Álgebra 1 Atividade 1

MAT 1525 ÁLGEBRA I Tarefa I 1 15 p Provar que o conjunto de matrizes n n Scn R λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ λ R 0 é subgrupo de GLn R GLn R é grupo de todas as matrizes n n invertíveis com entradas de R com operação da multiplicação de matrizes Provar que Scn R R 0 1 1 2 15 p Consideramos dois grupos R 0 1 1 e R 1 1 onde R r R r 0 Provar que a aplicação φ R 0 R tal que r R 0 φ r r é homomorfismo de grupos Computar ker φ e im φ 3 3 p Seja G um grupo e H G Provar que os seguintes condições são equivalentes i H G ii x G xH Hx iii L H R H As definições de L H e R H vê o slide 8 do arquivo grupospptx 4 2 p Seja G um grupo Provar que Z G g G x G xg gx é subgrupo normal de G Z G se chama centro de G 5 2 p Seja G um grupo Provar que a G 1G G b GG 1G Trabalho 1 Passo 1 Mostrar que Scn IR é subgrupo de GLn IR Precisamos verificar 3 condições 1 Fechamento Se A B Scn IR então AB Scn IR Sejam A λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ e B μ 0 0 0 μ 0 0 0 μ onde λ μ IR 0 Então AB λμ 0 0 0 λμ 0 0 0 λμ Como λμ IR 0 AB Scn IR 2 Identidade A matriz identidade In pertence a Scn IR In 1 0 0 0 1 0 0 0 1 pertence a Scn IR Porque 1 IR 0 3 Inverso Se A Scn IR então A1 Scn IR Seja A λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ onde λ IR 0 Então A1 1λ 0 0 0 1λ 0 0 0 1λ Como 1λ IR 0 A1 Scn IR Portanto Scn IR é um subgrupo de GLn IR Passo 2 Mostrar que Scn IR IR 0 1 1 A aplicação ϕ Scn IR IR 0 ϕ A λ onde A λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ 1 φ é um Homomorfismo Sejam A B ScnIR com φA λ e φB μ Então λμ 0 0 0 λμ 0 λB 0 0 2μ φAB λμ φAφB 2 φ é injetora Se φA φB então λ μ o que implica A B 3 φ é sobrejetora Para qualquer λ IR 0 existe A λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ ScnIR tal que φA λ Como φ é um homomorfismo bijetor ScnIR e IR 0 são isomorfos O conjunto ScnIR é um subgrupo de GLnIR e é isomorfo a IR 0 1 2 Passo 1 Provar que φ é um homomorfismo de grupos φab ab ab φaφb Portanto φ é um homomorfismo Passo 2 Computar o núcleo de φ Ker φ O Núcleo de φ é o conjunto de elementos em IR 0 que são mapeados para identidade em IR que é 1 Ker φ x IR 0 φx 1 x IR 0 x 1 11 Passo 3 Computar a imagem de φ Im φ A imagem de φ é o conjunto de todos os valores que φ pode assumir Para qualquer x IR existe r IR 0 tal que φr r r Portanto Im φ IR 3 ii i Se H G então x G xHx1 H Multiplicando ambos os lados por x à direita temos xH Hx ii i Se x G xH Hx então para qualquer x G xHx1 Hx x1 H H Portanto H G ii iii xH Hx significa que à classe lateral à esquerda xH é igual à classe lateral à direita Hx para todo x G LH xH x G e RH Hx x G Se xH Hx para todo x G então LH RH Reciprocamente se LH RH para todo x G xH Hx Portanto as 3 condições são equivalentes 4 Passo 1 Mostrar que ZG é um subgrupo de G 1 Fechamento Sejam ab ZG Então para todo x G a x x a e b x x b Precisamos mostrar que ab ZG ou seja a b x x a b para todo x G a b x a b x a x b a x b x a b x a b Portanto ab ZG 2 Identidade O elemento identidade e G troca com todos os elementos de G ou seja x e e x x para todo x G Portanto e ZG 3º Inverso Seja a ZG Então a x c x c a para todo x G Precisamos mostrar que a¹ ZG ou seja a¹ x c x a¹ para todo x G Como a x c x c a multiplicações à esquerda e à direita por a¹ temos a¹ a x c a¹ a¹ x c a a¹ que simplifica para x c a¹ a¹ x c Portanto a¹ ZG Assim ZG é um subgrupo de G Passo 2 Mostrar que ZG é um subgrupo normal de G Precisamos mostrar que para todo g G g ZG g¹ ZG Seja g ZG Então para todo g G g z g¹ ZG se g z g¹ troca com todos os elementos de G Seja x G Então x g z g¹ x g z g¹ Como z ZG x z z x Então x g z g¹ g z g¹ x g z g¹ x portanto x g z g¹ g z g¹ x o que significa que g z g¹ ZG Agora seja y ZG Precisamos mostrar que existe um z ZG tal que y g z g¹ Seja y s¹ e y s como y ZG s¹ y s s¹ y s y Portanto y y Assuma g z g¹ s g¹ y y Portanto ZG é subgrupo normal de G 5 a G1 G G A aplicação φ G1 G G por φg1 G g 1º φ é um homomorfismo φa1 G b1 G φa b1 G a b φa1 G φb1 G 2º φ é injetora Se φa1 G φb 1 G então a b o que implica a1 G b1 G 3º φ é sobrejetora Para qualquer g G existe g1 G G1 G tal que φg1 Gg Como φ é um homomorfismo bijetor G1 G G 2º ψ é injetora Se ψa G ψb G então 1 G 1 G como a G b G se e somente se a¹ b G e a¹ b G sempre é verdade então a G b G 3º ψ é sobrejetora Para qualquer 1 G 1 G existe G GG tal que ψG 1 G Como ψ é um homomorfismo bijetor GG 1 G