodo anterior multiplicado pela taxa de juros efetiva ao periodo e o valor da amortizacdo é a diferenca entre o valor da prestac¢do e os juros. Vejamos como fica o exemplo (valores em reais): Sistema de Prestacgdes Constantes (SPC) - exemplo Periodo | Saldo devedor | Prestagdo| Juros | Amortizacdo | Saldo devedor apos pagamento 0 5.100,00 1 5.100,00} 512,36] 153,01 359,35 4.740,65 2 4.740,65| 512,36| 142,23 370,13 4.370,52 3 4.370,52 512,36) 131,12 381,24 3.989,28 4 3.989,28 512,36} 119,69 392,67 3.596,61 5 3.596,61| 512,36] 107,91 404,45 3.192,16 6 3.192,16|} 512,36] 95,77 416,59 2.775,57 7 2.775,57| 512,36] 83,27 429,09 2.346,48 8 2.346,48| 512,36] 70,40 441,96 1.904,52 9 1.904,52| 512,36; 57,14 455,22 1.449,30 10 1.449,30 512,36 43,48 468,88 980,42 11 980,42|/ 512,36] 29,41 482,95 497,47 12 497,47| 512,40] 14,93 497,47 0,00 Total | | 6.148,36/104836) | Para que o saldo devedor apds o pagamento da ultima parcela seja zero, quitando-se todo o empréstimo, eventual diferenca em funcdo de arredondamentos costuma ser acrescida na ultima parcela, como no exemplo. Apesar de tabelas de empréstimos como essas serem habitualmente apresentadas por bancos, nado é ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 26 ACA226-Matemática Financeira (2021.1) - Turma C 27 necessário ter a tabela completa para saber o saldo devedor, juros ou valor já amortizado em um determinado período. O saldo devedor em qualquer momento k, pode ser calculado facilmente em calculadoras financeiras ou planilhas como o Valor Futuro no momento k (VF(k)), dados: VP = valor financiado; R = valor das prestações. Os juros pagos até o momento k (inclusive) ou após o pagamento da k-ésima prestação até o final podem ser obtidos conforme cálculos abaixo. Juros e amortização após o pagamento da k-ésima prestação até o final Total a ser pago da k-ésima prestação até o final: (n - k) X R Saldo devedor (valor a amortizar) após k-ésimo pagamento: VF(k) (Na HP12C, PV = valor financiado; PMT = “CHS” prestações; i = taxa efetiva a.p.; n = k; FV = ?) ou VP (n-k) (Na HP12C, FV = 0; PMT = “CHS” prestações; i = taxa efetiva a.p.; n = n-k; PV = ?) (Note que é o que falta ser amortizado!) Juros após o pagamento da k-ésima prestação até o final: J(k+1 até n) = (n – k) X R – VF(k) Juros e amortização até o pagamento da k-ésima prestação Total de juros = n X R – VP Total pago até a k-ésima prestação (inclusive): k X R Juros até o pagamento da k-ésima prestação (inclusive): J(k) = Total de juros – J(k+1 até n) = n X R – VP – [(n – k) X R – VF(k)] = VF(k) – VP + k X R J(k) = Total pago até a k-ésima prestac¢do (inclusive) - amortizado até k-ésima prestacdo (inclusive) Valor amortizado até o pagamento da k-ésima prestag¢do (inclusive): A(k) = k X R —J(k) = VP —VF(k). SPC e PRICE sao a mesma coisa? Quase! Uma vez conhecida a taxa de juros efetiva ao periodo do empréstimo, nado ha diferencas e é a partir dai que se pode construir a tabela como do exemplo anterior. Contudo... A taxa informada para um empréstimo (ou financiamento) que sera feito pelo sistema PRICE é sempre uma taxa nominal ao ano. Portanto, uma vez informado que um empréstimo com pagamento mensal sera amortizado pelo sistema PRICE a uma taxa de juros 42% a.a., por exemplo, a primeira coisa a fazer 6 descobrir qual a taxa de juros efetiva ao més deste empréstimo. Como a taxa de 42% a.a. 6 uma taxa nominal (OU APARENTE?!), a taxa ao més efetiva correspondente é obtida pela relacdo entre taxas proporcionais, como sera visto na prdoxima sessdo: nN; j=ix2 Nj | = 42% , J 12 J=3,5% a.m. Entdo, relembrando... para saber a taxa efetiva ao més em um empréstimo amortizado pelo sistema PRICE, deve-se dividir a taxa anual informada (que 6 uma taxa nominal) por 12! 