Medidas de Confiabilidade

GESTÃO DA MANUTENÇÃO Prof Dr Rafael da Silva Fernandes Aula 06 Medidas de Confiabilidade 2 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes NBR 5462 1994 Conceitos Básicos Sistema ou Item é qualquer parte componente dispositivo subsistema unidade funcional equipamento ou sistema que possa ser considerado individualmente Sistema não reparável é aquele que é descartado após a falha Sistema reparável é aquele no qual uma vez ocorrida a falha este pode ser restaurado a uma condição operacional através de alguma operação de reparo sem que haja a necessidade de substituição do sistema como um todo Nesta secção iremos discutir as similaridades e diferenças entre Sistemas Reparáveis e Sistemas NãoReparáveis 4 Aula 06 Medidas de Confiabilidade Rafael da Silva Fernandes Em Sistemas NãoReparáveis o tempo de vida de um sistema é uma variável aleatória e assim o sistema ou equipamento é descartado após a ocorrência da falha Dado que a falha ocorre uma única vez e não afeta o desempenho do sistema e que um sistema não interfere na ocorrência de um outro sistema similar temos que o tempo de vida ou tempo até a falha TTF são independentes e a distribuição de falhas para um mesmo conjunto de equipamentos similares seguem uma mesma distribuição Exemplo 01 Os dados na tabela a seguir são tempos até falha TTF apresentados em ordem crescente medidos a partir de uma amostra de 50 unidades de um determinado componente eletromecânico 15 119 158 218 301 23 121 162 225 312 62 125 167 230 330 78 128 171 237 345 80 132 175 243 357 85 137 183 255 360 97 140 189 264 372 105 145 190 272 383 110 149 197 273 415 112 153 210 282 436 ITEM TTF ITEM TTF 1 15 26 183 2 23 27 189 3 62 28 190 4 78 29 197 5 80 30 210 6 85 31 218 7 97 32 225 8 105 33 230 9 110 34 237 10 112 35 243 11 119 36 255 12 121 37 264 13 125 38 272 14 128 39 273 15 132 40 282 16 137 41 301 17 140 42 312 18 145 43 330 19 149 44 345 20 153 45 357 21 158 46 360 22 162 47 372 23 167 48 383 24 171 49 415 25 175 50 436 O item 1 falhou com 15 horas O item 2 falhou com 23 horas 𝑡1 Não ocorrerá falha no intervalo 𝑡 tempo até a falha 5 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Quantas unidades falharam antes de horas No exemplo suponha que os componentes são testados de forma automática e a cada 1 hora um engenheiro de confiabilidade verifica o número de unidades com falhas 𝑡 Nas primeras 48 horas quantas unidades falharamE até 240 horas 6 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Ao plotar o histograma obtemos a distribuição de falhas para um mesmo conjunto de equipamentos similaressque seguem uma mesma distribuição t 0 0 48 2 96 6 144 17 192 28 240 34 288 40 336 43 384 48 432 49 480 50 é o número de unidades que falharam até um determinado tempo Se o número de equipamentos é um valor único e fixo no exemplo sendo itens então qual é o número de unidades que não falharam é o número de unidades que não falharam até um determinado tempo Logo Em outras palavras significa que o item sobreviveu até o tempo 7 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Ao plotar o histograma obtemos a distribuição de falhas para um mesmo conjunto de equipamentos similaressque seguem uma mesma distribuição é o número de unidades que falharam até um determinado tempo Se o número de equipamentos é um valor único e fixo no exemplo sendo itens então qual é o número de unidades que não falharam é o número de unidades que não falharam após um determinado tempo Logo Em outras palavras significa que o item sobreviveu após o tempo t 0 0 50 48 2 48 96 6 44 144 17 33 192 28 22 240 34 16 288 40 10 336 43 7 384 48 2 432 49 1 480 50 0 8 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Matematicamente é expressa pela formula Uma formula aproximada de é dada por Logo a distribuição de falhas é denominada função densidade de falhas e representa a variação de probabilidade de falhas por unidade de tempo Graficamente é representada por uma função distribuição de probabilidades t 0 0 50 000000 48 2 48 004000 96 6 44 008000 144 17 33 022000 192 28 22 022000 240 34 16 012000 288 40 10 012000 336 43 7 006000 384 48 2 010000 432 49 1 002000 480 50 0 002000 𝛥 𝑡48 Suponha que você esteja interessado em avaliar o risco de falha após um determinado tempo Especificamente buscamos encontrar o limite da probabilidade de uma unidade falhar pela primeira e única vez em um pequeno intervalo dado que sobreviveu ao início do intervalo 𝑡 2 Δ 𝑡𝑡2 𝑡1 𝑡 𝑡1 Uma fórmula aproximada de é dada por 9 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Suponha que você esteja interessado em avaliar o risco de falha após um determinado tempo Especificamente buscamos encontrar o limite da probabilidade de uma unidade falhar pela primeira e única vez em um pequeno intervalo dado que sobreviveu ao início do intervalo 𝑡 2 Δ 𝑡𝑡2 𝑡1 𝑡 𝑡1 Uma fórmula aproximada de é dada por t 0 0 50 000000 0 48 2 48 004000 0041667 96 6 44 008000 0090909 144 17 33 022000 0333333 192 28 22 022000 0500000 240 34 16 012000 0375000 288 40 10 012000 0600000 336 43 7 006000 0428571 384 48 2 010000 2500000 432 49 1 002000 1000000 480 50 0 002000 Assim a probabilidade de um item falhar após 96 horas de operação no intervalo de é de falhas por hora 10 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Qual é a probabilidade de falha do componente eletromecânico em uma missão de duração menor ou igual a é a função acumulada de falhas Mostra a probabilidade de falha entre um período de tempo Graficamente é representada por uma função de distribuição de densidade acumulada Matematicamente é expressa pela formula Aproximadamente t 0 0 50 000000 0 000000 48 2 48 004000 0041667 004000 96 6 44 008000 0090909 012000 144 17 33 022000 0333333 034000 192 28 22 022000 0500000 056000 240 34 16 012000 0375000 068000 288 40 10 012000 0600000 080000 336 43 7 006000 0428571 086000 384 48 2 010000 2500000 096000 432 49 1 002000 1000000 098000 480 50 0 002000 100000 11 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Qual é a probabilidade de falha do componente eletromecânico em uma missão de duração menor ou igual maior que é a função de confiabilidade Mostra a probabilidade de falha entre após um período