Análise da Independência e Dependência de Amostras em Estudos Estatísticos

Comparação de duas médias Ana Júlia Alves Câmara Determinar se duas amostras são independentes ou dependentes Comparar características físicas clínicas hábitos riscos etc Gênero Faixas etárias Inadimplente ou não Fuma ou não Objetivos gerais Amostras independentes Temos duas amostras separadas com indivíduos distintos Amostras dependentes ou emparelhadas ou pareadas A amostra é constituída de n pares dos mesmos indivíduos Tipos de planejamento Classifique o par de dados como independentes ou dependentes Amostra 1 Os batimentos cardíacos de 35 indivíduos em repouso antes de tomar café Amostra 2 Os batimentos cardíacos dos mesmos indivíduos depois de tomar duas xícaras de café Alguns exemplos Classifique o par de dados como independentes ou dependentes Amostra 1 Os batimentos cardíacos de 35 indivíduos em repouso antes de tomar café Amostra 2 Os batimentos cardíacos dos mesmos indivíduos depois de tomar duas xícaras de café Alguns exemplos Amostras dependentes podem ser pareadas com respeito à cada indivíduo Classifique o par de dados como independentes ou dependentes Amostra 1 Pontuações de testes de 35 estudantes de estatística Amostra 2 Pontuações de testes de 42 estudantes de administração que não estudam estatística Alguns exemplos Classifique o par de dados como independentes ou dependentes Amostra 1 Pontuações de testes de 35 estudantes de estatística Amostra 2 Pontuações de testes de 42 estudantes de biologia que não estudam estatística Alguns exemplos Amostras independentes Não é possível formar um par entre os membros das duas amostras os tamanhos das amostras são diferentes e os dados representam pontuações para diferentes indivíduos Testar a diferença entre as médias Amostras independentes 01 Testar a diferença entre as médias Amostras dependentes emparelhadas 02 Testar diferença entre médias 01 AMOSTRAS INDEPENDENTES Duas amostras formadas por índividuos DIFERENTES Amostra 1 𝒏𝟏 indivíduos medida ഥ𝒙𝟏 Amostra 2 𝒏𝟐 indivíduos medida ഥ𝒙𝟐 OBS 𝒏𝟏 e 𝒏𝟐 não precisam ser iguais Comparação de duas amostras independentes Hipótese nula 𝑯𝟎 Uma hipótese estatística que geralmente declara que não há diferença entre os parâmetros de duas populações Sempre contém o símbolo ou Hipótese alternativa 𝑯𝟏 Uma hipótese estatística que é verdadeira quando 𝑯𝟎 é falsa Sempre contém o símbolo ou Teste de hipóteses de duas amostras independentes Caso 1 Assumese que as medidas tenham distribuição Normal com variâncias iguais Comparação de duas amostras independentes Variâncias iguais Médias populacionais desconhecidas 𝝁𝟏 e 𝝁𝟐 Dados amostrais Amostra 1 𝒏𝟏 ഥ𝒙𝟏 e 𝒔𝟏 Amostra 2 𝒏𝟐 ഥ𝒙𝟐 e 𝒔𝟐 Comparação de duas amostras independentes Variâncias iguais Estatística de teste 𝑻𝒐𝒃𝒔 ഥ𝒙𝟏 ഥ𝒙𝟐 𝒔𝒄𝟐 𝟏 𝒏𝟏 𝟏 𝒏𝟐 𝒕𝒏𝟏𝒏𝟐𝟐 𝐬𝐨𝐛 𝐇𝟎 com 𝒔𝒄𝟐 𝒏𝟏 𝟏 𝒔𝟏 𝟐 𝒏𝟐 𝟏𝒔𝟐 𝟐 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝟐 Comparação de duas amostras independentes Exemplo 1 As distâncias de frenagem de 8 Volkswagen GTIs e 10 Ford Focus foram testadas enquanto viajavam a 80 kmh em pista seca Os resultados são mostrados abaixo É possível concluir que existe uma diferença na média da distância de frenagem dos dois tipos de carro Use α 001 Assuma que as populações são distribuídas normalmente e as variâncias da população são iguais GTI Focus ҧ𝑥1 134 m ҧ𝑥2 143 m 𝑠1 69 m 𝑠2 26 m 𝑛1 8 𝑛2 10 Exemplo 2 Um pesquisador está interessado em investigar se há uma diferença significativa nas notas médias de matemática entre dois grupos de estudantes de diferentes escolas A e B O pesquisador seleciona uma amostra aleatória de 𝒏𝐀 𝟑𝟓 estudantes da Escola A e uma amostra aleatória de 𝒏𝐁 𝟒𝟎 estudantes da Escola B As médias e os desvios padrão das notas dos dois grupos estão na tabela abaixo Há evidência estatística para afirmar que as notas médias de matemática são diferentes entre os dois grupos ao nível de 5 Grupo A Grupo B Média 75 72 Desviopadrão 8 7 E se as variâncias forem diferentes Caso 2 Assuma que as medidas tenham distribuição Normal com variâncias diferentes Duas amostras formadas por índividuos independentes Amostra 1 𝒏𝟏 indivíduos medida ഥ𝒙𝟏 Amostra 2 𝒏𝟐 indivíduos medida ഥ𝒙𝟐 Comparação de duas amostras independentes Variâncias diferentes Médias populacionais desconhecidas 𝝁𝟏 e 𝝁𝟐 Dados amostrais Amostra 1 𝒏𝟏 ഥ𝒙𝟏 e 𝒔𝟏 Amostra 2 𝒏𝟐 ഥ𝒙𝟐 e 𝒔𝟐 Comparação de duas amostras independentes Variâncias diferentes Estatística de teste variâncias diferentes 𝑻𝒐𝒃𝒔 ഥ𝒙𝟏 ഥ𝒙𝟐 𝒔𝟏 𝟐 𝒏𝟏 𝒔𝟐 𝟐 𝒏𝟐 𝒕𝝂 𝐬𝐨𝐛 𝐇𝟎 𝝂 𝒔𝟏 𝟐 𝒏𝟏 𝒔𝟐 𝟐 𝒏𝟐 𝟐 𝒔𝟏 𝟐 𝒏𝟏 𝟐 𝒏𝟏 𝟏 𝒔𝟐 𝟐 𝒏𝟐 𝟐 𝒏𝟐 𝟏 Exemplo 3 Os dados a seguir correspondem aos teores de um elemento indicador da qualidade de um certo produto Foram coletadas amostras referente a dois métodos de produção Podese dizer a 10 de significância que há diferença nos métodos a respeito da qualidade Considere variâncias populacionais diferentes Método 1 09 25 92 32 37 13 12 24 36 83 Método 2 53 63 55 36 41 27 20 15 51 35 Exercício Fixação Num estudo comparativo do tempo médio de adaptação uma amostra aleatória de 50 homens e 50 mulheres de um grande complexo industrial produziu os seguintes resultados Que conclusões você poderia tirar para a população dessa indústria ao nível de 4 Quais suposições você deve fazer Homens Mulheres Média 32 anos 37 anos Desviopadrão 08 anos 09 anos Testar diferença entre médias 02 AMOSTRAS DEPENDENTES Realizar um teste t para testar a média da diferença para uma população de dados emparelhados Assumese que as diferenças tenham distribuição Normal Amostra com 𝒏 pares de indivíduos Amostra 1 𝒏𝟏 indivíduos medida ഥ𝒙𝟏 Amostra 2 𝒏𝟐 indivíduos medida ഥ𝒙𝟐 Médias populacionais desconhecidas 𝝁𝟏 e 𝝁𝟐 𝝁𝒅 𝝁𝟏 𝝁𝟐 Comparação de duas amostras emparelhadas Para realizar um teste de hipótese de duas amostras a diferença entre cada dado emparelhado é encontrada primeiro 𝒅 𝒙𝟏 𝒙𝟐 Diferença entre as entradas para dados emparelhados Comparação de duas amostras emparelhadas Calcular Média das diferenças ഥ𝒅 Desviopadrão das diferenças 𝒔𝒅 Comparação de duas amostras emparelhadas Hipótese nula 𝑯𝟎 𝝁𝟏 𝝁𝟐 𝑯𝟎 𝝁𝟏 𝝁𝟐 𝟎 𝑯𝟎 𝝁𝒅 𝟎 Estatística de teste 𝑻𝒐𝒃𝒔 ഥ𝒅 𝒔𝒅 𝒏 𝒕𝒏𝟏 𝐬𝐨𝐛 𝐇𝟎 Comparação de duas amostras emparelhadas Exemplo 4 Um legislador estadual quer determinar se seu índice de desempenho 0100 mudou do ano passado para este A tabela a seguir mostra o índice de desempenho do legislador para 16 eleitores selecionados aleatoriamente para o ano passado e para este Em α001 há evidência suficiente para concluir que o desempenho do legislador mudou Assuma que os índices de desempenho são normalmente distribuídos Eleitor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Índice ano 1 60 54 78 84 91 25 50 65 68 81 75 45 62 79 58 80 Índice ano 2 56 48 70 60 85 40 40 55 80 75 78 50 50 85 53 60 Exemplo 5 Uma empresa deseja determinar se há uma diferença significativa nas velocidades médias de processamento dos dois tipos de chips Uma amostra aleatória de chips do tipo A e B foi selecionada e os tempos de processamento em milissegundos foram registrados conforme apresentado abaixo Assumindo que os tempos de processamento são normalmente distribuídos verifique se há diferença nas velocidades médias dos processadores Utilize um nível de significância de 5 Chip A 22 24 23 21 25 22 26 20 23 22 Chip B 27 28 26 29 30 28 25 31 27 29 Exercício de Fixação Uma empresa deseja estudar a eventual eficácia da aplicação dos programas de treinamento ministrados pela sua área de recursos humanos Para isso analisou duas amostras de desempenhos de seus funcionários Grupo A treinamento de 20 horasaula e o Grupo B com 40 horasaula Os desempenhos dos funcionários foram Grupo A 8 8 8 7 6 8 9 7 8 8 7 9 Grupo B 5 9 4 8 6 6 7 5 6 6 5 6 CREDITS This presentation template was created by Slidesgo including icons by Flaticon infographics images by Freepik Referências Triola M F Introdução à estatística 12ª edição Rio de Janeiro LTC 2017