Lista de Exercícios Resolvidos Estatística Inferencial - Distribuição Normal e Intervalos de Confiança

Exercício 1 Seja Z a variável aleatória com distribuição Normal Padrão ou seja Z N 01 a Calcule PZ 145 0073 PZ 165 0950 PZ 145 0073 PZ 165 0950 P 145 Z 165 0877 b Encontre o valor de z tal que PZ z 00268 193 PZ z 00268 193 P z Z z 09464 193 Exercício 2 A equipe de vendas da Slillings Distributors apresenta semanalmente relatórios que relacionam os contatos feitos com clientes durante a semana Uma amostra de 65 relatórios semanais exibiu uma média amostral de 195 contatos com clientes por semana O desvio padrão da amostra foi 52 Construa o intervalo de confiança de 90 e 95 para o número médio da população e da variância da população de contatos semanais com clientes feitos pela equipe de vendas Não é pra fazer para variância ICμ 90 1844 2056 Temos 90 de confiança de que o número médio de contatos semanais pela equipe de vendas está entre 1824 2076 ICμ 95 1824 2076 Temos 95 de confiança de que o número médio de contatos semanais pela equipe de vendas está entre 1824 2076 Exercício 3 Uma pesquisa da National Retail Foundation descobriu que as famílias pretendiam gastar uma média de US649 durante o período de festas em dezembro The Wall Street Journal dezembro de 2002 Suponha que a pesquisa tenha incluído 600 famílias e que o desvio padrão da amostra tenha sido US175 a Com 95 de confiança qual é a margem de erro ME 14 b Qual é a estimativa intervalar com 95 de confiança para a média populacional ICμ 95 635 663 c Interprete o resultado em b Temos 95 de confiança de que o gasto médio das famílias americanas está entre 635 e 663 dólares Exercício 4 Determine os valores das seguintes quantidades a t 0115 1341 b t 00515 1753 c t 00525 1708 d t 00540 1684 e t 000540 2704 Exercício 5 Um estudo foi realizado para avaliar o salário médio dos graduados em Administração de Empresas na Grande Vitória Uma amostra aleatória de 25 graduados foi coletada e obtevese um salário médio de R 450000 com um desvio padrão amostral de R 80000 Calcule o intervalo de confiança de 90 para a média dos salários dos graduados em Administração de Empresas nessa região ICμ 90 422625 477376 Interpretação Temos 90 de confiança de o salári médio na GV está entre R 422625 e R477376 Exercício 6 Uma amostra de 18 famílias foi coletada para estudar o endividamento familiar em um bairro Em média o endividamento observado foi de R3000000 e o desviopadrão amostral foi de R500000 a Com 95 de confiança qual é a margem de erro ME24867 b Qual é a estimativa intervalar com 95 de confiança para a média do endividamento familiar nessa região ICμ 95 275133 324867 c Interprete o resultado em b Temos 95 de confiança de que o endividamento das famílias do bairro está entre R275133 e R324867 Exercício 7 Uma loja deseja compreender a preferência de método de pagamento entre os clientes online De uma amostra aleatória de 500 clientes 280 preferem pagar com cartão de crédito desejase calcular um intervalo de confiança de 99 para a proporção de clientes que preferem pagar com cartão de crédito Interprete ICp 99 0503 0617 Temos 99 de confiança que a proporção de clientes da loja que preferem pagar com cartão pertence ao intervalo 0503 0617 Exercício 8 De uma amostra aleatória de 400 residências observouse que 120 delas têm sistemas de energia solar instalados Calcule o intervalo de confiança de 95 para a proporção de residências com sistemas de energia solar ICp 95 0255 0345 Temos 95 de confiança que a proporção de residências com energia solar está entre 0255 e345 Exercício 1 Seja Z a variável aleatória com distribuição Normal Padrão ou seja Z N 01 a Calcule PZ 145 PZ 165 PZ 145 PZ 165 P 145 Z 165 b Encontre o valor de z tal que PZ z 00268 PZ z 00268 P z Z z 09464 Exercício 2 A equipe de vendas da Slillings Distributors apresenta semanalmente relatórios que relacionam os contatos feitos com clientes durante a semana Uma amostra de 