de tempo Graficamente é representada pelo complemento da função de distribuição de densidade acumulada Matematicamente é expressa pela formula Aproximadamente t 0 0 50 000000 0 000000 1000 48 2 48 004000 0041667 004000 0960 96 6 44 008000 0090909 012000 0880 144 17 33 022000 0333333 034000 0660 192 28 22 022000 0500000 056000 0440 240 34 16 012000 0375000 068000 0320 288 40 10 012000 0600000 080000 0200 336 43 7 006000 0428571 086000 0140 384 48 2 010000 2500000 096000 0040 432 49 1 002000 1000000 098000 0020 480 50 0 002000 100000 0000 12 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Definição 01 Função de Distribuição Acumulada A função de distribuição acumulada fda é uma variável aleatória e é definica pela função Dado de o tempo de vida deve ser nãonegative a distribuição de probabilidade deve ser uma probabilidade positive ao longo do eixo x Em outras palavras Definição 02 Função Densidade de Probabilidade A função densidade de probabilidade fdp é definida a partir da derivada de fda desde que a derivada exista ou seja 13 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Suponha unidade idênticas submetidas a teste em condições predefinidas Transcorrido o intervalo unidades falharam e unidades sobreviveram tal que A confiabilidade da unidade é definida como a sua probabilidade acumulada de sucesso assim em um tempo a função confiabilidade é Definição 03 Função de Confiabilidade A função confiabilidade também chamado de função de sobrevivência é a probabilidade de um sistema realizar sua missão durante o tempo A função confiabilidade avaliada em é justamente a probabilidade que o tempo de falha esteja além do tempo Então a função de confiablidade está relacionada com a fda da seguinte forma 14 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes A função de risco pode ser derivada usando a probabilidade condicional Considere inicialmente a probabilidade da falha entre dada por Condicionado no evento de a unidade estar operando no tempo chegase à seguinte expressão Uma taxa de falha média no intervalo pode ser obtida dividindo a as duas equações acima por Supondo obtémse a taxa de falha instantânea que é a função de risco 15 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Definição 04 Função Taxa de Falha Teorema 01 Para uma variável continua a função taxa de falha é Prova 16 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Uma propriedade para é Ou seja já que estamos lidando com variáveis aleatórias que têm toda a probabilidade no eixo não negativo A função taxa de falha não precisa se integrar a um e de fato para a maioria das distribuições que estudamos o risco não se integrará a um Desta forma precisa satisfazer as seguintes condições Para um sistema cuja função taxa de falha está aumentando isso significa que no limite a probabilidade de falha em um pequeno intervalo dividida pela duração do intervalo está aumentando com o tempo A unidade de medida em uma função taxa de falha é normalmente dada em termos de falhas por unidade de tempo 17 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes A forma da função de risco é um indicativo da maneira como uma unidade envelhece Como a função taxa de falha pode ser interpretada como a quantidade de risco a que uma unidade está exposta em um tempo um valor pequeno para a função de risco implica uma unidade exposta a uma menor quantidade de risco Existem três classificações básicas para a função taxa de falha ou taxa de risco i Função de risco crescente FRC em que a incidência de risco decresce com o tempo ii Função de risco decrescente FRD em que a incidência de risco cresce com o tempo iii Função de risco constante ou estacionária FRE em que a unidade está exposta a uma mesma quantidade de risco em qualquer momento do tempo 18 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes 19 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes A unidade de medida em uma função de risco é normalmente dada em termos de falhas por unidade de tempo A forma da função de risco é um indicativo da maneira como uma unidade envelhece Como a função de risco pode ser interpretada como a quantidade de risco a que uma unidade está exposta em um tempo um valor pequeno para a função de risco implica uma unidade exposta a uma menor quantidade de risco Existem três classificações básicas para a função de risco i Função de risco crescente FRC em que a incidência de risco cresce com o tempo ii Função de risco decrescente FRD em que a incidência de risco decresce com o tempo iii Função de risco constante ou estacionária FRE em que a unidade está exposta a uma mesma quantidade de risco em qualquer momento do tempo 20 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Teorema 02 Para uma variável contínua a função taxa de falha a fda e fdp são dadas por Prova Dado que temos que Esta é uma equação diferencial separável de primeira ordem Para resolvêlo integre ambos os lados de e mude a variável de integração de Isso resulta em 21 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Definição 05 Função Taxa de Falha Acumulada A função acumulada de risco oferece uma representação alternativa da função taxa de falha na forma de uma função nãodecrescente no tempo Entretanto de maneira análoga as funções de distribuição a maioria das funções acumuladas de risco se assemelha na forma independente da distruibção que modelo os tempos de falhas Definição 06 Tempo Médio até a Falha MTTF Mean Time to Failure Ou seja tratase do valor esperado ou tempo esperado da variável 22 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Exemplo 02 Lâmpadas elétricas costumam apresentar tempos até a falha descritos por uma distribuição exponencial com função de densidade dada por A função de distribuição acumulada é então dada por A função de confiabilidade das lâmpadas podem ser obtida por aplicação direta da equação logo A função taxa de falha das lâmpadas pode ser determinada da seguinte forma Como é uma constante concluise que a função taxa de falha da distribuição exponencial é do tipo FREConstante no tempo 23 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Usualmente é denominada como taxa de falhas De outra forma a taxa de falhas é a