5.2 Sistema de amortizacdo constante (SAC) Como proprio nome ja diz, no sistema de amortizacdo constante (SAC), ao invés de termos prestac6es iguais a cada periodo, a parcela de amortizacao é que igual a cada periodo. Os juros sdo calculados como no SPC, ou seja, o valor dos juros é o saldo devedor apos o pagamento da prestacdo do periodo anterior multiplicado pela taxa de juros efetiva ao periodo. Como o saldo devedor decresce ao longo do tempo, os juros também decrescem e, consequentemente, as prestacdes. Ecomum 0 uso deste sistema em financiamentos imobilidrios. As principais formulas utilizadas no SAC sao: VP ; A=— Je = SDy_-1 Xi n SD, =VP—-kxXxA SD, = SD, + (n-—k)xA ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 28 ACA226-Matemática Financeira (2021.1) - Turma C 29 Onde: A = valor da amortização a cada período (ou prestação); VP = SD0 = principal ou valor financiado (é o valor presente das prestações dada a taxa de empréstimo i a.p.); i = taxa de juros efetiva ao período; n = número total de prestações; SDk = saldo devedor após o pagamento da parcela k (ou k-ésima prestação); Jk = juros pago na parcela k; SDn = saldo devedor final, normalmente, zero. Observemos como fica a tabela no sistema SAC do mesmo exemplo utilizado para construção da tabela no SPC, ou seja, um empréstimo de R$ 5.100,00 a ser pago em 12 meses, a uma taxa anual efetiva de 42,58% a.a. Sistema de Amortização Constante (SAC) - exemplo Período Saldo devedor Prestação Juros Amortização Saldo devedor após pagamento 0 5.100,00 1 5.100,00 578,01 153,01 425,00 4.675,00 2 4.675,00 565,26 140,26 425,00 4.250,00 3 4.250,00 552,51 127,51 425,00 3.825,00 4 3.825,00 539,76 114,76 425,00 3.400,00 5 3.400,00 527,01 102,01 425,00 2.975,00 6 2.975,00 514,26 89,26 425,00 2.550,00 7 2.550,00 501,51 76,51 425,00 2.125,00 8 2.125,00 488,75 63,75 425,00 1.700,00 9 1.700,00 476,00 51,00 425,00 1.275,00 10 1.275,00 463,25 38,25 425,00 850,00 11 850,00 450,50 25,50 425,00 425,00 12 425,00 437,75 12,75 425,00 0,00 Total 6.094,57 994,57 Note que o valor total de juros e, consequentemente, das prestações é menor no sistema SAC do que no SPC. Por que isso ocorre? Procure montar um gráfico das prestações juros e amortização em casa um dos sistemas. ACA226-Matemática Financeira (2021.1) - Turma C 30 5.3 Outros sistemas de amortização Além dos principais sistemas apresentados (SAC e SPC, mais especificamente, o sistema PRICE), outros sistemas de amortização conhecidos são: Sistema de Amortização Misto (SAM); Sistema Americano de Amortização; Sistema de Pagamento Único; Sistema de Juros Antecipados. Não aprofundaremos cada um desses sistemas, mas segue abaixo seu funcionamento em linhas gerais.  Sistema de Amortização Misto (SAM): as prestações são a média aritmética entre os valores encontrados para as prestações do sistema PRICE e SAC. Uma vez obtido o valor das prestações, monta-se uma tabela de pagamentos como nos outros sistemas. É interessante observar que os juros, amortizações e saldos devedores no SAM, em cada período, também são a média aritmética desses valores encontrados para o sistema PRICE e SAC.  Sistema Americano de Amortização: neste sistema, a cada prestação, o devedor paga apenas os juros (J) e o principal (VP) é pago no final do prazo estipulado para o empréstimo. O valor dos juros pago periodicamente é igual e calculado como J = VP x i, onde i é a taxa de juros ao período. Como a cada período os juros são pagos integralmente, o saldo devedor permanece sempre o mesmo e igual ao principal, além de ser indiferente falar de juros simples ou compostos. É comum o uso desse sistema em empréstimos internacionais e em títulos de renda fixa.  Sistema de Pagamento Único: é o sistema mais simples e utilizado frequentemente para financiamento de capital de giro. O tomador (ou devedor) paga os juros e amortiza o principal apenas no final do prazo do empréstimo. Os juros podem ser cobrados pelo sistema de juros simples ou compostos, de acordo com o contrato estipulado. e Sistema de Juros Antecipados: o devedor paga o total dos juros na data de liberagdo do empréstimo e amortiza o principal apenas no final do prazo do empréstimo. Os juros podem ser cobrados pelo sistema de juros simples ou compostos, de acordo com o contrato estipulado. Observe que como os juros sdo pagos antecipadamente, o valor liberado como empréstimo (empréstimo efetivo) 6 menor do que o solicitado pelo devedor e a taxa de juros efetiva é diferente da taxa de juros nominal informada para o empréstimo. 