65 relatórios semanais exibiu uma média amostral de 195 contatos com clientes por semana O desvio padrão da amostra foi 52 Construa o intervalo de confiança de 90 e 95 para o número médio da população e da variância da população de contatos semanais com clientes feitos pela equipe de vendas Exercício 3 Uma pesquisa da National Retail Foundation descobriu que as famílias pretendiam gastar uma média de US649 durante o período de festas em dezembro The Wall Street Journal dezembro de 2002 Suponha que a pesquisa tenha incluído 600 famílias e que o desvio padrão da amostra tenha sido US175 a Com 95 de confiança qual é a margem de erro b Qual é a estimativa intervalar com 95 de confiança para a média populacional c Interprete o resultado em b Exercício 4 Determine os valores das seguintes quantidades a t 0115 b t 00515 c t 00525 d t 0 0540 e t 000540 Exercício 5 Um estudo foi realizado para avaliar o salário médio dos graduados em Administração de Empresas na Grande Vitória Uma amostra aleatória de 25 graduados foi coletada e obtevese um salário médio de R 450000 com um desvio padrão amostral de R 80000 Calcule o intervalo de confiança de 90 para a média dos salários dos graduados em Administração de Empresas nessa região Exercício 6 Uma amostra de 18 famílias foi coletada para estudar o endividamento familiar em um bairro Em média o endividamento observado foi de R3000000 e o desviopadrão amostral foi de R500000 a Com 95 de confiança qual é a margem de erro b Qual é a estimativa intervalar com 95 de confiança para a média do endividamento familiar nessa região c Interprete o resultado em b Exercício 7 Uma loja deseja compreender a preferência de método de pagamento entre os clientes online De uma amostra aleatória de 500 clientes 280 preferem pagar com cartão de crédito desejase calcular um intervalo de confiança de 99 para a proporção de clientes que preferem pagar com cartão de crédito Interprete Exercício 8 De uma amostra aleatória de 400 residências observouse que 120 delas têm sistemas de energia solar instalados Calcule o intervalo de confiança de 95 para a proporção de residências com sistemas de energia solar Tabela I Distribuição Normal Padrão Acumulada Fornece Φz P Z z para todo z de 001 em 001 desde z 000 até z 359 A distribuição de Z é Normal01 z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359 01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753 02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141 03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517 04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879 05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224 06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549 07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852 08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133 09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389 10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621 11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830 12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015 13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177 14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319 15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441 16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545 17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633 18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706 19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767 20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817 21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857 22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890 23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916 24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936 25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952 26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964 27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974 