frequência com que as falhas ocorrem num certo intervalo de tempo medida pelo número de falhas para cada hora de operação ou número de Operações do Sistema ou componente A função taxa de falhas acumulada é Por fim o inverso da taxa de falhas é conhecido como 24 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes EXERCÍCIO 01 Uma fábrica de bobinas para motores está interessada em estimar a vida media de suas bobinas Para tanto foram submetidas a testes de confiabilidade 150 bobinas As bobinas foram observadas e as falhas anotadas em intervalos de tempo O número de falhas por intervalo de tempo é mostrado na tabela a seguir Estime 1 A função de densidade 2 A função taxa de falha 3 A função de confiabilidade 4 A função de probabilidade acumulada 5 Plote os gráficos destas funções Intervalo de tempo horas Falhas no intervalo 01000 16 10012000 24 20013000 26 30014000 46 40015000 38 25 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes EXERCÍCIO 02 Na tabela a seguir é apresentado o resultado de um ensaio de confiabilidade no qual 1000 components foram ensaiados em 10 meses Estime 1 A função de densidade 2 A função taxa de falha 3 A função de confiabilidade 4 A função de probabilidade acumulada 5 Plote os gráficos destas funções tempo t Mês Número de Sobreviventes 0 1000 2 994 4 986 10 971 20 951 30 924 40 883 50 810 60 677 70 454 80 181 90 21 100 0 26 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes EXERCÍCIO 03 Componentes como válvulas apresentam função de risco crescente Encontre a Determine a função de confiabilidade após um ano de uso da válvula sabendo que Qual é a media de tempo para sua reposição EXERCÍCIO 04 Um engenheiro estima a confiabilidade de uma máquina de corte chegando à seguinte expressão 1 Determine a função taxa de falhas 2 Determine o MTTF 27 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes EXERCÍCIO 04 Um engenheiro estima a confiabilidade de uma máquina de corte chegando à seguinte expressão 1 Determine a função taxa de falhas 2 Determine o MTTF 28 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes EXERCÍCIO 05 Capacitores cerâmicos têm a função taxa de falhas constante com valor falhas por hora Qual será a função de sobrevivência após um ano Após Recebimento de um carregamento desses capacitores decidese fazer um teste de 5000 horas com uma amostra de 2000 capacitores Quantos capacitores devem falhar durante o teste 29 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes EXERCÍCIO 05 Capacitores cerâmicos têm a função taxa de falhas constante com valor falhas por hora Qual será a função de sobrevivência após um ano Após Recebimento de um carregamento desses capacitores decidese fazer um teste de 5000 horas com uma amostra de 2000 capacitores Quantos capacitores devem falhar durante o teste EXERCÍCIO 06 20 testes de confiabilidade foram realizado em 20 um determinando item e o tempo até a falha em horas foi apontando para cada um dos componentes ver tabela Considerando que o período de análise foi considerado até que todos os componentes tivessem falhado pedese 1 Plote um gráfico de linhas horizontais conforme slide 3 2 Estime o e a taxa de falhas utilizando os dados da tabela 3 Considerando um tempo contínuo de com intervalos de 10 horas calcule o número de falhas e o número de sobreviventes para cada intervalo faça uma tabela 4 Utilizando as fórmulas do Exercício 01 estime as funções faça as interpretações e plote os gráficos 5 Utilizando a distribuição exponencial estime as funções faça as interpretações e plote os gráficos 6 Verifique se os itens estão melhorando ou piorando item TTF 1 6 2 8 3 10 4 15 5 16 6 28 7 30 8 33 9 36 10 39 11 41 12 45 13 47 14 48 15 51 16 57 17 62 18 110 19 149 20 271 30 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes EXERCÍCIO 7 Considere os três grupos de dados a seguir O grupo no item a foi obtido testando o número de dias até a falha de lâmpadas elétricas em condições de uso contínuo o grupo no item b corresponde ao tempo até falha em mlilhares de horas de bombas submersas o grupo no item c corresponde a um teste com mecanismos de pouso de aviões os resultados estão em números de pousosdecolagens em condições normais Analise os grupos de dados e determine 1 Utilizando as equações do exercício 01 estime as funções 2 Utilizando a distribuição exponencial estime as funções 3 Utilizando a expressão do exercício 04 estime as funções utilizando 4 Escolha uma das análises anteriores e elabore um relatório com os gráficos das funções calculadas Necessário a interpretação dos resultados 5 Calcule o MTTF dos equipamentosPara as 3 análises 6 O tempo correspondente a uma confiabilidade de para os equipamentos Para as 3 análises 31 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes 201 987 2564 6626 204 1153 2672 6689 215 1169 3326 7027 325 1909 3786 7507 353 1918 4174 7711 56 2192 4331 907 636 2345 5224 9522 741 2357 5604 10724 781 2533 577 11684 82 2542 5817 item a Lâmpadas 589 573 38 268 274 897 163 412 397 207 148 1022 632 58 754 311 607 151 1106 137 30 414 395 1717 138 236 511 627 1067 305 405 28 127 143 365 387 477 118 145 188 811 495 723 20 1742 127 208 65 243 593 19 218 32 1255 219 586 295 101 1653 466 468 7756 265 113 284 433 34 552 428 245 185 435 669 51 137 1944 322 482 328 202 448 646 285 106 291 194 476 1081 986 114 234 689 798 1238 273 166 18 135 561 363 item b Bombas submersas 209373 192957 180767 105501 166188 165041 158686 194558 213005 144985 156725 195975 166066 158642 195587 192747 19485 186464 195933 270466 135726 145853 258143 186277 155793 191013 9797 167858 167248 186314 155257 20822 158545 150632 838493 119507 201306 222716 173427 206172 123282 160037 207035 262312 220683 127863 21788 197828 158458 122426 221796 207395 162176 174318 209008 111102 234696 261385 21370 143012 item c Trens de pouso 32 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes EXERCÍCIO 08 Um componente mecânico sujeito a estresse cíclico apresenta um tempo até falha normalmente distribuído com media 1980 ciclos e desviopadrão de 350 ciclos O fabricante oferece uma garantia de um ano com total reposição do componente no caso de falha em um ano estimase uma média de 1580 ciclos de uso do componente