Lista 14 - Máxima Transferência de Potência 2021-2

Eletricidade Aplicada Método ou assunto Lista n Teorema da Máxima Transferência de Potência Em várias aplicações no campo da eletricidade procura- se otimizar os circuitos, maximizando a potência liberada a uma carga. Para o objetivo de determinar qual a potência máxima que um circuito linear pode fornecer a uma carga, o Teorema de Thévenin é uma ferramenta bastante eficaz. Como exemplificação, usa-se um circuito equivalente de Thévenin de um circuito linear qualquer, sendo a resistência da carga 𝑅𝐿 ajustável: A potência liberada pela carga pode ser determinada pela equação: 𝑃 = 𝑖2𝑅𝐿 = 𝑉𝑇ℎ 𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 2 𝑅𝐿 (1) Diferenciando 𝑃 na equação (1) em relação a 𝑅𝐿 e igualando o resultado a zero: 𝑑𝑃 𝑑𝑅𝐿 = 𝑉𝑇ℎ 2 𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 2 − 2𝑅𝐿 𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 4 = 𝑉𝑇ℎ 2 𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 − 2𝑅𝐿 𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 3 = 0 Eletricidade Aplicada Máxima Transferência de Potência Lista 1.4 Eletricidade Aplicada Método ou assunto Lista n Teorema da Máxima Transferência de Potência Em uma multiplicação entre dois termos o resultado será igual a zero se um ou os dois termos forem iguais a zero. E uma fração é igual a zero quando o numerador é igual a zero. Como 𝑉𝑇ℎ 2 não é igual a zero, então: 𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 − 2𝑅𝐿 = 𝑅𝑇ℎ − 𝑅𝐿 = 0 Resultando em: 𝑅𝑇ℎ = 𝑅𝐿 (2) A potência transferida a carga é máxima pois: 𝑑2𝑃 𝑑𝑅𝐿 2 < 0 Substituindo-se (2) em (1) chega-se à máxima potência transferida: 𝑃𝑚á𝑥 = 𝑉𝑇ℎ 2 4𝑅𝑇ℎ = 𝑉𝑇ℎ 2 4𝑅𝐿 (3) Teorema da Máxima Transferência de Potência: A potência fornecida a uma carga pela fonte será máxima quando o valor da resistência da carga for igual ao valor da resistência equivalente de Thévenin do circuito (ou resistência interna da fonte). Obs.: Isso resulta em perdas internas iguais ou maiores à potência liberada pela fonte. Seja Eletricidade Aplicada Máxima Transferência de Potência Lista 1.4 Eletricidade Aplicada Método ou assunto Lista n Teorema da Máxima Transferência de Potência Quando 𝑅𝐿 ≠ 𝑅𝑇ℎ, a potência transferida a carga deve ser calculada pelas equações convencionais: 𝑃 = 𝑖2𝑅; 𝑃 = 𝑖𝑉; 𝑃 = 𝑉2 𝑅 Seja Eletricidade