Distribuicao T de Student - Probabilidade Continua - Apresentacao Power Point

APRESENTAÇÃO DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE PARTE 3 Profa Dra Daniela Müller de Quevedo httpspixabaycom DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT A distribuição t de Student tStudent é uma distribuição de probabilidade estatística publicada por William Sealy Gosset que se chamou pelo pseudônimo de Student para publicar trabalhos enquanto trabalhasse para a cervejaria Guinness A distribuição t de Student é uma das distribuições mais utilizadas na estatística com aplicações que vão desde a modelagem estatística até testes de hipóteses A função densidade da distribuição t de Student tem a mesma forma em sino da distribuição Normal apresentando as mesmas propriedades mas apresenta uma maior variabilidade com curvas mais alargadas para amostras pequenas Quando estamos trabalhando com grandes amostras a distribuição t de Student aproximase da distribuição Normal Gráfico Gráfico da distribuição t para os k graus de liberdade de 1 5 e 25 DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT Outra distribuição bastante empregada é a distribuição t de Student Uma variável aleatória contínua X tem distribuição t de Student com k graus de liberdade denotada por tk é dada por Observações Para k a distribuição t tornase a distribuição normal padrão A forma de calcular valores de Ft reside no uso de um computador ou uso de tabela 2 1 2 1 2 2 1 k k t k k k t f t com EX 0 e VarX kk2 DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT TABELA Exemplo 1 Suponha que X segue uma distribuição t de student com 9 graus de liberdade a Determine o valor t tal que PX t 001 Nesse caso devemos encontrar na tabela o valor k 9 correspondente aos graus de liberdade na primeira coluna da tabela Em seguida o valor correspondente a α 001 Obtémse t 2821 e PX 2821 001 b Determine o valor t tal que PX t 095 Nesse caso devemos encontrar na tabela o valor k 9 correspondente aos graus de liberdade na primeira coluna da tabela Em seguida o valor correspondente a α 1 095 005 a tabela apresenta a área sempre a direita em azul no gráfico Obtémse t 1833 e PX 1833 095 t2821 PX 2821001 DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR A distribuição F de Snedecor FSnedecor também conhecida como distribuição de Fisher é frequentemente utilizada na inferência estatística para análise da variância A sua denominação se dá em referência ao biólogo e estatístico britânico Ronald Fisher e ao matemático americano George W Snedecor A distribuição F é uma família de curvas cada uma determinada por dois tipos de graus de liberdade os correspondentes à variância no numerador e os que correspondem à variância no denominador Gráfico DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR Uma variável aleatória contínua X tem distribuição F de Snedecor com e graus de liberdade denotada por tem sua função densidade dada por Observações Notação X F A forma de calcular valores para a distribuição F reside no uso de um computador ou uso de tabela 𝑓 𝑥 Γ 𝑘1𝑘2 2 𝑘1 𝑘2 𝑘1 2 𝑥 𝑘1 2 1 Γ 𝑘1 2 Γ 𝑘2 2 𝑘1 𝑘2 𝑥1 𝑘1𝑘2 2 0 x 12 3 2 Gráfico da distribuição F para 3 e 2 DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR TABELA Exemplo 2 Existem diversas tabelas da distribuição FSnedecor para diferentes níveis de probabilidade Aqui apresentamos os níveis de 10 e 5 a Supondo que a variável X tem distribuição F7 5 determine o valor t tal que PX x 010 Nesse caso devemos encontrar na tabela o valor e correspondente a tabela ao nível de 10 Obtémse x 3368 e PX 3368 010 b Supondo que a variável X tem distribuição F7 5 determine o valor t tal que PX x 005 Nesse caso devemos encontrar na tabela o valor e correspondente a tabela ao nível de 5 Obtémse x 4876 e PX 4876 005 x3368 x4876 DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO NORMAL BIVARIADA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE NORMAL BIVARIADA A generalização