P1 - Cálculo Numérico 2022-2

UFRRJ - ICE - DEMAT Primeira Prova de C´alculo Num´erico 1) Seja f(x) = x(x − 1)(x + 1) a) Podemos afirma que h´a pelo menos uma raiz para a func¸˜ao f(x) no intervalo a0 = −2 e b0 = −0.25? Podemos afirmar que h´a apenas uma raiz para f(x) neste intervalo? Justifique. (1,0 ponto) b) Fac¸a 4 iterac¸˜oes do M´etodo da Bissec¸˜ao considerando a0 = −2 e b0 = −0.25. (1,0 ponto) c) Fac¸a 4 iterac¸˜oes do M´etodo da Posic¸˜ao Falsa considerando a0 = −2 e b0 = −0.25. (1,0 ponto) d) Estime o n´umero de iterac¸˜oes que o M´etodo da Bissec¸˜ao levar´a para encontrar a soluc¸˜ao da equac¸˜ao, dado que a0 = −2, b0 = −0.25 e ϵ = 10−3. Use log(2) = 0.3010 (1,0 ponto) e) Encontre o intervalo I para o qual, se tomarmos x0 ∈ I e ϕ(x) = x3, o M´etodo do Ponto Fixo ir´a convergir para algumas das ra´ızes de f(x). (1,0 pontos) f) Fac¸a 4 iterac¸˜oes do M´etodo do Ponto Fixo considerando x0 = 0.5 e ϕ(x) = x3. (1,0 ponto) g) Fac¸a 4 iterac¸˜oes do M´etodo de Newton-Raphson considerando x0 = 0.5. (1,0 ponto) h) Compare e analise os valores das iterac¸˜oes obtidas nos itens f e g. (1,0 ponto) 2) Considerando o sistema de equac¸˜oes lineares abaixo x1 + x2 + x3 = 1 2x1 + x2 − x3 = 1 3x1 + 2x2 = 1 a) Encontre a soluc¸˜ao do sistema utilizando o M´etodo de Eliminac¸˜ao de Gauss, se poss´ıvel. (1,0 pontos) b) Encontre a soluc¸˜ao do sistema utilizando a fatorac¸˜ao LU de A, se poss´ıvel. (1,0 pontos) Boa prova!!!! 1