Distribuições Contínuas de Probabilidade - Distribuição Qui-Quadrado

APRESENTAÇÃO DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE PARTE 2 Profa Dra Daniela Müller de Quevedo httpspixabaycom DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO QUIQUADRADA DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO QUIQUADRADA A distribuição quiquadrada possui numerosas aplicações importantes em inferência estatística sendo uma das principais distribuições de probabilidade A sua aplicação se dá em testes de hipóteses principalmente para realizar testes de χ2 Este teste serve para avaliar quantitativamente a relação entre o resultado de um experimento e a distribuição esperada para o fenômeno A distribuição quiquadrada pode ser interpretada como sendo a soma de normais padronizadas ao quadrado Gráfico Gráfico da distribuição χ2 QuiQuadrado para os gl de 2 5 10 15 e 30 DISTRIBUIÇÃO QUIQUADRADA Uma variável aleatória contínua X tem distribuição quiquadrado com n graus de liberdade denotada por se sua função densidade for dada por Observações Graus de liberdade é o número de valores deste conjunto de dados que podem variar após terem sido impostas certas restrições a todos os valores Não há uma expressão simples para a função de distribuição acumulada de uma variável aleatória quiquadrada A forma de calcular valores de Fy reside no uso de um computador ou uso de tabela DISTRIBUIÇÃO QUIQUADRADA TABELA Exemplo 1 Suponha que X segue uma distribuição qui quadrada com 7 graus de liberdade a Determine o valor x tal que PX x 095 Nesse caso devemos encontrar na tabela o valor k 7 correspondente aos graus de liberdade na primeira coluna da tabela Em seguida o valor correspondente a α 095 Obtémse X 217 e PX 217 095 b Determine o valor x tal que PX x 095 Nesse caso devemos encontrar na tabela o valor k 7 correspondente aos graus de liberdade na primeira coluna da tabela Em seguida o valor correspondente a α 1 095 005 a tabela apresenta a área sempre a direita em azul no gráfico Obtémse X 1407 e PX 1407 095 X1407 PX 1407095 DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO BETA DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO BETA A distribuição beta é usada frequentemente para variáveis aleatórias que pertencem ao intervalo 0 1 ou proporções A distribuição beta é normalmente usada para modelar a distribuição das estatísticas de eventos que sejam definidos pelos valores mínimos e máximos ou seja o modelo beta tem inúmeras aplicações para representar quantidades físicas cujos valores estejam restritos a um intervalo identificável A distribuição beta é frequentemente redimensionada para modelar o tempo de conclusão de uma tarefa e também utilizada na estatística Bayesiana como a distribuição anterior de uma probabilidade binomial A distribuição beta é uma distribuição contínua definida por dois parâmetros de forma denominados α e β DISTRIBUIÇÃO BETA A função densidade de probabilidade da distribuição beta para 0 x 1 e parâmetros α e β 0 é uma função exponencial da variável X como segue 𝑃 𝑋 0 1 1 𝐵𝛼 𝛽 𝑥𝛼 11 𝑥𝛽 1 𝑑𝑥1 Observações Notação X Bα β A distribuição por assumir diferentes formas não apresenta uma tabela Se X Bα β então a sua esperança e variância serão dados por A distribuição pode assumir diferentes formas dependendo dos valores dos dois parâmetros DISTRIBUIÇÃO BETA Exemplo 2 Seja X uma variável aleatória com distribuição Beta32 a Determine a função de distribuição de X b Calcule a probabilidade PX 06 𝑃 𝑋 06 0 6 1 12𝑥2𝑥 3𝑑𝑥12 06 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑑𝑥 a Devemos aqui encontrar a função de distribuição considerando que α 3 e β 2 b Para encontrar a probabilidade PX 06 devemos calcular a integral de fx encontrada em a Observação Aqui não temos uma tabela como no caso da distribuição Normal e da distribuição Quiquadrada então devemos calcular a integral 12 𝑥3 3 𝑥4 4 06 1 12 1 3 1 4 063 3 064 4 12 0 083300396 9996 DISTRIBUIÇÃO BETA Exemplo 3 A percentagem de impurezas por lote em um determinado produto químico é uma variável aleatória com distribuição beta de parâmetros α 3 e β 2 Um lote com mais de 40 de impurezas não pode ser vendido Qual é a probabilidade de que um lote selecionado ao acaso não poder ser vendido por causa do excesso de impurezas Qual a esperança e a variância Consideramos Yquantidade de impurezas de um lote Como Y B3 2 então Y tem a mesma distribuição dada pelo exemplo 2 Logo DISTRIBUIÇÃO BETA Exemplo 3 continuação A percentagem de impurezas por lote em um determinado produto químico é uma variável aleatória com distribuição beta de parâmetros α 3 e β 2 Um lote com mais de 40 de impurezas não pode ser vendido Qual é a probabilidade de que um lote selecionado ao acaso não poder ser vendido por causa do excesso de impurezas Qual a esperança e a variância Calculamos agora a esperança e a variância Como Y B3 2 Então para α 3 e β 2 𝐸 𝑥 3 32 060 𝑉 𝑋 32 322 321 6 256 004 BARBETTA Pedro Alberto Estatística para cursos de engenharia e informática 3 São Paulo Atlas 2010 Recurso online ISBN 9788522465699 CLARK Jeffrey Estatística aplicada 3 São Paulo Saraiva 2010 Recurso online Essencial ISBN 9788502126817 KAZMIER Leonard J Estatística aplicada à administração e economia Porto Alegre Bookman 2006 Recurso online Schaum ISBN 9788577802470 SPIEGEL Murray R Estatística Porto Alegre Bookman 2009 Recurso online Schaum ISBN 9788577805204 REFERÊNCIAS