6 - Taxas de juros, suas relacdes e custos de operacdes Até aqui trabalhamos sempre com taxas de juros efetivas, ou seja, aquelas que sao utilizadas diretamente para calcular juros, valor presente e futuro a partir das relac6es vistas para juros simples e compostos. Contudo, no mercado sao utilizadas diferentes nomenclaturas para taxas de juros e é importante estar bem claro o significado de cada uma delas, bem como a sua relacdo com a taxa de juros efetiva ao periodo. 6.1 Taxa de juros efetiva Sua unidade de tempo de referéncia coincide com a unidade de tempo de ocorréncia da capitalizagdo dos juros, portanto, em geral, omite-se o periodo de capitalizacdo. E a taxa considerada nos calculos em planilhas e calculadoras e na maioria das formulas presentes nessa apostila. 6.2 Taxa de juros nominal Sua unidade de tempo de referéncia é diferente da unidade de tempo de ocorréncia da capitalizagdo dos juros, portanto, é necessario que seja informado o periodo de capitalizagdo para calculo da taxa efetiva. A taxa de juros nominal (ia) é proporcional a taxa de juros efetiva (ice) ao periodo de capitalizacdo. Seja m o numero de periodos de capitalizacdo que cabem dentro da periodicidade da taxa nominal, entdo: ip 1 lq —m ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 31 Seja, por exemplo, uma taxa de juros nominal de 24% a.a. capitalizada mensalmente. Qual a taxa de juros efetiva ao més? E a taxa de juros efetiva ao ano? Obs.: considere o regime de juros compostos. Temos: 1 ano = 12 meses => m = 12 . _ la ip =— oom ; 24% L =-_ ° 12 ip = 2% a.m. Uma vez obtida a taxa de juros efetiva ao més (chamada de ieno exemplo), para obter a taxa efetiva ao ano (chamaremos de ie m), basta capitalizar a taxa efetiva ao periodo pelo numero de periodos de capitalizacgdo que cabem dentro da periodicidade da taxa nominal, entdo: ioem=(1+i,)"™-1 iem = (1+ 2%)? -1 iem = (1+ 2%)? -1 le, = 26,8242% Resposta: A taxa de juros nominal de 24% a.a. capitalizada mensalmente corresponde as taxas de juros efetivas de 2% a.m. e 26,8242% a.a. Para pensar: no regime de juros simples, quais seriam as taxas de juros efetivas ao més e ao ano do exemplo anterior? Atengdo! Como identificar se uma taxa informada é nominal? Basicamente, duas opcées: 1) 0 texto diz explicitamente que a taxa é nominal; 2) o texto menciona que é uma taxa a uma certa periodicidade e capitalizada a outra, exemplo: 18% ao semestre capitalizados trimestralmente. 6.3 Taxa de juros proporcional Duas taxas de juros efetivas, expressas em unidades de tempo (periodicidades) diferentes sdo ditas proporcionais quando vale a seguinte relacdo (propor¢do): Onde: j =a taxa de juros efetiva ao periodo p (p = nj vezes a periodicidade de referéncia); ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 32 nj = numero de vezes que o periodo de referéncia cabe dentro do periodo p; i = taxa de juros efetiva ao periodo de referéncia; nj = numero de periodos associados a taxa de referéncia, ou seja, 1. 6.4 Taxa de juros equivalentes Taxas de juros expressas em unidades de tempo (periodicidades) diferentes sdo ditas equivalentes quando um capital aplicado pelo mesmo prazo a qualquer uma delas produz 0 mesmo montante (ou valor futuro). A expressdo para o calculo de taxas equivalentes depende do regime de capitalizagdo de juros, conforme apresentado na sessdo 1. Vale notar que taxas de juros equivalentes no regime de capitalizacgdo de juros simples sdo, também, taxas proporcionais. Contudo, o mesmo nao é verdade sob regime de juros compostos! Tenha sempre em mente que taxas de juros equivalentes em juros simples sdo obtidas por operacdes de multiplicagdo ou divisdo e, no regime de juros compostos, por operacoes de potencia¢ao ou radiciacdo. Vejamos um exemplo: seja im uma taxa efetiva mensal, qual a taxa