Aula Movimento Molecular Aleatório

EQE 476 – Transferência de Massa Prof. Cristiano Borges Escola de Química - UFRJ Setembro / 2022 Programa de Engenharia Química COPPE – Universidade Federal do Rio de Janeiro Transferência de Massa: Movimento molecular aleatório Mistura de “i” espécies + Gradiente (Força) ➔ Difusão Fi força promovendo movimento força se opondo Fi ' ao movimento Fi Gradiente de um potencial: Fi ’ Força de fricção (viscosas/atrito): - Ñmi Nav (energia/molécula) bij – Coeficiente de fricção/atrito 𝜷𝒊𝒋 (𝑼𝒊- 𝑼𝒋) Transferência de Massa: Velocidade média em direção a interface EQE 476 – Transferência de Massa EQE 476 – Transferência de Massa Fi força promovendo movimento força se opondo Fi ' ao movimento Fi Gradiente de um potencial: - Ñmi Nav (energia/molécula) - Ñmi Nav = - Ñ(RT lnai) Nav = - Ñ(RT lngixi) Nav Solução ideal: gi = 1 - Ñmi Nav = - kTÑ(xi) xi Uma direção (z) - Ñmi Nav = - kT xi dxi dz EQE 476 – Transferência de Massa Fi força promovendo movimento força se opondo Fi ' ao movimento Fi ’ Força de fricção (viscosas/atrito): bi(Ui -U j) bi – Coeficiente de fricção/atrito Efeito de população: Fração molar EQE 476 – Transferência de Massa Fi força promovendo movimento força se opondo Fi ' ao movimento Fi ’ = Fi Dij = kT bij Equação de Maxwell - Stefan Coef. de difusão de Maxwell – Stefan: EQE 476 – Transferência de Massa Fi força promovendo movimento força se opondo Fi ' ao movimento Fi ’ = Fi Multiplicando por Conc. molar total (c) Equação de Maxwell - Stefan EQE 476 – Transferência de Massa Fi força promovendo movimento força se opondo Fi ' ao movimento Equação de Maxwell - Stefan (Solução ideal) Binário e diluído (xj → 1): Uj → UM Ni → Ji xi (Ui -U M ) Dij = - dxi dz Multiplicando por Conc. molar total (c) ci(Ui -U M ) = -Dij dci dz EQE 476 – Transferência de Massa Fi força promovendo movimento força se opondo Fi ' ao movimento Equação de Maxwell - Stefan (Solução ideal) Binário e diluído (xj → 1): Uj → UM Ni → Ji xi (Ui -U M ) Dij = - dxi dz 1ª Lei de Fick Ji = -Dij dci dz EQE 476 – Transferência de Massa Equação de Maxwell - Stefan (Solução ideal) 1ª Lei de Fick Ji = -Dij dci dz - Solução ideal - Binário - Diluído EQE 476 – Transferência de Massa Dij = kT bij Coef. de difusão de Maxwell – Stefan: Dij = kT bij = kT mij mij - mobilidade de “i” em “j” Einstein (Stokes): mij = 1 6p ri hj ri - raio (tamanho) de “i” hj – viscosidade de “j” Dij = kT 6p r ihj Coef. Difusão de Stokes - Einstein Equacionamento da Transferência de Massa: Lei da Conservação de Massa Macroscópico Microscópico # propriedades médias (posição) # Coordenadas espaciais # equações diferencias simples # Manipulação matemática (computacional) # sem descrição detalhada # descrição mais precisa EQE 476 – Transferência de Massa Equacionamento da Transferência de Massa: Balanço Macroscópico EQE 476 – Transferência de Massa Equacionamento da Transferência de Massa: Balanço Macroscópico EQE 476 – Transferência de Massa Equacionamento da Transferência de Massa: Balanço Macroscópico Q C =0 Q C (t) Vo Ct=0 = Co Mistura perfeita EQE 476 – Transferência de Massa Equacionamento da Transferência de Massa: Balanço Macroscópico Q C =0 Q C (t) Vo Ct=0 = Co Mistura perfeita EQE 476 – Transferência de Massa d V.C ( ) dt = Q.Centra -Q.C(t) V. dC dt = 0 -Q.C(t) dC C = -Q V dt Þ ln(C) = -Q V t + K Condição inicial: t = 0 C = Co K = ln(Co) C = Co.exp(-Q V .t) Equacionamento da Transferência de Massa: Lei da Conservação de Massa Macroscópico Microscópico # propriedades médias (posição) # Coordenadas espaciais # equações diferencias simples # Manipulação