Correlação e Regressão Linear: Análise de Relações entre Variáveis

Correlação e Linear Regressão Professora Andréa Maria Ritter Já trabalhamos com a descrição de valores de uma única variável Quando porém consideramos observações de duas ou mais variáveis surge um novo problema as relações que podem existir entre as variáveis estudadas Assim quando consideramos variáveis como peso e estatura de um grupo de pessoas uso do cigarro e incidência do câncer procuramos verificar se existe alguma relação entre as variáveis de cada um dos pares e qual dessa relação Uma vez caracterizada a relação procuramos descrevêla através de uma função matemática A regressão é o instrumento adequado para determinação dos parâmetros dessa função Se todos os valores da variável satisfazem exatamente uma equação dizse que elas estão perfeitamente correlacionadas Quando estão em jogo somente duas variáveis falase em correlação e regressão simples Quando se trata de mais de duas variáveis falase em correlação e regressão múltipla CORRELAÇÃO O objetivo do estudo correlacional é a determinação da força do relacionamento entre duas observações Há muitos casos em que pode existir um relacionamento entre duas variáveis Consideremos por exemplo A idade e a resistência física estão correlacionadas Pessoas com maior renda tendem a apresentar melhor escolaridade Estudantes com maior capacidade de leitura tendem a obter melhores resultados em cursos de matemática Então quando duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística dizemos que existe correlação entre elas Diagrama de dispersão Consideraremos uma amostra aleatória formada por dez dos 98 alunos de uma classe da Universidade A e pelas notas obtidas por eles em Matemática e Estatística N X Y 01 50 60 02 80 90 03 70 80 04 100 100 05 60 70 06 50 60 07 90 100 08 30 40 09 40 50 10 20 30 Representando em um sistema cartesiano coordenado cartesiano ortogonal os pares ordenados x y obtemos uma nuvem de pontos que denominamos diagrama de dispersão Esse diagrama nos fornece uma ideia grosseira porém útil da correlação existente Correlação Linear Os pontos obtidos vistos em conjunto formam uma elipse em diagonal Podemos imaginar que quanto mais fina for a elipse mais ela se aproximará de uma reta Verificamos no exemplo anterior poderemos aproximar aos pontos uma reta ascendente ela é chamada correlação linear positiva Assim uma correlação é a Linear positiva Se os pontos do diagrama têm como imagem uma reta ascendente 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 Estatística Matemática Notas Matemática Estatística 5 6 8 9 7 8 10 10 6 5 7 7 9 8 3 4 8 6 2 2 b Linear negativa Se os pontos do diagrama têm como imagem uma reta descendente c Nãolinear Se os pontos têm como imagem uma curva d Não Correlacionados Se os pontos apresentaremse dispersos não oferecendo uma imagem definida concluímos que não há relação alguma entre as variáveis em estudo Coeficiente de Correlação Linear O instrumento empregado para a medida da correlação linear é o coeficiente de correlação Este coeficiente deve indicar o grau de intensidade da correlação entre duas variáveis e ainda o sentido dessa correlação positivo ou negativo Usaremos o coeficiente de correlação de Pearson que é dado por ρ nΣxiyi ΣxiΣyi nΣxi² Σxi²nΣyi² Σyi² Onde n é o número de observações Observações Os valores limites de são 1 e 1 isto é ρ pertence ao intervalo 1 1 Se a correlação entre as variáveis é perfeita positiva então ρ 1 Se a correlação é perfeita e negativa então ρ 1 Se não existe correlação entre as variáveis então ρ 0 Para que uma relação possa ser descrita por meio do coeficiente de Pearson é imprescindível que ela se aproxime de uma função linear Se 06 ρ 1 existe uma correlação forte entre as variáveis Se 03 ρ 06 há uma correlação relativamente fraca entre as variáveis Se 0 ρ 03 a correlação é muito fraca e praticamente nada podemos concluir sobre a relação entre as variáveis em estudo Consideremos uma amostra aleatória formada por dez dos 98 alunos de uma classe da Universidade A e pelas notas obtidas por eles em Matemática e Estatística Vamos então calcular o coeficiente de correlação relativo a estes dados Nº Matemática X Estatística Y xi yi xi² yi² 01 50 60 02 80 90 03 70 80 04 100 100 05 60 50 06 70 70 07 90 80 08 30 40 09 80 60 10 20 20 REGRESSÃO Um problema frequente em estatística consiste em investigar questões como estas Há alguma relação entre duas grandezas As variações em uma grandeza acarretam