Lista de Exercícios Estatística II - Testes Qui-Quadrado e Independência

DISCIPLINA ESTATÍSTICA II STA2171 2º SEM2023 PROFA ANA JULIA ALVES CAMARA DEPTO ESTATÍSTICA UFES Lista 3 Testes Quiquadrado Exercício 1 No futebol faltas sérias resultam em um chute de pênalti com um chutador e um goleiro defensor Existe uma teoria de que devido ao fato de os chutes serem tão rápidos os goleiros não têm tempo de reagir e assim as direções de seus pulos são independentes das direções dos chutes A tabela a seguir resume resultados de 286 desses chutes durante jogos de times de elite Na tabela direção do pulo indica a direção do pulo do goleiro em que a direção esquerda centro direita é na perspectiva do goleiro Utilize o teste quiquadrado para testar a afirmativa de que a direção do chute é independente da direção em que o goleiro pula e responda a Qual o valor da estatística de teste b Considerando que o teste será realizado ao nível de significância 5 qual o valor crítico c Há evidência estatística para rejeitar a hipótese nula de independência Exercício 2 Um educador gostaria de verificar se existe associação entre a participação ativa dos pais nos deveres escolares e o desempenho dos alunos em matemática O educador selecionou 100 alunos em cada grupo de desempenho baixo médio e alto e os classificou segundo a participação dos pais ativa ou fraca Os resultados são apresentados a seguir Utilize o teste quiquadrado para investigar se participação ativa dos pais é homogênea quanto ao desempenho dos alunos em matemática e responda a Qual o valor da estatística de teste b Considerando que o teste será realizado ao nível de significância 1 qual o valor crítico c Há evidência estatística para rejeitar a hipótese nula de homogeneidade Exercício 3 Um modelo de automóvel é vendido em quatro versões SX LX GLX GTX Foi feita uma campanha publicitária para melhorar as vendas das versões GLX e GTX Posteriormente foi verificada a escolha das versões em 500 vendas escolhidas ao acaso Os resultados foram De acordo com o fabricante a participação de cada versão nas vendas deste modelo até a realização da campanha era 40 de SX 30 de LX 20 de GLX e 10 de GTX Utilize Teste Quiquadrado com o nível de significância de 10 para verificar se houve ou não mudanças na participação de cada versão nas vendas após a campanha Exercício 4 Em um estudo para verificar a relação entre asma e incidência de gripe no outono 150 crianças foram escolhidas ao acaso dentre aquelas acompanhadas pelo Posto de Saúde de um bairro nessa época de ano Os resultados estão na tabela a seguir Essa amostra evidencia que na população das crianças acompanhadas no outono pelo Posto de Saúde do bairro a incidências de gripe e de asma são fatores independentes entre si Use Teste Quiquadrado com 5 de nível de significância DISCIPLINA ESTATÍSTICA II STA2171 2º SEM2023 PROFA ANA JULIA ALVES CAMARA DEPTO ESTATÍSTICA UFES Lista 2 Testes de hipóteses Nas questões NÃO NUMÉRICAS verifique de acordo com a instrução de cada uma delas se os itens são VERDADEIROS ou FALSOS Se FALSO justifique Exercício 1 Considere as seguintes afirmativas acerca de um teste de hipótese O erro tipo I é definido como a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula quando a hipótese nula é falsa O erro tipo II é definido como a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa é verdadeira O pvalor de um teste é a probabilidade sob a hipótese nula de obter um valor da estatística pelo menos tão extremo quanto o valor observado Se um intervalo de confiança de 95 para a média amostral calculado a partir de uma amostra aleatória excluir o valor 0 podese rejeitar a hipótese de que a