Cada reposição custa para o fabricante Elabore um relatório com as seguintes informações 1 Apresente os gráficos de confiabilidade densidade de probabilidade e taxa de falha do componente mecânico 2 Para cada 1000 componentes vendidos qual o custo esperado para o fabricante incorrido com reposições dentro do prazo de garantia 3 O fabricante deseja um custo com reposição na garantia mil peças vendidas Considerando o nível de confiabilidade atual qual deveria ser o prazo de garantia oferecido pelo fabricante para o produto GESTÃO DA MANUTENÇÃO Prof Dr Rafael da Silva Fernandes Aula 06 Medidas de Confiabilidade 2 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes NBR 5462 1994 Conceitos Básicos Sistema ou Item é qualquer parte componente dispositivo subsistema unidade funcional equipamento ou sistema que possa ser considerado individualmente Sistema não reparável é aquele que é descartado após a falha Sistema reparável é aquele no qual uma vez ocorrida a falha este pode ser restaurado a uma condição operacional através de alguma operação de reparo sem que haja a necessidade de substituição do sistema como um todo Nesta secção iremos discutir as similaridades e diferenças entre Sistemas Reparáveis e Sistemas NãoReparáveis 4 Aula 06 Medidas de Confiabilidade Rafael da Silva Fernandes Em Sistemas NãoReparáveis o tempo de vida de um sistema é uma variável aleatória e assim o sistema ou equipamento é descartado após a ocorrência da falha Dado que a falha ocorre uma única vez e não afeta o desempenho do sistema e que um sistema não interfere na ocorrência de um outro sistema similar temos que o tempo de vida ou tempo até a falha TTF são independentes e a distribuição de falhas para um mesmo conjunto de equipamentos similares seguem uma mesma distribuição Exemplo 01 Os dados na tabela a seguir são tempos até falha TTF apresentados em ordem crescente medidos a partir de uma amostra de 50 unidades de um determinado componente eletromecânico 15 119 158 218 301 23 121 162 225 312 62 125 167 230 330 78 128 171 237 345 80 132 175 243 357 85 137 183 255 360 97 140 189 264 372 105 145 190 272 383 110 149 197 273 415 112 153 210 282 436 ITEM TTF ITEM TTF 1 15 26 183 2 23 27 189 3 62 28 190 4 78 29 197 5 80 30 210 6 85 31 218 7 97 32 225 8 105 33 230 9 110 34 237 10 112 35 243 11 119 36 255 12 121 37 264 13 125 38 272 14 128 39 273 15 132 40 282 16 137 41 301 17 140 42 312 18 145 43 330 19 149 44 345 20 153 45 357 21 158 46 360 22 162 47 372 23 167 48 383 24 171 49 415 25 175 50 436 O item 1 falhou com 15 horas O item 2 falhou com 23 horas 𝑡1 Não ocorrerá falha no intervalo 𝑡 tempo até a falha 5 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Quantas unidades falharam antes de horas No exemplo suponha que os componentes são testados de forma automática e a cada 1 hora um engenheiro de confiabilidade verifica o número de unidades com falhas 𝑡 Nas primeras 48 horas quantas unidades falharamE até 240 horas 6 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Ao plotar o histograma obtemos a distribuição de falhas para um mesmo conjunto de equipamentos similaressque seguem uma mesma distribuição t 0 0 48 2 96 6 144 17 192 28 240 34 288 40 336 43 384 48 432 49 480 50 é o número de unidades que falharam até um determinado tempo Se o número de equipamentos é um valor único e fixo no exemplo sendo itens então qual é o número de unidades que não falharam é o número de unidades que não falharam até um determinado tempo Logo Em outras palavras significa que o item sobreviveu até o tempo 7 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Ao plotar o histograma obtemos a distribuição de falhas para um mesmo conjunto de equipamentos similaressque seguem uma mesma distribuição é o número de unidades que falharam até um determinado tempo Se o número de equipamentos é um valor único e fixo no exemplo sendo itens então qual é o número de unidades que não falharam é o número de unidades que não falharam após um determinado tempo Logo Em outras palavras significa que o item sobreviveu após o tempo t 0 0 50 48 2 48 96 6 44 144 17 33 192 28 22 240 34 16 288 40 10 336 43 7 384 48 2 432 49 1 480 50 0 8 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Matematicamente é expressa pela formula Uma formula aproximada de é dada por Logo a distribuição de falhas é denominada função densidade de falhas e representa a variação de probabilidade de falhas por unidade de tempo Graficamente é representada por uma função distribuição de probabilidades t 0 0 50 000000 48 2 48 004000 96 6 44 008000 144 17 33 022000 192 28 22 022000 240 34 16 012000 288 40 10 012000 336 43 7 006000 384 48 2 010000 432 49 1 002000 480 50 0 002000 𝛥 𝑡48 Suponha que você esteja interessado em avaliar o risco de falha após um determinado tempo Especificamente buscamos encontrar o limite da probabilidade de uma unidade falhar pela primeira e única vez em um pequeno intervalo dado que sobreviveu ao início do intervalo 𝑡 2 Δ 𝑡𝑡2 𝑡1 𝑡 𝑡1 Uma fórmula aproximada de é dada por 9 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Suponha que você esteja interessado em avaliar o risco de falha após um determinado tempo Especificamente buscamos encontrar o limite da probabilidade de uma unidade falhar pela primeira e única vez em um pequeno intervalo dado que sobreviveu ao início do intervalo 𝑡 2 Δ 𝑡𝑡2 𝑡1 𝑡 𝑡1 Uma fórmula aproximada de é dada por t 0 0 50 000000 0 48 2 48 004000 0041667 96 6 44 008000 0090909 144 17 33 022000 0333333 192 28 22 022000 0500000 240 34 16 012000 0375000 288 40 10 012000 0600000 336 43 7 006000 0428571 384 48 2 010000 2500000 432 49 1 002000 1000000 480 50 0 002000 Assim a probabilidade de um item falhar após 96 horas de operação no intervalo de é de falhas por hora 10 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Qual é a probabilidade de falha do componente eletromecânico em uma missão de duração menor ou igual a é a função acumulada de falhas Mostra a probabilidade de falha entre um período de tempo Graficamente é representada por uma função de distribuição de densidade acumulada Matematicamente é expressa pela formula Aproximadamente t 0 0 50 000000 0 000000 48 2 48 004000 0041667 004000 96 6 44 008000 0090909 