variações na outra Por exemplo as variações de taxas de juros afetam a procura por casas Em outras situações interessados saber se é possível usar uma das variáveis para predizer o valor de outra Suponha que estejamos queiramos avaliar a despesa de consumo do próximo ano É difícil predizer diretamente tal despesa pode ser mais fácil prever o valor da renda disponível Se pudermos achar uma relação entre a renda e consumo está resolvido o problema Com o conhecimento dessa relação e do valor da renda podemos prever o consumo Regressão linear simples método de análise da relação entre uma variável independente e uma variável dependente Reta de regressão reta calculada na análise de regressão usada para estimar a relação entre as grandezas A reta de regressão Em economia admitese que o nível de renda afete a procura de determinado bem de consumo Para a maior parte desses bens uma renda mais elevada acarreta maior procura Mas isto nem sempre é verdade Há alguns bens de consumo chamados bens inferiores que são menos adquiridos quando a renda aumenta Presumivelmente comprase algo melhor quando possível A única maneira de dizer se um determinado bem de consumo é um bem inferior consiste em coletar os dados Suponha as seguintes observações da renda média e de consumo de pizza durante um mês em oito cidades distintas Cidade Renda 1000 Pizzas vendidas milhares 1 5 27 2 10 46 3 20 73 4 8 40 5 4 30 6 6 28 7 12 46 8 15 59 Diagrama de Dispersão Vendas Renda Ajustamento da reta Sempre que desejamos estudar determinada variável em função da outra fazemos uma análise de regressão Dizemos que a análise de regressão tem por objetivo descrever através de um modelo matemático a relação entre duas variáveis partindo de n observações das mesmas A variável sobre a qual desejamos fazer uma estimativa recebe o nome de variável dependente e a outra recebe o nome de variável independente Assim supondo X a variável independente e Y a dependente vamos procurar determinar o ajustamento de uma reta à relação entre essas variáveis ou seja vamos obter uma função definida por Y a X b Onde a e b são os parâmetros dados por a nΣxiyi ΣxiΣyi nΣxi² Σxi² b ȳ a x onde n é o número de observações x é a média aritmética dos valores xᵢ ȳ é a média aritmética dos valores yᵢ Observação Como estamos fazendo estimativas de uma amostra para obtermos os valores dos parâmetros o resultado na realidade é uma estimativa da verdadeira equação de regressão Sendo assim escrevemos Ŷ aX b Onde Ŷ é o Y estimado Exemplo 1 Para o caso das vendas de pizza não podemos traçar uma reta que passe por todos os pontos mas podemos determinar uma reta que passe perto da maioria deles que é chamada reta de regressão Cidade Renda xi 1000 Pizzas vendidas yi milhares xiyi xi² 1 5 27 2 10 46 3 20 73 4 8 40 5 4 30 6 6 28 7 12 46 8 15 59 Diagrama de Dispersão y 29048x 14577 Exemplo2 Consideremos uma amostra aleatória formada por dez dos 98 alunos de uma classe da Universidade A e pelas notas obtidas por eles em Matemática e Estatística Vamos então calcular a reta de regressão tomando como variável independente a As notas obtidas em matemática b As notas obtidas em estatística Interpolação e extrapolação Analisando as notas obtidas em matemática no exemplo 2 verificamos que a nota 40 não figura entre as notas de matemática Entretanto podemos estimar a nota correspondente em estatística tomando x40 na equação de regressão encontrada O mesmo acontece com a nota 10 Repetindo o procedimento temos Exemplo 3 a Qual a possível nota em matemática para um aluno que recebeu nota 95 em estatística b Qual o provável consumo de pizzas para uma cidade com renda de 7000 Exercícios 1 Os dados abaixo dão para 10 países o consumo de cigarros per capta X em 1930 e as mortes por 1000 habitantes em 1950 causadas por câncer no pulmão Y Calcular a reta de regressão tomando X como variável independente Qual a previsão de mortes por câncer no pulmão se tivermos um consumo per capta de 400 País Islândia Noruega Suécia Dinamarca Canadá Austrália Holanda Suíça Finlândia GrãBretanha X 240 255 340 375 510 490 180 1125 1150 Y 63 100 140 175 160 180 180 360 470 2 Os dados abaixo representam a taxa de desemprego e a taxa de utilização da capacidade industrial global CAP Calcule a reta de regressão tomando como variável independente a CAP Qual a provável taxa de desemprego se tivermos um CAP de 82 E de 85 Ano Desemp CAP 1984 74 811 1985 71 803 1986 69 792 1987 61 814 1988 54 840 1989 52 842 1990 54 830 1991 66 794