de juros equivalente ao trimestre? a) no regime de juros simples (its); b) no regime de juros compostos (itc). Observe primeiro que 1 trimestre é igual a trés meses, logo, para que as taxas sejam equivalentes, um valor presente qualquer (VP) aplicado por 3 meses a taxa im deve gerar o mesmo valor futuro (VF) quando aplicado a taxa it; por 1 trimestre. a) Por definicdo do que sdo taxas equivalentes e conforme observado acima, pode-se montar e resolver o seguinte sistema: ripe dae en VF = VPX (14+ & X 1) VPx( +in X 3)=VPxX (1+ i X 1) im X 3=l5 X 1 lts = in x 3 Resposta: no regime de juros simples, a taxa juros ao trimestre equivalente a uma taxa de juros mensal im é igual a im x 3. Note que conforme apresentado anteriormente, no regime de juros simples, as taxas de juros equivalentes sdo também proporcionais! Resolvendo direto pela formula apresentada anteriormente, teriamos: i = im (taxa informada ou de referéncia); ni = 1; j = its (taxa que ser descobrir); nj = 3 (numero de vezes que 1 més “cabe dentro” de um trimestre) ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 33 im 1 its 3 lts = in x 3 b) Novamente, por definicdo do que sdo taxas equivalentes e conforme observado anteriormente, pode-se montar e resolver, agora, o seguinte sistema: CP = VP x (1 + in)? VF = VP x (1 + i,,)? VPx(1+i,)? =VP x (1 + i) (1 + im)? =(1 + tte) ire = (1 + ip)? -1 Resposta: no regime de juros compostos, a taxa juros ao trimestre equivalente a uma taxa de juros mensal im é igual a (1 + im)? - 1. Resolvendo direto pela formula apresentada na sessdo 1, teriamos: ny i = im (taxa informada ou de referéncia); ni = 1; j = its (taxa que ser descobrir); nj = 3 (numero de vezes que 1 més “cabe dentro” de um trimestre) 3 lic = (1+ im)1 -1 inc = At+in)? -1 6.5 Taxa de juros real e aparente A taxa de juros real é aquela que nado considera a inflagdo embutida em seu valor. Normalmente as taxas de juros negociadas ja tem a inflacdo embutida indiretamente e, portanto, sdo conhecidas como taxas aparentes. Toda vez que é feito um investimento, podemos considerar que se optou por postergar a aquisicdo de algo. Portanto, ao final do investimento, a sua rentabilidade real é aquela atrelada ao poder de compra. Tomemos um exemplo bem simples: o carro que vocé pretende comprar custa RS 20.000,00, mas como vocé ainda nao tem todo o dinheiro, prefere deixar os RS 19.000,00 que ja juntou investidos por mais um ano. Passado um ano, seus RS 19.000,00 renderam 10% a.a. e vocé tem RS 20.900,00. O carro, também, aumentou prego, tendo sido reajustado pela inflagdo que foi de 4% a.a., ou seja, agora ele custa RS 20.800,00. Como vocé ja tem o valor total, resolve compra-lo. Mas, qual foi o rendimento real do seu investimento, ou seja, em que percentual aumentou o seu poder de compra? Temos: Inicialmente, vocé tinha RS 19.000,00 para pagar RS 20.000,00. Passado um ano, vocé tem 20.900,00 para pagar RS 20.800,00. ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 34 ACA226-Matemática Financeira (2021.1) - Turma C 35 Podemos, então, escrever a seguinte proporção, considerando r a taxa real de juros nesse ano: 19.000 20.000 × (1 + 𝑟) = 20.900 20.800 0,95 × (1 + 𝑟) = 20.900 20.800 𝑟 = 5,7692% 𝑎. 𝑎. Resposta: A taxa de juros real foi de 5,7692% a.a. Observamos, então, que a taxa de juros aparente (i) pode ser dividida em dois fatores, sendo um correspondente a inflação (f) e, outro, a taxa de juros real (r): (1 + 𝑖) = (1 + 𝑓) × (1 + 𝑟) 𝑟 = 1 + 𝑖 1 + 𝑓 − 1 𝒓 = 𝒊 − 𝒇 𝟏 + 𝒇 Note que r pode ser negativa (caso a inflação seja maior do que a taxa de juros do investimento, ou seja, f > i) ou positiva (no caso contrário, ou seja, i > f). Caso a taxa real (r) seja negativa, significa que mesmo o investimento tendo tido rendimento, o poder de compra do investidor diminui e, talvez, valesse a pena ele não ter postergado aquisições. A taxa de juros f, correspondente à inflação, é vista como a correção monetária do valor. Atenção! Como dito anteriormente, as taxas de juros negociadas são, em