P2 - Equações Diferenciais 2022 1

PROVA 2 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Escreva seu nome completo com letra legível em todas as folhas entregues. Os exercícios devem ser resolvidos usando a matéria contemplada na ementa da prova. A prova deve ser escrita com seu punho e letra (em letra legível) e você deve enviar um único arquivo com todas as folhas de sua prova. Todas as respostas devem ser justificadas, resposta sem justificativa não será válida. Não esqueça que temos zero tolerância com a cola! (1) (Valor 2.5) Considere os seguintes enunciados: I) Qualquer equação diferencial com coeficientes polinomiais pode ser resolvida usando a transformada de Laplace. II) As funções analíticas são funções que não podem ser exprimidas como uma série de potencias. Podemos afirmar que: a) I e II são verdadeiras. b) I e II são falsas. c) I é verdadeira e II é falsa. d) I é falsa e II é verdadeira. (2) (Valor 2.5) A função y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n satisfaz a equação 3y"(x) + 4x y'(x) - 2x^2 y(x) = 3e^x, com y(0) = -1 e y'(0) = 1. Determine o coeficiente a_2. (3) (Valor 2.5) Usando o método de Laplace encontre a solução da equação y''(t) - 4y'(t) + 3y(t) = \left\{\begin{array}{ll} e^{t}, & 0 \leq t < 6 \\ 0, & t \geq 6 \end{array}\right. com y(0) = 0, y'(0) = 0. (4) (Valor 2.5) Determine a solução geral do seguinte sistema de equações. X' = \left(\begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 3 & -4 \end{array}\right) X