012000 144 17 33 022000 0333333 034000 192 28 22 022000 0500000 056000 240 34 16 012000 0375000 068000 288 40 10 012000 0600000 080000 336 43 7 006000 0428571 086000 384 48 2 010000 2500000 096000 432 49 1 002000 1000000 098000 480 50 0 002000 100000 11 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Qual é a probabilidade de falha do componente eletromecânico em uma missão de duração menor ou igual maior que é a função de confiabilidade Mostra a probabilidade de falha entre após um período de tempo Graficamente é representada pelo complemento da função de distribuição de densidade acumulada Matematicamente é expressa pela formula Aproximadamente t 0 0 50 000000 0 000000 1000 48 2 48 004000 0041667 004000 0960 96 6 44 008000 0090909 012000 0880 144 17 33 022000 0333333 034000 0660 192 28 22 022000 0500000 056000 0440 240 34 16 012000 0375000 068000 0320 288 40 10 012000 0600000 080000 0200 336 43 7 006000 0428571 086000 0140 384 48 2 010000 2500000 096000 0040 432 49 1 002000 1000000 098000 0020 480 50 0 002000 100000 0000 12 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Definição 01 Função de Distribuição Acumulada A função de distribuição acumulada fda é uma variável aleatória e é definica pela função Dado de o tempo de vida deve ser nãonegative a distribuição de probabilidade deve ser uma probabilidade positive ao longo do eixo x Em outras palavras Definição 02 Função Densidade de Probabilidade A função densidade de probabilidade fdp é definida a partir da derivada de fda desde que a derivada exista ou seja 13 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Suponha unidade idênticas submetidas a teste em condições predefinidas Transcorrido o intervalo unidades falharam e unidades sobreviveram tal que A confiabilidade da unidade é definida como a sua probabilidade acumulada de sucesso assim em um tempo a função confiabilidade é Definição 03 Função de Confiabilidade A função confiabilidade também chamado de função de sobrevivência é a probabilidade de um sistema realizar sua missão durante o tempo A função confiabilidade avaliada em é justamente a probabilidade que o tempo de falha esteja além do tempo Então a função de confiablidade está relacionada com a fda da seguinte forma 14 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes A função de risco pode ser derivada usando a probabilidade condicional Considere inicialmente a probabilidade da falha entre dada por Condicionado no evento de a unidade estar operando no tempo chegase à seguinte expressão Uma taxa de falha média no intervalo pode ser obtida dividindo a as duas equações acima por Supondo obtémse a taxa de falha instantânea que é a função de risco 15 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Definição 04 Função Taxa de Falha Teorema 01 Para uma variável continua a função taxa de falha é Prova 16 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Uma propriedade para é Ou seja já que estamos lidando com variáveis aleatórias que têm toda a probabilidade no eixo não negativo A função taxa de falha não precisa se integrar a um e de fato para a maioria das distribuições que estudamos o risco não se integrará a um Desta forma precisa satisfazer as seguintes condições Para um sistema cuja função taxa de falha está aumentando isso significa que no limite a probabilidade de falha em um pequeno intervalo dividida pela duração do intervalo está aumentando com o tempo A unidade de medida em uma função taxa de falha é normalmente dada em termos de falhas por unidade de tempo 17 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes A forma da função de risco é um indicativo da maneira como uma unidade envelhece Como a função taxa de falha pode ser interpretada como a quantidade de risco a que uma unidade está exposta em um tempo um valor pequeno para a função de risco implica uma unidade exposta a uma menor quantidade de risco Existem três classificações básicas para a função taxa de falha ou taxa de risco i Função de risco crescente FRC em que a incidência de risco decresce com o tempo ii Função de risco decrescente FRD em que a incidência de risco cresce com o tempo iii Função de risco constante ou estacionária FRE em que a unidade está exposta a uma mesma quantidade de risco em qualquer momento do tempo 18 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes 19 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes A unidade de medida em uma função de risco é normalmente dada em termos de falhas por unidade de tempo A forma da função de risco é um indicativo da maneira como uma unidade envelhece Como a função de risco pode ser interpretada como a quantidade de risco a que uma unidade está exposta em um tempo um valor pequeno para a função de risco implica uma unidade exposta a uma menor quantidade de risco Existem três classificações básicas para a função de risco i Função de risco crescente FRC em que a incidência de risco cresce com o tempo ii Função de risco decrescente FRD em que a incidência de risco decresce com o tempo iii Função de risco constante ou estacionária FRE em que a unidade está exposta a uma mesma quantidade de risco em qualquer momento do tempo 20 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Teorema 02 Para uma variável contínua a função taxa de falha a fda e fdp são dadas por Prova Dado que temos que Esta é uma equação diferencial separável de primeira ordem Para resolvêlo integre ambos os lados de e mude a variável de integração de Isso resulta em 21 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Definição 05 Função Taxa de Falha Acumulada A função acumulada de risco oferece uma representação alternativa da função taxa de falha na forma de uma função nãodecrescente no tempo Entretanto de maneira análoga as funções de distribuição a maioria das funções acumuladas de risco se assemelha na forma independente da distruibção que modelo os tempos de falhas Definição 06 Tempo Médio até a Falha MTTF Mean Time to Failure Ou seja tratase do valor esperado ou tempo esperado da variável 22 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Exemplo 02 Lâmpadas elétricas costumam apresentar tempos até a falha descritos por uma distribuição exponencial com função de