média populacional seja igual a 0 ao nível de significância de 5 Exercício 2 Com relação a testes de hipóteses julgue as afirmativas Em um teste de hipóteses cometese um erro do tipo I quando se rejeita uma hipótese nula verdadeira Quanto maior for o nível de significância de um teste de hipóteses maior será o valorp a ele associado Se o valorp de um teste de hipóteses for igual 0015 a hipótese nula será rejeitada a 5 mas não a 1 Exercício 3 A vida útil de um tubo de televisão tem distribuição Normal O fabricante afirma que a vida útil média dos tubos é de no mínimo 9000 horas Sabendose que a vida útil média encontrada para uma amostra aleatória de 16 tubos foi de 8800 horas e o desviopadrão de 500 horas podemos afirmar que Para verificar a veracidade da informação do fabricante através de um teste estatístico de hipóteses as hipóteses são Hipótese nula H0 9000 horas Hipótese alternativa H1 9000 horas Ao nível de significância de 5 não podemos contestar a afirmação do fabricante Se a informação amostral fosse obtida de uma amostra de 36 tubos ao nível de significância de 25 também não podemos contestar a afirmação do fabricante Caso desconheçamos o desvio padrão populacional é impossível testar a validade da afirmação do fabricante Exercício 4 Uma máquina está sendo examinada com o objetivo de substituir a máquina antiga de certa indústria Segundo o fabricante da nova máquina a proporção P de peças defeituosas produzida é de 3 ou menos Uma amostra de 2000 peças foi examinada e foram encontradas 74 peças defeituosas As hipóteses para um teste estatístico de hipóteses devem ser H0 P 003 e H1 P 003 Ao realizarmos o teste de hipóteses para o problema ao nível de significância de 5 a hipótese nula deve ser rejeitada Utilizando a proporção de peças defeituosas encontradas na amostra a estimativa por intervalo para a verdadeira proporção de peças defeituosas produzida pela nova máquina utilizando uma confiança de 95 é 287 453 Exercício 5 Em um estudo para detectar as características de recémnascidos que podem desenvolver a síndrome da morte súbita um estudo prospectivo foi realizado em Oakland Califórnia entre 1960 e 1967 Uma das características estudadas foi a idade da mãe Sabendo que aproximadamente 39 das mulheres desta região dão à luz com menos de 25 anos de idade teste a hipótese de que a baixa idade materna pode ser um fator de risco para morte súbita se neste estudo de uma amostra aleatória simples de 44 bebês que tiveram morte súbita 29 provinham de mães com menos de 25 anos de idade Use 1 Exercício 6 Os espectadores leigos fazem ressuscitação cardiopulmonar corretamente menos da metade das vezes de acordo com um artigo na USA Today que observou que em 662 casos 278 foram feitos corretamente Teste a afirmação do artigo ao nível de 5 de significância Gabarito Lista 3 1 a 3056 b 𝜒0054 2 949 c Rejeitase a hipótese nula 2 Exercício extra 3 Rejeitase a hipótese nula 4 Não rejeitase a hipótese nula Gabarito Lista 2 1 Falso Falso Verdadeiro Verdadeiro 2 Verdadeiro Falso Verdadeiro 3 Falso Verdadeiro Falso Falso 4 Falso Verdadeiro Verdadeiro 5 Não precisa fazer 6 Rejeitase a hipótese nula Lista 2 1 F Na verdade Erro Tipo I é quando se rejeitaa H0 quando ela é na verdade verdadeira F O Erro Tipo II é quando não se rejeita H0 quando ela é falsa Essa está diferente do gabarito Ele colocou como falsa A frase é O erro tipo II é definido como a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa é verdadeira O Erro Tipo II ocorre quando não se rejeita H0 quando ela falsa Se ele afirma que a hipótese alternativa é verdadeira então H0 é falsa Imagino que ele tenha colocado falsa para essa afirmação por