Decomposicao-de-Matrizes-Simetricas-e-Antissimetricas-em-R2x2

Uma matriz simétrica é necessariamente uma matriz quadrada onde essa matriz A será exatamente igual a sua matriz transposta A At Já uma matriz antissimétrica é uma matriz quadrada onde sua transposta é igual a sua matriz oposta A At Mostre que V R2x2 U W em que U é o conjunto das matrizes simétricas e W é o conjunto das matrizes antissimétricas Enunciado uma matriz simetrica é necessariamente uma matriz quadrada onde essa matriz A será exatamente igual a sua matriz transposta AAt já uma matriz antissimétrica é uma matriz quadrada onde sua transposta é igual a sua matriz oposta AAtmostre que V R2x2UW em que U é o conjugado das matrizes simetricas e W é o conjunto das matrizes antissimetricas Para mostrar que V R2 x 2 U W onde U é o conjunto de matrizes simétricas e W é o conjunto de matrizes antissimétricas devemos mostrar que Qualquer matriz A em V pode ser escrita como uma soma de uma matriz simétrica S e uma matriz antissimétrica T Qualquer matriz simétrica S pertence a U mas não pertence a W Qualquer matriz antissimétrica T pertence a W mas não pertence a U Seja A inversa de V Podemos escrever A como a soma de suas partes simétrica e antissimétrica da seguinte maneira A 12A AT 12A AT A primeira parcela é claramente simétrica e a segunda parcela é claramente antissimétrica Portanto A pode ser escrita como uma soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica Seja S uma matriz simétrica Então S ST e STT S Portanto S é igual a sua própria transposta e pertence a U No entanto ST1 S1T então se S é a inversa de W temos que S1 S e S1T ST Mas isso implica que S S o que só é verdadeiro se S 0 que não é permitido pois S precisa ser uma matriz simétrica não nula Seja T uma matriz antissimétrica Então TT T e TTT T Portanto T é igual à sua própria transposta com sinal trocado e pertence a W Se T é a inversa de U então TT T mas isso implica que T T o que só é verdadeiro se T 0 que não é permitido pois T precisa ser uma matriz antissimétrica não nula Portanto concluímos que V U W onde U é o conjunto das matrizes simétricas e W é o conjunto das matrizes antissimétricas