Prova - Eq Diferenciais 2021 2

Questão 1 Ainda não respondida Vale 1,50 ponto(s). Marcar questão Seja f(t) uma função satisfazendo _____ L{e^{-5t}f(t)}(s) = - \frac{1}{4} s + \frac{1}{4} \sqrt{s^2 + 64}, e seja g(t) = te^{-3t}f(t). Determine G(3), onde G(s) é a transformada de Laplace de g(t). Escolha uma opção: a. - \frac{3}{292} \sqrt{73} - \frac{1}{4} b. - \frac{1}{260} \sqrt{65} + \frac{1}{4} c. \frac{5}{356} \sqrt{89} - \frac{1}{4} d. \frac{1}{10} e. - \frac{1}{4} f. - \frac{1}{260} \sqrt{65} - \frac{1}{4} g. - \frac{3}{292} \sqrt{73} + \frac{1}{4} h. - \frac{1}{68} \sqrt{17} + \frac{1}{4} Questão 2 Ainda não respondida Vale 2,50 ponto(s). Marcar questão A transformada de laplace da função f(t) é F(s) = (\frac{2}{s} - \frac{2}{s^2}) e^{-3s} + (\frac{2}{s} + \frac{2}{s^2}) e^{-4s} + \frac{2}{s}. Esboce o gráfico de f(t). Questão 3 Ainda não respondida Vale 3,00 ponto(s). Marcar questão A função y(t) é solução da equação y''(t) + y'(t) - 2y(t) = \begin{cases} 4e^{-2t} & \text{se } 0 \leq t < 4 \\ e^{-2t} & \text{se } t \geq 4, \end{cases} sujeita às condições iniciais y(0) = y'(0) = 0. Determine y(t). A resposta precisa ser explícita, não podendo conter integrais. Justifique seu raciocínio. Questão 4 Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s). Marcar questão Para um determinado valor do parâmetro a, a solução geral do sistema \begin{cases} \frac{dx}{dt} = x - 5y \\ \frac{dy}{dt} = ax - 8y. \end{cases} pode ser escrita como \begin{cases} x(t) = Ce^{-4t} + 5De^{-3t} \\ y(t) = Ce^{-4t} + 4De^{-3t}, \end{cases} onde C e D são constantes arbitrários. 1. Determine a. 2. Usando o valor de a encontrado em 1., encontre a solução do sistema sujeito às condições iniciais x(0) = 2, e y(0) = -1. Considere um sistema de equações diferenciais \( \begin{cases} x' = ax + by \\ y' = cx + dy \end{cases} \) onde \( a, b, c, d \) são números reais que satisfazem i) A equação \( \lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc) = 0 \) possui a solução \( \lambda = \sqrt{5}i \), ii) \( c < 0 \). Qual é o retrato de fase compatível com um tal sistema? Escolha uma opção: