Matemática Aplicada - Edson Carlos Chenço

Edson Carlos Chenço aplicada matemática Código Logístico 58558 Fundação Biblioteca Nacional ISBN 9788538764809 9 7 8 8 5 3 8 7 6 4 8 0 9 Matemática Aplicada Edson Carlos Chenço Matemática aplicada IESDE 2019 Edson Carlos Chenço Todos os direitos reservados IESDE BRASIL SA Al Dr Carlos de Carvalho 1482 CEP 80730200 Batel Curitiba PR 0800 708 88 88 wwwiesdecombr 2019 IESDE BRASIL SA É proibida a reprodução mesmo parcial por qualquer processo sem autorização por escrito do autor e do detentor dos direitos autorais Projeto de capa IESDE BRASIL SA Imagem da capa IESDE BRASIL SA CIPBRASIL CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS RJ C447m Chenço Edson Carlos Matemática aplicada Edson Carlos Chenço 1 ed Curitiba PR IESDE 2019 230 p il Inclui bibliografia ISBN 9788538764809 1 Matemática 2 Matemática Estudo e ensino I Título 1959539 CDD 510 CDU 51 Edson Carlos Chenço Doutorando em Negócios Internacionais pela Florida Christian University FCU Mestre em Metrologia pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro PUCRio Especialista em Gestão de Negócios pela MUST University Professor de programas de pósgraduação e corporativos Consultor de finanças e projetos empresariais Sumário Apresentação 7 1 Fundamentos de matemática básica 9 11 Números inteiros e racionais 9 12 Potenciação 10 13 Radiciação 12 14 Razão e proporção 13 15 Regra de três 16 16 Equações do primeiro grau 18 17 Equações do segundo grau 22 2 Estudo dos conjuntos 31 21 Conceitos fundamentais 31 22 Tipos especiais de conjuntos 34 23 Produto cartesiano 37 24 Intervalos 40 25 Exercícios resolvidos 41 3 Funções gráficos e aplicações 47 31 Conceito de função 47 32 Função de primeiro grau 48 33 Tipos de funções de primeiro grau 49 34 Aplicação especial para funções de primeiro grau 54 35 Exercícios resolvidos 58 4 Funções outros modelos 65 41 Função quadrática ou polinomial 65 42 Função exponencial 69 43 Função logarítmica 73 44 Função inversa 76 5 Sequências e progressões 83 51 Sequências 83 52 Progressões aritméticas 87 53 Progressões geométricas 92 6 Análise combinatória e probabilidades 97 61 Conceitos introdutórios 98 62 Princípio fundamental da contagem 99 63 Probabilidade 106 7 Probabilidades Distribuições 115 71 Variáveis aleatórias discretas ou contínuas 115 72 Distribuições discretas 117 73 Relação entre valor esperado e medidas de dispersão 118 74 Distribuições binomiais 122 75 Distribuição de Poisson 125 76 Esperança matemática 126 8 Matrizes 133 81 Matrizes m x n 133 82 Operações envolvendo matrizes 136 83 Determinantes de uma matriz 139 9 Sistemas lineares 143 91 Complemento algébrico e menor complementar 143 92 Sistemas lineares 145 93 Sistemas normais 147 94 Sistemas equivalentes 148 95 Sistemas escalonados 149 10 Funções polinomiais limites e derivadas 159 101 Funções polinomiais 159 102 Multiplicidade de uma raiz 161 103 Princípio da indução finita 163 104 Limites 168 105 Derivadas 178 106 Aplicações das derivadas às atividades econômicas 192 Gabarito 197 Referências 229 Apresentação Atualmente cada vez mais se exige a capacidade de trabalhar e interpretar informações Essa habilidade essencial ao avanço da ciência desenvolvese rapidamente com os novos modelos matemáticos que se apresentam além dos muitos que já conhecemos e são utilizados Por meio deles emergem novos conhecimentos habilidades e competências os quais serão facilitadores e decisivos para alinhar teorias e práticas nas diversas áreas de atuação Ter uma base sólida em matemática aplicada portanto possibilitará uma formação científica de qualidade Melhores decisões são tomadas quando se tem acesso a informações precisas ampliando o olhar sobre os problemas que se manifestam no cotidiano Hoje utilizamos a matemática aplicada em modelagens que vão da medicina à astronomia das comunicações ao desenvolvimento de equipamentos de precisão enfim em importantes tarefas do dia a dia Ao digitarmos senhas em caixas eletrônicos ao pensarmos em nossa chance probabilística de ganhar na loteria ao avaliarmos riscos de um investimento ao elaborarmos nossa planilha orçamentária estamos matematizando isto é avaliando tudo que nos cerca do ponto de vista matemático Neste livro houve a preocupação de mostrar a versatilidade dos conceitos de matemática aplicada e sua utilidade Estruturado em dez capítulos partindo dos conceitos iniciais de potenciação e radiciação passamos pelas equações e problemas de primeiro e segundo grau pelas progressões matrizes e determinantes até finalizarmos com as funções polinomiais limites e funções derivadas Em todos os capítulos há dezenas de exercícios resolvidos exemplos solucionados aplicações à área de gestão e ainda sugestões de outros materiais que venham a enriquecer seus conhecimentos Bons estudos Fundamentos de matemática básica Neste primeiro capítulo apresentaremos de maneira objetiva os principais conceitos da matemática básica e suas aplicações Em princípio esses conteúdos parecem muito simples mas conhecêlos e saber aplicálos é fundamental para avançar nas seções propostas neste livro Os pontos mais importantes deste capítulo são potenciação radiciação expressões equações e sistemas do primeiro grau Ainda abordaremos razão proporção e regra de três números reais e aplicações para equações e sistemas do segundo grau 11 Números inteiros e racionais As frações e os números decimais são de conhecimento geral principalmente nos anos iniciais do Ensino Fundamental Esses números têm em comum o fato de pertencerem a um mesmo conjunto numérico chamado de conjunto dos números racionais sempre representado pela letra Q Todo número escrito na forma ab é racional sendo que a e b são cada um números inteiros desde que b seja diferente de zero Importante relembar números inteiros são aqueles que não possuem casas decimais mas podem ser positivos e negativos Podemos dizer também que os números decimais estão entre os números racionais pois se dividirmos uma fração teremos como resultado um valor decimal Vejamos os exemplos 4 5 080 15 2 75 4 1 4 4 Os números naturais também podem ser incluídos no conjunto Q pois são expressos na forma de fração resultando em valor natural O mesmo acontece com números inteiros Nesses casos as frações são chamadas de frações aparentes Vejamos os exemplos 15 3 5 49 7 7 Praticamente em todas as situações que envolvam medidas e contagem os números inteiros e racionais estão presentes São necessários nos cálculos de engenharia da matemática financeira na resolução de problemas de física química e biologia entre outras áreas Como exemplo podemos observar o cálculo da média harmônica que envolve números inteiros decimais e fracionários ao mesmo tempo demonstrando uma medida de velocidade média Velocidade de ida 80 kmh Velocidade de volta 30 kmh Percursos 2 ida e volta Portanto 2 1 1 2 001250033 439kmh 121 Propriedades da potenciação A potenciação tem um conjunto de propriedades que devem ser utilizadas para a resolução das operações As propriedades tornam mais simples algumas operações que envolvem as potências O filósofo Arquimedes que viveu no século III aC já lançava mão dos conceitos de exponenciação para especular sobre medidas relativas ao universo Os estudos evoluíram durante séculos e hoje as propriedades da potenciação são aplicadas em estudos avançados A seguir apresentamos as propriedades da potenciação a Um número natural elevado ao expoente 1 será sempre igual a ele mesmo Exemplo 5¹ 5 b Um número natural não nulo elevado ao expoente zero será sempre igual a 1 Exemplo 8⁰ 1 c Potência de base 1 será sempre igual a 1 Exemplo 1¹ 1 d Toda vez que o expoente for negativo significa que haverá uma troca de posição entre o numerador e o denominador Exemplo 5³ 1 5³ 1 125 e Potência negativa no denominador se transformará em numerador quando trocar o sinal dessa potência Exemplos 1 7³ 7³ 3 5³ 3 5³ f Base 10 resulta no numeral formado pelo algarismo 1 mais o total de zeros de acordo com as unidades do expoente Exemplo 10⁴ 10 10000 g Quadrado perfeito quando o produto é formado por dois fatores iguais Exemplos 5² 5 5 25 9² 9 9 81 Produto de potências de mesma base devemos conservar a base e somar os expoentes Exemplo 5² 5⁴ 5²4 5⁶ 15625 Para dividir potências de mesma base não nula conservamos a base e subtraímos os expoentes Exemplo 5⁶ 5⁴ 5⁶4 5² 25 Para elevar uma potência a um novo expoente o que chamamos de potência da potência conservase a base e multiplique os expoentes Exemplo 6¹³ 6¹ 6¹ 6¹ 6¹² 2176782336 13 Radiação A operação inversa à potenciação se chama radiação Por meio das principais propriedades da radiação é possível resolver com mais facilidade exercícios que envolvem raízes Exemplo 7² 49 49 7 Exemplos 3 5 3 6 1 2 6 6 05 1 2 6 14 Razão e proporção Para que exista uma razão se faz necessário associar pelo menos dois números E é importante que sejam diferentes de zero A razão ocorre quando comparamos essas duas ou mais medidas e simplificamos ao máximo os valores dessas relações Os resultados podem ser expressos em porcentagem ou em números decimais Fundamentos de matemática básica 15 142 Proporção É uma igualdade entre duas razões Quando observamos quatro números racionais a b c e d não nulos é certo que formam uma proporção quando a razão do primeiro pelo segundo for igual à razão do terceiro pelo quarto Logo a b c d onde se lê a está para b assim como c está para d Observe a proporção a seguir na qual a segunda fração equivale ao dobro do valor da primeira 5 50 10 100 Produto dos meios 50 10 500 Produto dos extremos 5 100 500 Termo desconhecido na proporção Normalmente o termo desconhecido é chamado de x 4 8 20 x 4 x 8 20 4x 160 logo x 40 Terceira proporcional Na terceira proporcional repetimos no terceiro termo o valor do denominador do segundo termo e assim completamos a proporção 10 20 20 x 10 x 20 20 10x 400 Logo x 400 10 x 40 Quarta proporcional Em a b assim como c x indicamos por x a quarta proporcional Dados os valores 10 20 e 12 por exemplo determinamos a quarta proporcional do seguinte modo 10 20 20 x 10x 20 12 10x 240 portanto x 24 Grandezas proporcionais Matemática aplicada 16 Grandeza é aquilo que pode ser contado e medido Superfície volume comprimento e custo por exemplo são grandezas cujas medidas podem ser aumentadas ou diminuídas de acordo com a situação apresentada Diferenciamos as grandezas em diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais dependendo da relação entre elas Vejamos os exemplos a 10 operários fazem 50 metros de obra logo 20 operários farão 100 metros da mesma obra 10 50 assim como 20 100 diretamente proporcional b Para fazer uma obra 10 operários trabalham 8 horas por dia Se colocarmos 20 operários farão a mesma obra trabalhando 4 horas por dia 10 8 assim como 20 4 inversamente proporcional Os cálculos de proporção como vimos simplificam e facilitam análises e conclusões sobre grandezas São também prérequisitos para o entendimento da próxima seção 15 Regra de três As referências a regra de três são muito antigas as primeiras menções a esses estudos apareceram na China e no Egito há mais de 3000 anos Em 1203 o matemático italiano Leonardo Fibonacci apresentou os primeiros estudos estruturados a respeito do uso e da importância da regra de três como decorrentes do conteúdo apresentado sobre razão e proporção A regra de três é um processo matemático que permite resolver problemas no qual duas ou mais grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais considerando definir um valor por meio de valores conhecidos regra de três simples ou no caso da regra de três composta um valor por meio de inúmeros valores e variáveis conhecidas Regra de três simples Essa regra de três temos quatro valores e conhecemos três O quarto valor portanto será determinado a partir de três já conhecidos Exemplos 1 Em 5 casas de mesma metragem gastamse R 10000 de energia elétrica Aumentando o número de casas para 8 quanto será gasto aproximadamente 5 100 8 x 5x 100 8 5x 800 x 800 5 x R 16000 Vídeo Fundamentos de matemática básica 17 2 Considere que 8 operários constroem um barracão em 20 dias Diminuindose o número de operários para 4 quantos dias eles levarão para fazer o trabalho considerando o mesmo ritmo 8 operários gastam 20 4 gastam x Na tabela a seguir observe que se diminuirmos o número de operários teremos de aumentar os dias de trabalho resultando em uma relação inversa Tabela 1 Relação entre operários e dias Operários Dias 8 20 4 X Fonte Elaborada pelo autor Logo 4x 20 8 4x 160 x 40 dias Regra de três composta É chamada de composta quando envolve mais de duas grandezas direta ou inversamente proporcionais Pode ter um grande número de variáveis para serem observadas Vejamos um exemplo Considere que 10 operários trabalhando 8 horas por dia fazem 1000 metros de asfalto em 5 dias Aumentandose o número de operários em 20 trabalhando 6 horas por dia durante 8 dias quantos metros de asfalto aproximadamente os operários farão Para a resolução observe que temos quatro grandezas operários horas metragem e dias conforme tabela a seguir Tabela 