matemática (computacional) # sem descrição detalhada # descrição mais precisa EQE 476 – Transferência de Massa Equacionamento da Transferência de Massa: Balanço Microscópico a) Balanço de massa em um elemento de volume Equação diferencial de primeira ordem  Fluxo e distribuição de massa b) Inclusão da relação: fluxo de massa e gradiente de concentração Equação diferencial de segunda ordem   condições de contorno Perfil de concentração EQE 476 – Transferência de Massa Balanço Microscópico a) Balanço de massa em um elemento de volume Reação homogênea (balanço): RA=kn ’’’.CA n (mols/cm3.s) Reação heterogênea (contorno): NA|superfície= kn ’’.CA|superfície (mols/cm2.s) reação homogênea EQE 476 – Transferência de Massa Balanço Microscópico a) Balanço de massa em um elemento de volume ¶rA ¶t .Dx.Dy.Dz = nAx|x -nAx|x+Dx ( ).Dy.Dz + nAy|y -nAy|y+Dy ( ).Dx.Dz+ nAz|z -nAz|z+Dz ( ).Dy.Dx + + RA V.Dx.Dy.Dz EQE 476 – Transferência de Massa nA – massa/tempo.área Balanço Microscópico a) Balanço de massa em um elemento de volume dividindo por Dx.Dy.Dz : Limite D➔0 EQE 476 – Transferência de Massa Balanço Microscópico a) Balanço de massa em um elemento de volume ¶rA ¶t + Ñ.nA ± RA V = 0 ou, ¶rA ¶t + Ñ.(rAU A )± RA V = 0 ¶rB ¶t + Ñ.nB ± RB V = 0 EQE 476 – Transferência de Massa Balanço Microscópico a) Balanço de massa em um elemento de volume ¶(rA + rB) ¶t +Ñ.(nA +nB)±(RA V + RB V ) = 0 ¶rA ¶t + Ñ.nA ± RA V = 0 ou, ¶rA ¶t + Ñ.(rAU A )± RA V = 0 ¶rB ¶t + Ñ.nB ± RB V = 0 EQE 476 – Transferência de Massa Balanço Microscópico a) Balanço de massa em um elemento de volume ¶(rA + rB) ¶t +Ñ.(nA +nB)±(RA V + RB V ) = 0 ¶(rA + rB) ¶t +Ñ.(r.U m) = 0 Equação da continuidade multicomponente Conservação de massa ¶rA ¶t + Ñ.nA ± RA V = 0 ou, ¶rA ¶t + Ñ.(rAU A )± RA V = 0 ¶rB ¶t + Ñ.nB ± RB V = 0 EQE 476 – Transferência de Massa Balanço Microscópico b) Inclusão da relação: Fluxo de massa e gradiente de concentração na =-rDABÑw A+wA(nA +nB) Fick ¶rA ¶t + Ñ.nA ± RA V = 0 ou, ¶rA ¶t + Ñ.(rAU A )± RA V = 0 ¶rB ¶t + Ñ.nB ± RB V = 0 EQE 476 – Transferência de Massa Balanço Microscópico b) Inclusão da relação: Fluxo de massa e gradiente de concentração na =-rDABÑw A+wA(nA +nB) Fick ¶rA ¶t + Ñ.nA ± RA V = 0 ou, ¶rA ¶t + Ñ.(rAU A )± RA V = 0 ¶rB ¶t + Ñ.nB ± RB V = 0 Ausência de Reação: pequeno EQE 476 – Transferência de Massa Balanço Microscópico Mássico: Molar: # sem reação # CAUM pequeno # DA e c constantes: # regime estabelecido: ¶CA ¶t = cDAÑ2xA Ñ2CA = 0 2a Lei de Fick EQE 476 – Transferência de Massa EQE 476 – Transferência de Massa A. Molar Flux of Species A in Various Coordinate Systems Rectangular coordinates: ∂CA/∂t + (∂NAx/∂X + ∂NAy/∂Y + ∂NAz/∂Z) = ṘA Cylindrical coordinates: ∂CA/∂t + [1/r(∂(rNA,r)/∂r) + 1/r ∂NAθ/∂θ + ∂NAz/∂Z] = ṘA Spherical coordinates: ∂CA/∂t + [1/r²(∂(r²NAr)/∂r) + 1/r sinθ ∂(NAθ sinθ)/∂θ + 1/r sinθ ∂NAϕ/∂ϕ] = ṘA B. Continuity Equations of Species A for Constant ρ and DAB* Rectangular coordinates: ∂CA/∂t + (Umx ∂CA/∂X + Umy ∂CA/∂Y + Umz ∂CA/∂Z) = DAB(∂²CA/∂X² + ∂²CA/∂Y² + ∂²CA/∂Z²) + ṘA Cylindrical coordinates: ∂CA/∂t + (Umr ∂CA/∂r + Umθ 1/r ∂CA/∂θ + Umz ∂CA/∂Z) = DAB[1/r ∂/∂r(r ∂CA/∂r) + 1/r² ∂²CA/∂θ² + ∂²CA/∂Z²] + ṘA Spherical coordinates: ∂CA/∂t + (Umr ∂CA/∂r + Umθ 1/r ∂CA/∂θ + Umϕ 1/r sinθ ∂CA/∂ϕ) = DAB[1/r² ∂/∂r(r² ∂CA/∂r) + 1/r² sinθ ∂/∂θ(sinθ ∂CA/∂θ) + 1/r² sin²θ ∂²CA/∂ϕ²] + ṘA Balanço Microscópico b) Inclusão da relação: Fluxo de massa e gradiente de concentração Maxwell - Stefan S j=1 j¹i n xjNi - xiN j Dij = -Ñxi Sistema de equações Solução numérica EQE 476 – Transferência de Massa ¶CA ¶t +Ñ.NA ± RA V = 0 Balanço de massa/mols