causa do uso da palavra probabilidade O Erro Tipo II é você não rejeitar H0 quando ela é falsa e a probabilidade de isso ocorrer é β Então provavelmente ele deu como falsa por considerar que o Erro Tipo II em si não é a probabilidade V O valorp é a probabilidade de obter sob H0 uma estatística de teste tão ou mais extrema que a observada V Se o zero não está incluso podese falar que a média difere de zero rejeitando a hipótese nula de que a média é zero 2 V O erro tipo 1 ocorre ao se rejeitar H0 verdadeira F O nível de significância é a probabilidade de se cometer o erro tipo 1 não há relação direta com o valorp V Será rejeitado a 5 pois 0015 005 mas não a 1 pois 0015 001 3 F Para o enunciado dado as hipóteses deveriam ser H0 µ 9000 horas H1 µ 9000 horas Estamos testando se a vida útil é menor do que o fabricante afirma V Precisamos calcular a estatística de teste O desvio padrão que temos é amostral s e a amostra é pequena n 16 logo se usa a estatística t tcalc x μ sn 8800 9000 50016 160 Agora devemos comparar com o valor tabelado considerando α 5 e 15 graus de liberdade gl n 1 ttab 1753 Como tcalc ttab não se rejeita H0 Não se pode contestar a afirmação ao nível de significância de 5 F Se considerarmos a amostra de tamanho n 36 mesmo que não conheçamos o desvio padrão populacional podemos utilizar a estatística z aproximando σ por s No geral se faz isso quando n 30 Assim temos zcalc x μ σn 8800 9000 50036 240 Ele fala que a nova amostra é de 36 eu havia mantido o 16 Agora devemos comparar com o valor tabelado considerando α 25 ztab 196 Como zcalc ztab rejeitase H0 Podese contestar a afirmação ao nível de significância de 25 F Desde que os dados sejam provenientes de uma distribuição normal podemos sim realizar o teste de hipóteses mesmo que desconheçamos o desvio padrão populacional bastando utilizar a estatística tStudent 4 F Para o enunciado dado as hipóteses deveriam ser H0 p 003 H1 p 003 Estamos testando se a proporção de peças defeituosas é superior a 3 V Devemos calcular a estatística de teste zcalc p p p 1 p n 74 2000 003 003 1 003 2000 184 E devemos também encontrar o valor tabelado ztab 1645 Como zcalc ztab rejeitase H0 ao nível de significância de 5 A proporção de defeituosas é superior a 3 V ICp p z p 1 p n ICp 95 74 2000 196 74 2000 1 74 2000 2000 ICp 95 00287 00453 ICp 95 287 453 Considerando IC bilateral 5 Dados n 44 x 29 α 1 𝑝 2944 Hipóteses 𝐻0 𝑝 039 a baixa idade materna não é um fator de risco 𝐻1 𝑝 039 a baixa idade materna é um fator de risco Estatística de teste zcalc p p p 1 p n 29 44 039 039 1 039 44 366 Valor tabelado α 1 ztab 233 Conclusão Como zcalc ztab rejeitase H0 ao nível de significância de 1 Há evidências de que a baixa idade materna é um fator de risco para a síndrome da morte súbita 6 Dados n 662 x 278 α 5 𝑝 278662 Hipóteses 𝐻0 𝑝 050 𝐻1 𝑝 050 menos de 50 fazem a ressuscitação cardiopulmonar corretamente Estatística de teste zcalc p p p 1 p n 278 662 050 050 1 050 662 412 Valor tabelado α 5 ztab 1645 Conclusão Como zcalc ztab rejeitase H0 ao nível de significância de 5 Há evidências de que a proporção de espectadores leigos que fazem a ressuscitação cardiopulmonar corretamente é menor que 50 Lista 3 1 Hipóteses H0 a direção do chute é independente da direção em que o goleiro pula H1 a direção do chute não é independente da direção em que o goleiro pula Estatística de teste Valores esperados E entre parênteses Os valores esperados são calculados como 𝐸 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐺𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐸11 92 141286 4536 𝐸33 112 127286 4973 Esquerda Centro Direita Total Chute p Esquerda 54 4536 1 579 37 