2 Relação entre quatro variáveis Operários Horas Metragem Dias 10 8 1000 5 12 6 x 8 Fonte Elaborada pelo autor Como a incógnita x está na unidade de medida metro todas as observações serão feitas com base nessa medida Se fazem 1000 metros de asfalto em 5 dias em 8 dias farão mais direta Se fazem 1000 metros de asfalto em 8 horas em 6 horas farão menos direta Se fazem 1000 metros de asfalto com 10 operários com 12 operários farão mais direta 1000 10 8 5 12 6 8 2x x 10 7 2x x x 10 7 x 2x x 10 7 Matemática aplicada 20 161 Sistemas do primeiro grau Quando correlacionamos duas equações do primeiro grau e suas incógnitas são estudadas ao mesmo tempo temos um sistema São chamados sistemas pois as equações não podem ser estudadas individualmente e para revelar essa dependência entre elas usamos sempre uma chave Os sistemas são muito utilizados em engenharia nas ciências agrárias nos problemas de pesquisas operacionais em administração e em outras áreas do conhecimento A fim de resolver um sistema do primeiro grau é necessário encontrar valores para as incógnitas que satisfaçam ao mesmo tempo todas as equações Existem alguns modelos para solucionar sistemas do primeiro grau os mais comuns são os métodos da adição e da substituição Vamos conhecêlos por meio do exemplo a seguir Em um concurso público um candidato acertou inúmeras questões que valiam dois pontos e outras que valiam três pontos No total acertou 26 questões e marcou 58 pontos Esse candidato acertou quantas questões de valor três pontos x y 26 questões certas 2x 3y 58 pontos de acertos Sempre indicamos o sistema por meio de uma chave x y 26 2x 3y 58 Resolução pelo método da substituição Determinamos o valor de x x 26 y Agora substituímos na segunda equação 2 26 y 3y 58 52 2y 3y 58 y 6 Substituindo o valor de y é possível saber quantas questões de dois pontos foram acertadas x y 26 x 6 26 x 26 6 Logo x 20 questões Resolução pelo método da adição x y 26 2x 3y 58 2x 2y 52 2x 3y 58 Matemática aplicada 22 Resolução x é a idade de Marcelo 2x 8 é a idade de Pedro Temos ainda que a idade de Pedro não supera o triplo da idade de Marcelo 3x 2x 8 3x 2x 16 3x 2x 16 x 16 A idade de Pedro é 16 anos ou mais 17 Equações do segundo grau A diferença fundamental entre uma equação do primeiro grau e uma do segundo grau é o expoente Toda equação do segundo grau terá um termo ao quadrado ou seja o expoente 2 Pode ser chamada também de equação polinomial do segundo grau ou equação quadrática As equações do segundo grau têm muitas aplicabilidades Foram e são fundamentais nos estudos da geometria das progressões matemáticas da engenharia e navegação Em física por exemplo são muito utilizadas nos cálculos para lançamento de projéteis Bháskara Sridhara e Bramagupta na Índia criaram a fórmula matemática e o francês François Viète criou o método resolutivo com símbolos e letras Uma equação na forma ax2 bx c 0 sendo a 0 é denominada equação de segundo grau Vejamos alguns exemplos 2x2 7x 5 0 forma completa ou normal Onde a 2 b 7 c 5 5x2 x 0 forma reduzida Onde a 5 b 1 c 0 2x2 48 0 forma reduzida Onde Vídeo a 2 b 0 c 48 Uma equação completa apresenta sempre três termos a coeficiente x² b coeficiente x c termo independente Nas equações incompletas há os termos a e b ou os termos a e c Nesses casos a resolução será muito mais simples como veremos a seguir Raízes da equação do segundo grau completa Quando resolvemos uma equação do segundo grau estamos de fato buscando suas raízes As raízes são os números reais que substituirão as incógnitas de uma equação chamadas de conjunto verdade ou conjunto solução Para solucionar equações completas do segundo grau podemos utilizar a Fórmula de Bháskara que é dada por x b Δ 2a Sendo que Δ b² 4ac Como exemplo vamos resolver a equação x² 3x 10 0 Consideremos a 1 b 3 e c 10 Δ b² 4ac 3² 4 1 10 9 40 49 x 3 49 2 x 3 7 2 2 x 3 7 2 5 Agora vamos observar outras resoluções possíveis para equações incompletas Dada a equação x² 49 0 em que a 1 e c 49 temos x² 49 x 49 x 7 Dada a equação x² 12x 0 em que a 1 e b 12 Coloque x em evidência pois é o fator comum a todos os termos x x 12 0 Logo x 0 ou x 12 0 x² 12 Quando os coeficientes não são dados pelos tradicionais a b e c mas usadas outras letras ou símbolos as equações são chamadas de literais Suas raízes serão calculadas em função de outra letra que poderá assumir diferentes valores Exemplo 4x² 16j² 0 x² 4j² x 4j² x 2j Hoje temos programas computacionais que resolvem em segundos equações complexas do segundo grau Geralmente são suplementos em programas de administração engenharia aeronáutica e astronomia A evolução dos estudos que envolvem as equações em especial aquelas do segundo grau permitirão maior precisão nos cálculos e melhora nos resultados de estudos científicos 171 Equações irracionais Dentro os principais tipos de equações a irracional é a mais complexa porque aliamos todos os conceitos já utilizados em equações com os conceitos de potenciação e radiciação o que torna a resolução mais trabalhosa Toda equação irracional apresenta sempre um radicando e dentro dele uma incógnita que necessita ser resolvida A solução das equações irracionais permitirá resolver problemas que envolvam geometria espacial como cálculos de volumes geometria descritiva geometria analítica diferencial e estudos de engenharia Para resolver uma equação irracional o primeiro passo é tentar transformála em uma equação racional Isso acontece quando elevamos todos os elementos da equação a uma potência viável Transformada em uma equação racional é hora de obter as raízes da equação e ver se podem ser aceitas ou não ou seja verificar as igualdades Exemplos a x 19 9 Solução x 19² 9² x 19 81 x 81 19 x 62 Verificação 62 2 2 0 4 0F 4 2 0 2 2 0 Observe que à esquerda temos a solução da equação obtendo o valor de x À direita fazemos a prova real e vemos que o número que realmente satisfaz a equação é 62 A verificação tem o objetivo de validar ou não os resultados b 6 x x 0 Solução 6 x x 6 x² x² 6 x x² x² x 6 0 x 2 x 3 Logo V 3 note que 2 é uma raiz que não satisfaz essa equação irracional Isso porque quando fazemos a verificação dos resultados à direita observamos que os valores não representam os resultados das raízes da equação 172 Sistemas do segundo grau Vimos nesse capítulo como são estruturados e resolvidos os sistemas do primeiro grau formados apenas por equações do primeiro grau ou de grau 1 Agora vamos resolver os sistemas do segundo grau Na matemática aplicada os sistemas do segundo grau são utilizados para a resolução de problemas que envolvam duas ou mais incógnitas Podem ser aplicados na solução de exercícios de raciocínio lógico quantitativo progressões geométricas e aritméticas correlações lineares e quadráticas entre outras necessidades Os sistemas do segundo grau podem envolver não apenas equações do segundo grau mas também do primeiro grau Quando representados graficamente se envolverem somente equações do segundo grau teremos parábolas Se houver uma equação do primeiro grau teremos parábola e reta Exemplo x² y² 10 equação do segundo grau x y 4 equação do primeiro grau Para a solução o primeiro passo é isolar x ou y em uma das equações Escolhemos a segunda equação pela simplicidade pois teremos que usála em um processo de substituição x 4 y Substituindo na primeira x² y² 10 4 y² y² 10 4² 2 4 y y² y² 10 16 8y 2y² 10 0 6 8y 2y² 0 Podemos dividir toda a equação por 2 tendo y² 4y 3 0 Agora devemos resolver normalmente a equação do segundo grau y 4 4 2 y² 3 e y² 1 Para determinar o valor de x substituímos na outra equação Para y 3 x 4 y x 4 3 x 1 Para y 1 x 4 y x 4 1 x 3 Logo teremos como solução os pares ordenados 3 1 e 1 3 Como exemplo vamos determinar dois números cuja soma é igual a 1 e o produto é igual a 12 x y 1 e x y 12 Substituindo x 1 y Logo 1 y y 12 y y² 12 0 Multiplicamos por 1 y² y 12 0 y 4 e y 3 Para y 4 x 1 y x 1 4 x 3 Fundamentos de matemática básica 27 Para y 3 x 1 y x 1 3 x 1 3 x 4 Solução 3 4 e 4 3 Para saber um pouco mais Boyer e Merzbach 2012 em sua obra História da matemática descreve que Bháskara contribuiu muito para a matemática e a astronomia Foi um dos mais importantes cientistas do século XVII inclusive chefiou um laboratório de astronomia na Índia Bháskara teria criado inúmeras fórmulas que envolviam conhecimentos de matemática e física sendo uma das mais conhecidas a utilizada para encontrar as raízes de uma equação quadrática Em alguns países como França Inglaterra e Grécia contudo há controvérsias que apontam outros matemáticos como responsáveis pelo desenvolvimento dessa teoria como François Viète e René Descartes Vale a pena a quem atua na área conhecer a história da matemática e suas referências Considerações finais Todos os conceitos apresentados nesse capítulo compõem os fundamentos necessários para o início dos estudos de matemática aplicada Além de conhecêlos e entender suas aplicabilidades é importante exercitálos Os exercícios ajudarão a diferenciar e fixar os diversos modelos identificar as propriedades os casos especiais e formar assim uma boa base matemática Ampliando seus conhecimentos Cada vez mais o acesso aos conteúdos de matemática é facilitado com a entrada de novos autores novas metodologias e recursos visuais A internet é uma fonte excelente de pesquisa com textos e vídeos preparados pelos professores para facilitar a ampliar a aprendizagem A seguir algumas dicas relacionadas aos assuntos abordados para seu aprofundamento SÓ MATEMÁTICA Disponível em httpswwwsomatematicacombr Acesso em 22 ago 2019 Nesse site você encontrará um conjunto de vídeos sobre potenciação e radiação com conceitos aplicações e muitos exercícios resolvidos É recomendável explorar os materiais disponibilizados FUNDAMENTOS da matemática elementar São Paulo Editora Saraiva Coleção Coleção interessante para pesquisa sempre atualizado e enriquecido com conceitos e novos exercícios BOYER C B MERZBACH U C História da matemática 3 ed Trad de Helena Castro São Paulo Editora Blucher 2012 Tradução da 3 ed Americana b 16 5 x 14 7 4 3x c 20y 4x 20 sendo y 8 4 Ao fazer a soma das despesas do mês Pedro somou duas vezes algumas contas da padaria apresentando um gasto de R 63400 Se ele não tivesse cometido esse engano o valor encontrado seria de R 49800 Portanto qual é o valor correto dos gastos 5 A soma das idades de Pedro e João é de 64 anos Sabendo que a idade de João é o triplo da idade de Pedro qual é a idade de cada um deles 6 Resolva os sistemas e inequações do primeiro grau a x y 14 e 2x 3y 48 b 3x 4y 51 e x y 10 c 31 2x 22x 1 x 7 7 Resolva os exercícios de proporção e regra de três simples e composta a Considere que 10 operários trabalhando 7 horas por dia durante 15 dias constroem 300 metros de um muro com nível de dificuldade 2 Se aumentarmos o nível de dificuldade para 3 com 12 operários trabalhando 8 horas por dia durante 12 dias quantos metros de muro aproximadamente serão feitos 2 Estudo dos conjuntos Começamos este capítulo com a seguinte indagação por que estudar a teoria dos conjuntos O estudo da teoria dos conjuntos é um dos primeiros conteúdos apresentados no ensino médio Apesar de parecer simples sua compreensão formará a base para o entendimento dos conteúdos seguintes como as funções A maioria dos temas da matemática evoluiu a partir dos estudos de muitos pesquisadores No caso específico da teoria dos conjuntos seu início em meados de 1850 envolveu pesquisas de vários matemáticos na Inglaterra França e Índia principalmente culminando na publicação de um artigo por Georg Cantor que se tornou referência na área Segundo Cantor 1874 um conjunto é uma coleção de objetos claramente distinguíveis uns dos outros chamados elementos e que pode ser pensada como um todo Por sua relevância esse artigo influenciou outros estudiosos em toda a Europa Em seus estudos Cantor provou por exemplo que uma coleção de números reais e uma coleção de números inteiros positivos não são contáveis mas ordenáveis1 Assim a partir dessas novas ideias os conceitos de progressões aritméticas e geométricas foram revistos Neste capítulo portanto veremos a definição e importância da teoria dos conjuntos 21 Conceitos fundamentais Por volta de 1900 a teoria dos conjuntos de Georg Contor evoluiu para uma série de estudos paralelos cheios de paradoxos e contradições estudados até hoje Por paradoxo compreendemos um pensamento que reavalia o senso comum as definições e expectativas Tornamse por isso argumentos críticos interessantes que impulsionam os estudos de lógica e filosofia incluindo a matemática Em 1901 o filósofo e matemático Bertrand Russel demonstrou um paradoxo que expôs diretamente uma falha nos fundamentos da teoria dos conjuntos Enquanto esse fundamento indicava que um conjunto pode conter sempre outros conjuntos inclusive a si mesmo Russel provou que essa não era uma verdade para todos os conjuntos o que levou os cientistas a repensarem a lógica moderna Para melhor compreender o que são conjuntos podemos pensar em exemplos como o conjunto de aviões de uma companhia aérea ou o conjunto das árvores de uma floresta tropical 1 John OConnor e Edmund Robertson 1998 descrevem detalhadamente esse período histórico entre outros da matemática em seu projeto MacTutor History of Mathematics Archive que reúne informações de pesquisadores relevantes na área Disponível em httpwwwhistorymcsstandrewsacukhistory Acesso em 2 set 2019 Vídeo Matemática aplicada 32 211 Relações entre elemento pertinência inclusão e simbologia Para avaliar se um elemento também pertence ou não a um conjunto que se compõe de outros elementos com as mesmas características são úteis as relações de pertinência e inclusão em conjuntos A seguir apresentamos ambas as relações Relação de pertinência Segundo Iezzi e Murakami 2013 a noção de pertinência entre elemento e conjunto é chamada de conceito primitivo e não necessita de definição Para demonstrar que um elemento pertence a um conjunto usamos o símbolo pertence Se esse elemento não pertencer a um conjunto no entanto indicamos pelo símbolo não pertence Ainda nas relações de pertinência encontramse as definições de existe e não existe Resumindo podemos dizer que elemento é um dos itens que compõem o conjunto peroba por exemplo é um elemento do conjunto de árvores de uma floresta e pertinência é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto Vejamos José Pedro pertence ao conjunto dos alunos de um curso Dentre os ossos do corpo humano existe um de nome esterno Relação de inclusão A relação entre conjuntos é chamada de inclusão Utilizamos a relação de inclusão para demonstrar quando todos os elementos de determinado conjunto pertencem ou não a outro conjunto Para isso existem os símbolos de inclusão está contido não está contido contém não contém É válido observar que as relações de pertinência só ocorrem entre um elemento e um conjunto e as relações de inclusão só ocorrem entre conjuntos Há uma simbologia bastante ampla no estudo da teoria dos conjuntos sendo importante conhecêla Existem também os elementos de complementação que simplificam frases palavras ou expressões a saber para todo ou qualquer que seja tal que É interessante observar o volume de símbolos que compõem a teoria dos conjuntos Isso talvez torne o entendimento de toda a teoria e aplicabilidade um pouco mais complexo Além dos símbolos de pertinência inclusão e complementares temos os símbolos operacionais e os símbolos que definem cada conjunto Vejamos a seguir os símbolos das operações com conjuntos Estudo dos conjuntos 33 Figura 1 A B A união B A B Fonte Elaborada pelo autor Figura 2 A B A intersecção B A B Fonte Elaborada pelo autor Figura 3 A B Diferença de A com B A B A figura também pode ilustrar a diferença de B com A B A Fonte Elaborada pelo autor Esses símbolos são utilizados na comparação entre quantidades de elementos de diferentes conjuntos observados ao mesmo tempo São também chamados de elementos lógicos A seguir dada a sua relevância apresentamos os símbolos comparativos de elementos entre conjuntos a b a menor que b a a menor ou igual a b a b a maior que b a b a maior ou igual a b Para complementar o estudo e aplicações dos símbolos na teoria dos conjuntos vamos identificar cada tipo de conjunto numérico e suas características principais Matemática aplicada 34 Quadro 1 Conjuntos numéricos e características Símbolo Característica N Conjunto dos números naturais 0 1 2 3 4 5 6 7 O número zero é o primeiro elemento desse conjunto O sucessor de cada número nesse conjunto é igual à soma dele mesmo com uma unidade ou seja o sucessor de 3 será 4 pois 3 1 4 Para representar o conjunto dos números naturais não nulos ou seja diferentes de zero devese colocar um ao lado do símbolo N Z Conjunto dos números inteiros 3 2 1 0 1 2 3 Os números negativos junto com os números naturais formam o conjunto dos números inteiros Q Conjunto dos números racionais 1 1 2 0 1 54 Dividindo um número inteiro por outro número inteiro temse um número racional Um número racional é representado por uma parte inteira e uma parte fracionária A letra Q vem da palavra inglesa quotient que significa quociente já que um número racional é um quociente de dois números inteiros Q I Conjunto dos números irracionais v2 v3 31416 Não podem ser obtidos pela divisão de dois números inteiros ou seja são números reais mas não racionais Esses números possuem infinitas casas depois da vírgula que não se repetem periodicamente O número irracional mais conhecido é o pi π R Conjunto dos números reais N Z Q I O conjunto dos números reais é formado por todos os números racionais e irracionais e indicado por R Indicamos por R o conjunto dos números reais sem o zero ou seja o símbolo R é usado para representar o conjunto dos números reais não nulos R R 0 Fonte Iezzi Murakami 2013 p 172179 22 Tipos especiais de conjuntos Além dos conjuntos numéricos encontramse nomenclaturas específicas para tipos especiais de conjuntos como os destacados a seguir Conjunto vazio É o conjunto representado por Ø ou e não possui elementos O conjunto vazio também pode ser chamado de conjunto nulo Devese usar uma representação simbólica ou outra nunca as duas juntas Subconjuntos O subconjunto também é um conjunto entretanto uma característica fundamental dele é estar totalmente incluído em outro conjunto qualquer De um conjunto podemos obter um ou muitos subconjuntos Há uma maneira simples de calcular o número de subconjuntos presente em um conjunto Imagine que deseja saber quantos subconjuntos de duas cores distintas podese formar com oito cores basta calcular 28 que é igual a 256 Um método rápido para calcular o número de subconjuntos de um conjunto é aplicar 2n em que n é o número de elementos do conjunto Se todos os elementos Vídeo Estudo dos conjuntos 35 de um conjunto que podemos chamar de D pertencerem a outro conjunto que podemos chamar de E então D é um subconjunto do conjunto E logo D E O conjunto vazio por convenção é subconjunto de qualquer conjunto ou seja Ø D Conjunto universo É o conjunto que possui todos os elementos de modo que os conjuntos considerados em determinado exemplo ou exercício serão subconjuntos de um conjunto maior chamado conjunto universo Considere o conjunto A 2 6 7 8 e o conjunto B 1 3 4 5 9 Nesse caso temos o conjunto universo U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Se operarmos com as representações vemos A B união de conjuntos Definimos como união dos conjuntos A e B se os elementos pertencentes a A também pertencem a B isto é A B x x A ou x B Por exemplo Dados dois conjuntos A 1 2 3 4 5 e B 6 7 8 9 a união será juntar todos os elementos de A e B em somente um conjunto não é necessário repetir os elementos comuns O conjunto que representará essa união ficará do seguinte modo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A representação da união de conjuntos é feita pelo símbolo então A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Figura 4 Representação A B A B Fonte Elaborada pelo autor Outros exemplos Dados os conjuntos B 0 1 2 3 4 5 C 1 3 5 79 e D 5 6 7 8 9 vamos obter a B C b B C D Solução a B C 0 1 2 3 4 5 7 9 b B C D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Para uma representação A B intersecção de conjuntos por sua vez como intersecção dos conjuntos A e B definimos o conjunto representado por todos os elementos que pertencem a A e B simultaneamente isto é A B x x A e x B Matemática aplicada 36 A intersecção de dois conjuntos equivale a representar somente os elementos que são comuns a ambos os conjuntos Dados dois conjuntos A 1 2 3 4 5 6 e B 5 6 7 8 9 podemos concluir que a intersecção representada por A B será o conjunto 5 6 que se compõe de elementos que aparecem nos dois conjuntos ao mesmo tempo Caso dois conjuntos ou mais não tenham elementos comuns a intersecção entre eles será um conjunto vazio Figura 5 Representação A B A B Fonte Elaborada pelo autor Dados os conjuntos A 0 1 5 7 9 B 0 2 5 7 C 4 6 7 9 e D 0 1 6 vamos definir a A B b A C c A B D Solução a A B 0 5 7 b A C 7 9 c A B D 0 Definimos como diferença entre A e B seguindose essa ordem o conjunto representado por A B formado por todos os elementos de A mas que não pertencem a B isto é A B x x A ou x B Figura 6 Representação A B A B Fonte Elaborada pelo autor Estudo dos conjuntos 37 Vejamos um exemplo Dados os conjuntos A 1 2 3 4 5 6 7 e B 2 4 6 obtenha a A B b B A Solução a A B 1 2 3 4 5 6 7 2 4 6 1 3 5 7 b B A 2 4 6 1 2 3 4 5 6 7 Ø Nesse contexto é importante conhecer o princípio da inclusão e exclusão para dois conjuntos Esse princípio estabelece a propriedade para calcular o número de elementos da união de dois conjuntos A e B em função do número de elementos de A e de B nA B nA nB nA B Definindo nA número de elementos do conjunto A nB número de elementos do conjunto B nA B número de elementos da intersecção nA B número de elementos da união Por exemplo Sejam A 1 2 3 4 5 6 7 e B 4 5 6 7 8 9 10 temos A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B 4 5 6 7 Pelo princípio da inclusão e exclusão podemos comprovar que nA B nA nB nA B 10 7 7 4 verdadeiro 23 Produto cartesiano Chamamos de produto cartesiano o conjunto de todos os pares ordenados x y em que x pertence a A e y pertence a B formando A B Podemos representar também da seguinte forma A B x y x A e y B Consideremos os conjuntos A 1 4 e B 3 5 9 Temos então os pares A B 13 15 19 43 45 49 Vídeo Matemática aplicada 38 231 Gráfico cartesiano O gráfico é uma forma de representarmos os elementos do produto cartesiano em que os elementos de A pertencerão ao eixo x e os elementos de B ao eixo y O gráfico será formado pelos pontos que pertencem ao produto A B Considerando ainda os conjuntos expostos anteriormente e o produto cartesiano A B 13 15 19 43 45 49 a representação no plano cartesiano será Gráfico 1 Representação A B 12 10 8 6 4 2 0 2 4 C B A F E D 6 8 10 12 Fonte Elaborado pelo autor Ainda considerando os conjuntos A e B são possíveis as relações B A 31 51 91 34 54 94 A A 11 14 44 41 B B 33 35 39 55 53 59 99 93 95 Vejamos alguns exemplos Considerando os conjuntos A 1 2 3 e B 1 5 construa um novo conjunto indicado por A B cujos elementos são pares ordenados formados pelos elementos de A e de B Solução A B 11 15 21 25 31 35 Dados os elementos do conjunto A 1 2 3 4 e do conjunto B 2 3 como ficam A B e B A Solução A B 1 2 2 2 3 2 4 2 1 3 2 3 3 3 4 3 B A 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 Estudo dos conjuntos 39 232 Relações binárias A relação binária é definida como um subconjunto do produto cartesiano existente entre os conjuntos A e B É sempre um conjunto de pares ordenados por essa razão chamada binária Toda relação binária é um conjunto de pares ordenados em que o primeiro elemento pertence ao conjunto de partida e o segundo elemento pertence ao conjunto de chegada Por exemplo Figura 7 Relação binária A a b c d A B a a b b c c d d Fonte Elaborada pelo autor Vamos supor o conjunto A 1 2 e o conjunto B 3 4 5 com A B N O produto cartesiano A B nesse caso será dado por A B 13 14 15 23 24 25 Se representarmos cada ponto de A B geometricamente no plano cartesiano também chamado de plano x y observamos que essa definição fica mais clara Isso porque todos os pontos desse exemplo serão indicados da seguinte forma Gráfico 2 Relação Binária A 1 2 B 3 4 5 5 y x 4 3 2 1 0 1 2 Fonte Elaborado pelo autor Vimos portanto que uma relação binária é um conjunto em que todos os pares ordenados são pertencentes ao conjunto cartesiano Importa reforçar ainda que o produto cartesiano é o resultado de pares ordenados nos quais a abscissa deve pertencer ao conjunto A e a ordenada ao conjunto B Matemática aplicada 40 24 Intervalos Segundo Dante 2013 outra representação dos conjuntos pode ser feita com o uso de intervalos que são subconjuntos do conjunto R determinados por desigualdades Os intervalos são classificados em abertos e fechados podendo serem representados da seguinte forma Intervalo aberto ab ou x Є R a x b Intervalo fechado ab ou x Є R a x b Intervalo fechado em a e aberto em b ab ou x Є R a x b Intervalo aberto em a e fechado em b ab ou x Є R a x b Semirreta esquerda aberta ou fechada em a a ou a Podendo ser representado x Є R x a ou x Є R x a Semirreta direita aberta ou fechada em a a ou a Podendo ser representado x Є R x a ou x Є R x a Observe as representações na reta real Figura 8 Representação gráfica de reta real a b a b a b a b a b a b a b a b a a a a Fonte Iezzi Murakami 2013 A seguir apresentamos um exemplo da representação gráfica do intervalo x Є R 3 x 3 Figura 9 Representação gráfica de intervalo 3 3 Fonte Iezzi Murakami 2013 Vamos facilitar a compreensão por meio de exemplos 1 Determine a diferença entre os intervalos reais A B A x R 3 x 4 B x R 1 x 7 Logo A B Vídeo Estudo dos conjuntos 41 3 4 1 7 Portanto A B é 3 4 Então 3 x 1 isto é A B x R 3 x 1 2 Represente na reta real os intervalos a 2 2 b 1 5 5 1 c x R 3 x 7 7 3 Os intervalos na reta real também são muito utilizados para representar os resultados das inequações Vimos portanto que uma reta na qual cada um dos infinitos números reais pode ser representado é chamada de reta real Vimos também que em toda reta real os números são sempre organizados de maneira crescente do menor para o maior 25 Exercícios resolvidos Para compreendermos melhor os conceitos apresentados neste capítulo vamos observar a seguir alguns exercícios resolvidos 1 Uma docente de estatística aplicou em uma turma uma enquete rápida de modelo quantitativo para saber por quais clubes os alunos torciam e chegou ao seguinte resultado 23 alunos torcem para o São Paulo 23 alunos torcem para o Palmeiras 15 torcem para o Athletico Paranaense 6 torcem para o São Paulo e Athletico Paranaense 5 torcem para o Athletico Paranaense e Palmeiras Vamos chamar de A o conjunto dos torcedores do São Paulo de B o conjunto dos torcedores do Palmeiras e de C o conjunto dos torcedores do Atlético Paranaense logo A B C Ø Quantos alunos participaram da pesquisa Solução Vídeo Matemática aplicada 42 A São Paulo B Palmeiras C Athletico Paranaense 18 5 6 4 17 50 logo 50 alunos participaram da pesquisa Figura 10 Torcedores do São Paulo Palmeiras eou Athletico Paranaense 17 18 0 0 5 6 4 Fonte Elaborada pelo autor 2 Dados os conjuntos A 0 1 2 3 4 5 B 4 5 6 7 e C 4 5 6 8 descubra o resultado de A C B C Solução A C 0 1 2 3 Esse é o conjunto de todos os elementos de A que não pertencem a B B C 7 Esse é o conjunto de todos os elementos que pertencem a B e não pertencem a C Logo a intersecção entre A C B C é vazia visto que nenhum número se repete nesses dois conjuntos 3 Seja A 1 3 13 considere as afirmações e avalie se são verdadeiras ou falsas I 1 A II 3 A III Ø A IV 13 A Solução Para chegar à resposta correta dessa questão lembrese das relações de pertinência e das relações entre subconjunto e conjunto Relação de pertinência somente para relacionar o elemento e seu conjunto Relação de subconjunto e conjunto usamos o símbolo lêse está contido Estudo dos conjuntos 43 Analisaremos item a item com muita atenção I Veja que 1 é elemento de A e o símbolo usado pertence para relacionar está correto então o item I é verdadeiro II Note que 3 não é elemento do conjunto A portanto não pertence ao conjunto A Logo o item II não está correto Observe que 3 é elemento de A Há uma diferença entre 3 e 3 enquanto 3 indica que o elemento 3 não pertence ao conjunto A 3 indica o conjunto composto pelo elemento 3 e este conjunto pertence a A O item IV é semelhante III Uma das propriedades de inclusão por definição de subconjunto diz o seguinte o Ø vazio está contido em qualquer conjunto portanto o item III está correto IV Aqui vemos que 13 é um elemento de A e não um subconjunto logo a afirmação não está correta pois deveria ser usado o símbolo de pertence Nesse caso o símbolo estaria correto se em vez de 13 tivéssemos 13 observe que uma chave a mais indica o subconjunto composto pelo elemento 13 4 Sabendo que x 1 2 3 4 y 4 5 6 e z 1 6 7 8 9 podemos afirmar que o conjunto x y z é dado por Solução O exercício pede o conjunto x y z x intersecção y união z A relação de intersecção antecede a união e está dentro de parênteses por isso é a operação realizada primeiro x y x intersecção y é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a x e também a y que são comuns aos dois conjuntos x 1 2 3 4 y 4 5 6 x y 4 Todos os elementos dos conjuntos fazem parte do conjunto união e não há necessidade de se repetir o mesmo elemento x y 4 e z 1 6 7 8 9 x y z 1 4 6 7 8 9 5 Felipe e Márcia têm uma filha chamada Mariana Eles se programam para viajar sempre no mês de janeiro Felipe sai de férias do escritório nos dias 2 a 28 e Márcia 5 a 30 As férias de Mariana na faculdade ocorrem nos dias 1º a 25 Como eles poderão viajar de modo que possam otimizar os três calendários Solução Observamos a necessidade de fazer uma intersecção Felipe 2 3 4 5 25 26 27 28 Márcia 5 6 7 25 26 27 28 29 30 Mariana 1 2 3 4 5 25 Matemática aplicada 44 Note que Márcia só pode viajar a partir do dia 5 assim como podem Felipe e Mariana Observe que a família só poderá estar unida no período de 5 6 7 23 24 25 ou seja durante 21 dias Lembrese de não excluir o dia 5 pois está incluso no período de férias 6 Em uma turma de 30 alunos do ensino médio 16 gostam de Língua Portuguesa e 20 gostam de Geografia O número de alunos dessa turma que gostam de Língua Portuguesa e Geografia é igual a quanto Solução Sejam Língua Portuguesa LP e Geografia G podemos calcular nLP G soma dos alunos que gostam de ambas as disciplinas isso é uma união nLP G número de alunos que gostam de Língua Portuguesa e Geografia intersecção Assim temos nLP 16 nG 20 e nLP U G 30 nLP G nLP nG nLP G fazendo a substituição dos valores 30 16 20 nLP G nLP G 36 30 nLP G 6 Nos nossos cálculos consideramos que todos os alunos 30 gostam de pelo menos uma disciplina certo Em momento algum no entanto o enunciado afirma isso Você está de acordo Podemos ter alguns alunos que não gostam de nenhuma dessas disciplinas o que aumentaria o número de alunos que gostam de ambas Exemplos Suponha que 1 aluno não goste de Língua Portuguesa nem de Geografia 30 1 29 Isso quer dizer que 29 alunos gostam de Língua Portuguesa ou Geografia Refazendo os cálculos para o valor 29 teremos 36 29 7 alunos gostam de Língua Portuguesa e Geografia Portanto o número de alunos que gostam de Língua Portuguesa e Geografia é menor ou igual a 30 pois pode haver alunos que não gostam de ambas nLP G 30 nLP nG nLP G 30 16 20 nLP G 30 36 30 nLP G 6 nLP G ou nLP G 6 Por essa razão o número de alunos que gostam de Língua Portuguesa e Geografia será no mínimo 6 7 Em uma pesquisa de mercado para um cliente observase que 15 consumidores utilizam pelo menos um dos produtos shampoo ou condicionador Sabendo que 10 dessas pessoas não usam condicionador e que 2 não usam shampoo qual é o número de consumidores que utilizam ambos os produtos Estudo dos conjuntos 45 Solução Se 15 consumidores utilizam pelo menos um dos produtos podemos ter 10 consumidores não usam condicionador então usam shampoo Total de pessoas que usam só shampoo 10 2 consumidores não usam shampoo então usam condicionador Total de consumidores que usam só condicionador 2 Vamos chamar de x o número de consumidores que usam os dois produtos consumidores que usam só shampoo consumidores que usam só condicionador xambos 15 10 2 x 15 x 3 consumidores Considerações finais É pertinente e interessante observar como a teoria dos conjuntos revolucionou a matemática moderna Os conceitos de funções de progressões aritméticas geométricas e muitos outros de estatística como seleção e organização de informações representações gráficas e correlações têm como base fundamental a teoria dos conjuntos Além de Cantor outros matemáticos foram importantes nessa teoria como o inglês John Venn que para facilitar o entendimento das relações de união e intersecção entre conjuntos e seus elementos criou os chamados Diagramas de Venn2 Ampliando seus conhecimentos Para aprofundar seus estudos da teoria dos conjuntos seguem algumas indicações para complementálos Matematiques Disponível em httpwwwmatematiquescombr Acesso em 19 set 2019 A teoria dos conjuntos foi fundamental nos cálculos das indústrias para a produção por exemplo de automóveis DVDs e computadores Fórmulas e mais fórmulas utilizando essa teoria foram desenvolvidas até se chegar a um modelo de ampla aplicabilidade Nesse site você pode conhecer um pouco mais sobre a teoria dos conjuntos e outros assuntos relacionados à matemática na prática 2 Diagrama de Venn é um sistema de organização de conjuntos numéricos onde os elementos são agrupados em figuras geométricas facilitando a visualização da divisão feita entre os diferentes grupos SIGNIFICADOS 2018 Matemática aplicada 46 O HOMEM que viu o infinito The man who knew infinity Direção Matt Brown Reino Unido Diamond Films 2015 1 filme 108 min O filme apresenta a história real de Srinivasa Aiyangar Ramanujan 18871920 um dos maiores gênios e mais influentes matemáticos do século XX De origem humilde e sem formação acadêmica Ramanujan contribuiu para a matemática com diversos trabalhos entre eles a teoria dos conjuntos números e séries infinitas Atividades 1 Durante cinco anos um cavalo deve tomar pelo menos duas vacinas para se manter saudável Então um haras vacinou todos os seus cavalos 80 contra a raiva e 60 contra o tétano Determine o percentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças equinas 2 Os candidatos L M e N disputaram na sede do partido a liderança em 2019 Cada membro votou apenas em sua preferência Houve 100 votos para L e M 80 votos para M e N e 20 votos para L e N Qual foi o resultado dessa eleição 3 Considerando os conjuntos U 0 1 2 3 4 5 6 A 1 2 B 2 3 4 e C 4 5 determine U A B C 4 Dados os conjuntos A 1 2 3 e B 2 3 5 determine o conjunto A B É possível que seja um conjunto vazio ou não 5 Dados os conjuntos A 1 2 3 4 e B 3 4 5 então o número de elementos de A B é igual a 3 Funções gráficos e aplicações Podemos dizer que função é um caso particular de relação entre os elementos de dois conjuntos A e B em que cada elemento do conjunto A se relaciona com somente um elemento do conjunto B Dizemos que é um caso particular porque nem todas as relações são funções apenas aquelas que se enquadram nessa definição Se em um barzinho para um happy hour por exemplo o garçom explica que uma tulipa custa R 300 porém 10 custarão R 2500 entenderemos que o valor de y a ser pago para o garçom vai depender da quantidade x de tulipas que as pessoas beberem Logo o valor y será obtido de acordo com a quantidade x consumida Podemos dizer que y 300 x ou ainda y f x Assim acabamos de criar uma função Da mesma forma à medida que o preço do carro sobe o valor do consórcio também sobe portanto o valor do consórcio sobe em função do valor do carro de modo que podemos dizer que y se modifica em função de x Observe que o estudo das funções será relevante para a resolução de situaçõesproblema presentes na matemática aplicada Por isso um dos objetivos do estudo deste capítulo em relação às funções é partir de informações que já sabemos para aquelas a conhecer 31 Conceito de função As funções matemáticas são conceitos muito presentes em nosso cotidiano Quando analisamos por exemplo fenômenos econômicos muitas vezes utilizamos essas funções para interpretálos e descrevêlos As funções são usadas como ferramentas que ajudam na resolução de problemas Vejamos a seguir na Tabela 1 o resumo dos preços médios de um produto em Curitiba durante seis bimestres no decorrer de um ano Tabela 1 Preço do produto X em Curitiba Bimestre t Bim 1 Bim 2 Bim 3 Bim 4 Bim 5 Bim 6 Preço p R 670 675 680 688 695 701 Fonte Elaborada pelo autor A cada bimestre observamos um preço para o produto X Logo podemos afirmar que cada preço p está associado a um bimestre t O preço portanto vai depender do bimestre escolhido Nesse caso podemos também substituir cada bimestre por um número como uma associação entre duas variáveis numéricas Vejamos a Tabela 2 a seguir Vídeo Matemática aplicada 48 Tabela 2 Preço do produto X em Curitiba com variáveis numéricas Bimestre t 1 2 3 4 5 6 Preço p R 670 675 680 688 695 701 Fonte Elaborada pelo autor Observe que cada valor da variável bimestre está associado a um único valor da variável preço é isso que caracteriza uma função matemática A variável t nesse caso é chamada de independente e a variável p é chamada de dependente A variável t independente é o domínio e a variável p dependente é a imagem Vamos ver essas informações no Gráfico 1 a seguir Gráfico 1 Representação do preço do produto X em Curitiba 701 698 685 673 607 675 608 688 695 606 Preço Bimestre 1 2 4 5 6 701 Fonte Elaborado pelo autor Observamos então que o eixo y representa a imagem variável preços e o eixo x representa o domínio bimestres O resultado gráfico é uma correlação ou função linear Podemos dizer também que trata de uma série temporal pois a variável independente x está representando um período expresso em bimestres Ainda vemos uma evolução de preços na série histórica de bimestres por isso avaliamos ser um gráfico bastante positivo 32 Função de primeiro grau Uma função de primeiro grau é definida por y fx ax b com a 0 em que a é chamado de coeficiente angular e b de coeficiente linear Essas funções são modelos lineares isto é são representadas no plano cartesiano por uma reta e definem um dos tipos mais comuns o qual possui aplicações corriqueiras Sendo x e y duas variáveis uma será dependente da outra cada valor atribuído para a variável x irá corresponder apenas a um valor para a variável y Portanto nesse caso a variável y está em função de x e essa dependência é definida como uma função Vídeo Funções gráficos e aplicações 49 Os valores atribuídos à variável x são definidos como de domínio da função e os valores de y espelhados a partir de x são a imagem da função Logo na prática atribuímos valores para x e definimos o valor correspondente para cada elemento da variável y Na função de primeiro grau existe uma lei de formação que define a estrutura dela Nesse caso a lei de formação é dada por y ax b sendo que a e b são sempre números reais e diferentes de zero Exemplos de funções de primeiro grau y 8x 4 onde a 8 e b 4 y 15x 7 onde a 15 e b 7 y 10x então a 10 e b 0 Vamos ver nas próximas seções que todos os tipos de função têm uma lei de formação exclusiva 33 Tipos de funções de primeiro grau Nesta seção conheceremos as funções de primeiro grau crescente descrescente e afim Podem ser chamadas também de funções lineares pois apresentam uma tendência de linha normalmente uma reta 331 Função crescente Avaliemos o seguinte exemplo À medida que as vendas aumentam as comissões dos colaboradores também tendem a aumentar Observe que o crescimento de uma variável vendas fez crescer também a outra comissões Logo como as variáveis estão correlacionadas se construíssemos um gráfico teríamos uma reta crescente nesse caso a 0 Gráfico 2 Exemplo de função crescente entre vendas e comissões R 60000 R 50000 R 40000 R 30000 R 20000 R 10000 R 100000 R 200000 R 300000 R 400000 R 500000 R 600000 x Vendas y Comissões Fonte Elaborado pelo autor Vídeo Matemática aplicada 50 A função crescente referese à relação observável de crescimento ou decrescimento entre variáveis Logo no Gráfico 2 observamos que à medida que as vendas x vão aumentando as comissões y vão evoluindo positivamente Se ambas fossem diminuindo contudo a função ainda seria crescente O que torna uma função crescente é o fato de as variáveis se comportarem em um mesmo sentido O gráfico permite observar o comportamento das variáveis de modo rápido e simplificado 332 Função decrescente Neste caso as variáveis são inversamente proporcionais Isto é enquanto uma aumenta a outra diminui À medida que nossa idade aumenta por exemplo diminui nosso tempo restante de vida Observe que a variável independente ou domínio é a idade e enquanto ela aumentar nosso tempo restante de vida nossa variável dependente tende a diminuir O Gráfico 3 a seguir representa essa função Vamos considerar em hipótese que a média de vida do brasileiro seja de 70 anos Então se temos 20 anos há um tempo restante de 50 anos Com 50 anos nosso tempo restante estimado é de 20 anos Vamos ver isso graficamente Gráfico 3 Exemplo de função decrescente entre idade e tempo restante de vida 50 38 25 13 0 0 15 30 45 60 Tempo restante de vida Fonte Elaborado pelo autor O valor do coeficiente a vai indicar se a função é crescente ou decrescente determinando o grau de inclinação da reta Já o coeficiente linear b no plano cartesiano vai definir o ponto de intersecção da função com o eixo y Funções gráficos e aplicações 51 Gráfico 4a Função crescente a 0 Fonte Elaborado pelo autor Gráfico 4b Função decrescente a 0 Fonte Elaborado pelo autor y x b b y x b Em resumo Função crescente se os valores de x aumentam os valores correspondentes a y também tendem a aumentar Há uma observação importante se os valores de x e y diminuírem a função continuará sendo uma linha crescente Função decrescente os valores são inversamente proporcionais se os valores de x aumentam os valores correspondentes a y tendem a diminuir 333 Função afim A função de primeiro grau é também conhecida como função polinomial de grau 1 ou função afim A principal característica de uma função afim ao ser representada no plano cartesiano é o gráfico resultante sempre ser uma reta com inclinação dependente do coeficiente angular Vejamos um exemplo um vendedor trabalha em regime salarial que inclui uma parte fixa e outra variável Seu salário atual é de R 460000 e a parte variável é formada por comissões de 7 sobre a venda Portanto a função será dada por fx 007x 4600 podendo ser definida também como y 007x 4600 Se os produtos vendidos têm valor de R 1800000 é possível determinar nesse caso quanto corresponde ao salário mais comissões y 007 18000 4600 y 1260 4600 y R 586000 Existem ainda casos particulares da função afim Apresentamos a seguir alguns deles Matemática aplicada 52 Função identidade Definida por fx x Condições a 1 e b 0 Passará exatamente no cruzamento dos eixos x e y no ponto 00 Ela intersecta a origem do plano cartesiano Vejamos no Gráfico 5 a seguir um exemplo da função identidade y 2x Gráfico 5 Representação da função identidade y 2x Eixo x 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 Eixo y Fonte Elaborado pelo autor Função constante Definida por fx b Condições a 0 Paralela ao eixo x intersectando o eixo y em b Eis um exemplo da função constante y 1 Gráfico 6 Gráfico 6 Representação da função identidade y 1 4 Eixo y Eixo x 3 2 1 0 0 1 2 3 4 Fonte Elaborado pelo autor Funções gráficos e aplicações 53 Função linear Definida por fx ax com b 0 Sua característica principal é o gráfico sempre intersectar a origem do plano cartesiano e apenas a inclinação da reta variar dependendo do valor de a Vamos representar as funções lineares y 1 2x 2x e 4x e observar os comportamentos Gráfico 7 Representação da função linear 0 0 1 05 15 2 1 2 4 4 8 12 16 6 y 2x y 05x y 4x 8 2 3 4 05 1 15 25 3 4 45 556 65 7 758 85 9 95 10 105 11 115 12 125 13 135 14 145 15 155 16 eixo y 5 35 2 Fonte Elaborado pelo autor O gráfico revela simultaneamente o comportamento de três funcões lineares Logo permite analisar múltiplas informações ao mesmo tempo o que facilita a análise dos dados 334 Raiz ou zero de uma função de primeiro grau Para determinar a raiz ou o zero de uma função de primeiro grau é preciso considerar y 0 No instante em que o elemento y assume esse valor a reta está intersectando o eixo x em determinado ponto É o que chamamos de raiz ou o zero da função Vamos ver alguns exemplos Considere a função y 4x 8 Se tomarmos y 0 temos 4x 8 0 4x 8 x 2 A reta representada pela função y 4x 8 portanto intersecta o eixo x em 2 Matemática aplicada 54 Considere a função y 2x 10 Sendo y 0 a equação se apresenta como 2x 10 0 2x 10 1 x 5 A reta representada pela função y 2x 10 portanto intersecta o eixo x em 5 34 Aplicação especial para funções de primeiro grau Vamos agora estabelecer um estudo paralelo entre a função de primeiro grau definida pela expressão y ax b e um método para determinar essa função com base em dados obtidos em diversas áreas das ciências econômicas e administração até biologia ou engenharia É um método bastante interessante e eficaz que permite por exemplo por meio de séries históricas fazer boas projeções Quando construímos o gráfico de uma função de primeiro grau os pontos estão perfeitamente alinhados de modo crescente se o coeficiente angular for positivo ou decrescente se for negativo Nos fenômenos cujo comportamento se aproxima de uma função de primeiro grau os pontos gráficos não se apresentam totalmente alinhados e sim distribuídos aleatoriamente em torno do que chamamos de reta de regressão Relacionando duas variáveis x e y fazse necessário um modelo matemático que consiga efetivamente relacionar as variáveis para estudo Esse modelo chamado de regressão linear simples é uma técnica utilizada para pesquisar e modelar a relação existente entre essas variáveis com o comportamento próximo a uma função de primeiro grau Observe o Gráfico 8 a seguir Gráfico 8 Diagrama de dispersão de comportamento linear 9 68 45 23 0 0 2 4 6 8 Fonte Elaborado pelo autor Vídeo O diagrama de dispersão revela os pontos obtidos por meio da correlação das variáveis x e y Perceba que eles estão ajustados na linha gráfica ou muito próximos dela Isso indica que existe uma relação bastante forte entre as variáveis Podemos assim ajustar um modelo que torne essa linha perfeita Para isso cabe considerar que o ajuste do modelo de regressão linear simples é dado por y α x β ε Em que y é o valor observado variável dependente x é a variável explicativa variável independente α ou a é o coeficiente angular inclinação da reta β ou b é o intercepto coeficiente linear Podemos também exprimir de uma forma mais conhecida como equação da reta y ax b Vamos aplicar essas teorias a um exemplo e construir o modelo passo a passo Observe a relação a seguir O valor de um carro é a variável independente em relação a um consórcio pois os valores de um consórcio variam em função do preço do carro Tabela 4 Dados para encontrar o coeficiente angular Σx Σy Σx² Σxy 20 2 400 40 30 3 900 90 40 4 1600 160 50 5 2500 250 60 6 3600 360 200 20 9000 900 Fonte Elaborada pelo autor Calculando o coeficiente angular a Σxy ΣΣy a n Σx² Σx² N b média y a média x b 4 01 40 b 4 4 b 0 Tabela 5 Quantidade e preços de determinado produto de uma empresa Q un P R 80 120 95 110 100 92 115 84 125 79 130 75 Fonte Elaborado pelo autor a Determine o coeficiente angular e linear b Determine a equação ajustante da reta c Projete o preço para uma quantidade de 150 peças d Projete uma quantidade para um preço de 100 reais Solução Média x 1075 Média y 9333 Cálculo auxiliar Σx 645 Σy 560 Σx² 71175 Σxy 58535 a Coeficiente angular a a 5853560200 71175693375 a 1665 18375 a 090 função decrescente Coeficiente linear b b média y amédia x b 9333 090 1075 b 9333 9675 b 19008 b Equação ajustante y ax b y 090 x 19008 c Preço para a quantidade de R15000 y 090 x 19008 y 135 19008 y R 5508 d Quantidade para o preço de R 10000 100 090 x 19008 100 090 x 19008 100 19008 090 x 9008 090 x x 9008 090 x 100 unidades 35 Exercícios resolvidos 1 Na maioria das cidades a tarifa cobrada pelos taxistas e aplicativos corresponde a um valor fixo chamado de bandeirada e um valor variável cobrado de acordo com o total de quilômetros rodados Para fazer uma corrida de 9 quilômetros com a bandeirada a R 520 e o custo do quilômetro rodado a R 320 determine a A lei de formação que mostra o valor da tarifa cobrada em função dos quilômetros de duração da viagem b Qual será o valor do pagamento ao final da corrida Solução Considerando P o preço da tarifa temos Px ax b Px 320 x 520 Logo Px 320 9 520 Px R 3400 a corrida 2 Para dar continuidade à produção de moda de inverno um empresário compra uma máquina por R 300000 Cada peça que ele produzir terá um custo variável de R 12000 Inicialmente ele vai produzir 30 peças por semana Qual será seu gasto total na semana Solução Gx ax b Gx 120 x 3000 Gx 120 30 3000 Gx R 660000 Funções gráficos e aplicações 59 3 Um empresário produz 300 salgados mensalmente Na Tabela 1 a seguir estão detalhados os custos totais CT de produção e a quantidade Q produzida Tabela 6 Custos de produção de salgados e quantidades produzidas Q CT R 0 4000 50 14000 100 24000 150 34000 200 44000 250 54000 300 64000 Fonte Elaborada pelo autor Com base nessas informações calcule o custo médio unitário CMU da produção Solução Tabela 7 Custo médio dos salgados produzidos Q CT R CMU 0 4000 50 14000 140 50 280 100 24000 240 100 240 150 34000 340 150 227 200 44000 440 200 220 250 54000 540 250 216 300 64000 640 300 213 Fonte Elaborada pelo autor Algumas observações interessantes Mesmo quando a produção é zero já temos gastos São os chamados gastos fixos que independem da produção De todo modo ao final do mês terão de ser pagos aluguel IPTU etc valores que observamos já estarem diluídos no custo médio Quanto maior a produção menor o custo de cada unidade Observe também que se continuarmos a aumentar a produção o custo médio de cada unidade tenderá a cair Essas quedas porém serão cada vez menores Vejamos agora qual é o custo fixo CF e o custo variável CV por unidade Tabela 8 Custo fixo e custo variável dos salgados produzidos Q CT R CMU CF unitário CV unitário 0 4000 50 14000 140 50 280 40 50 080 280 080 2 Matemática aplicada 60 100 24000 240 100 240 40 100 040 240 040 2 150 34000 340 150 227 40 150 027 227 027 2 200 44000 440 200 220 40 200 020 220 020 2 250 54000 540 250 216 40 250 016 216 016 2 300 64000 640 300 213 40 300 013 213 013 2 Fonte Elaborada pelo autor Concluindo Quando observamos o custo fixo unitário chegamos à conclusão de que é variável diminuindo à medida que o volume de produção aumenta Quando vemos o custo variável unitário percebemos que é fixo em R 2 durante certo tempo Logo podemos dizer que os custos fixos são fixos no total mas variáveis quando observados individualmente Já os custos variáveis são variáveis no total mas fixos quando olhamos unitariamente durante certo tempo Nesse contexto nossa função pode ser criada A função afim mostra que fx ax b então podemos dizer que Cx CV x CF ou CT 2 x 40 Portanto substituindo a função custo total teremos CT 2300 40 CT R 64000 que é o valor necessário para produzir 300 unidades Vamos acrescentar mais uma informação o preço da venda de cada unidade é de R 450 Logo defina a função receita total RT RTx preço de venda quantidade Função RT 450 x Assim a receita gerada pela venda de 300 unidades será RT 450 300 RT R 135000 Podemos dizer que nosso lucro foi de R 135000 R 64000 R 71000 Ou podemos também fazêlo utilizando a função lucro total LT LTx RT CT LTx 450 x 2x 40 LTx 450 x 2x 40 LTx 250 x 40 Funções gráficos e aplicações 61 Aplicando no cálculo teremos LT 250 300 40 LT 75000 40 LT R 71000 E ainda podemos determinar o ponto de nivelamento que mostrará o volume a ser produzido para cobrir os custos totais Para isso basta calcular RT CT 450 x 2x 40 450 x 2x 40 250 x 40 x 40 250 x 16 unidades Vamos fazer mais um exemplo completo 4 Uma fábrica produz resistores com cada unidade custando R 3700 O custo fixo é de R 500000 para uma produção de 0 