Lista - Grupos e Subgrupos e Classes - 2024-1

Demonstre que o subconjunto 024 de ℤ₆ com as operações de ℤ₆ é um subgroupo de ℤ₆ Demonstre que este subgrupo é o ℤ₃ Considere o grupo dos inteiros ℤ com operações usuais Demonstre que o subconjunto de ℤ dos múltiplos de 5 5ℤ é um subgrupo normal de ℤ Determine o subgrupo ℤ5ℤ Ou seja as classes de equivalência de ℤ tomadas pelo subgrupo normal 5ℤ Encontre todos os elementos x de ℤ₄ tal que x ℤ₄ x Z₄ Z₄ 0 1 2 3 Encontre todos os subgrupos de Z₅ Z₅ Z₅ 0 1 2 3 4 5Z 5k k Z Primeiro vamos identificar todos os subgrupos cíclicos gerados pelos elementos de Z₈ Um subgrupo cíclico gerado por um elemento a é dado por a ka k Z Portanto os subgrupos distintos de Z₈ são 0 subgrupo trivial 0 4 0 2 4 6 0 1 2 3 4 5 6 7 Z₈ todo grupo é um subgrupo dele mesmo Se H é um subgrupo de Z₆ então devemos mostrar que as seguintes condições são satisfeitas i h₁ h₂ H para quaisquer h₁ h₂ H ii h¹ H para todo h H 1 continuação Veja que f00 f0 0 0 0 f0 f0 f02 f2 1 0 1 f0 f2 f04 f4 2 0 2 f0 f4 f22 f4 2 1 1 f2 f2 f44 f8 f2 1 e f4 f4 2 2 4 1 f44 f4 f4 f24 f6 f0 0 e f2 f4 1 2 3 0 f24 f2 f4 Logo f é bijetora e portanto os subconjuntos 0 2 4 isomorfa a ℝ₃ 0 1 2