28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981 29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986 30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990 31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993 32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995 33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997 34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998 35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 Obs Se z 0 então Φz P Z z 1 Φz Tabela II Distribuição t de Student Fornece o quantil tp em função do no de gl ν linha e de p PTtp coluna T tem distribuição t de Student com ν gl ν p 06 07 08 09 095 0975 098 099 0995 1 0325 0727 1376 3078 6314 12706 15895 31821 63657 2 0289 0617 1061 1886 2920 4303 4849 6965 9925 3 0277 0584 0978 1638 2353 3182 3482 4541 5841 4 0271 0569 0941 1533 2132 2776 2999 3747 4604 5 0267 0559 0920 1476 2015 2571 2757 3365 4032 6 0265 0553 0906 1440 1943 2447 2612 3143 3707 7 0263 0549 0896 1415 1895 2365 2517 2998 3499 8 0262 0546 0889 1397 1860 2306 2449 2896 3355 9 0261 0543 0883 1383 1833 2262 2398 2821 3250 10 0260 0542 0879 1372 1812 2228 2359 2764 3169 11 0260 0540 0876 1363 1796 2201 2328 2718 3106 12 0259 0539 0873 1356 1782 2179 2303 2681 3055 13 0259 0538 0870 1350 1771 2160 2282 2650 3012 14 0258 0537 0868 1345 1761 2145 2264 2624 2977 15 0258 0536 0866 1341 1753 2131 2249 2602 2947 16 0258 0535 0865 1337 1746 2120 2235 2583 2921 17 0257 0534 0863 1333 1740 2110 2224 2567 2898 18 0257 0534 0862 1330 1734 2101 2214 2552 2878 19 0257 0533 0861 1328 1729 2093 2205 2539 2861 20 0257 0533 0860 1325 1725 2086 2197 2528 2845 21 0257 0532 0859 1323 1721 2080 2189 2518 2831 22 0256 0532 0858 1321 1717 2074 2183 2508 2819 23 0256 0532 0858 1319 1714 2069 2177 2500 2807 24 0256 0531 0857 1318 1711 2064 2172 2492 2797 25 0256 0531 0856 1316 1708 2060 2167 2485 2787 26 0256 0531 0856 1315 1706 2056 2162 2479 2779 27 0256 0531 0855 1314 1703 2052 2158 2473 2771 28 0256 0530 0855 1313 1701 2048 2154 2467 2763 29 0256 0530 0854 1311 1699 2045 2150 2462 2756 30 0256 0530 0854 1310 1697 2042 2147 2457 2750 40 0255 0529 0851 1303 1684 2021 2123 2423 2704 60 0254 0527 0848 1296 1671 2000 2099 2390 2660 120 0254 0526 0845 1289 1658 1980 2076 2358 2617 0253 0524 0842 1282 1645 1960 2054 2326 2576 Obs Para um certo ν fixado se p 050 tp t1p a PZ145PZ1451PZ14510926500735 PZ16509505 PZ1451PZ14510926500735 PZ165PZ16509505 P 145Z165P Z165 P Z145 P Z1651P Z145 4 0950510926508770 b PZz00268 Então PZz09732 Na tabela temos que PZ19309732 então pela simetria PZ19300268 logo PZ19300268 Resposta z 193 PZz00268 Então PZz09732 Olhando a tabela temos que z 193 PzZ z09464 Se entre dois valores temos 09464 então temos que resta 1 09464 00536 de área nas extremidades Então temos que encontrar um valor tal que PZz09464005362 PZz09732 Então z 193 x195 s52 n65 Apesar de não conhecermos o desvio padrão populacional a amostra é grande n 30 então podemos utilizar z ICμx z σ n Para 90 ICμ 90 1951645 52 65 ICμ 9018442056 Com 90 de confiança o número médio de contatos semanais pela equipe de vendas está entre 1844 e 2056 contatos Para 95 ICμ 95195196 52 65 ICμ 9518242076 Com 95 de confiança o número médio de contatos semanais pela equipe de vendas está entre 1824 e 2076 contatos a Novamente temos uma amostra grande então podemos utilizar z mesmo que o desvio padrão populacional não seja conhecido Então ICμx z σ n onde z σ n é a margem de erro ME ME196 175 600 US 14 00 b ICμ 9564914 ICμ 95635663 c Com 95 de confiança a média real de gastos das famílias durante o período de festas em dezembro está entre US 635 e US 663 a Aqui temos 010 de probabilidade de 15 graus de liberdade t 01151341 Olhamos 090 complemento de 010 queremos a probabilidade acima 010 é acima b Novamente 15 graus de liberdade t 005151753 c Agora com 25 graus de liberdade t 005251708 d Agora com 40 graus de liberdade t 005401684 e Agora com probabilidade 0005 05 