a 250 unidades O preço de venda de cada unidade é de R 9700 a Determine a função custo total e seu valor b Determine a função receita total e seu valor c Defina também a função lucro total e o respectivo valor d Determine o ponto de nivelamento e Calcule o número x de unidades para um lucro de R 1440000 Solução a CTx ax b CTx CV x CF CTx 37 x 5000 CT 37250 5000 CT R 1425000 b RTx preço de venda x RTx 97 x RT 97 250 RT R 2425000 Matemática aplicada 62 c LTx RTx CTx LTx 97 x 37 x 5000 LTx 97 x 37 x 5000 LTx 60 x 5000 LT 60 250 5000 LT R 1000000 d RTx CTx 97 x 37 x 5000 60 x 5000 x 5000 60 x aproximadamente 83 unidades e LTx 60x 5000 14400 60x 5000 14400 5000 60x x 19400 60 x aproximadamente 323 unidades Considerações finais O estudo das funções permitiu observar o comportamento de duas ou mais variáveis por meio de cálculos e gráficos Permitiu também aplicar esses conceitos a problemas práticos Uma aplicação bastante comum na gestão ocorre na avaliação de séries históricas relativas a custo receita demanda oferta e lucro É possível ainda avaliar o comportamento dessas séries históricas e temporais e compreender sua evolução ao longo do tempo Ampliando seus conhecimentos GEOGEBRA Aplicativos matemáticos gratuitos 2019 Disponível em httpswww geogebraorg Acesso em 11 out 2019 O uso de novas tecnologias permite estudar de forma mais criativa e rápida vários temas da matemática inclusive as funções Além do programa Microsoft Excel sugerimos a plataforma Geogebra que permite associar o cálculo à representação gráfica sendo um grande facilitador da compreensão Funções gráficos e aplicações 63 Atividades 1 Atribuímos valores para x na função a seguir Construa a reta do gráfico utilizando os valores de y que você encontrou y x 2 x y 0 1 2 3 4 5 2 Um vendedor de planos de seguro de vida recebe salário de R 100000 mais comissão de R 1500 por plano vendido a Determine a expressão que relacione o salário total S em função da quantidade de plano s vendida b Sabendo que seu salário em um mês foi de R 191500 quantos planos ele vendeu 3 Observe a tabela a seguir Quantidade Custo R 0 40000 100 100000 200 180000 300 260000 400 300000 a Determine o custo médio por unidade b Determine o custo fixo total c Determine o custo fixo unitário d Determine o custo variável unitário 4 Uma empresa tem um custo fixo de R 1500000 e um custo por unidade produzida de R 2800 A produção varia de 0 a 500 unidades O preço de venda de cada unidade é de R 8800 Determine a A função custo total e seu valor b A função receita total e seu valor c A função lucro total e seu valor d O ponto de nivelamento e Para um lucro de R 4000000 quantas unidades deveriam ser produzidas nessas condições Matemática aplicada 64 5 Dados os seguintes valores x y 2 1 5 2 6 5 8 7 9 8 Determine a A média de x e de y b O cálculo auxiliar para obter a e b c Obtenha a e b d Faça a equação ajustante da reta e Estabeleça o valor para y quando x 13 f Estabeleça o valor para x quando y 617 Funções outros modelos Neste capítulo estudaremos situações práticas de funções de segundo grau a partir da construção de gráficos Para este estudo convém reforçar o tema vértice da parábola visto que as coordenadas do vértice são úteis para a determinação dos valores máximos e mínimos bem como os intervalos de crescimento e decrescimento das funções associadas 41 Função quadrática ou polinomial A função quadrática ou polinomial pode ser definida por y fx ax² bx c com a 0 O gráfico conhecido como parábola é resultante de uma função de segundo grau Devese seguir alguns passos para a sua obtenção a saber 1 O coeficiente angular a deverá indicar se a concavidade da parábola é voltada para cima a 0 ou para baixo a 0 2 O termo independente c define o ponto em que uma parábola corta o eixo y e será obtido a partir de x 0 3 As raízes da função y ax² bx c serão definidas a partir de uma parábola que corta o eixo x se essas raízes existirem 4 Para encontrar as raízes utilizamos a fórmula a seguir x b Δ 2a Nela o discriminante Δ será definido por Δ b² 4ac Dessa forma a fórmula se apresenta como x b b² 4ac 2a E considerando que se deve encontrar duas raízes podese indicar x e x do seguinte modo x₁ b Δ 2a e x₂ b Δ 2a 5 O número de raízes ou pontos em que a parábola toca o eixo x dependerá do discriminante o que significa que Se Δ 0 temos duas raízes reais distintas x₁ x₂ indicando que a parábola cortará o eixo x em dois pontos distintos Se 0 temos duas raízes reais iguais x₁ x₂ indicando que a parábola tocará o eixo x em um único ponto Funções outros modelos 67 5 1 0 5 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Eixo x Vértice da função Eixo y Fonte Elaborado pelo autor Observe a seguir alguns exemplos de funções de segundo grau Gráfico 2 Exemplo de função de segundo grau a 0 e 0 4 4 2 0 2 4 6 8 2 2 4 0 Fonte Elaborado pelo autor Gráfico 3 Exemplo de função de segundo grau a 0 e 0 4 10 12 8 6 4 2 0 2 2 4 0 Fonte Elaborado pelo autor Para melhor compreensão vamos analisar como se pode aplicar os conceitos apresentados anteriormente em um exemplo prático Ao calcular os valores das raízes determinase onde a parábola cruza o eixo x Nesse caso no ponto 5 30 Matemática aplicada 70 y 3x y 12x 7x y 019x 1 A formação de uma função exponencial segue uma lei que indica a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um A notação representativa desta lei é f R R tal que y ax sendo a 0 e a 1 Gráfico 5 Função exponencial do tipo a 1 80 100 60 40 20 20 0 0 2 4 6 8 Fonte Elaborado pelo autor Gráfico 6 Função exponencial do tipo 0 a 1 2 25 15 1 0 05 5 0 5 10 15 Fonte Elaborado pelo autor A base a determina o crescimento ou decrescimento de uma função exponencial Se a 1 a função será crescente e seu crescimento é diferenciado Quanto maior o valor de a maior será o crescimento de y a cada aumento de x fazendo com que a função avance rapidamente devido aos valores altos Porém se 0 a 1 temos uma função exponencial decrescente e quanto menor for o valor de a maior será o decrescimento de y para cada aumento de x Assim a função começa a alcançar mais rápido valores próximos de zero Vejamos um exemplo Funções outros modelos 71 A população de um grande bairro de 2015 a 2019 teve um crescimento estimado conforme a tabela a seguir Tabela 1 População de um grande bairro de 2015 a 2019 Ano 2015 2016 2017 2018 2019 População 57800 60690 63724 66911 70256 Fonte Elaborada pelo autor Queremos apresentar a população do bairro como uma função do ano sendo 2015 o ano inicial É importante que de 2015 a 2019 o crescimento da população do bairro seja semelhante aos dados na Tabela 1 Para avaliar se essa situação pode ser representada por uma função exponencial faremos as seguintes divisões 2016 2015 60690 57800 105 2017 2016 63724 60690 104999999 105 2018 2017 66911 63724 105 2019 2018 70256 66911 104999999 105 Observamos que os resultados são aproximadamente iguais por isso temos uma função exponencial cuja base é dada por a 105 o coeficiente b será obtido substituindo em y b ax o valor de a 105 Tomamos um dos pares ordenados x e y como x y 4 57800 57800 b 1054 57800 b 121550625 b 47552 Logo a função população será dada por y 47552 105x Observe a situação a seguir Em um depósito as sacas de café com o tempo começaram a carunchar e as condições de consumo decaíram de acordo com um modelo exponencial Na sequência a Tabela 2 revela dois períodos e a quantidade de sacas de café que ainda apresentam condições de serem vendidas e consumidas Tabela 2 Períodos e quantidade de sacas em condições de vendaconsumo Tempo registrado após estocagem x 2 anos 6 anos Quantidade de sacas y em toneladas 680 248 Fonte Elaborada pelo autor O primeiro passo envolve mostrar a quantidade aproveitável de café como uma função do ano após a estocagem Pelo enunciado sabemos que o modelo é exponencial e que os pares 2 680 e 6 248 precisam satisfazer a expressão y b ax logo x 2 e y 680 então temos 680 b a2 x 6 e y 248 então temos 248 b a6 Resolvendo o sistema de equações temos K a⁴ 248 K a² 680 a⁴ 248 a² 680 a⁴ 03647058 a 03647058 a 077711 Substituindo a 077711 em b a² 680 obtemos b b 077711² 680 portanto b 11262 Agora já temos a função exponencial y 11262 077711¹ Vejamos agora alguns exercícios resolvidos 1 Um cliente toma emprestado uma importância de R 1500000 com juros compostos de 10 ao mês isto é que incidem mês a mês sobre o montante do mês anterior popularmente conhecido como juros sobre juros Qual será o montante no final do mês 3 Solução M1 15000 10 do valor inicial M1 15000 10 de 15000 M1 15000 10 100 15000 M1 15000 010 15000 Colocando 15000 em evidência temos M1 15000 1010¹ M1 16500 Logo para o final do mês 3 temos M3 15000 1 010³ M3 15000 110³ M3 15000 1331 M3 R 1996500 2 Considerando uma empilhadeira com valor inicial de R 50000000 e com depreciação de 20 ao ano qual função representa esse valor no decorrer do tempo Solução V1 50000000 20 do valor inicial Funções outros modelos 73 V1 50000000 020 50000000 V1 50000000 1 020x V1 50000000 080 V1 40000000 Portanto a função exponencial é y 500000 080x 43 Função logarítmica A função logarítmica de base a é definida pela lei de formação fx loga x com a 1 e a 0 O domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero Por exemplo fx log2 x é função logarítmica de base 2 fx log 1 5 x é função logarítmica de base 15 fx log10 x é função logarítmica de base 10 Vejamos a representação gráfica de uma função logarítmica Gráfico 7 Função logarítmica do tipo y log2 x onde a 0 1 1 2 2 2 1 3 4 x y 14 2 12 1 1 0 2 1 4 2 Fonte Elaborado pelo autor Para 0 a 1 temos o gráfico da seguinte forma Gráfico 8 Função logarítmica do tipo y log 1 2 x Função decrescente x y 14 2 12 1 1 0 2 1 4 2 1 1 2 2 1 2 3 4 Fonte Elaborado pelo autor Vídeo Matemática aplicada 74 Nos gráficos é possível perceber que as concavidades estão diferentes No primeiro em que a 0 a curva do gráfico está à direita do eixo y porém quando a função está entre 0 e 1 0 a 1 notase que há uma inversão em relação à função exponencial Por esse motivo y pode assumir todas e quaisquer soluções reais a partir de sua imagem Com base nos estudos na área chegamos à conclusão de que as funções logarítmicas são uma função inversa da função exponencial conforme indica os gráficos comparativos a seguir Gráfico 9 Comparação entre a função exponencial e logarítmica para a 1 e 0 a 1 a a 1 1 1 x y y ax y logax Fonte Elaborado pelo autor b 0 a 1 1 1 x y y logax y ax Fonte Elaborado pelo autor Funções outros modelos 75 Definições loga 1 0 loga a 1 loga an n alog ab b Propriedades operatórias loga M N loga M loga N loga M N loga M logna loga MN N loga M Mudança de base loga b logc b logc a loga b logc a logc b loga b 1 logb a Vejamos um exemplo dada a equação logarítmica logx 3 5x 1 1 Primeiro verificamos as condições de existência do logaritmo x 3 0 x 3 5x 1 0 5x 1 x 15 Agora resolvemos a equação logarítmica pela propriedade básica do logaritmo logx 3 5x 1 1 5x 11 x 3 5x 1 x 3 5x x 3 1 4x 4 x 1 Só existe uma resposta possível para logx 3 5x 1 1 que é x 1 Matemática aplicada 76 44 Função inversa Para iniciar os estudos deste tema devemos atentar aos seguintes conceitos possivelmente já vistos na Educação Básica 441 Função injetora Uma função é chamada de injetora se cada imagem possui no máximo um domínio Figura 1 Exemplo de função injetora A B Fonte Elaborada pelo autor Vejamos um exemplo dados os conjuntos A 1 0 1 e B 1 1 2 3 Vamos determinar a função f A B definida pela lei y 2x 1 x 1 x 0 x 1 y 2 1 1 y 2 0 1 y 2 1 1 y 2 1 y 0 1 y 2 1 y 1 y 1 y 3 Figura 2 Representação do exemplo anterior A 1 0 1 e B 1 1 2 3 1 A B f 1 1 2 3 1 0 Fonte Elaborada pelo autor Dada uma função f A B injetora chamamos de função inversa de f a função f1 B A tal que para todo x y f há y x f1 Vídeo Funções outros modelos 77 442 Função sobrejetora Uma função é sobrejetora se o conjunto imagem é igual ao contradomínio B isto é não sobra elemento no contradomínio Para cada elemento de A existe um elemento de B correspondente mesmo que seja comum a outro elemento Figura 3 Exemplos de função sobrejetora A B A B a b Fonte Elaborada pelo autor Vejamos um exemplo dados os conjuntos A 1 1 2 e B 1 7 Vamos determinar a função f A B definida pela lei y 2x2 1 x 1 x 1 x 2 y 2 12 1 y 2 12 1 y 2 22 1 y 2 1 1 y 2 1 1 y 2 4 1 y 2 1 y 2 1 y 8 1 y 1 y 1 y 7 Figura 4 Representação gráfica de A 1 1 2 e B 1 7 1 A B f 1 1 2 7 Fonte Elaborada pelo autor Todos os elementos do contradomínio foram associados no domínio Portanto f é uma função sobrejetora Matemática aplicada 78 443 Função bijetora Uma função é bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo Figura 5 Exemplo de função bijetora A B Fonte Elaborada pelo autor Nesse caso não sobra elemento no contradomínio sobrejetora e cada imagem possui uma única associação injetora As associações são únicas logo nunca teremos um valor relacionado a mais que um no outro conjunto Vejamos um exemplo dados os conjuntos A 0 2 4 e B 1 3 7 Vamos determinar a função f A B definida pela lei y 2x 1 x 0 x 2 x 4 y 2 0 1 y 2 2 1 y 4 2 1 y 0 1 y 4 1 y 8 1 y 1 y 3 y 7 Figura 6 