Medidas de Tendência Central

Medidas de Tendência Central Professora Andréa Maria Ritter MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Podese considerar como sendo Um valor intermediário da série Valor em torno do que os elementos da série estão distribuídos MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES Dado uma sequência numérica de tamanho n representada por X x₁ x₂ x₃ xₙ A média será dada por Exemplos 1 Encontre a média da seguinte sequência numérica X 0 1 3 5 1 2 2 Os valores de precipitação em mm registradas em uma estação meteorológica em 10 dias do mês de janeiro de 2006 foram os seguintes Dias 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 mm 0 06 172 14 12 0 112 08 Calcule a precipitação média diária nesse período MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA Dado uma sequência numérica de tamanho n X x₁ x₂ xₙ afetados de pesos p₁ p₂ pₙ respectivamente A média aritmética ponderada é definida por Exemplos 1 Encontre a média ponderada da seguinte sequência numérica X 245 com pesos 132 respectivamente 2 Em uma companhia de produção múltipla as margens de lucro para as quatro linhas de produto da firma durante o último ano fiscal foram linha A 42 linha B 55 linha C 74 e linha D 101 A média nãoponderada do lucro é MÉDIA ARITMÉTICA PARA DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIAS Nos utilizamos da média aritmética ponderada considerando as frequências simples fᵢ como sendo os pesos dos elementos xᵢ correspondentes Exemplos 1 Discreta O controle de qualidade de determinada empresa selecionou 40 caixas do total de uma produção diária para verificação do número de peças defeituosas por caixa encontrando o seguinte resultado Qual o número médio de defeitos por caixa Nº de defeitos Caixas xᵢfᵢ 0 20 1 9 2 5 3 4 4 2 Total 40 2 A seguinte distribuição de frequências demonstra os salários semanais para 100 operários nãoespecializados Calcule o salário médio semanal Distribuição de frequência de salários semanais para 100 operários nãoespecializados Salário Semanal N de oper fi mi xi xfi 140 160 7 160 180 20 180 200 33 200 220 25 220 240 11 240 260 4 Total 100 Vantagens e Desvantagens da Média Aritmética É uma medida de tendência central que por uniformizar os valores da série não representa bem os conjuntos que revelam tendências extremas Deste modo é grandemente influenciada pelos valores extremos da série Nem sempre é um elemento que faz parte do conjunto É facilmente calculável Serve para compararmos conjuntos semelhantes É indicada para séries que possuem valores em progressão aritmética em relação a um valor máximo Depende de todos os valores da série Média Harmônica Definimos a média harmônica entre os números reais e positivos x1 x2 x3 xn como sendo o inverso da média aritmética do inverso destes números A média aritmética dos números x1 x2 x3 xn é dada por s1 s2 s3 sn n No caso da Média harmônica estamos falando do inverso destes números então teríamos a seguinte média aritmética 1s1 1s2 1s3 1sn n Além disto como vimos que a Média harmônica é o inverso da média aritmética do inverso dos referidos números então finalmente temos n 1s1 1s2 1s3 1sn Quando utilizamos a Média Harmônica A média harmônica é utilizada quando estamos trabalhando com grandezas inversamente proporcionais Um exemplo clássico é aquele onde estamos trabalhando com velocidade e tempo pois ao aumentarmos a velocidade diminuímos o tempo necessário para percorrer um determinado trajeto e viceversa Para dados agrupados temos f1s1 f2s2 f3s3 fnsn Exemplo Calcular a média harmônica para 2 5 8 e 12 MEDIANA Seja Xx1x2xn um conjunto ordenado de dados estatísticos Definese Mediana de X denotado por Md como sendo o elemento que ocupa posição central no rol se existir Equivalentemente a Mediana é o elemento que separa o rol em dois subconjuntos com igual número de elementos Logo a Mediana será dada por Md xn12 sen é ímpar xn xn12 sen é par Exemplos 1 Durante um determinado mês de verão os oito vendedores de uma firma de calefação central e arcondicionado venderam os seguintes números de unidades de arcondicionado central 8 11 5 14 8 11 16 11 O valor da mediana será 2 Os valores de precipitação em mm registradas em uma estação meteorológica em 10 dias do mês de janeiro de 2006 foram os seguintes Dias 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 mm 0 0 47 06 172 14 20 112 08 Calcule a precipitação mediana diária nesse período 3 Seguinte distribuição de frequências representa os salários de 25 funcionários do Mercado B Salários Nº de funcionários 180 1 320 5 450 11 600 8 Total 25 Encontre o salário mediano destes funcionários MEDIANA PARA DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIAS Se os xs estiverem agrupados em distribuição de frequências contínua o valor aproximado da Md é dado por Md Li n2 Fa fi h Onde Li limite inferior da classe que contém a mediana n número de termos da série Fa frequência acumulada da classe anterior à classe da mediana fi frequência da classe da mediana h amplitude P posição da mediana Exemplo 4 A seguinte distribuição de frequências demonstra os salários semanais para 100 operários nãoespecializados Calcule o salário mediano Salários semanais para 100 operários não especializados Salário Semanal N de operários fi Frequência acumulada Fi 140 160 7 160 180 20 180 200 33 200 220 25 220 240 11 240 260 4 Total 100 Vantagens e Desvantagens da Mediana Não depende de todos os valores da série podendo mesmo não se alterar com a modificação de alguns deles Não é influenciada pelos valores extremos da série É geralmente usada para comparar elementos da série MODA Seja X x1 x2 x3 um conjunto de dados Definese Moda denotada por Mo como sendo o elemento mais frequente no conjunto Um conjunto de dados pode ter Nenhuma moda amodal Uma moda unimodal Duas ou mais modas multimodal MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES Exemplos 1 Os oito vendedores descritos em um dos exemplos anteriores venderam as seguintes unidades de ar condicionado 8 11 5 14 8 11 16 11 O valor da moda será 2 Os valores de precipitação em mm registradas em uma estação meteorológica em 10 dias do mês de janeiro de 2006 foram os seguintes Dias 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 mm 0 0 47 06 12 12 0 112 0 08 O valor da moda será 3 O controle de qualidade de determinada empresa selecionou 40 caixas do total de uma produção diária para verificação do número de peças defeituosas por caixa encontrando o seguinte resultado Qual o moda de defeitos por caixa 4 A seguinte distribuição de frequências demonstra os salários semanais para 100 operários nãoespecializados Calcule o salário modal Salários semanais para 100 operários não especializados Salário Semanal 140160 160180 180200 200220 220240 240260 N de operários fi 7 20 33 25 11 4 Total 100 Vantagens e Desvantagens da Moda Não depende de todos os valores da série podendo mesmo não se alterar com a modificação de alguns deles Não é influenciada por valores extremos da série Sempre é representada por um elemento do conjunto de dados excetuando o caso de classes de frequências