Slide - Condução Transiente Unidimensional 2021-2

Método ε-NUT em CP Considere um TC em correntes paralelas e para o qual C_{min} = C_q ε = \frac{(T_{q,ent}-T_{q,sai})}{(T_{q,ent}-T_{f,ent})} = \frac{(T_{f,sai}-T_{f,ent})}{(T_{q,ent}-T_{f,ent})} Também podemos escrever, pelas equações de balanço \frac{C_{min}}{C_{max}} = \frac{\dot{m}_q c_{p,q}}{\dot{m}_f c_{p,f}} Método ε-NUT em CP Retomando a relação entre as diferenças de temperaturas ln\left(\frac{ΔT_2^2}{ΔT_1}\right) = -UA\left(\frac{1}{C_q}+\frac{1}{C_f}\right) Reescrevendo: ln\left(\frac{T_{q,sai}-T_{f,sai}}{T_{q,ent}-T_{f,ent}}\right) = \frac{UA}{C_{min}}\left(1 + \frac{C_{min}}{C_{max}}\right) Denife-se o Número de unidades de transferência: NUT = \frac{UA}{C_{min}} Relações de ε-NUT T_{q,sai}-T_{f,sai} = T_{q,ent} - T_{q,ent} + T_{q,ent} - T_{f,ent} Somando e subtraindo T_{q,ent} do numerador, substituindo a equação da efetividade para T_f, rearranjando os termos no lado esquerdo da equação: \frac{T_{q,sai}-T_{f,sai}}{T_{q,ent}-T_{f,ent}} = exp\left(-NUT\frac{C_{min}}{C_{max}}\left(1+\frac{C_{min}}{C_{max}}\right)\right) Camada limite térmica Caso haja diferença entre o perfil de temperatura do fluido na corrente livre e a temperatura superficial Ts, haverá transferência de calor entre as camadas de fluido. Podemos estender o conceito de camada limite para esse caso. A influência da temperatura se propaga até um altura δt. Camada limite térmica Junto à parede, a velocidade é z à T.C. se dá por condução, valendo a lei de Fourier: q''sup = -kf ∂T/∂y |y=0 Combinando com a lei do resfriamento de Newton, temos: h = -kf ∂T/∂y |y=0 / (Ts - T∞) Determinação de h Número de Nusselt Nu = hL/kf ṇu = f4(x*, ReL, Pr) Para uma dada superfície, buscamos uma função analítica ou experimentalmente parametrizada em ReL e Pr. De tal modo que: h = ḡNukf / L ṇu = f5(ReL, Pr) Importante para os exercícios de convecção Identificar o caso! Regime laminar ou turbulento? Qual o Sistema? Interno ou externo, natural ou forçado, mudança de fases? Temperatura constante ou fluxo na superfície constante? Buscar a correlação correta. Verificar a temperatura correta para o cálculo das propriedades! Projeto de trocadores de calor Para um projeto eficiente, precisamos relacionar a taxa de transferência de calor com quantidades relevantes: • Vazões dos fluidos quente e frio - \(\dot{m}\) • Temperaturas de entrada - \(T_{q,ent}, T_{f,ent}\) • Área de troca térmica - \(A\) • Coeficiente global de transferência de calor - \(U\) Média log da diferença de temperaturas Seja o trocador de calor em correntes paralelas Projeto de trocadores de calor Balanço de energia nos fluidos quente e frio se dá por: \(q = \dot{m}_q(i_{q,ent} - i_{q,sai})\) \(q = \dot{m}_f(i_{f,sai} - i_{f,ent})\) \(i_{q,ent} =\) entalpia do fluido quente na entrada \(i_{q,sai} =\) entalpia do fluido quente na saída \(i_{f,sai} =\) entalpia do fluido frio na saída \(i_{f,ent} =\) entalpia do fluido frio na entrada Simplificação: desprezamos os efeitos de energia potencial e cinética e trocas com o meio condução axial ao longo do tubo é desprezível Sem mudança de fases, podemos reescrever a entalpia como função da temperatura. Equações de balanço válidas para QUALQUER tipo de troca \(q = \dot{m}_qc_{p,q}(T_{q,ent} - T_{q,sai})\) \(q = \dot{m}_fc_{p,f}(T_{f,sai} - T_{f,ent})\) Hipótese simplificadora, \(U\) e \(c_p\) são constantes Operação em correntes paralelas - CP C_q e C_f são as taxas de capacidade Para um elemento diferencial no trocador dq = -ṁ_q c_pq dT_q = -C_q dT_q dq = ṁ_f c_pf dT_f = C_f dT_f Área da superfície de transferência de calor Operação em correntes paralelas - CP Mas também sabemos que dq = UΔTdA Diferença local de temperatura ΔT = T_q - T_f ln(ΔT_2/ΔT_1) = -UA(1/C_h + 1/C_c) Substituindo para dq e integrando, na área, temos: d(ΔT) = -dq(1/C_q + 1/C_f) Operação em correntes paralelas - CP Substituindo-se C_q e C_f em função das temperaturas de entrada e saída ln(ΔT_2/ΔT_1) = -UA(1/q (T_q,ent - T_q,sai - T_f,sai - T_f,ent)) Rearranjando: ΔT_2/ΔT_1 ΔT_1 = ((T_q,ent - T_f,ent) - (T_q,sai - T_f,sai)) Operação em correntes paralelas Média logarítmica das diferenças de temperatura de entrada Finalmente, q = UA \frac{\Delta T_2 - \Delta T_1}{\ln(\frac{\Delta T_2}{\Delta T_1})} Trocadores em passos múltiplos e corrente cruzada Média log da diferença de temperaturas com passos múltiplos ou em correntes cruzada Utiliza-se um fator de correção da equação de média-log \Delta T_{m}\, = F\Delta T_{m,cc} \Delta T_{m,cc}: média logarítmica das diferenças de temperaturas para um trocador operando em contracorrente O fator F depende da geometria e é obtido das figuras correspondentes ao trocador de calor. Para um dos fluidos com Tc=constante, F=1, independente do arranjo. Trocador Casco e Tubo Um passe no casco e múltiplos de 2 nos tubos Relações de ε-NUT Somando e subtraindo T_{q,ent} do numerador, substituindo a equação da efetividade para T_{f,sai} e rearranjando os termos no lado esquerdo da equação: T_{q,sai} - T_{f,sai} = T_{q,ent} - T_{q,ent} + T_{q,ent} - T_{f,ent} T_{q,ent} - T_{f,ent} T_{q,ent} - T_{f,ent} T_{q,sai} - T_{f,sai} = T_{q,ent} - T_{f,ent} T_{q,ent} - T_{f,ent} ε = 1 - ε + 1 - ( \frac{C_{min}}{C_{max}} ) ε = 1 - ( \frac{C_{min}}{C_{max}} ) ε = 1 - ε + 1 - ( \frac{C_{min}}{C_{max}} ) ε = 1 - ( \frac{C_{min}}{C_{max}} ) ε = 1 - ε + 1 - ( \frac{C_{min}}{C_{max}} ) ε = 1 - ( \frac{C_{min}}{C_{max}} ) ε = 1 - ε + 1 - ( \frac{C_{min}}{C_{max}} ) 1 - ε ( 1 + \frac{C_{min}}{C_{max}} ) = exp(-NUT ( \frac{1+C_{min}}{C_{max}} )) Relações de ε-NUT em CP 1 - ε ( 1 + \frac{C_{min}}{C_{max}} ) = exp(-NUT(1) ( \frac{C_{min}}{C_{max}} ) ) 1 - exp(-NUT ( \frac{C_{m}}{C_{m}}( \frac{C_{min}}{C_{max}} ))) ε = 1 - ε (1 - exp(-NUT ( \frac{1 + C_{m}}{C_{m}} ))) - Expresão para a efetividade de um TC em CP. - Uma expressão igual