Representação referente aos conjuntos A 0 2 4 e B 1 3 7 A B 1 0 2 4 7 3 Fonte Elaborada pelo autor Cada elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A e cada elemento de A possui uma imagem distinta em B 444 Função inversa A partir de agora observaremos duas funções a função f inversa de v que faz a ligação entre a função x e a função y e a função g que determinará a ligação entre a função y até a função x O mesmo ocorrerá em relação à imagem O domínio da função f será a imagem da função g e vice versa conforme passos a seguir Isolar x na sentença y fx Por ser usual a letra x como símbolo da variável independente trocamos x por y e por x Vejamos exemplos de aplicação desse conceito 1 Seja a função y x 5 na lei de correspondência f A B Trocase o x por y e viceversa então teremos x y 5 Isolase o y x 5 y ou y x 5 Lei de correspondência da função f¹ 2 Determinar a lei da função inversa de y x 2 x 1 para x 1 x y 2 y 1 xy 1 y 2 xy x y 2 xy y x 2 yx 1 x 2 y x 2 x 1 A lei de formação da função inversa é igual à lei da função dada Matemática aplicada 80 VENNGAGE Criador de Infográficos Gratuito 2019 Disponível em httpsptvenngage com Acesso em 11 out 2019 INFOGRAM Create Infographics Reports and Maps 2019 Disponível em https infogramcom Acesso em 11 out 2019 VISUALLY Premium Content Creation for Better Marketing 2019 Disponível em httpsvisually Acesso em 11 out 2019 Uma das formas mais interessantes de estudar as funções é por meio dos gráficos considerando terem recursos como cores formas organização bidimensional e outros que facilitam entender como as informações se comportam e variam à medida que atribuímos ou substituímos novos valores O Microsoft Excel traz uma área exclusiva com variadas opções de gráficos inclusive os mais usados em estudos de funções como o linear e o de dispersão Porém existem também outros programas com muitos recursos para a construção precisa de gráficos como o Venngage que inclusive associa gráficos a imagens e reproduz movimentos e os aplicativos Infogram e Visually que são excelentes Atividades 1 Um gerente de loja acompanhou durante 21 dias as vendas de televisores 4K Ele notou que o número de televisores vendidos dado por N em relação ao número de dias dado por t pode ser obtido por N 025t 4t 16 Com essas informações a calcule os coeficientes da função b calcule a forma da concavidade c explique a estrutura da parábola e determine suas raízes d determine o vértice e obtenha o número de televisores 4k para o último dia ou seja o 21º dia quando t 20 2 O valor v de uma ação negociada no Ibovespa no decorrer de 12 meses é dado pela expressão v 2t2 20t 60 Sabese que o valor da ação é dado em reais Determine a os coeficientes da função b a forma da concavidade c as características da parábola e suas raízes d o vértice e o valor da ação após um ano ou seja no último mês 12 de avaliação 3 O montante de uma dívida no decorrer de n meses é dado por Mn 25000 107x Determine o montante final nos meses 7 e 9 Funções outros modelos 81 4 O montante de uma dívida no decorrer de x meses é dado por Mx 10000 105x Determine após quanto tempo o montante será de R 4000000 5 A população de uma cidade é de 480 mil habitantes e cresce 275 ao ano Determine a expressão da população P como função do tempo 6 Um carro com valor inicial de R 4200000 sofre uma depreciação de 125 ao ano Determine a expressão do valor V como função do tempo t 7 Calcule o valor dos seguintes logaritmos a log16 64 b log5 0000064 c log49 7 3 8 Se log5 x 2 e log10 y 4 então log20 y x é 9 Sendo log3 x determine f81 10 Sendo fx 2 log4 x2 determine f6 11 Um capital C é aplicado a uma taxa anual de 8 com juros capitalizados anualmente Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas em quantos anos o capital acumulado será o dobro do capital inicial Considere M C 1 it em que M é o montante C é o capital inicial i é a taxa de juros e t é o tempoUse log 2 0301 e log 108 0033 12 Verifique se a função fx log5 3x 6 é crescente ou decrescente e determine seu domínio 13 Dada a função fx x² qual será a sua inversa 14 Determine a inversa da função fx 2x 3 3x 5 para x 53 Considerações finais Neste capítulo avançamos muito no estudo das funções Vimos que nem todas as relações são funções somente aquelas em que cada elemento de um conjunto se relaciona com um e somente um elemento de outro conjunto Outra observação bastante interessante é que as funções podem ser estudadas independentemente de seu tipo e comportamento Podem ser exponenciais inversas logarítmicas etc e todas podem ser aplicadas a atividades e ações empresariais Ampliando seus conhecimentos MUROLO A BONETTO G Matemática aplicada à administração ciências contábeis e economia 2 ed ampl São Paulo Cengage Learning 2011 Esta obra é um ótimo material de pesquisa sobre aplicações de funções à área gerencial Essa edição em especial apresenta uma série de aplicabilidades para custos demanda oferta e receita 5 Sequências e progressões Desde o século XVII aC existem relatos do uso de sequências e progressões nos papiros de Ahmés Mas além dele outros importantes matemáticos e filósofos já tratavam do assunto como os pitagóricos Euclides e Diofanto de Alexandria Leonardo Fibonacci e Carl Friedrich Gauss Nos estudos do som os pitagóricos 585 aC chegaram à conclusão de que o movimento das cordas produzia uma sequência que observada atentamente era vibratória e podia ser medida Mais à frente Fibonacci criou sequências numéricas que ampliavam os estudos sobre progressões utilizadas em várias pesquisas Gauss também chamado de príncipe da matemática deu continuidade às pesquisas introduzindo os cálculos matemáticos definitivamente no estudo das sequências e progressões É interessante observar a aplicabilidade desses conceitos e cálculos como ferramentas matemáticas Juros simples e compostos por exemplo nada mais são do que progressões aritméticas e geométricas muito utilizadas na matemática financeira e na gestão de negócios As sequências estão presentes no nosso dia a dia sendo notáveis por exemplo em calendários e datas de eventos especiais que se repetem periodicamente como as Olimpíadas a Copa do Mundo etc Podemos citar ainda outros importantes estudos como os de Charles Darwin que apresentam uma complexa teoria sobre a evolução das espécies Sequências e progressões portanto são conceitos utilizados em muitas áreas algumas vezes também mencionados em livros como An essay on the principle of population de Thomas Malthus economista britânico 1803 tradução livre as populações crescem em progressão geométrica ao mesmo tempo que as reservas alimentares crescem apenas como uma progressão aritmética 51 Sequências Podemos chamar de sequência ou sucessão numérica a representação de uma função dentro de um grupo de números A sequência é portanto uma ordem em um conjunto podendo ser classificada em finita ou infinita Exemplo de sequência finita 1 3 5 7 9 Exemplo de sequência infinita 1 3 5 7 Para simbolizar que uma sequência é infinita observe que usamos reticências no final dela Vamos considerar a sequência em que foram realizadas as edições da Copa do Mundo FIFA a partir de 1994 Estados Unidos 1994 França 1998 Coreia do Sul e Japão 2002 Vídeo Matemática aplicada 84 Alemanha 2006 África do Sul 2010 Brasil 2014 Rússia 2018 Organizando esses dados temos 1994 1998 2002 2006 2010 2014 2018 Os parênteses demonstram que estamos dispondo essas informações em uma sequência que nesse caso apresentase em ordem crescente Essa é uma forma de organizar esse conjunto de informações Cada um desses elementos é chamado de termo de uma sequência e pode ser representado também pela letra a acompanhada de um índice que mostra sua ordem ou posição logo a1 a2 a3 a4 an Na sequência de anos em que ocorreu a Copa do Mundo por exemplo temos Primeiro termo a1 1994 Segundo termo a2 1998 Terceiro termo a3 2002 e assim sucessivamente O termo an que representa o enésimo termo será a data de 2018 última medição que representa a Copa do Mundo realizada na Rússia 511 Lei de formação de uma sequência Observe as sequências Figura 1 Sequência de triângulos Fonte Elaborada pelo autor Figura 2 Sequência de setas Fonte Elaborada pelo autor Analisando a sequência de setas podemos dizer que a figura a ocupar a oitava posição é Sequências e progressões 85 Em matemática uma sequência é qualquer f em que o domínio é N Por exemplo f N R definido por fn 5n Podemos chamar n de 1 2 3 logo f1 5 1 5 f2 5 2 10 f3 5 3 15 e fn 5n Então temos como resposta a sequência 3 6 9 3n 512 Formas de sequência Como vimos as sequências podem ser finitas ou infinitas Na sequência numérica finita a quantidade de elementos de um conjunto é limitada Os elementos também podem ser chamados de termos Para representála utilizamos a1 a2 a3 a4 an Exemplo y conjunto dos números ímpares menores que 15 0 15 y R 0 y 15 logo y 1 3 5 7 9 11 13 Na sequência numérica infinita os termos ou elementos são ilimitados Nesse caso a representação é feita de outra maneira a1 a2 a3 a4 Por exemplo y será o conjunto do número 4 ou dos números maiores que 4 4 y R y 4 logo y 4 5 6 7 8 As sequências ainda podem ser ordenadas como crescentes ou decrescentes Para isso é necessário levar em conta o antecessor e o sucessor de um termo Crescente a1 a2 a3 a4 an Exemplo 1 2 3 4 500 Decrescente a1 a2 a3 a4 an Exemplo 500 499 498 5121 Sequências definidas a partir do termo geral Podemos determinar a lei de formação de uma sequência observando seu comportamento à medida que os termos avançam Também chamada de fórmula do termo geral essa lei permite encontrar o valor de qualquer termo da sequência É também conhecida como fórmula do enésimo termo Considere a sequência 4 8 12 16 20 Quando n 1 nos referimos ao primeiro termo da sequência que é 4 O segundo termo será 8 o terceiro será 12 e assim por diante Ou seja n 1 logo a1 4 n 2 logo a2 8 n 3 logo a3 12 Matemática aplicada 86 Para encontrar uma única lei de formação dessa sequência ou a fórmula do termo geral é necessário observar um mesmo padrão de comportamento para todos os termos Logo Se n 1 então a1 4 Portanto 4 1 4 Se n 2 então a2 8 Portanto 4 2 8 Se n 3 então a3 12 Portanto 4 3 12 É possível dessa forma observar qual é o padrão O número 4 aparece em todos os termos logo podemos dizer que o enésimo termo dessa sequência será dado por an 4n Assim por exemplo a15 4 15 60 Em algumas sequências encontrar o termo geral pode ser mais complicado e demandar certa lógica Observemos a sequência 1 5 9 13 17 Se n 1 temos a1 1 4 1 3 1 Se n 2 temos a2 5 4 2 3 5 Se n 3 temos a3 9 4 3 3 9 Para encontrar a relação entre os termos e identificar o termo geral foi necessário um pouco mais de atenção e raciocínio lógico Nesse caso temos an 4n 3 Cada elemento ou termo an será calculado em função da sua posição n na sequência Vejamos um exemplo quais serão os três primeiros termos da sequência em que o termo geral é an n 10 a1 1 10 11 a2 2 10 12 a3 3 10 13 Podemos dizer que a sequência com termo geral an n 10 será igual a 11 12 13 5122 Sequência definida por recorrência A recorrência é uma regra que nos permite calcular um termo qualquer de uma sequência em função de termos anteriores Ao contrário do que acontece com os conjuntos as sequências a b c e b c a não são as mesmas pois o que define uma sequência além de seus elementos é a ordem deles No exemplo indicado usamos uma sequência de letras mas poderiam ser símbolos ou números Considere o termo geral an1 an 5 Sabendo que a1 6 vamos calcular os quatro primeiros termos dessa sequência a1 6 a31 a3 5 a4 16 5 a4 21 Logo essa sequência ficará 6 11 16 21 Sequências e progressões 87 O exercício a seguir aborda o tema de sequências recorrentes Vamos observar a resolução para compreender a aplicação dos conceitos até então apresentados Quais são os cinco primeiros elementos de uma sequência an 12n 1 Solução Para o primeiro termo n 1 temos a1 121 1 12 1 13 Para o segundo termo n 2 temos a2 122 1 144 1 145 Para o terceiro termo n 3 temos a3 123 1 1728 1 1729 Para o quarto termo n 4 temos a4 124 1 20736 1 20737 Para o quinto termo n 5 temos a5 125 1 248832 1 248833 Dessa forma temos a sequência 13 145 1729 20737 248833 Esse conjunto de informações que aprendemos sobre as sequências e suas características será fundamental para avançarmos aos próximos assuntos que são as progressões aritméticas e as progressões geométricas 52 Progressões aritméticas A progressão aritmética PA é comumente utilizada na matemática financeira normalmente aplicada a juros simples cálculos de rendimento de poupança modelos de financiamento etc Existem muitas aplicações para a PA então será possível observar outras relações Vejamos a sequência 4 7 10 13 16 19 O elemento 4 é o primeiro termo e aparece indicado por a1 o elemento 7 é o segundo termo e será indicado por a2 e assim sucessivamente Em relação a essa sequência podemos notar que é sempre constante Ela obedece a uma regra aumenta de 3 em 3 unidades Essa diferença na progressão aritmética é chamada de razão e representada por r Portanto uma PA é uma sequência em que cada termo a partir do segundo