olhase na tabela 0995 t 0005402704 Agora temos uma amostra pequena n 30 e desvio padrão populacional desconhecido logo utilizamos tStudent ICμxt s n ICμ 9045001711 800 25 ICμ 904226 24 477376 Como n 25 temos 24 graus de liberdade n1 Como temos 90 de confiança olhamos 095 na tabela 1 090 010 dividimos o 010 metade pra cima e metade para baixo então 005 então 090 005 olhamos o 095 Com 90 de confiança a média real dos salários dos graduados em Administração de Empresas na Grande Vitória está entre R 422624 e R 477376 a ICμxt s n ME2110 5000 18 248666 Temos 17 graus de liberdade t0975 17 b ICμ 95300002486 66 ICμ 9527513343248666 c Com 95 de confiança o endividamento médio das famílias do bairro está entre R2751334 e R3248666 Agora estamos tratando de proporções IC pp z p1p n p280500056 Então IC p 99 056258 0561056 500 IC p 990502706173 Com 99 de confiança a verdadeira proporção de clientes que preferem pagar com cartão de crédito está entre 5027 e 6173 p120400030 IC p 950 30196 0301030 400 IC p 950255103449 Com 95 de confiança a verdadeira proporção de residências com sistemas de energia solar está entre 2551 e 3449 a PZ 145 PZ 145 1 PZ 145 1 09265 00735 PZ 165 09505 PZ 145 1 PZ 145 1 09265 00735 PZ 165 PZ 165 09505 P145 Z 165 PZ 165 PZ 145 PZ 165 1 PZ 1454 09505 1 09265 08770 b PZ z 00268 Então PZ z 09732 Na tabela temos que PZ 193 09732 então pela simetria PZ 193 00268 logo PZ 193 00268 Resposta z 193 PZ z 00268 Então PZ z 09732 Olhando a tabela temos que z 193 Pz Z z 09464 Se entre dois valores temos 09464 então temos que resta 1 09464 00536 de área nas extremidades Então temos que encontrar um valor tal que PZ z 09464 005362 PZ z 09732 Então z 193 x 195 s 52 n 65 Apesar de não conhecermos o desvio padrão populacional a amostra é grande n 30 então podemos utilizar z ICμ x z σ n Para 90 ICμ 90 195 1645 52 65 ICμ 90 1844 2056 Com 90 de confiança o número médio de contatos semanais pela equipe de vendas está entre 1844 e 2056 contatos Para 95 ICμ 95 195 196 52 65 ICμ 95 1824 2076 Com 95 de confiança o número médio de contatos semanais pela equipe de vendas está entre 1824 e 2076 contatos a Novamente temos uma amostra grande então podemos utilizar z mesmo que o desvio padrão populacional não seja conhecido Então ICμ x z σ n onde z σ n é a margem de erro ME ME 196 175 600 US 1400 b ICμ 95 649 14 ICμ 95 635 663 c Com 95 de confiança a média real de gastos das famílias durante o período de festas em dezembro está entre US 635 e US 663 a Aqui temos 010 de probabilidade de 15 graus de liberdade t01 15 1341 Olhamos 090 complemento de 010 queremos a probabilidade acima 010 é acima b Novamente 15 graus de liberdade t005 15 1753 c Agora com 25 graus de liberdade t005 25 1708 d Agora com 40 graus de liberdade t005 40 1684 e Agora com probabilidade 0005 05 olhase na tabela 0995 t0005 40 2704 Agora temos uma amostra pequena n 30 e desvio padrão populacional desconhecido logo utilizamos tStudent ICμ x t s n ICμ 90 4500 1711 800 25 ICμ 90 422624 477376 Como n 25 temos 24 graus de liberdade n1 Como temos 90 de confiança olhamos 095 na tabela 1 090 010 dividimos o 010 metade pra cima e metade para baixo então 005 então 090 005 olhamos o 095 Com 90 de confiança a média real dos salários dos graduados em Administração de Empresas na Grande Vitória está entre R 422624 e R 477376 a ICμ x t s n ME 2110 5000 18 248666 Temos 17 graus de liberdade t0975 17 b ICμ 95 30000 248666 ICμ 95 2751334 3248666 c Com 95 de confiança o endividamento médio das famílias do bairro está entre R2751334 e R3248666 Agora estamos tratando de proporções ICp p z p 1 p n p 280500 056 Então ICp 99 056 258 056 1 056 500 ICp 99 05027 06173 Com 99 de confiança a verdadeira proporção de clientes que preferem pagar com cartão de crédito está entre 5027 e 6173 p 120400 030 ICp 95 030 196 030 1 030 400 ICp 95 02551 03449 Com 95 de confiança a verdadeira proporção de residências com sistemas de energia solar está entre 2551 e 3449