Lista 1-2023-1

Lista 1 1. Problemas: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 14, 16 da seção 2.1. 2. Problemas: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 15, 17, 18, 19, 20 da seção 2.2. 3. Problemas: 1, 2, 5, 6, 7, 8, 18, 19, 20 da seção 2.3. 2.2 1. Utilize manipulação algébrica para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto fixo em p precisamente quando f(p) = 0, em que f(x) = x⁴ + 2x² – x – 3. a. g₁(x) = (3 + x – 2x²) ¹/⁴ b. g₂(x) = (x + 3 – x²)/2 c. g₃(x) = (x + 3/x + 2) ¹/² d. g₄(x) = (3x⁴ + 2x² + 3)/(4x³ + 4x – 1) 2. Se possível, cite quatro iterações em cada função g definida no Exercício 1. Faça p₀ = 1 e p₁ = g(p₁), para n = 0, 1, 2, 3. 3. Qual é a função que você acredita que vai fornecer a melhor aproximação da solução? a. x = (x³ + 1)/2, p₀ = 1 b. x = x – √(1 – 2x), p₀ = 1 4. Seja f(x) = x⁴ + 3x² – 2. Para resolver f(x) = 0, são propostos os seguintes quatro problemas de ponto fixo. Deduza cada método de ponto fixo e calcule p₁, p₂, p₃, p₄ e p₅. Quais métodos parecem adequados? a. x = √(2 – x³), p₀ = 1 b. x = ⅔√(2 – 3x), p₀ = 1 c. x = – x⁴/3x², p₀ = 1 d. x = √(2 – 3x)/x, p₀ = 1 6. Os quatro métodos a seguir são propostos para o cálculo de ⁷√5. Classifique-os de acordo com sua velocidade de convergência aparente, supondo p₀ = 1. a. pⁿ = (1 + pⁿ – 1)/pⁿ⁻¹ ❬7❭ b. pⁿ = pₙ – 1. pⁿ⁻¹⁷/pⁿ⁻¹ – 1 c. pⁿ = pₙ⁺1 – pⁿ⁻¹⁷/5pⁿ – 1 d. ... 8. Utilize um método de iteração de ponto fixo para determinar uma solução com precisão de 10⁻² para x – x² – 1 = 0 em [1, 2]. Utilize p₀ = 1. 15. Determine todos os zeros de f(x) = x³ + 10 cos x, utilizando a iteração de ponto fixo para uma função de iteração adequada. Determine os zeros com precisão de 10⁻⁴. 17. Utilize um método de iteração de ponto fixo para determinar uma solução com precisão de 10⁻² para x = 2 sen (πx) + x = 0, para x em [1, 2]. Utilize p₀ = 1. EXERCÍCIO APLICADO 18. Um objeto em queda vertical no ar está sujeito à resistência viscosa, bem como à força da gravidade. Suponha que um objeto com massa m seja solto a uma altura x, e que a altura do objeto após s segundos seja \[ x = mg/k (1 - \frac{s}{τ}) - e^{-mt / k} \] onde g = 32.17 pés/s² e k representa o coeficiente de resistência do ar em lb-s/pé. Suponha que s = 300 pés, m = 0.25 lb e k = 0.1 lb-s/pé. Determine, com precisão de 0.01 s, o tempo decorrido até que o objeto alcance o solo. EXERCÍCIOS TEÓRICOS 19. Sejam g ∈ C[a, b] e p em (a, b), com g(p) = p e |g'(p)| > 1. Mostre que existe um δ > 0 tal que se 0 < |p₀ – p| < δ, então |p₁ – p| < |p₀ – p|. Desse modo, independentemente de quão próxima a aproximação inicial p₀ esteja de p, a próxima iteração p₁ estará mais afastada, de modo que a iteração de ponto fixo não convergirá, caso p₀ ≠ p. 20. Seja μ uma constante positiva dada a g(x) = 2x – λx². a. Mostre que, se a iteração de ponto fixo convergir para um limite não nulo, o limite será p = 1/λ, de modo que o inverso de um número possa ser determinado simplesmente por meio de multiplicações e subtrações. b. Determine um intervalo em torno de 1/λ para o qual a iteração de ponto fixo converja, desde que p₀ esteja neste intervalo.