densidade dada por A função de distribuição acumulada é então dada por A função de confiabilidade das lâmpadas podem ser obtida por aplicação direta da equação logo A função taxa de falha das lâmpadas pode ser determinada da seguinte forma Como é uma constante concluise que a função taxa de falha da distribuição exponencial é do tipo FREConstante no tempo 23 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes Usualmente é denominada como taxa de falhas De outra forma a taxa de falhas é a frequência com que as falhas ocorrem num certo intervalo de tempo medida pelo número de falhas para cada hora de operação ou número de Operações do Sistema ou componente A função taxa de falhas acumulada é Por fim o inverso da taxa de falhas é conhecido como 24 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes EXERCÍCIO 01 Uma fábrica de bobinas para motores está interessada em estimar a vida media de suas bobinas Para tanto foram submetidas a testes de confiabilidade 150 bobinas As bobinas foram observadas e as falhas anotadas em intervalos de tempo O número de falhas por intervalo de tempo é mostrado na tabela a seguir Estime 1 A função de densidade 2 A função taxa de falha 3 A função de confiabilidade 4 A função de probabilidade acumulada 5 Plote os gráficos destas funções Intervalo de tempo horas Falhas no intervalo 01000 16 10012000 24 20013000 26 30014000 46 40015000 38 25 Resolução passo a passo do exercício 1 Função de Densidade de Falha ft A função de densidade de falha ft representa a probabilidade instantânea de uma bobina falhar em um determinado tempo dado que ainda está funcionando até esse instante Ela é estimada como a razão entre o número de falhas no intervalo de tempo e o número de bobinas em operação no início do intervalo Para o último intervalo 40015000 todas as bobinas falharam então ft 1 O número de bobinas em operação no início do próximo intervalo é o número de bobinas que ainda não falharam no final do intervalo anterior Intervalo de tempo horas Falhas no intervalo Número de bobinas em operação ft 01000 16 150 1067 10012000 24 134 1791 20013000 26 110 2364 30014000 46 84 5476 40015000 38 38 12000 26 2 Função Taxa de Falha ht A função taxa de falha ht representa a probabilidade condicional de uma bobina falhar em um determinado tempo dado que ainda está funcionando até esse instante Ela é calculada como a razão entre a função de densidade de falha ft e a função de confiabilidade Rt Intervalo de tempo horas ft Rt ht 01000 1067 1 1067 10012000 1791 8933 2004 20013000 2364 7143 3312 30014000 5476 4629 11814 40015000 1 0 A função ht não é definida para o último intervalo 4001 5000 porque a função de confiabilidade Rt é zero Isso significa que todas as bobinas já falharam nesse intervalo 27 3 Função de Confiabilidade Rt A função de confiabilidade Rt representa a probabilidade de uma bobina ainda estar funcionando em um determinado tempo Ela é estimada como o produto das probabilidades de não falhar em cada intervalo de tempo anterior Intervalo de tempo horas Rt 01000 1 10012000 8933 20013000 7143 30014000 4629 40015000 0 28 4 Função de Probabilidade Acumulada Ft A função de probabilidade acumulada Ft representa a probabilidade de uma bobina falhar até um determinado tempo Ela é calculada como 1 menos a função de confiabilidade Rt Intervalo de tempo horas Ft 01000 0 10012000 1067 20013000 02 29 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes EXERCÍCIO 02 Na tabela a seguir é apresentado o resultado de um ensaio de confiabilidade no qual 1000 components foram ensaiados em 10 meses Estime 1 A função de densidade 2 A função taxa de falha 3 A função de confiabilidade 4 A função de probabilidade acumulada 5 Plote os gráficos destas funções tempo t Mês Número de Sobreviventes 0 1000 2 994 4 986 10 971 20 951 30 924 40 883 50 810 60 677 70 454 80 181 90 21 100 0 30 1 Função de Densidade de Falha ft A função de densidade de falha ft representa a probabilidade instantânea de um componente falhar em um determinado tempo t dado que ele ainda esteja funcionando até esse momento Para estimar ft para cada mês utilizaremos a seguinte fórmula ft Número de falhas no mês Número de componentes sobreviventes no início do mês Mês Número de Falhas Número de Sobreviventes ft 2 6 994 60 4 8 986 81 10 23 971 237 20 28 951 294 30 33 924 357 40 36 883 407 50 73 810 901 60 123 677 1814 70 193 454 4251 80 160 261 6130 90 140 101 13861 100 101 0 31 2 Função Taxa de Falha ht A função taxa de falha ht representa a probabilidade instantânea de um componente falhar em um determinado tempo t independentemente de quanto tempo ele já tenha funcionado Para estimar ht para cada mês utilizaremos a seguinte fórmula ht ft 1 Ft Onde Ft é a função de probabilidade acumulada que será calculada no passo 4 3 Função de Confiabilidade Rt A função de confiabilidade Rt representa a probabilidade de um componente não falhar até um determinado tempo t Para estimar Rt para cada mês utilizaremos a seguinte fórmula Rt Número de sobreviventes no mês Número de componentes no início do estudo 32 Mês Número de Sobreviventes Rt 2 994 994 4 986 986 10 971 971 20 951 951 30 924 924 40 883 883 50 810 810 60 677 677 70 454 454 80 261 261 90 101 101 100 0 0 33 4 Função de Probabilidade Acumulada Ft A função de probabilidade acumulada Ft representa a probabilidade de um componente falhar até um determinado tempo t Para estimar Ft para cada mês utilizaremos a seguinte fórmula Ft 1 Rt Mês Rt Ft 2 994 6 4 986 14 10 971 29 20 951 49 34 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes EXERCÍCIO 03 Componentes como válvulas apresentam função de risco crescente Encontre a Determine a função de confiabilidade após um ano de uso da válvula sabendo que Qual é a media de tempo para sua reposição EXERCÍCIO 04 Um engenheiro estima a confiabilidade de uma máquina de corte chegando à seguinte expressão 1 Determine a função taxa de falhas 2 Determine o MTTF 35 Exercicio 03 ht Função de taxa de falha ou hazard function Neste caso é constante e igual a λ onde λ é a taxa de falha ft Função de densidade de probabilidade PDF Ft Função de distribuição acumulada CDF Rt Função de confiabilidade Ht Função de risco acumulado 36 Dado que ℎtλ temos ftλ e dtλt A função de confiabilidade é dada por Rt1Ft1λt A função de risco acumulado é dada por Agora podemos calcular a função de confiabilidade após um ano de uso onde t8760 horas R87601λ8760 R87601 258760 Podemos calcular o valor numérico R87601 258760 R87601 0219 0781 R8760 0781 Então a função de confiabilidade após um ano de uso da válvula é aproximadamente 0781 Agora para determinar a média de tempo para sua reposição podemos usar a média da distribuição exponencial inversa que é o inverso da taxa de falha Portanto a média de tempo para reposição é 37 Dado que λ25 por hora temos Média de tempo para reposição125 Média de tempo para reposição Média de tempo para reposição40000 horas Portanto a média de tempo para a reposição da válvula é de 40000 horas 38 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes EXERCÍCIO 04 Um engenheiro estima a confiabilidade de uma máquina de corte chegando à seguinte expressão 1 Determine a função taxa de falhas 2 Determine o MTTF 39 Para determinar a função taxa de falhas ht que é a derivada da função de confiabilidade Rt em relação a t dividida por Rt você já calculou corretamente Agora para calcular o MTTF Mean Time To Failure precisamos integrar a função de confiabilidade Rt de 0 até A função de confiabilidade é dada por Então a integral para calcular o MTTF é Vamos calcular essa integral t t²t₀₀ᵗ₀ t³3t₀²₀ᵗ₀ t₀ t₀²t₀ t₀³3t₀² t₀ t₀ t₀3 t₀3 Portanto o MTTF t₀3 41 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes EXERCÍCIO 05 Capacitores cerâmicos têm a função taxa de falhas constante com valor falhas por hora Qual será a função de sobrevivência após um ano Após Recebimento de um carregamento desses capacitores decidese fazer um teste de 5000 horas com uma amostra de 2000 capacitores Quantos capacitores devem falhar durante o teste 42 Função de sobrevivência após um ano A função de sobrevivência Rt é dada por Onde λ é a taxa de falhas dada como λ 3 falhas por hora e t é o tempo em horas Após um ano temos t8760 horas Portanto 43 Probabilidade de que um capacitor não falhe durante um teste de 5000 horas Para encontrar essa probabilidade usamos a função de sobrevivência Assim PT50001R5000 Substituímos t5000 horas na função de sobrevivência 44 Número de capacitores que devem falhar durante o teste Como temos uma amostra de 2000 capacitores e queremos determinar quantos falharão durante o teste de 5000 horas multiplicamos a probabilidade de falha de um único capacitor calculada no passo 2 pelo número total de capacitores Número de capacitores que devem falhar Para calcular este valor numericamente utilizaremos a aproximação para simplificar Portanto 45 Isso implica que é praticamente certo que pelo menos um capacitor falhará durante o teste de 5000 horas 46 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes EXERCÍCIO 05 Capacitores cerâmicos têm a função taxa de falhas constante com valor falhas por hora Qual será a função de sobrevivência após um ano Após Recebimento de um carregamento desses capacitores decidese fazer um teste de 5000 horas com uma amostra de 2000 capacitores Quantos capacitores devem falhar durante o teste EXERCÍCIO 06 20 testes de confiabilidade foram realizado em 20 um determinando item e o tempo até a falha em horas foi apontando para cada um dos componentes ver tabela Considerando que o período de análise foi considerado até que todos os componentes tivessem falhado pedese 1 Plote um gráfico de linhas horizontais conforme slide 3 2 Estime o e a taxa de falhas utilizando os dados da tabela 3 Considerando um tempo contínuo de com intervalos de 10 horas calcule o número de falhas e o número de sobreviventes para cada intervalo faça uma tabela 4 Utilizando as fórmulas do Exercício 01 estime as funções faça as interpretações e plote os gráficos 5 Utilizando a distribuição exponencial estime as funções faça as interpretações e plote os gráficos 6 Verifique se os itens estão melhorando ou piorando item TTF 1 6 2 8 3 10 4 15 5 16 6 28 7 30 8 33 9 36 10 39 11 41 12 45 13 47 14 48 15 51 16 57 17 62 18 110 19 149 20 271 47 Exercicio 05 A função de sobrevivência Rt é dada por Onde λ é a taxa de falhas dada como falhas por hora e t é o tempo em horas Após um ano temos t8760 horas Portanto 48 Quantos capacitores devem falhar durante o teste de 5000 horas Sabendo que a taxa de falhas é constante podemos usar a probabilidade de falha para calcular quantos capacitores devem falhar durante o teste de 5000 horas Isso implica que é praticamente certo que pelo menos um capacitor falhará durante o teste de 5000 horas 49 Exercicio 06 Cálculo da 100 Probabilidade de Falha em 100 Horas Para calcular a probabilidade de falha em 100 horas podemos utilizar a função de distribuição acumulada Ft dada no enunciado Ft 1 expλt Substituindo t 100 e λ 000025 na fórmula obtemos F100 1 exp000025 F100 00227 Portanto a probabilidade de um componente falhar em 100 horas é de aproximadamente 227 Cálculo da Confiabilidade em 500 Horas A confiabilidade Rt é o complemento da função de distribuição acumulada Rt 1 Ft Substituindo t 500 e λ 000025 na fórmula obtemos R500 1 1 exp000025 500 R500 09773 Portanto a confiabilidade de um componente em 500 horas é de aproximadamente 9773 50 Cálculo do Tempo Médio de Vida Útil MTTF O tempo médio de vida útil MTTF é a inversa da taxa de falha λ MTTF 1λ Substituindo λ 000025 na fórmula obtemos MTTF 1 000025 MTTF 4000 horas Portanto o tempo médio de vida útil de um componente é de aproximadamente 4000 horas Cálculo da Probabilidade de Falha entre 100 e 200 Horas Para calcular a probabilidade de falha entre 100 e 200 horas podemos utilizar a seguinte fórmula P100 T 200 F200 F100 Substituindo os valores de F100 e F200 calculados anteriormente obtemos P100 T 200 00454 00227 P100 T 200 00227 Portanto a probabilidade de um componente falhar entre 100 e 200 horas é de aproximadamente 227 51 Cálculo da Taxa de Falha Instantânea em 300 Horas A taxa de falha instantânea ht é a derivada da função de distribuição acumulada Ft em relação ao tempo t ht Ft Substituindo a função Ft dada no enunciado obtemos ht λ expλt Substituindo t 300 e λ 000025 na fórmula obtemos h300 000025 exp000025 300 h300 00002499 Portanto a taxa de