Aplicada Máxima Transferência de Potência Lista 1.4 Eletricidade Aplicada Método ou assunto Lista n Apêndice Na resolução dos exercícios para máxima transferência de potência usar-se a Teorema de Thévenin. Assim sendo, será feito uma breve explicação deste Teorema. O Teorema de Thévenin é útil e utilizado para transformar um circuito linear complexo de dois terminais em um circuito simples, um circuito equivalente de Thévenin, constituído de uma fonte de tensão 𝑉𝑇ℎ em série com o resistor equivalente de Thévenin 𝑅𝑇ℎ e com a carga. 𝑉𝑇ℎ é a tensão medida entre os terminais 𝑎 e 𝑏, onde os terminais 𝑎 e 𝑏 são pontos do circuito linear complexo entre os quais se deseja determinar algum parâmetro, como corrente ou tensão. 𝑅𝑇ℎ é a resistência equivalente entre os terminais 𝑎 e 𝑏 estando as fontes em repouso (fontes de tensão são substituídas por um curto-circuito e fontes de corrente são substituídas por um circuito aberto). Nas figuras (a) e (b) é demonstrado o Teorema. Na figura (a) é esquematizado um circuito linear complexo qualquer de dois terminais, com a carga e os terminais 𝑎 e 𝑏. Na figura (b) é esquematizado o circuito equivalente de Thévenin. A polaridade de 𝑉𝑇ℎ é definida para que a corrente flua de 𝑎 para 𝑏, no mesmo sentido que foi definida no circuito original. Eletricidade Aplicada Máxima Transferência de Potência Lista 1.4 Eletricidade Aplicada Método ou assunto Lista n Lista 1 Seção 1.4 Produzido por: Patrick Boni Eletricidade Aplicada Máxima Transferência de Potência Lista 1.4 Eletricidade Aplicada Método ou assunto Lista n A) 𝑉 = 1𝑉; 𝐴 = 1𝐴; 𝑅1 = 1Ω; 𝑅2 = 2Ω; 𝑅3 = 5Ω; 𝑅4 = 1Ω; 𝑅5 = 𝑅𝐿 ; 𝑃𝐿 =? O 1º passo para determinar 𝑃𝐿 é calcular o 𝑉𝑇ℎ do circuito, o 2º passo é calcular o 𝑅𝑇ℎ do circuito e o 3º passo é determinar a potência máxima transferida a carga. Para determinar o 𝑉𝑡ℎ desativa-se a fonte de corrente de 1A (substituindo-a por um circuito aberto) e trabalha-se apenas com a fonte de tensão de 1V, calculando-se o valor de 𝑉𝑡ℎ ′ . (lembrando que os terminais 𝑎 e 𝑏 ficam abertos). Em seguida, desativa-se a fonte de tensão de 1V (substituindo-a por um curto-circuito) e trabalha-se com a fonte de 1A, calculando-se o valor de 𝑉𝑡ℎ ′′ (lembrando que os terminais 𝑎 e 𝑏 ficam abertos). O valor de 𝑉𝑡ℎ será: 𝑉𝑡ℎ = 𝑉𝑡ℎ ′ + 𝑉𝑡ℎ ′′. Eletricidade Aplicada Máxima Transferência de Potência