Lista - Resistência dos Materiais - 2023-2

Resistência dos Materiais II Lista de Exercícios Prof. Jorge A.R. Duran jorge.duran@id.uff.br 2023 Conteúdo 1 Torção de barras circulares, não circulares e perfis fechados 1 1.1 Respostas da seção 1 2 2 Concentração das tensões 4 2.1 Respostas da seção 2 4 3 Vasos de Pressão 5 3.1 Respostas da seção 3 6 4 Parafusos e Rebites 7 4.1 Respostas da seção 4 7 5 Juntas Soldadas 9 5.1 Respostas da seção 5 9 6 Tensões em Eixos 11 6.1 Respostas da seção 6 12 7 Molas Helicoidais e Barras de Torção 13 7.1 Respostas da seção 7 13 Referências 15 1 Torção de barras circulares, não circulares e perfis fechados Questão 1.1 – A figura 1.1 mostra um trem de engrenagens. A seção em F não gira. (Resp.) a) Dimensione os eixos para \( \tau_{all} = 75 MPa \) e \( T = 120 Nm \). b) Identifique se o arranjo de molas torcionais composto pelos três eixos está em série ou em paralelo. Considere que as engrenagens são elementos rígidos. c) Calcule o ângulo de giro da seção em A utilizando os diâmetros calculados em a). Considere que o comprimento dos eixos é \( L = 200 mm \) e o módulo do material \( G = 80 GPa \). Figura 1.1: Corresponde à questão 1.1 [1]. Questão 1.2 – Um eixo maciço de aço de \( d = 30 mm \) de diâmetro transmite uma potência \( Pot = 70 KW \) a \( n = 1500 rpm \). Os esforços axiais e fletores são desprezíveis. (Resp.) a) Calcule o torque \( T \) que solicita o eixo. b) Calcule a tensão nominal \( \tau \) no eixo. c) Se um eixo oco de igual comprimento e com uma relação entre os diâmetros interno e externo \( d_{int}/d_{ext} = 4/5 \) for utilizado para a mesma função, quais seriam as dimensões necessárias para obter a mesma tensão nominal do eixo maciço? d) Esboce os círculos de Mohr das tensões nos dois eixos, maciço e oco, nos pontos de tensão nominal \( \tau \). e) Compare os dois eixos em relação ao peso e à rigidez torsional e comente os resultados. Questão 1.3 – Calcule o diâmetro mínimo \( d_{min} \) e o comprimento máximo \( L_{max} \) de uma barra de torção prismática que transmite um torque \( T = 2 KNm \) e que deve ter um ângulo de torção inferior a \( \theta_{adm} = 2^\circ \). Utilize um fator de segurança de 1 tanto contra o escoamento estático quanto para garantir a rigidez necessária. O material da barra tem uma resistência ao escoamento \( S_y = 400 MPa \) e um módulo de rigidez ao cisalhamento \( G = 80 GPa \). (Resp.) Questão 1.4 – Se for necessário aumentar o comprimento da barra da questão 1.3 até \( L_{novo} = 6/5 L_{max} \), mantendo a restrição do \( \theta_{adm} \), obtenha uma expressão para o novo diâmetro em função do diâmetro da barra \( d_{novo}(d_{min}) \). Com esta expressão recalcule o valor do diâmetro necessário nas novas condições. (Resp.) Questão 1.5 – Devido a um erro de fabricação o círculo interno do tubo é excêntrico em relação ao externo (Figura 1.2). Em que percentual é afetada a capacidade de transmitir torque quando a excentricidade \( e = (a - b)/6? \). Dica: para um fluxo de cisalhamento constante na parede do tubo, as máximas tensões ocorrem na região de espessura \( t \) mínima onde \( a - e = b + t \) (Resp.) Figura 1.2: Corresponde à questão 1.5 [3]. 