seria deduzida se C_{min} = C_{f}. - A eq. se aplica a qualquer TC em CP, independente de qual fluido tem C_{min}. - A efetividade do TC depende das vazões mássicas, dos cps, U e A, mas não depende das temperaturas. C_{r} = \frac{C_{min}}{C_{max}} Quando há mudança de C_{max} \to \infty C_{r} \to 0 Para passos múltiplos NUT = n(NUT) Tabela 11.3: Relações de efetividade de TC's Configuração de escoamento Relação Tubos Concêntricos Escoamento em paralelo Escoamento em contracorrente Casco e tubos Um passe no casco (n passes nos tubos) (n passos no casco \frac{1}{C_{r}} \frac{1}{C_{r}} (n passos nos tubos) Escoamento cruzado (último passe) Ambos os fluidos (não-misturado) C_{max} (misturado), C_{min} (não-misturado) C_{min} (misturado), C_{max} (não-misturado) Todos os trocadores (C_{r} = 0) EXERCICIO 1 Para o fluido frio, \( C_f = \dot{m} c_{p, f} = 1.17 \times 2 \times 0.25 \times 1007 = 589 \ \text{W/K} \) Para o fluido quente, temos condensação \( C_q = C_{\text{max}} \) \( q_{\text{max}} = C_{\text{min}} (T_{q, \text{ent}} - T_{f, \text{ent}}) = 8836 \ \text{W} \) \( \frac{C_{\text{min}}}{C_{\text{max}}} = 0 \) \( q = \dot{m} q h_{fg} = 0.015 \times 1.35 \times 10^5 = 2025 \ \text{W} \) \( \varepsilon = \frac{q}{q_{\text{max}}} = 0,229 \) EXERCICIO 1 \( \varepsilon = \frac{q}{q_{\text{max}}} = 0,229 \) \( A = \frac{NUT}{U} \) \( \frac{C_{\text{min}}}{U} \) \( A = \frac{C_{\text{min}}}{U (1 - \varepsilon)} \) \( q = C_{\text{min}} (T_{f, \text{sai}} - T_{f, \text{ent}}) \) \( T_{f, \text{sai}} = 33.4 \ C \) \( A = 3.067 \ m^2 \) EXERCICIO 2 Hipóteses: 1) Estado estacionário 2) Escoamento completamente desenvolvido 3) Fluido incompressível 4) Sangue pode ser aproximado por água 5) Resistência da parede desprezível Você foi requisitado para efetuar um estudo de viabilidade do projeto de um aquecedor de sangue para ser usado durante processamentos de transfusão de sangue. Esse trocador deve aquecer o sangue obtido do banco de sangue de 10°C a 37°C, uma vazão de\( 200 mL/min \), ao passar o sangue por dentro de um tubo com seção transversal retangular, 6.4 mm e 1.6 mm formado entre duas placas que são mantidas a uma temperatura constante de 40°C. (a) Calcule o comprimento do tubo necessário para atingir as especificações desejadas, em um projeto adequado e eficiente. Considere o escoamento completamente desenvolvido e que o sangue possua as mesmas propriedades da água. Comprimento do tubo PROPERTIES: Table A-6, Water (Tm ≈ 300 K): cpf = 4179 J/kg·K, ρf = 997 kg/m3 q = mcp (Tm,sai – Tm,i) = hAΔTLM ΔTLM = 11.7 °C Calcular Re: Re = 973 μf = 8.58 × 10−4 kg/m·s, k = 0.613 W/m·K, Pr = 5.83. Dh = 4Ac / P Laminar Comprimento do tubo Para uma superfície de temperatura constante e escoamento completamente desenvolvido Nu = hDh / k Nu = hDh / k = 4.44 b/a = 1.6 = 4 h = 1063 W/m²K Comprimento do tubo q = mcp (Tm,sai – Tm,i) = hAΔTLM Calculamos As e depois L As = PL L = 1.9 m