Lista 1.4 𝑎 𝑏 1Ω 5Ω 1Ω 2Ω 𝑅𝐿 1𝑉 1𝐴 Eletricidade Aplicada Método ou assunto Lista n A) Eletricidade Aplicada Máxima Transferência de Potência Lista 1.4 𝑎 *Devido ao circuito aberto que substitui a fonte de 1A e ao circuito aberto entre os terminais a e b, a corrente proveniente da fonte não tem caminho de passagem pelos resistores de 5Ω e 1Ω, logo eles são eliminados. 𝑏 𝑎 𝑏 𝑉𝑡ℎ ′ 1Ω 5Ω 1Ω 2Ω × × Aplicando-se um divisor de tensão, encontra-se o 𝑉𝑡ℎ ′ . 𝑉𝑡ℎ ′ = 1V 2 1 + 2 ⇒ 𝑉𝑡ℎ ′ = 2 3 𝑉 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑉𝑡ℎ ′′ 5Ω 1Ω 2Ω Para calcular-se 𝑉𝑡ℎ ′′ , desativa-se a fonte de tensão de 1V (substituindo-a por um curto-circuito). 1Ω 1𝐴 × 𝑉𝑡ℎ ′′ 𝑉𝑡ℎ ′′ = 1A 5 + 1 ∗ 2 1 + 2 ⇒ 𝑉𝑡ℎ ′′ = 17 3 𝑉 Utilizando a equação 𝑉 = 𝑖𝑅, encontra-se o 𝑉𝑡ℎ ′′. *Curto-circuito que substituiu a fonte de 1V. 𝑉𝑡ℎ ′ Eletricidade Aplicada Método ou assunto Lista n W Pmáx 240 361  A) Eletricidade Aplicada Máxima Transferência de Potência Lista 1.4 E o valor de 𝑉𝑡ℎ será a soma algébrica: 𝑉𝑡ℎ = 𝑉𝑡ℎ ′ + 𝑉𝑡ℎ ′′ = 2 3 + 17 3 ⇒ 𝑉𝑡ℎ = 19 3 𝑉 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 5Ω 1Ω 2Ω 1Ω 1𝐴 *Curto-circuito que substituiu a fonte de 1V. *Circuito aberto que substituiu a fonte de 1A. 2º passo, cálculo do resistor equivalente de Thévenin, 𝑅𝑇ℎ, entre os terminais 𝑎 e 𝑏. 𝑅𝑡ℎ = 1 + 5 + 1 ∗ 2 1 + 2 ⇒ 𝑅𝑡ℎ = 20 3 Ω E a potência, máxima, liberada por 𝑅𝐿 será: 𝑃𝑚á𝑥 = 𝑉𝑇ℎ 2 4𝑅𝐿 = 19 3 2 4 ∗ 20 3 = 361 240 𝑊 Para que haja a máxima transferência de potência: 𝑅𝐿 = 𝑅𝑡ℎ = 20 3 Ω Resposta: Eletricidade Aplicada Método ou assunto Lista n B) 𝑉 = −2𝑉; 𝐴 = 1 2 𝐴; 𝑅1 = 3Ω; 𝑅2 = 5Ω; 𝑅3 = 𝑅𝐿; 𝑅4 = 1Ω; 𝑅5 = 2Ω; 𝑃𝐿 =? O 1º passo para determinar 𝑃𝐿 é calcular o 𝑉𝑇ℎ do circuito, o 2º passo é calcular o 𝑅𝑇ℎ do circuito e o 3º passo é determinar a potência máxima transferida a carga. Para determinar o 𝑉𝑡ℎ desativa-se a fonte de corrente de 1 2 A (substituindo-a por um circuito aberto) e trabalha-se apenas com a fonte de tensão de −2𝑉, calculando-se o valor de 𝑉𝑡ℎ ′ . (lembrando que os terminais 𝑎 e 𝑏 ficam abertos). Em seguida, desativa-se a fonte de tensão de −2𝑉 (substituindo-a por um curto-circuito) e trabalha-se com a fonte de 1 2 𝐴, calculando-se o valor de 𝑉𝑡ℎ ′′ (lembrando que os terminais 𝑎 e 𝑏 ficam abertos). O valor de 𝑉𝑡ℎ será: 𝑉𝑡ℎ = 𝑉𝑡ℎ ′ + 𝑉𝑡ℎ ′′. Eletricidade Aplicada Máxima Transferência de