da distribuição Normal Univariada para duas ou mais dimensões desempenha um papel muito importante para a análise de dados multivariada Sabese que a maioria das análises multivariadas parte da pressuposição de que os dados foram gerados a partir de uma distribuição Normal Multivariada ou como sendo uma aproximação adequada da verdadeira distribuição populacional A distribuição Normal Bivariada é frequentemente usada para descrever pelo menos aproximadamente duas variáveis aleatórias de valores reais correlacionadas cada uma das quais se agrupando em torno de um valor médio Gráfico 1 Gráfico da distribuição normal bivariada considerando e 0 DISTRIBUIÇÃO NORMAL BIVARIADA Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias contínuas definidas no conjunto dos números reais cuja densidade conjunta é dada por Onde 𝑓 𝑥1 𝑥2 1 2𝜋 1𝜌 2𝜎 1 2𝜎2 2 𝑒𝑥𝑝 1 2 1𝜌 2 𝑅 𝑅 𝑥1 𝜇1 𝜎 1 2 𝑥2 𝜇2 𝜎2 2 2𝜌 𝑥1 𝜇1 𝜎 1 𝑥2 𝜇2 𝜎 1 Então a densidade conjunta é chamada de densidade Normal Bivariada com parâmetros Onde µ é a média σ é o desvio padrão e ρ o coeficiente de correlação DISTRIBUIÇÃO NORMAL BIVARIADA Propriedades Cada uma das variáveis aleatórias separadamente segue uma distribuição Normal com sua própria esperança µ e variância σ2 Isto é X1 Nµ 1 σ2 1 e X2 Nµ 2 σ2 2 denominadas densidades marginais Além disso elas não são em geral independentes A distribuição de X2 muda se soubermos o valor de X1 Um único parâmetro ρ 1 1 controla o grau de associação ou correlação entre X1 e X2 Se ρ 0 então X1 e X2 são independentes A densidade condicional de X1 dado X2 A densidade condicional de X2 dado X1 Gráfico 2 Comportamento da relação linear para amostra de normal bivariada X1 X2 DISTRIBUIÇÃO NORMAL BIVARIADA Exemplo 3 Considere a distribuição normal bivariada onde X1 N 0 1 e X2 N 0 4 Escreva a densidade Normal Bivariada Nesse caso para X1 N 0 1 obtemos média µ 0 e σ 1 e para X2 N 0 4 média µ 0 e σ 2 Substituindo na distribuição densidade conjunta obtemos Com Substituindo R na expressão obtemos como resultado final DISTRIBUIÇÃO NORMAL BIVARIADA Exemplo 4 Considere a distribuição normal bivariada onde X1 N 0 1 e X2 N 0 4 o qual já encontramos a distribuição densidade conjunta no Exemplo 3 Calcule as densidades condicionais para quando o coeficiente de correlação ρ 05 Nesse caso para X1 N 0 1 obtemos média µ 0 e σ 1 e para X2 N 0 4 média µ 0 e σ 2 Substituindo na distribuição densidade conjunta obtemos A densidade condicional de X1 dado X2 Aqui obtemos a distribuição da va dado que a variável assume um determinado valor DISTRIBUIÇÃO NORMAL BIVARIADA Exemplo 4 Continuação Considere a distribuição normal bivariada onde X1 N 0 1 e X2 N 0 4 o qual já encontramos a distribuição densidade conjunta no Exemplo 3 Calcule as densidades condicionais para quando ρ 05 Nesse caso para X1 N 0 1 obtemos média µ 0 e σ 1 e para X2 N 0 4 média µ 0 e σ 2 Substituindo na distribuição densidade conjunta obtemos A densidade condicional de X2 dado X1 DISTRIBUIÇÃO NORMAL BIVARIADA Exemplo 5 Considere a distribuição normal bivariada onde X1 N 0 1 e X2 N 0 4 o qual já encontramos as densidades conjuntas no Exemplo 4 Calcule a probabilidade a probabilidade de X2 ser maior de que 1 dado que X1 é 0 ou seja PX2 1 X10 Encontramos no Exercício 4 a densidade condicional de X2 dado X1 Nesse caso queremos calcular a probabilidade PX2 1 X10 Para isso utilizaremos a tabela da distribuição normal considerando que X10 e obtemos X2 X10 N0 3 Lembre que devemos normalizar os valores de X antes de buscar os valores na tabela da distribuição Normal considerando aqui que a média é igual a zero e o desvio padrão Logo PX2 1 X10 MORETTIN Pedro A Estatística básica São Paulo Saraiva 2017 Recurso online ISBN 9788547220228 KAZMIER Leonard J Estatística aplicada à administração e economia Porto Alegre Bookman 2006 Recurso online Schaum ISBN 9788577802470 SPIEGELMurray R Estatística Porto Alegre Bookman 2009 Recurso online Schaum ISBN 9788577805204 REFERÊNCIAS