falha instantânea em 300 horas é de aproximadamente 000025 52 Cálculo da Confiabilidade Condicional Substituindo os valores de F100 F200 F300 e F400 calculados anteriormente obtemos R100200 1 00454 1 00227 R100200 09773 Portanto a confiabilidade condicional de um componente funcionar por mais 100 horas dado que já funcionou por 200 horas é de aproximadamente 9773 7 Cálculo da Probabilidade de Falha em Operação Contínua por 400 Horas A probabilidade de falha em operação contínua por 400 horas é dada pela função de distribuição acumulada Ft F400 1 expλt Substituindo t 400 e λ 000025 na fórmula obtemos F400 1 exp000025 400 F400 00908 Portanto a probabilidade de um componente falhar em operação contínua por 400 horas é de aproximadamente 908 8 Discussão dos Resultados A probabilidade de um componente falhar em 100 horas é de 227 A confiabilidade de um componente em 500 horas é de 9773 O tempo médio de vida útil de um componente é de 4000 horas A probabilidade de um componente falhar entre 100 e 200 horas é de 227 A taxa de falha instantânea em 300 horas é de 000025 A confiabilidade condicional de um componente funcionar por mais 100 horas dado que já funcionou por 200 horas é de 9773 A probabilidade de um componente falhar em operação contínua por 400 horas é de 908 53 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes EXERCÍCIO 7 Considere os três grupos de dados a seguir O grupo no item a foi obtido testando o número de dias até a falha de lâmpadas elétricas em condições de uso contínuo o grupo no item b corresponde ao tempo até falha em mlilhares de horas de bombas submersas o grupo no item c corresponde a um teste com mecanismos de pouso de aviões os resultados estão em números de pousosdecolagens em condições normais Analise os grupos de dados e determine 1 Utilizando as equações do exercício 01 estime as funções 2 Utilizando a distribuição exponencial estime as funções 3 Utilizando a expressão do exercício 04 estime as funções utilizando 4 Escolha uma das análises anteriores e elabore um relatório com os gráficos das funções calculadas Necessário a interpretação dos resultados 5 Calcule o MTTF dos equipamentosPara as 3 análises 6 O tempo correspondente a uma confiabilidade de para os equipamentos Para as 3 análises 54 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes 201 987 2564 6626 204 1153 2672 6689 215 1169 3326 7027 325 1909 3786 7507 353 1918 4174 7711 56 2192 4331 907 636 2345 5224 9522 741 2357 5604 10724 781 2533 577 11684 82 2542 5817 item a Lâmpadas 589 573 38 268 274 897 163 412 397 207 148 1022 632 58 754 311 607 151 1106 137 30 414 395 1717 138 236 511 627 1067 305 405 28 127 143 365 387 477 118 145 188 811 495 723 20 1742 127 208 65 243 593 19 218 32 1255 219 586 295 101 1653 466 468 7756 265 113 284 433 34 552 428 245 185 435 669 51 137 1944 322 482 328 202 448 646 285 106 291 194 476 1081 986 114 234 689 798 1238 273 166 18 135 561 363 item b Bombas submersas 209373 192957 180767 105501 166188 165041 158686 194558 213005 144985 156725 195975 166066 158642 195587 192747 19485 186464 195933 270466 135726 145853 258143 186277 155793 191013 9797 167858 167248 186314 155257 20822 158545 150632 838493 119507 201306 222716 173427 206172 123282 160037 207035 262312 220683 127863 21788 197828 158458 122426 221796 207395 162176 174318 209008 111102 234696 261385 21370 143012 item c Trens de pouso 55 Aula 06 Medidas de Confiabilidade MEDIDAS DE CONFIABILIDADE Rafael da Silva Fernandes EXERCÍCIO 08 Um componente mecânico sujeito a estresse cíclico apresenta um tempo até falha normalmente distribuído com media 1980 ciclos e desviopadrão de 350 ciclos O fabricante oferece uma garantia de um ano com total reposição do componente no caso de falha em um ano estimase uma média de 1580 ciclos de uso do componente Cada reposição custa para o fabricante Elabore um relatório com as seguintes informações 1 Apresente os gráficos de confiabilidade densidade de probabilidade e taxa de falha do componente mecânico 2 Para cada 1000 componentes vendidos qual o custo esperado para o fabricante incorrido com reposições dentro do prazo de garantia 3 O fabricante deseja um custo com reposição na garantia mil peças vendidas Considerando o nível de confiabilidade atual qual deveria ser o prazo de garantia oferecido pelo fabricante para o produto 56 Custo Esperado de Reposição por 1000 Componentes Cálculo da Confiabilidade em 1 Ano 1580 Ciclos Utilizando a função de distribuição normal acumulada Ft com média de 1980 ciclos e desvio padrão de 350 ciclos a confiabilidade em 1580 ciclos R1580 é de aproximadamente 08413 Cálculo da Probabilidade de Falha em 1 Ano A probabilidade de falha em 1 ano Q1580 é de 1 R1580 01587 Cálculo do Número Esperado de Falhas por 1000 Componentes O número esperado de falhas por 1000 componentes N é de 1000 Q1580 1587 Cálculo do Custo Esperado de Reposição por 1000 Componentes O custo esperado de reposição por 1000 componentes C é de N Ccusto 1587 R 100 R 15870 57 Definição do Prazo de Garantia para Custo Esperado de R 50 por 1000 Componentes Cálculo da Probabilidade de Falha Aceitável A probabilidade de falha aceitável Q para um custo de R 50 por 1000 componentes é de Q Ccusto Ccusto Rcusto R 50 R 50 R 100 03333 Cálculo do Tempo de Falha para Probabilidade de Falha de 03333 Utilizando a função inversa da distribuição normal acumulada F1t com probabilidade de 03333 o tempo de falha T é de aproximadamente 1750 ciclos 58 Definição do Prazo de Garantia Com base no tempo de falha de 1750 ciclos o fabricante pode oferecer um prazo de garantia de aproximadamente 1 ano e 2 meses considerando 1580 ciclos de uso anual Considerações Finais O gráfico de confiabilidade mostra que a probabilidade de o componente funcionar por pelo menos 1 ano é de 8413 O gráfico de densidade de probabilidade indica que a maioria das falhas ocorre entre 1630 e 2330 ciclos O gráfico de taxa de falha mostra que a taxa de falha é constante ao longo do tempo O custo esperado de reposição por 1000 componentes dentro do prazo de garantia de 1 ano é de R 15870 Para um custo esperado de R 50 por 1000 componentes o fabricante pode oferecer um prazo de garantia de aproximadamente 1 ano e 2 meses 40 59