1.1 Respostas da seção 1 • 1.1 a) - \( d_{AB} \approx 20 mm \) - \( d_{CD} \approx 27 mm \) - \( d_{EF} \approx 37 mm \) 1.1 b) em série. 1.1 c) \( \phi_A = 0,11 rad = 6,5^\circ \) • 1.2 a) T = 445,6 N.m 1.2 b) τ = 84 MPa 1.2 c) dext = 35.7 mm 1.2 e) O eixo maciço pesa quase o dobro do que o eixo oco (95 % a mais) e tem uma rigidez torsional de apenas 83 % da rigidez do cixo oco. • 1.3 dmin = 35.3 \times 10^{-3} m, Lmax = 0.213 m • 1.4 dnovo = (\frac{6}{5})^{1/4} dmin = 36.9 \times 10^{-3} m • 1.5 17 % 2 Concentração das tensões Questão 2.1 – Determine uma expressão para o comprimento L da parte central da barra retangular da figura 2.1, de modo que a tensão de flexão máxima nas seções A, B e C seja a mesma. A barra tem espessura t e as seguintes relações são válidas H = a/5 e h = 2/3 H. (Resp.) Figura 2.1: Barra retangular bi-apoiada sob flexão e cortante. Corresponde à questão 2.1 [3]. Questão 2.2 – A transição na área da seção transversal da barra de aço 1020 laminado a quente (Sy = 260 MPa, E = 2 \times 10^5 MPa, H = 737 MPa, n = 0.19) é obtida por filetes de redução (figura 2.2). A espessura é constante é igual a 12 mm. Se a barra for submetida a um momento fletor M = 0.9 KN \cdot m, obtenha os diagramas de cortante e fletor e determine os máximos valores de tensão e deformação desenvolvidos na peça. Utilize Neuber se necessário, desprezando a componente elástica da curva σ x ε do material. Considere h = 120 mm. (Resp.) Figura 2.2: Barra retangular em flexão pura. Corresponde à questão 2.2 [3]. 2.1 Respostas da seção 2 • 2.1 2.1 L = a (9 Kt – 4) • 2.2 2.2 ε = 7.8 \times 10^{-3}, σ = 293 MPa 3 Vasos de Pressão Questão 3.1 – Um tanque esférico para armazenamento de gás tem um raio interno b = 1.5 m e suporta uma pressão interna de 300 KPa. Qual é a espessura mínima requerida no tanque se a tensão normal máxima não deve exceder os 12 MPa? (Resp.) Questão 3.2 – Seja um vaso de pressão cilíndrico de parede fina, com tampas. A relação a/b = 1.02, onde a e b são os raios externo e interno, respectivamente. O material do vaso é um aço ductil com limite de escoamento Sy = 280 MPa, módulo de elasticidade E = 200 GPa e coeficiente de Poisson ν = 1/3. A pressão de trabalho é p = 4 MPa. (Resp.) a) Compare os fatores de segurança contra o escoamento utilizando os critérios de Tresca e Mises. Comente os resultados. b) Calcule também a deformação circunferencial εø que deve ser medida na superfície externa do vaso enquanto pressurizado a p. Questão 3.3 – O cilindro de paredes finas da figura pode ser suportado em alguma das duas formas mostradas. O pistão gera uma pressão interna de p = 0.5 MPa, a espessura de parede a – b = 6 mm e o raio interno b = 100 mm. Calcule as tensões na parede do cilindro para os casos a e b. (Resp.) Figura 3.1: Corresponde à questão 3.3 [3]. Questão 3.4 – Um cilindro com tampas tem raio externo a = 40 mm interno b = 22 mm e é feito com um material que escoa a 400 MPa. Calcule a pressão