4085 92 Chute p Centro 41 4043 10 516 31 3641 82 Chute p Direita 46 5522 7 705 59 4973 112 Total 141 18 127 286 a A estatística de teste é dada por χ2 calc O E2 E 54 45362 4536 1 5792 579 7 705² 705 59 4973² 4973 1459 O gabarito dele está 3056 mas neste caso o erro é no gabarito Refiz aqui e continuei encontrando 1459 Fiz via software também e é esse mesmo o resultado Graus de liberdade GL Nº de linhas 1 Nº de colunas 1 3 1 3 1 4 b Valor tabeladocrítico α 5 χ2 crit 949 c Como χ2 calc χ2 tab rejeitase H0 ao nível de significância de 5 Há evidências de que a direção do chute não é independente da direção em que o goleiro pula 2 Hipóteses H0 não existe associação entre a participação ativa dos pais nos deveres escolares e o desempenho dos alunos em matemática H1 existe associação entre a participação ativa dos pais nos deveres escolares e o desempenho dos alunos em matemática Estatística de teste Valores esperados E entre parênteses Os valores esperados são calculados como 𝐸 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐺𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐸11 120 100300 40 𝐸23 180 100300 60 Baixo Médio Alto Total Ativa 15 40 35 40 70 40 120 Fraca 85 60 65 60 30 60 180 Total 100 100 100 300 a A estatística de teste é dada por χ2 calc O E2 E 15 402 40 35 402 40 65 60² 60 30 60² 60 6458 Graus de liberdade GL Nº de linhas 1 Nº de colunas 1 2 1 3 1 2 b Valor tabeladocrítico α 1 χ2 crit 921 c Como χ2 calc χ2 tab rejeitase H0 ao nível de significância de 1 Há evidências de que existe associação entre a participação ativa dos pais nos deveres escolares e o desempenho dos alunos em matemática Esta não está no gabarito mas só confirmando os resultados aqui via software Tudo batendo 3 Hipóteses H0 a distribuição das vendas para cada versão após a campanha é a mesma informada pelo fabricante a campanha não surtiu efeito H1 a distribuição das vendas para cada versão após a campanha é diferente da informada pelo fabricante a campanha surtiu efeito Estatística de teste Os valores esperados E entre parênteses são de acordo com a proporção esperada sob H0 40 de SX 30 de LX 20 de GLX e 10 de GTX Então 500 040 200 500 030 150 500 020 100 500 010 50 Versão SX LX GLX GTX Total Und Vendidas 210 200 125 150 105 100 60 50 500 A estatística de teste é dada por χ2 calc O E2 E 210 2002 200 125 1502 150 105 100² 100 60 50² 50 692 Graus de liberdade GL Nº de categorias 1 4 1 3 Valor tabeladocrítico α 10 χ2 crit 625 Conclusão Como χ2 calc χ2 tab rejeitase H0 ao nível de significância de 10 Há evidências de que a distribuição das vendas para cada versão após a campanha é diferente da informada pelo fabricante a campanha surtiu efeito 4 Hipóteses H0 asma e incidência de gripe são independentes H1 asma e incidência de gripe não são independentes Estatística de teste Valores esperados E entre parênteses Os valores esperados são calculados como 𝐸 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐺𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐸11 61 69150 2806 𝐸12 61 81150 3294 𝐸21 89 69150 4094 𝐸22 89 81150 4806 Gripe Asma Sim Não Total Sim 27 2806 34 3294 61 Não 424094 47 4806 89 Total 69 81 150 Estatística de teste A estatística de teste é dada por χ2 calc O E2 E 27 28062 2806 34 32942 3294 42 4094² 4094 47 4806² 4806 012 Graus de liberdade GL Nº de linhas 1 Nº de colunas 1 2 1 2 1 1 Valor tabeladocrítico α 5 χ2 crit 384 Conclusão Como χ2 calc χ2 tab não se rejeita H0 ao nível de significância de 5 Não há evidências de que asma e incidência de gripe não sejam independentes Lista 3 1 Hipóteses H0 a direção do chute é independente da direção em que o goleiro pula H1 a direção do chute não