Potência Lista 1.4 𝑎 𝑏 1Ω 3Ω 5Ω 𝑅𝐿 −2𝑉 1 2 𝐴 2Ω Eletricidade Aplicada Método ou assunto Lista n B) Eletricidade Aplicada Máxima Transferência de Potência Lista 1.4 𝑎 *Devido ao circuito aberto que substitui a fonte de 1 2A e ao circuito aberto entre os terminais a e b, a corrente proveniente da fonte não tem caminho de passagem pelos resistores de 1Ω e 2Ω, logo eles são eliminados. 𝑏 𝑎 𝑏 𝑉𝑡ℎ ′ 1Ω 3Ω 5Ω × Aplicando-se um divisor de tensão, encontra-se o 𝑉𝑡ℎ ′ . 𝑉𝑡ℎ ′ = − −2V 5 5 + 3 ⇒ 𝑉𝑡ℎ ′ = 5 4 𝑉 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑉𝑡ℎ ′′ 3Ω 5Ω Para calcular-se 𝑉𝑡ℎ ′′ , desativa-se a fonte de tensão de -2V (substituindo-a por um curto-circuito). 1Ω 1 2 𝐴 × 𝑉𝑡ℎ ′′ 𝑉𝑡ℎ ′′ = 1 2 A 1 + 2 ⇒ 𝑉𝑡ℎ ′′ = 3 2 𝑉 Utilizando a equação 𝑉 = 𝑖𝑅, encontra-se o 𝑉𝑡ℎ ′′. *Curto-circuito que substituiu a fonte de -2V. 2Ω× −2𝑉 2Ω × Eletricidade Aplicada Método ou assunto Lista n W Pmáx 312 121  B) Eletricidade Aplicada Máxima Transferência de Potência Lista 1.4 E o valor de 𝑉𝑡ℎ será a soma algébrica: 𝑉𝑡ℎ = 𝑉𝑡ℎ ′ + 𝑉𝑡ℎ ′′ = 5 4 + 3 2 ⇒ 𝑉𝑡ℎ = 11 4 𝑉 𝑎 𝑏 3Ω 5Ω 1Ω 1𝐴 *Curto-circuito que substituiu a fonte de -2V. *Circuito aberto que substituiu a fonte de 1 2 𝐴. 2º passo, cálculo do resistor equivalente de Thévenin, 𝑅𝑇ℎ, entre os terminais 𝑎 e 𝑏. 𝑅𝑡ℎ = 1 + 2 + 5 ∗ 3 5 + 3 ⇒ 𝑅𝑡ℎ = 39 8 Ω E a potência, máxima, liberada por 𝑅𝐿 será: 𝑃𝑚á𝑥 = 𝑉𝑇ℎ 2 4𝑅𝐿 = 11 4 2 4 ∗ 39 8 = 121 312 𝑊 Para que haja a máxima transferência de potência: 𝑅𝐿 = 𝑅𝑡ℎ = 39 8 Ω Resposta: 2Ω Eletricidade Aplicada Método ou assunto Lista n C) 𝑉 = 5𝑉; 𝐴 = −1𝐴; 𝑅1 = 1Ω; 𝑅2 = 𝑅𝐿; 𝑅3 = 1Ω; 𝑅4 = 2Ω; 𝑅5 = 1Ω; 𝑃𝐿 =? Como descrito inicialmente, o 1º passo será determinar o 𝑉𝑇ℎ. do circuito. Desativa-se a fonte de corrente de −1A (substituindo-a por um circuito aberto) e trabalha- se apenas com a fonte de tensão de 5𝑉, calculando-se o valor de 𝑉𝑡ℎ ′ . (lembrando que os terminais 𝑎 e 𝑏 ficam abertos). Eletricidade Aplicada Máxima Transferência de Potência Lista 1.4 𝑎 𝑏 2Ω 1Ω 1Ω 𝑅𝐿 5𝑉 −1𝐴 1Ω Eletricidade Aplicada Método ou assunto Lista n C) Eletricidade Aplicada Máxima Transferência de Potência Lista 1.4 𝑎 *Circuito aberto que substitui a fonte de -1A 𝑏 𝑎 𝑏 𝑉𝑡ℎ ′ 2Ω 1Ω 1Ω Aplicando-se um divisor de tensão, encontra-se o 𝑉𝑡ℎ ′ . 𝑉𝑡ℎ ′ = 5V 1 + 2 + 1 1 + 2 + 1 + 1 ⇒ 𝑉𝑡ℎ ′ = 4𝑉 𝑎 𝑏 𝑎 𝑉𝑡ℎ ′′ 1Ω 1Ω Para calcular-se 𝑉𝑡ℎ ′′ , desativa-se a fonte de tensão de 5V (substituindo-a por um curto-circuito). 