geral, taxas aparentes. A taxa negociada em um certo investimento será uma taxa real apenas se for explícito isso e, nesse caso, a correção pela inflação deve ser “acrescida” àquela taxa para obtenção da taxa aparente. Um exemplo seria um investimento cuja rentabilidade anual informada é IPCA + 3,75%. Nesse caso, 3,75% a.a. é uma taxa real e o IPCA é a taxa de inflação considerada. Digamos que esse investimento foi feito por 2 anos e o IPCA acumulado no primeiro ano foi de 4% e, no segundo ano, de 5%. Qual a rentabilidade do investimento no primeiro, no segundo e no período (2 anos)? Temos: r = 3,75% a.a.; f1 = 4% a.a. (inflação no 1º ano); f2 = 5% a.a. (inflação no 2º ano). Considerando a fórmula apresentada e substituindo os valores para o ano 1 e 2, obtemos a taxa aparente de cada ano: (1 + 𝑖) = (1 + 𝑓) × (1 + 𝑟) (1 + 𝑖1) = (1 + 𝑓1) × (1 + 𝑟) (1 + 𝑖1) = (1 + 4%) × (1 + 3,75%) (1 + 𝑖1) = 1,079 𝑖1 = 7,9% 𝑎. 𝑎. (1+ i2)=(1+ f2)x(1+7r) (1 + i2) = (1+ 5%) x (1 + 3,75%) (1 + i2) = 1,089375 i2 = 8,9375% a.a. Via de regra, investimentos trabalham com o regime de juros compostos, portanto, a menos que tenha alguma informacdao explicita de que o regime é de juros simples, devemos pensar com juros compostos. Note que a propria relagdo entre taxa aparente, real e inflac¢do segue a ldgica do regime de juros compostos, isto é, as taxas sdo aplicadas sobre o valor ja corrigido, logo, ndo se deve somar as taxas, mas multiplicar (1 + taxa). Para obter a rentabilidade do periodo de 2 anos basta, portanto, multiplicar (1 + i1) x (1 +i2). Chamemos de ip a rentabilidade de 2 anos, temos: (1 + ip) = (14+ 7,9%) x (1 + 8,9375%) (1 + ip) = 1,175436 ip = 17,5436% a. p. Note que a conta poderia ter sido feita diretamente: (1+ip)=(1+f1)x(1+r)x+f2)x +r) (1+ip)=(1+f1)x(1+/f2)x (+r) SS => 1+inflacado a.p. 1+taxa real a.p. 6.6 Taxas de juros pré-fixadas e pds-fixadas No mercado, sobretudo em investimentos, costumam ser negociados dois tipos de taxas de juros: pré-fixadas e pos-fixadas. Como o nome ja diz, as taxas de juros pré- fixadas sdo pré-determinadas no momento da aplicagdo, como os exemplos vistos. Ja as taxas pos-fixadas estdo atreladas a algum indice, sendo expressas como um percentual do indice. No caso de taxas pos-fixadas so é possivel conhecer o total de juros (ou rendimentos) ao final do prazo. Uma aplicagdo que costuma oferecer os dois tipos de taxas sdo os CDB (Certificados de Depdsito Bancarios). No caso dos pods-fixados, o rendimento é definido como um percentual (normalmente, entre 80% e 110%) do indice CDI*?. Nos pré-fixados, costumam ser oferecidas taxas proximas a expectativas de valor entre a taxa Selic e a inflacdo para o prazo correspondente. 13 Resumidamente, o indice CDI representa a taxa de negociacdo didria de operacées entre instituicdes financeiras e seu valor costuma ser proximo ao da taxa Selic. ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 36 ACA226-Matemática Financeira (2021.1) - Turma C 37 Existem ainda investimentos considerados híbridos, pois sua remuneração tem uma parcela fixa pré-definida e uma variável, atrelada a algum índice de inflação. Esse tipo de remuneração é comum em títulos de renda fixa14. Repare que no caso de investimentos híbridos em que uma parcela está atrelada a inflação, a parte pré-fixada corresponde à rentabilidade real. 6.6 Custo efetivo total (CET) Como mencionado anteriormente, ao tratar dos sistemas de amortização, em operações financeiras podem incidir impostos (como o IOF), além de taxas relativas a operação. A fim de evitar que consumidores possam ser iludidos pela taxa de juros oferecida para empréstimos e financiamentos, as instituições financeiras devem informar além da taxa de juros, o custo efetivo total (CET), que é uma taxa efetiva que já incorpora os juros e quaisquer custos adicionais do empréstimo. Vide a oferta do exemplo meramente ilustrativo abaixo e responda as questões. a. Todas as informações são verdadeiras? b. A taxa de juros apresentada é nominal ou efetiva? c. Qual o total de juros? d. Qual o total de outras despesas? e. Você acha que as condições dessa oferta são boas? 6.7 Taxa over A taxa over é uma taxa de juros nominal cuja capitalização ocorre apenas nos dias úteis15. Geralmente é informada como (360/252), ou seja, pressupõe um ano comercial (360 dias) ao ser informada como taxa nominal, mas sua capitalização é diária 14 Exemplos comuns de investimentos com remuneração híbrida são os títulos do governo federal, como pode ser visto no site do Tesouro Direto. 