é independente da direção em que o goleiro pula Estatística de teste Valores esperados E entre parênteses Os valores esperados são calculados como ETotal da LinhaTotal daColuna TotalGeral E1 1921412864536 E3 31121272864973 Esquerda Centro Direita Total Chute p Esquerda 54 4536 1 579 37 4085 92 Chute p Centro 41 4043 10 516 31 3641 82 Chute p Direita 46 5522 7 705 59 4973 112 Total 141 18 127 286 a A estatística de teste é dada por χ 2 calc OE 2 E 544536 2 4536 1579 2 579 7705² 7 05 594973² 4973 1459 O gabarito dele está 3056 mas neste caso o erro é no gabarito Refiz aqui e continuei encontrando 1459 Fiz via software também e é esse mesmo o resultado Graus de liberdade GLNº delinhas1Nº decolunas131314 b Valor tabeladocrítico α 5 χ 2 crit949 c Como χ 2 calc χ 2 tab rejeitase H0 ao nível de significância de 5 Há evidências de que a direção do chute não é independente da direção em que o goleiro pula 2 Hipóteses H0 não existe associação entre a participação ativa dos pais nos deveres escolares e o desempenho dos alunos em matemática H1 existe associação entre a participação ativa dos pais nos deveres escolares e o desempenho dos alunos em matemática Estatística de teste Valores esperados E entre parênteses Os valores esperados são calculados como ETotal da LinhaTotal daColuna TotalGeral E 1 1120100 30040 E2 318010030060 Baixo Médio Alto Total Ativa 15 40 35 40 70 40 120 Fraca 85 60 65 60 30 60 180 Total 100 100 100 300 a A estatística de teste é dada por χ 2 calc OE 2 E 1540 2 40 3540 2 40 6560² 60 3060² 60 6458 Graus de liberdade GLNº delinhas1Nº decolunas121312 b Valor tabeladocrítico α 1 χ 2 crit921 c Como χ 2 calc χ 2 tab rejeitase H0 ao nível de significância de 1 Há evidências de que existe associação entre a participação ativa dos pais nos deveres escolares e o desempenho dos alunos em matemática Esta não está no gabarito mas só confirmando os resultados aqui via software Tudo batendo 3 Hipóteses H0 a distribuição das vendas para cada versão após a campanha é a mesma informada pelo fabricante a campanha não surtiu efeito H1 a distribuição das vendas para cada versão após a campanha é diferente da informada pelo fabricante a campanha surtiu efeito Estatística de teste Os valores esperados E entre parênteses são de acordo com a proporção esperada sob H0 40 de SX 30 de LX 20 de GLX e 10 de GTX Então 500 040 200 500 030 150 500 020 100 500 010 50 Versão SX LX GLX GTX Total Und Vendidas 210 200 125 150 105 100 60 50 500 A estatística de teste é dada por χ 2 calc OE 2 E 210200 2 200 125150 2 150 105100² 100 6050² 50 692 Graus de liberdade GLNº decategorias1413 Valor tabeladocrítico α 10 χ 2 crit625 Conclusão Como χ 2 calc χ 2 tab rejeitase H0 ao nível de significância de 10 Há evidências de que a distribuição das vendas para cada versão após a campanha é diferente da informada pelo fabricante a campanha surtiu efeito 4 Hipóteses H0 asma e incidência de gripe são independentes H1 asma e incidência de gripe não são independentes Estatística de teste Valores esperados E entre parênteses Os valores esperados são calculados como ETotal da LinhaTotal daColuna TotalGeral E 1 16169 1502806 E 1 26181 1503294 E 218969 1504094 E2 2898115048 06 Gripe Asma Sim Não Total Sim 27 2806 34 3294 61 Não 424094 47 4806 89 Total 69 81 150 Estatística de teste A estatística de teste é dada por χ 2 calc OE 2 E 272806 2 2806 343294 2 3294 424094² 4094 4748 06² 4806 0 12 Graus de liberdade GLNº delinhas1Nº decolunas121211 Valor tabeladocrítico α 5 χ 2 crit384 Conclusão Como χ 2 calc χ 2 tab não se rejeita H0 ao nível de significância de 5 Não há evidências de que asma e incidência de gripe não sejam independentes Lista 2 