2Ω −1𝐴 𝑉𝑡ℎ ′′ Utilizando a equação 𝑉 = 𝑖𝑅, encontra-se o 𝑉𝑡ℎ ′′. Aplicando um divisor de tensão para encontrar o valor de 𝑖1. *Curto-circuito que substituiu a fonte de 5V. 1Ω 5𝑉 1Ω 𝑉𝑡ℎ ′ 𝑏 𝑖1 𝑖1 = −1A 2 + 1 2 + 1 + 1 + 1 ⇒ 𝑖1 = − 3 5 𝐴 𝑉𝑡ℎ ′′ = − 3 5 1 ⇒ 𝑉𝑡ℎ ′′ = − 3 5 𝑉 Eletricidade Aplicada Método ou assunto Lista n W Pmáx 80 289  C) Eletricidade Aplicada Máxima Transferência de Potência Lista 1.4 E o valor de 𝑉𝑡ℎ será a soma algébrica: 𝑉𝑡ℎ = 𝑉𝑡ℎ ′ + 𝑉𝑡ℎ ′′ = 4 − 3 5 ⇒ 𝑉𝑡ℎ = 17 5 𝑉 𝑎 𝑏 1Ω 1Ω 2Ω 1𝐴 *Curto-circuito que substituiu a fonte de 5V. *Circuito aberto que substituiu a fonte de -1A. Seguindo para o 2º passo, calcular o resistor equivalente de Thévenin, 𝑅𝑇ℎ, entre os terminais 𝑎 e 𝑏. 𝑅𝑡ℎ = 1 ∗ (1 + 2 + 1) 1 + (1 + 2 + 1) ⇒ 𝑅𝑡ℎ = 4 5 Ω Concluindo com o último passo, a potência máxima, liberada por 𝑅𝐿 será: 𝑃𝑚á𝑥 = 𝑉𝑇ℎ 2 4𝑅𝐿 = 17 5 2 4 ∗ 4 5 = 289 80 𝑊 Para que haja a máxima transferência de potência: 𝑅𝐿 = 𝑅𝑡ℎ = 4 5 Ω Resposta: 1Ω Eletricidade Aplicada Método ou assunto Lista n D) 𝑉 = 100𝑉; 𝐴 = 50𝑚𝐴; 𝑅1 = 1𝑘Ω; 𝑅2 = 2𝑘Ω; 𝑅3 = 4𝑘Ω; 𝑅4 = 𝑅𝐿; 𝑅5 = 3𝑘Ω; 𝑃𝐿 =? Como descrito inicialmente, o 1º passo será determinar o 𝑉𝑇ℎ. do circuito. Desativa-se a fonte de corrente de 50mA (substituindo-a por um circuito aberto) e trabalha- se apenas com a fonte de tensão de 100𝑉, calculando-se o valor de 𝑉𝑡ℎ ′ . (lembrando que os terminais 𝑎 e 𝑏 ficam abertos). Eletricidade Aplicada Máxima Transferência de Potência Lista 1.4 𝑎 𝑏 1𝑘Ω 4𝑘Ω 𝑅𝐿 100𝑉 50𝑚𝐴 3𝑘Ω 2𝑘Ω Eletricidade Aplicada Método ou assunto Lista n D) Eletricidade Aplicada Máxima Transferência de Potência Lista 1.4 𝑎 *Circuito aberto que substitui a fonte de 50mA 𝑏 𝑎 𝑏 1𝑘Ω 4𝑘Ω Aplicando-se um divisor de tensão, encontra-se o 𝑉𝑡ℎ ′ . 𝑉𝑡ℎ ′ = 100V 2000 1000 + 2000 ⇒ 𝑉𝑡ℎ ′ = 200 3 𝑉 𝑎 𝑏 𝑎 𝑉𝑡ℎ ′′ 1𝑘Ω 4𝑘Ω Para calcular-se 𝑉𝑡ℎ ′′ , desativa-se a fonte de tensão de 100V (substituindo-a por um curto-circuito). 2𝑘Ω 50𝑚𝐴 𝑉𝑡ℎ ′′ Utilizando a equação 𝑉 = 𝑖𝑅, encontra-se o 𝑉𝑡ℎ ′′. *Curto-circuito que substituiu a fonte de 100V. 3𝑘Ω 100𝑉 3𝑘Ω 𝑉𝑡ℎ ′ 𝑏 𝑉𝑡ℎ ′′ = 0,050 4000 + 1000 ∗ 2000 1000 + 2000 𝑉𝑡ℎ ′′ = 700 3 𝑉 2𝑘Ω 𝑉𝑡ℎ ′ × × × Eletricidade Aplicada Método ou assunto Lista n W Pmáx ,2 9348  D) Eletricidade Aplicada Máxima Transferência de Potência Lista 1.4 E o valor de 𝑉𝑡ℎ será a soma algébrica: 𝑉𝑡ℎ = 𝑉𝑡ℎ ′ + 𝑉𝑡ℎ ′′ = 200 3 + 700 3 ⇒ 𝑉𝑡ℎ = 300𝑉 𝑎 𝑏 1𝑘Ω 4𝑘Ω 2𝑘Ω 1𝐴 *Curto-circuito que substituiu a fonte de 100V. *Circuito aberto que substituiu a fonte de 50mA. Seguindo para o 2º passo, calcular o resistor equivalente de Thévenin, 𝑅𝑇ℎ, entre os terminais 𝑎 e 𝑏. 