15 Eventualmente pode-se falar em taxa over efetiva. Neste caso, a taxa é efetiva para os dias úteis compreendidos na periodicidade informada. EMPRÉSTIMO PESSOAL ONLINE: Prazo de pagamento de 6 a 24 meses. Taxa de juros podem variar entre 1,60% a 9,95% (ao mês). Antes de contratar sua linha de crédito, consulte Custo Efetivo Total, as taxas de juros, tributos, tarifas, pagamentos a terceiros, seguros e demais condições específicas. Exemplo meramente ilustrativo: Valor do Empréstimo: R$ 10.000,00 + IOF: R$ 319,32 = Valor Total do Empréstimo: R$ 10.319,32. Prazo: 24 meses. Parcela Mensal: R$753,30. Taxa de Juros Mensal: 4,59% a.m. Taxa CET Mensal: 4,88%. Taxa CET Anual: 71,34%. Crédito sujeito a análise. Use o crédito de forma consciente. As taxas reais serão apresentadas em tempo de proposta. Crédito sujeito a análise. Use o crédito de forma consciente. Fonte: https://www.justonline.com.br/ apenas nos dias Uteis (252 dias). Para entender melhor é preciso esclarecer que ao trabalhar com taxas em base didria podemos ter 0 ano como: e Ano civil —> 365 dias e Ano comercial —> 360 dias e Ano “util” (sé dias Uteis) —> 252 dias Na pratica, as taxas Selic e DI sao exemplos de taxas com capitalizagdo apenas em dias Uteis, divulgadas habitualmente como taxas over. O histdrico das taxas DI e Selic pode ser obtido em: <http://www.b3.com.br/pt_br/market-data-e-indices/indices/indi ces-de-segmentos-e-setoriais/serie-historica-do-di.htm> Exemplo: qual a taxa over (360/252) equivalente a taxa efetiva de 10% a.a.? Calculo da taxa efetiva didria a partir da taxa nominal anual Notar: 1 ano = 360 dias i Fator de capitalizacao anual ef etivo @s2) €@ + 10%) (1 1 taxa over (360/252 } 0 = 360 \ Capitalizagdo da taxa 1 over diaria por 1 ano taxa over (360/252) =| (1 + 10%)252 —1]} X 360) Notar: 1 ano = 252 dias taxa over (360/252) = 13,6183% a.a. Importante! Quando se trabalha com a conversdo de taxa anual para diaria, o ideal é considerar pelo menos 9 casas decimais ou 7 casas percentuais. 7 - Métodos de analise de fluxo de caixa (TIR e VPL) Até aqui apresentamos como fazer contas com valores financeiros e movimenta- los ao longo do tempo em funcdo de uma dada taxa de juros (ou taxa de desconto). Abordamos, ainda, a representacdo de entradas e saidas em um fluxo financeiro, mas nao exploramos como analisa-los ou compara-los. Os principais métodos de andlise de um fluxo de caixa sdo o valor presente liquido (VPL) e a taxa interna de retorno (TIR)*°. A ideia de ambos foi abordada ao longo da apostila e agora eles sdo apresentados formalmente. 16 Q VPL também é conhecido como NPV (net presente value) e a TIR, como IRR (internal rate of return). ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 38 ACA226-Matemática Financeira (2021.1) - Turma C 39 7.1 Valor presente líquido (VPL) O valor presente líquido (VPL) nada mais é do que a soma do valor atual (valor presente) de todas as entradas e saídas do fluxo de caixa, inclusive, do valor investido no período inicial (na data zero). Para cálculo do VPL, todas as entradas e saídas devem, então, ser levadas à mesma data, que será considerada o período inicial ou zero, através de uma taxa de desconto. É importante respeitar o sinal das entradas e saídas! Geralmente, valores que saem do caixa (investimentos, pagamentos, despesas, entre outros) são considerados valores negativos e valores que entram no caixa (receitas, valores residuais, entre outros) são considerados valores positivos. Temos, então, a seguinte definição: 𝑽𝑷𝑳 = 𝑭𝑪𝟎 + 𝑭𝑪𝟏 (𝟏 + 𝒊) + 𝑭𝑪𝟐 (𝟏 + 𝒊)𝟐 + ⋯ + 𝑭𝑪𝒏 (𝟏 + 𝒊)𝒏 Onde: FC0 = fluxo de caixa no período zero (normalmente, o valor investido); FCi = fluxo de caixa no período i i = taxa de desconto. Note que no caso de um empréstimo, como o exemplo de R$ 5.100,00 apresentado ao falarmos de fluxos financeiros, o VPL é nulo caso a taxa de desconto seja a mesma taxa de financiamento. 