interna máxima que pode ser aplicada no cilindro pelos critérios de Tresca e Mises para um fator de segurança de 1.6. (Resp.) 3.1 Respostas da seção 3 - 3.1 t \equiv a - b = 18.8 mm - 3.2 a) \sigma_{Mises} = 173 MPa, \bar{\sigma}_{Tresca} = 200 MPa, X_{Mises} = 1.61, X_{Tresca} = 1.4 Como esperado, o critério de Mises retorna um fator de segurança maior por ser menos conservativo (prevê uma tensão equivalente menor). - 3.2 b) \epsilon_{\theta} = 833 \mu s - 3.3 Caso a: \sigma_{\theta} = 8.3 MPa, \sigma_{z} = 0. Caso b: \sigma_{0} = 8.3 MPa, \sigma_{z} = 4.2 MPa - 3.4 p_{Tresca} = 87 MPa, p_{Mises} = 100 MPa 4 Parafusos e Rebites Questão 4.1 – Um parafuso em carregamento axial (A_{t} = 303 mm^{2}, S_{p} = 830 MPa) é submetido a uma força de aperto inicial F_{i} = 4/5 \cdot A_{t} \cdot S_{p}. Os componentes da junta são 5 vezes mais rígidos que o parafuso. (Resp.) a) Calcule a máxima força externa F_{e} que poderá ser aplicada nos componentes sem que haja: i) Separação dos mesmos. ii) Escoamento do parafuso. b) Considere que a força externa varia entre um valor inicial F_{ei} = 130 KN e um final F_{ef} = 200 KN com uma frequência constante. Esboce os gráficos de F_{c} (força nos componentes) e F_{p} (força nos parafusos) em função de F_{e} e do tempo t. Questão 4.2 – Obtenha expressões para os esforços axiais e de corte que solicitam os furos do suporte da figura 4.1. Assuma que há parafusos ou rebites nestes furos que garantem o equilíbrio do suporte. O torque, cortante e fletor atuam no centróide do conjunto de furos. (Resp.) Figura 4.1: Suporte com furos sob uma combinação de flexão, torque e cortante. Corresponde à questão 4.2 [2]. 4.1 Respostas da seção 4 - 4.1 a) i F_{e} = 241 KN, 4.1 a) ii F_{e} = 302 KN, - 4.1 b) F_{cr-mie} = 35 KN, F_{cmax} = 93 KN, F_{pmin} = 223 KN, F_{pmax} = 235 KN, - 4.2 F_{axial} = \frac{65}{89} \frac{M}{C} F_{torque} = \frac{\sqrt{5}}{5}\frac{T}{C} F_{cortante} = \frac{V}{4} F_{rcs} = \frac{1}{5} \sqrt{25\left(\frac{2}{5}\frac{T}{C} + \frac{1}{4}V\right)^{2} + \left(\frac{T}{C}\right)^{2}} 5 Juntas Soldadas Questão 5.1 – A figura mostra um pedestal de aço soldado carregado por uma força estática F. Calcule o fator de segurança considerando que o limite de escoamento ao cisalhamento do material depositado é S_{ys} = 120 MPa. (Resp.) Dimensões em mm Figura 5.1: Figura da Questão 5.1. Questão 5.2 – A barra circular da figura tem um diâmetro externo a = 0,4 m. Está unida a outro componente mediante uma junta soldada em toda a circunferência externa. O processo utilizado na soldagem foi o manual por arco elétrico com eletrodos revestidos (E7018, S_y = 393 MPa). A solda tem dimensão h = 8 mm. Calcule o torque máximo T que não provoca escoamento na garganta da solda com X_y = 2. (Resp.) 5.1 Respostas da seção 5 5.1 σ = 22 MP_a τ = 5,9 MP_a τ_R ≈ 23 MP_a X = 5,24. 5.2 T ≈ 161 KN.m. Figura 5.2: Figura da Questão 5.2. 