1 F Na verdade Erro Tipo I é quando se rejeitaa H0 quando ela é na verdade verdadeira F O Erro Tipo II é quando não se rejeita H0 quando ela é falsa Essa está diferente do gabarito Ele colocou como falsa A frase é O erro tipo II é definido como a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa é verdadeira O Erro Tipo II ocorre quando não se rejeita H0 quando ela falsa Se ele afirma que a hipótese alternativa é verdadeira então H0 é falsa Imagino que ele tenha colocado falsa para essa afirmação por causa do uso da palavra probabilidade O Erro Tipo II é você não rejeitar H0 quando ela é falsa e a probabilidade de isso ocorrer é β Então provavelmente ele deu como falsa por considerar que o Erro Tipo II em si não é a probabilidade V O valorp é a probabilidade de obter sob H0 uma estatística de teste tão ou mais extrema que a observada V Se o zero não está incluso podese falar que a média difere de zero rejeitando a hipótese nula de que a média é zero 2 V O erro tipo 1 ocorre ao se rejeitar H0 verdadeira F O nível de significância é a probabilidade de se cometer o erro tipo 1 não há relação direta com o valorp V Será rejeitado a 5 pois 0015 005 mas não a 1 pois 0015 001 3 F Para o enunciado dado as hipóteses deveriam ser H0 µ 9000 horas H1 µ 9000 horas Estamos testando se a vida útil é menor do que o fabricante afirma V Precisamos calcular a estatística de teste O desvio padrão que temos é amostral s e a amostra é pequena n 16 logo se usa a estatística t t calc xμ sn 88009000 50016 160 Agora devemos comparar com o valor tabelado considerando α 5 e 15 graus de liberdade gl n 1 t tab1753 Como t calct tab não se rejeita H0 Não se pode contestar a afirmação ao nível de significância de 5 F Se considerarmos a amostra de tamanho n 36 mesmo que não conheçamos o desvio padrão populacional podemos utilizar a estatística z aproximando σ por s No geral se faz isso quando n 30 Assim temos zcalc xμ σn 88009000 50036 240 Ele fala que a nova amostra é de 36 eu havia mantido o 16 Agora devemos comparar com o valor tabelado considerando α 25 ztab196 Como zcalcztab rejeitase H0 Podese contestar a afirmação ao nível de significância de 25 F Desde que os dados sejam provenientes de uma distribuição normal podemos sim realizar o teste de hipóteses mesmo que desconheçamos o desvio padrão populacional bastando utilizar a estatística tStudent 4 F Para o enunciado dado as hipóteses deveriam ser H0 p 003 H1 p 003 Estamos testando se a proporção de peças defeituosas é superior a 3 V Devemos calcular a estatística de teste zcalc pp p1p n 74 2000003 0031003 2000 184 E devemos também encontrar o valor tabelado ztab1645 Como zcalcztab rejeitase H0 ao nível de significância de 5 A proporção de defeituosas é superior a 3 V IC ppz p1p n IC p95 74 2000 196 74 2000 1 74 2000 2000 IC p950028700453 IC p95287 4 53 Considerando IC bilateral 5 Dados n 44 x 29 α 1 p2944 Hipóteses H 0 p039 a baixa idade materna não é um fator de risco H 1 p039 a baixa idade materna é um fator de risco Estatística de teste zcalc pp p1p n 29 44039 039 1039 44 366 Valor tabelado α 1 ztab233 Conclusão Como zcalcztab rejeitase H0 ao nível de significância de 1 Há evidências de que a baixa idade materna é um fator de risco para a síndrome da morte súbita 6 Dados n 662 x 278 α 5 p278662 Hipóteses H 0 p050 H 1 p050 menos de 50 fazem a ressuscitação cardiopulmonar corretamente Estatística de teste zcalc pp p1p n 278 662050 050 1050 662 4 12 Valor tabelado α 5 ztab1645 Conclusão Como zcalcztab rejeitase H0 ao nível de significância de 5 Há evidências de que a proporção de espectadores leigos que fazem a ressuscitação cardiopulmonar corretamente é menor que 50