7.2 Taxa interna de retorno (TIR) Quando todos os valores de um fluxo são conhecidos e quisermos saber qual a taxa por trás dele, como no exemplo do empréstimo de R$ 5.100,00, estamos em busca da taxa interna de retorno (TIR) do fluxo. Ou seja, da taxa de desconto que leva o valor atual das entradas e saídas de caixa a se igualarem ao valor do investimento inicial, isto é, a taxa de desconto que faz com que o VPL seja igual a zero. No caso do empréstimo, a mesma taxa é vista pelo devedor como uma taxa de financiamento e, pelo credor, como uma taxa de retorno, que representa a rentabilidade de seu investimento. Ainda no exemplo do empréstimo, vimos que não existe uma expressão direta para o cálculo da taxa, portanto, ela é obtida através de uma otimização em calculadoras e planilhas ou por aproximação no cálculo a mão, considerando a seguinte equação: 𝟎 = 𝑭𝑪𝟎 + 𝑭𝑪𝟏 (𝟏 + 𝑻𝑰𝑹) + 𝑭𝑪𝟐 (𝟏 + 𝑻𝑰𝑹)𝟐 + ⋯ + 𝑭𝑪𝒏 (𝟏 + 𝑻𝑰𝑹)𝒏 ACA226-Matemática Financeira (2021.1) - Turma C 40 8 - Uso de planilhas eletrônicas e calculadoras em operações financeiras O estudo da matemática financeira exige constantemente que sejam efetuados cálculos com potenciação e radiciação em função do regime de juros compostos, que rege o deslocamento do valor do dinheiro no tempo. Felizmente, existem calculadoras financeiras e fórmulas em planilhas eletrônicas com esses cálculos embutidos internamente, sendo necessário apenas conhecer o arcabouço conceitual da matemática financeira e o funcionamento dessas ferramentas para resolver a maioria das questões que abordam o valor do dinheiro no decorrer do tempo. 8.1 Calculadora financeira A calculadora financeira de referência é a HP12C, que pode ser adquirida em sua versão física, aplicativos para o celular ou versões web. Seu guia do usuário é bastante claro e apresenta o passo a passo de diversas questões. Algumas dicas e lembretes de uso são:  note que a tecla “f” acessa os comandos em laranja e a tecla “g” acessa os comandos em azul;  sempre limpe a memória antes de iniciar cálculos, apertando as teclas “f” “REG”;  informar primeiro os valores (utilizar “ENTER” para salvar) e, após, a operação pretendida;  para alterar o sinal de qualquer número (positivo para negativo e vice-versa), basta apertar “CHS”;  quando utilizada a tecla “i” para entrada de taxa de juros, desconsiderar o “%”, ou seja, se a taxa é de 10%, informar 10 “i” (caso informe 0,1 “i”, a calculadora entenderá que é 0,1%);  o número máximo aceito para a tecla “Nj” é 99, assim, caso precise utilizar para um número maior, basta entrar novamente com o valor de “Cj” e complementar com o “Nj” faltantes (Não devemos usar neste curso, mas fica a dica para o curso de Análise de Investimentos, por exemplo.);  a configuração padrão dos cálculos considera séries de pagamento postecipadas, ou seja, fluxos ao fim de cada período, mas caso haja dúvida sobre a configuração, basta clicar “g” “END”;  ao clicar em “g” “BEG”, a calculadora passa a considerar os fluxos no início de cada período, ou seja, funciona como séries antecipadas. A principal função da HP12C necessária para os cálculos apresentados nessa apostila envolve as seguintes entradas: “n” : número de períodos; “i” : taxa de juros ao periodo; “PV” : valor presente (VP); “FV” : valor futuro (VF); “PMT” : pagamento ou recebimento constante (R). Uma vez informado 3 ou 4 desses valores, basta clicar no remanescente para obter seu valor. Valores nao informados sdo considerados nulos. Importante! Tanto a HP12C quanto as planilhas consideram que o VPL dos fluxos é igual zero, portanto, o sinal das entradas e saidas das formulas nao deve ser assumido como real