6 Tensões em Eixos Questão 6.1 – O eixo mostrado gira a n = 1200 rpm mas a carga de F = 4 KN permanece estática. Para a = 25 × 10^{-3} m calcule a amplitude e a máxima de σ nos pontos A, B, C e D. Os fatores de concentração das tensões nestes pontos são K_i^A = 1,7, K_i^C = 1,62 e K_i^D = 1,42. (Resp.) Figura 6.1: Figura da Questão 6.1. Questão 6.2 – O eixo maciço da figura 6.2 tem diâmetro d = 35 mm e transmite a potência mostrada a n = 600 rpm. O mecanismo acionador permite a alternância no sentido de giro do eixo, o que ocorre em intervalos de tempo desconhecidos. Calcule a amplitude e a máxima das tensões normais e cisalhantes no eixo. (Resp.) Figura 6.2: Figura da Questão 6.2. Questão 6.3 – A figura 6.3 mostra o DCL de uma engrenagem G_1 de raio r_1 acoplada a eixo de transmissão de potência AB de 16 mm de diâmetro. O torque de entrada é T_i = 35 N.m e o raio da engrenagem é r_1 = 30 mm . A distância a = 18 mm e o ângulo de pressão da engrenagem φ = 20°. (Resp.) a) Esboce o DCL da engrenagem e do eixo por separado. b) Calcule o momento fletor máximo no eixo em torno do eixo y, M_y. c) Calcule o momento fletor máximo no eixo em torno do eixo z, M_z. d) Prove que é possível utilizar o momento resultante dos dois planos M_R = \sqrt{M_y^2 + M_z^2} para calcular as tensões normais na seção crítica. e) Plote a variação das tensões normais com o tempo \sigma(t) para 0 \leq t \leq 1 s no ponto crítico do eixo se o mesmo gira com uma frequência angular constante n = 60 rpm. Figura 6.3: Figura da Questão 6.3. 6.1 Respostas da seção 6 • 6.1 \sigma_{max} = \sigma_a em todos os pontos: \sigma_A = 55 MPa \sigma_B = 47 MPa \sigma_C = 106 MPa \sigma_D = 46 MPa. • 6.2 \tau_{max} = \tau_a = 106 MPa \sigma_{max} = \sigma_a = 0. • 6.3 b) M_y = 4,6 N.m 6.3 c) M_z = 12, 6 N.m 7 Molas Helicoidais e Barras de Torção Questão 7.1 – Um bloco de 1 KN está suspenso entre duas molas helicoidais de aço (G = 75 GPa), como mostrado na figura 7.1. Considere que não foi necessário tracionar ou comprimir as molas para colocar o bloco no lugar, ou seja, que os esforços nas molas são devidos apenas ao peso do bloco. Os dados geométricos de cada mola se mostram na tabela 7.1. Calcule o deslocamento e as tensões em cada mola. Comente os resultados. (Resp.) Tabela 7.1: Dados correspondentes às molas helicoidais da figura 7.1. \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Parâmetro} & \text{Mola Superior} & \text{Mola Inferior} \\ \hline D, mm & 25 & 45 \\ d, mm & 5 & 8 \\ N & 10 & 5 \\ \hline \end{array} Figura 7.1: Figura da Questão 7.1. 7.1 Respostas da seção 7 • 7.1 O deslocamento é comum a ambas as molas (\delta = 8.21 mm). As outras repostas estão na tabela 7.2. Tabela 7.2: Respostas da questão 7.1. \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Parâmetro} & \text{Mola Superior} & \text{Mola Inferior} \\ \hline F, N & 308 & 692 \\ \tau, MPa & 173 & 169 \\ \hline \end{array} Referências [1] F. Beer, J. E. Russell Johnston, J. T. DeWolf, and D. F. Mazurek. Mechanics of Materials. McGraw-Hill Education, seventh edition, 2012. [2] R. G. Budynas and J. K. Nisbett. Shigley’s Mechanical Engineering Design. McGraw Hill, tenth edition, 2015. [3] R. Hibbeler. Mechanics of Materials. Pearson Prentice Hall, 9 edition, 2014.