𝑅𝑡ℎ = 3000 + 1000 ∗ 2000 1000 + 2000 + 4000 ⇒ 𝑅𝑡ℎ = 23000 3 Ω Concluindo com o último passo, a potência máxima, liberada por 𝑅𝐿 será: 𝑃𝑚á𝑥 = 𝑉𝑇ℎ 2 4𝑅𝐿 = 300 2 4 ∗ 23000 3 = 2,9348𝑊 Para que haja a máxima transferência de potência: 𝑅𝐿 = 𝑅𝑡ℎ = 23000 3 Ω Resposta: 3𝑘Ω Eletricidade Aplicada Método ou assunto Lista n E) 𝑉 = −30𝑉; 𝐴 = −200𝑚𝐴; 𝑅1 = 7Ω; 𝑅2 = 6Ω; 𝑅3 = 8Ω; 𝑅4 = 1Ω; 𝑅5 = 𝑅𝐿; 𝑃𝐿 =? Como descrito inicialmente, o 1º passo será determinar o 𝑉𝑇ℎ. do circuito. Desativa-se a fonte de corrente de −200mA (substituindo-a por um circuito aberto) e trabalha-se apenas com a fonte de tensão de −30𝑉, calculando-se o valor de 𝑉𝑡ℎ ′ . (lembrando que os terminais 𝑎 e 𝑏 ficam abertos). Eletricidade Aplicada Máxima Transferência de Potência Lista 1.4 𝑎 𝑏 7Ω 8Ω 𝑅𝐿 −30𝑉 −200𝑚𝐴 1Ω 6Ω Eletricidade Aplicada Método ou assunto Lista n E) Eletricidade Aplicada Máxima Transferência de Potência Lista 1.4 𝑎 *Circuito aberto que substitui a fonte de -200mA 𝑏 𝑎 7Ω 8Ω Aplicando-se um divisor de tensão, encontra-se o 𝑉𝑡ℎ ′ . 𝑉𝑡ℎ ′ = −30V 6 6 + 7 ⇒ 𝑉𝑡ℎ ′ = −180 13 𝑉 𝑎 𝑏 𝑎 𝑉𝑡ℎ ′′ 7Ω 8Ω Para calcular-se 𝑉𝑡ℎ ′′ , desativa-se a fonte de tensão de -30V (substituindo-a por um curto-circuito). 6Ω −200𝑚𝐴 𝑉𝑡ℎ ′′ Utilizando a equação 𝑉 = 𝑖𝑅, encontra-se o 𝑉𝑡ℎ ′′. *Curto-circuito que substituiu a fonte de -30V. 1Ω −30𝑉 1Ω 𝑉𝑡ℎ ′ 𝑏 𝑉𝑡ℎ ′′ = −0,200 6 ∗ 7 6 + 7 + 8 𝑉𝑡ℎ ′′ = − 146 65 𝑉 6Ω 𝑉𝑡ℎ ′ × × × 𝑏 Eletricidade Aplicada Método ou assunto Lista n W Pmáx ,5 2932  E) Eletricidade Aplicada Máxima Transferência de Potência Lista 1.4 E o valor de 𝑉𝑡ℎ será a soma algébrica: 𝑉𝑡ℎ = 𝑉𝑡ℎ ′ + 𝑉𝑡ℎ ′′ = − 180 13 − 146 65 ⇒ 𝑉𝑡ℎ = − 1046 65 𝑉 𝑎 7Ω 8Ω 6Ω 1𝐴 *Curto-circuito que substituiu a fonte de -30V. *Circuito aberto que substituiu a fonte de -200mA. Seguindo para o 2º passo, calcular o resistor equivalente de Thévenin, 𝑅𝑇ℎ, entre os terminais 𝑎 e 𝑏. 𝑅𝑡ℎ = 6 ∗ 7 6 + 7 + 8 + 1 ⇒ 𝑅𝑡ℎ = 159 13 Ω Concluindo com o último passo, a potência máxima, liberada por 𝑅𝐿 será: 𝑃𝑚á𝑥 = 𝑉𝑇ℎ 2 4𝑅𝐿 = − 1046 65 2 4 ∗ 159 13 = 5,2932𝑊 Para que haja a máxima transferência de potência: 𝑅𝐿 = 𝑅𝑡ℎ = 159 13 Ω Resposta: 1Ω 𝑏