de imediato, mas interpretado de acordo com o contexto dos calculos que estado sendo feitos. Tomemos o exemplo do investimento de RS 1.000,00 que rende 1% ao més no regime de juros compostos, qual o valor do investimento ao final de 1 ano? Na HP12C, basta informar: 1.000 “PV”; 1 “i”; 12 “n” e clicar em “FV”. A saida da calculadora sera: -1.126,82 Quer dizer o investimento sumiu e tornou-se um prejuizo? Nao! E preciso interpretar o resultado! O valor do investimento ao final de um ano é RS 1.126,82. Como o valor de RS 1.000,00 foi investido, para evitar duvidas, deveriamos ter considerado ele uma saida de caixa e, assim, atribuido o sinal negativo. Teriamos, entdo: 1.000 CHS “PV”; 1 “i”; 12 “n” eclicar em “FV”. A saida da calculadora seria: 1.126,82. Para que nao fique duvidas sobre a questdo de sinais, tenha sempre em mente que tanto na HP12C quanto em planilhas, ao usar as funcgdes de séries uniformes, os calculos sdo feitos a partir da seguinte formula (entradas da HP12C): 0=PV+ > mw + FV — (1 + i%) n No caso de fluxos nado uniformes, deve-se usar: “CFo” : fluxo no periodo zero (ou investimento); “CF;” : fluxo no periodo j; “Nj” : numero de vezes que o fluxo em j se repete; f “IRR” : para calculo da TIR; f “NPV” : para calculo do VPL. 8.2 Planilhas eletrénicas As planilhas eletrénicas possuem formulas financeiras que fazem, em geral, os mesmos calculos que a HP12C, sendo necessario apenas entender as entradas das formulas. Uma diferencga importante das planilhas eletr6nicas em relagdo a HP12C é que ACA226-Matematica Financeira (2021.1) - Turma C 41 ACA226-Matemática Financeira (2021.1) - Turma C 42 enquanto na calculadora utilizamos as mesmas teclas para entrar os valores e apertamos no final a tecla do valor que queremos obter, nas planilhas eletrônicas há uma fórmula diferente para cada valor que se quer obter. Outra diferença importante é que nas planilhas, não se pode desconsiderar o “%” nas taxas, deve-se informar o valor da taxa com sinal de “%” ou sua representação decimal. Vejamos alguns exemplos de fórmulas e equivalência dos nomes das entradas: O que se quer obter (referência HP12C) Fórmula (planilhas) PMT pgto FV vf PV vp N nper I taxa IRR TIR NPV VPL17 As planilhas possuem diversas outras funções financeiras, mas é importante ler as informações sobre cada uma para entender seu funcionamento. Na dúvida, vale testar com exemplos cujo o resultado já seja conhecido ou tenha sido obtido pela aplicação de fórmula ou calculadora financeira para conferência. Importante! Quando forem usadas as funções para cálculo de TIR e VPL, caso não haja entradas ou saídas em algum período, é preciso informar 0 (zero). Referências bibliográficas ASSAF NETO, A. Matemática Financeira: edição universitária. São Paulo: Atlas, 2017. (Disponível em versão e-Book.) BOGGISS, G. J. et al. Matemática Financeira. 11. ed. Rio de Janeiro: Editora FGV, Série Gestão Empresarial, 2012. (Disponível em versão e-Book.) HEWLETT–PACKARD COMPANY. hp 12c calculadora financeira: guia do usuário. 4. ed. San Diego: Hewlett–Packard Company, 2004. 218p. Disponível em: <http://h10032.ww w1.hp.com/ctg/Manual/bpia5239.pdf>. Acesso em: 25 jan. 2021. Outras fontes de consulta <http://www2.unemat.br/eugenio/financeira.html> (Apresentação dos principais conceitos e exercícios de Matemática Financeira, bem como do uso de calculadora e planilhas; curso do professor Eugênio Carlos Stieler, da UNEMAT.) 17 Atenção! Ao usar a fórmula VPL de planilhas, o valor do fluxo no período zero deve ser somado por fora, pois a fórmula considera o primeiro fluxo informado no período 1. ACA226-Matemática Financeira (2021.1) - Turma C 43 <http://www.drcalc.net/Index.asp> (Cálculos financeiros e índices diversos. Atenção: não confiar nos cálculos sem conferência!) <https://www.bcb.gov.br/cidadaniafinanceira> (Obs.: os conteúdos deste site não abordam os cálculos formais apresentados na matéria, mas contribuem para reflexão sobre os conceitos financeiros, sobretudo, no âmbito de finanças pessoais.)