é a soma do anterior com uma constante r dada Ou ainda uma PA é uma sequência numérica obtida a partir de um primeiro termo na qual todos os demais termos ao serem somados com uma razão terão crescimento constante São exemplos de PA 10 20 30 40 50 é uma PA de razão 10 11 8 5 2 1 4 7 é uma PA de razão 3 7 7 7 7 7 7 é uma PA de razão 0 Esses exemplos são bastante simples No decorrer do capítulo vamos introduzir graus de dificuldade em progressões mais elaboradas Vídeo Matemática aplicada 88 521 Notação As notações são símbolos e abreviações que ajudam na apresentação de determinados assuntos uma generalização Existem muitas notações que são representadas da mesma forma em todo o mundo fortalecendo o fato de a linguagem matemática ser um grande facilitador A seguir vamos demonstrar a notação do termo geral de uma PA PA a1 a2 a3 a4 an Em que a1 primeiro termo da PA an último termo termo geral ou enésimo termo n número de termos se essa PA for finita r razão Exemplo PA 4 8 12 16 20 24 a1 a2 an ou a6 a1 4 representa o primeiro termo an a6 24 representa o último termo n 6 representa o número de termos r 4 representa a razão Podemos observar que os elementos necessários para caracterizarmos uma PA foram demonstrados com a finalidade de esclarecer os conceitos e facilitar o entendimento Porém aprofundaremos esses conceitos visto ser um tema amplo pois uma PA pode apresentar diversas classificações importantes para a resolução de problemas 522 Classificação Podemos classificar uma PA como finita ou infinita Com relação ao seu crescimento ainda observando sua razão podemos definila como crescente decrescente ou constante 5221 Quanto à razão Crescente Exemplo 6 12 18 24 30 é uma PA de razão 6 ou seja r 0 Decrescente Exemplo 15 12 9 6 3 0 3 é uma PA de razão 3 ou seja r 0 Constante ou estacionária Exemplo 7 7 7 7 7 é uma PA de razão nula ou seja r 0 5222 Quanto ao número de termos Podemos classificar uma PA como Finita Exemplo 4 8 12 16 20 24 é uma PA de 6 termos e razão igual a 4 Podemos dizer que é uma PA com número de termos limitado Infinita Exemplo 9 7 5 3 1 1 3 5 é uma PA de infinitos termos indicada por reticências e de razão 2 523 Propriedades As propriedades de uma PA auxiliam a antecipar passos na resolução de problemas bem como a simplificar as resoluções ajustando algumas etapas 5231 Termos consecutivos Em uma PA qualquer termo a partir do segundo é a média aritmética de seu antecessor e de seu sucessor Vamos considerar por exemplo a PA 2 6 10 14 18 22 Podemos escolher três termos consecutivos quaisquer como 2 6 e 10 ou 10 14 e 18 O termo médio será a média aritmética dos outros dois termos 210 2 6 1018 2 14 5232 Termo médio Se uma PA apresentar qualquer número ímpar de termos o termo médio do meio será a média aritmética do primeiro e do último termos Observe por exemplo a PA 5 10 15 20 25 30 35 O termo médio é 20 ou seja 535 2 20 5233 Termos equidistantes Nessa propriedade observe que partimos dos dois termos centrais de dentro para fora e que em todos a média aritmética é exatamente a mesma Observe por exemplo a PA 4 8 12 16 20 24 28 32 16 20 36 12 24 36 8 28 36 4 32 36 extremos Matemática aplicada 90 5234 Termo geral Observadas todas as notações e as principais propriedades chegamos ao momento de definir o termo geral Ele nos levará à construção da fórmula geral da PA que usaremos para os exercícios e aplicações Portanto uma PA pode ser descrita como PA a1 a2 a3 an Considerando a2 a1 r a3 a2 r a1 r r a1 2r a4 a3 r a1 2r r a1 3r an a1 n 1r Portanto substituindo temos a PA a1 a1 r a1 2r a1 3r a1 n 1 r Ajustando e simplificando a fórmula geral é dada por an a1 n 1 r para n que pertence a N Vamos aplicar a fórmula geral na resolução de alguns exemplos 1 Determine primeiramente o quinto termo da PA 3 6 9 Solução O primeiro passo é observar quais são os dois primeiros termos e achar a razão a1 3 a2 6 r a2 a1 6 3 3 Logo a5 a1 r r r r a5 3 3 4 a5 15 2 Determine o oitavo termo da PA em que a3 6 e r 2 Solução Como já sabemos que o terceiro termo é 6 e a razão é 2 para definir o oitavo termo seguiremos dois passos a Definimos a1 6 a1 3 1 2 a1 10 Sequências e progressões 91 b Substituímos novamente na fórmula só que agora buscando o 8º termo a1 10 r 2 a8 10 8 1 2 a8 10 72 a8 10 14 a8 4 524 Soma dos termos de uma PA finita Vamos observar a sequência 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 Nela temos uma PA de razão 2 Assim calcular a soma dos termos dessa sequência seria uma tarefa simples pois o conjunto é finito e pequeno Se tivéssemos que somar 200 ou 300 números essa tarefa não seria fácil Para a solução dessa situação podemos usar a propriedade dos números equidistantes a1 a10 3 21 24 a2 a9 5 19 24 e assim com todos até a5 a6 11 13 24 Logo confirmamos que a soma dos termos é equidistante 24 e apareceu 5 vezes nessa PA Em vez de somarmos termo a termo podemos calcular 5 24 120 Então soma10 ou S10 120 Podemos simplificar utilizando a fórmula Sn a1 an n 2 Vamos para mais algumas aplicações a partir dos exemplos propostos 1 Calcule a soma dos 60 primeiros termos da PA 2 6 10 14 Solução a1 2 r a2 a1 6 2 4 a60 a1 59r 2 59 4 2 236 238 S60 2 238 60 2 S60 240 30 S60 7200 Matemática aplicada 92 2 Um carteiro percorre 10 quilômetros na primeira hora 8 quilômetros na segunda hora e assim por diante em progressão aritmética Quanto percorrerá em 5 horas Solução a1 10 r a2 a1 8 10 2 a5 a1 4r 10 4 3 10 12 2 S5 10 2 25 S5 20 km 53 Progressões geométricas Observe a sequência 3 6 12 24 48 Cada termo está apresentando uma posição Logo podemos chamar o primeiro termo de a1 o segundo de a2 e assim sucessivamente Diferentemente da progressão aritmética na progressão geométrica PG a diferença entre dois termos consecutivos não é uma constante Como determinamos então se uma sequência é PG Basta dividir o termo consequente a2 pelo antecedente a1 depois a3 por a2 e assim n vezes Quando em uma sequência essas divisões resultam em um mesmo número significa encontramos a razão da PG Na sequência apresentada no início dessa seção temos 6 3 12 6 24 12 2 Logo 2 é a razão da progressão geométrica chamada de q A progressão geométrica é uma sequência muito utilizada e presente em nosso cotidiano Seu estudo é aplicado em previsões de situações de curto e médio prazo como fenômenos naturais temperatura e condições geológicas Também é utilizado nas ciências exatas em estudos de viabilidade econômicofinanceira e sistemas de juros por exemplo Observemos a seguir uma aplicação deste conceito No ano de 2016 a empresa X produziu 300 mil unidades de um transistor A X fez uma previsão de que a cada ano a produção aumentaria 10 em relação ao anterior Logo quantas peças foram produzidas em 2019 Solução 2016 300 primeiro termo da PG 2017 330 2018 363 Vídeo Sequências e progressões 93 2019 3993 quarto termo da PG peças produzidas em 2019 Observe que o crescimento foi geométrico Vamos ver o que ocorre se representarmos isso em um gráfico Gráfico 1 Crescimento geométrico da produção 400 375 350 325 300 2014 2015 2016 2017 2018 Unidades Fonte Elaborado pelo autor Notamos um acentuado e rápido crescimento da linha gráfica pois os valores aumentam consideravelmente a cada ano A isso chamamos de comportamento geométrico 531 Representação e fórmula geral Para calcular uma progressão geométrica é preciso definir alguns elementos que comporão a fórmula geral a1 primeiro termo da PG an último termo da PG ou ainda enésimo termo n número de termos da PG q razão da PG Analogamente à progressão aritmética podese definir o termo geral de uma progressão geométrica de acordo com o primeiro termo e a razão de modo que Considerando a2 a1 q a3 a2 q a1 q r a1 q² a4 a3 q a1 q² q a1 q³ Logo an a1 qn 1 Matemática aplicada 94 532 Classificação A classificação da PG analogamente à PA pode se organizar em Finita Exemplo 3 6 12 24 apresenta um número finito de termos com q 2 Infinita Exemplo 2 8 32 128 512 número infinito de termos indicado por reticências e q 4 533 Comportamento da progressão geométrica A progressão geométrica pode ser classificada de acordo com a razão q em Crescente o termo posterior é maior que o anterior Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a1 0 e q 1 ou a1 0 e 0 q Exemplos 2 4 8 q 2 e 4 2 1 ½ q ½ Decrescente o termo posterior é menor que o anterior Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a1 0 e 0 q 1 ou a1 0 e q 1 Exemplos 8 4 2 1 ½ q ½ e 1 2 4 8 q 2 Constante todos os termos da PG são iguais ou seja q 1 Exemplo 5 5 5 5 q 1 Oscilante todos os termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos quaisquer têm sinais opostos Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a1 0 e q 0 Exemplo 3 6 12 24 48 96 q 2 Quase nula o primeiro termo é diferente de zero e todos os demais são iguais a zero isto é a1 0 e q 0 Exemplo 9 0 0 0 0 q 0 Vejamos alguns exemplos de aplicação desses conceitos para melhor entendêlos 1 Determinar o décimo termo da PG 2 4 8 Solução a1 2 q 4 2 2 an a1 qn 1 a10 a1 q9 a10 2 29 a10 210 1024 2 Determine o número de termos da PG 3 6 768 Sequências e progressões 95 Solução a1 3 q 6 3 2 an 768 an a1 qn 1 768 3 2n 1 256 2n 1 28 2n 1 8 n 1 n 9 Considerações finais Nesse capítulo foi possível perceber como o estudo de sequências progressões aritméticas e geométricas além de ser muito interessante permite inúmeras aplicabilidades facilitando a resolução de problemas No cotidiano observase a progressão aritmética em estudos de áreas afins na organização do calendário etc Por sua vez a progressão geométrica pode ser encontrada em relações comerciais taxas de crescimento populacional entre outros Portanto o estudo de sequências é um importante passo para o entendimento dos conceitos matemáticos presentes no dia a dia Ampliando seus conhecimentos Existe um conceito muito interessante conhecido como sequência de Fibonacci Essa sequência tem aplicações na análise de mercados financeiros na biologia na teoria dos jogos entre outras áreas É bastante complexa e seu estudo tornouse mais detalhado apenas com o avanço das novas tecnologias Os gregos e indianos já descreviam as sequências antes de Cristo mas a sequência aparece pela primeira vez no livro Liber Abaci no ano de 1202 por autoria de Fibonacci SIGLER 2003 Seus estudos partiram do crescimento de uma população de coelhos em que ao longo do tempo o comportamento geométrico de nascimento ficava muito evidente O estudo de Fibonacci está muito ligado aos comportamentos apresentados pela natureza nas espirais que compõem a formação das folhas das plantas na anatomia humana e na reprodução de seres vivos A sequência de Fibonacci também está presente em algumas produções do cinema e da televisão O tema é apresentado na série Criminal Minds do Canal AXN e na série Touch do Canal Fox No filme O Código da Vinci a sequência de Fibonacci foi utilizada como um código Vale a pena conhecer um pouco mais sobre esse conceito para isso sugerimos DANTE L R Matemática contexto e aplicações 2 ed São Paulo Ática 2013 Apresenta um capítulo inteiro sobre sequências e progressões rico em conceitos e exercícios resolvidos Matemática aplicada 96 Atividades 1 Uma sequência numérica infinita a1 a2 a3 an é tal que a soma dos n termos iniciais é igual a n2 7n Qual será o terceiro termo dessa sequência 2 A senha da sua TV por assinatura possui seis números sequenciais e menores que 100 Você lembra apenas dos números 32 28 33 42 38 Como existe uma lógica nessa sequência descubra o terceiro número 3 A soma de três espaços consecutivos é igual a 20 Cada um dos espaços vazios deve ser preenchido por um número inteiro e positivo Logo no espaço definido pela letra G qual número deverá ser escrito 4 Observe as sequências de termos gerais an 2n 1 bn 2n cn an bn1 em que n pertence a N Qual é o décimo quinto termo da sequência de termo geral cn 5 Determine o quarto termo na sequência definida por a1 4 an 1 an 7 n n pertence a N 6 Determine o sétimo termo da PA em que a4 20 e r 4 7 Determine a soma dos 70 primeiros termos da PA 3 6 9 12 8 Interpole 3 meios aritméticos entre 2 e 18 9 Um número é divisível por 9 se a soma dos algarismos for igual a um número que seja múltiplo de 9 Determine então quantos múltiplos de 9 existem entre 200 e 1000 10 Um corredor percorre 40 quilômetros na primeira hora 34 quilômetros na segunda hora e assim sucessivamente Quantos quilômetros percorrerá em 6 horas 11 Em uma progressão de 6 termos a razão é igual a 5 O produto do primeiro termo com o último é 12500 Determine o valor do terceiro termo 12 Calcule a soma dos 10 primeiros termos da progressão geométrica 2 4 8 13 Calcule a soma dos termos da PG 1 1 2 1 4 1 8 14 Dados os valores a1 1 e a2 3 determine a razão e em seguida calcule a soma dos n primeiros termos 15 Sendo o terceiro termo de uma progressão geométrica dado por 10 e o sexto termo dado por 80 a razão dessa PG será 6 Análise combinatória e probabilidades Frequentemente notícias envolvendo jogos sorteios estimativas chances contagens amplitudes entre outras aplicações dos conceitos de análise combinatória e probabilidade estão em evidência nos jornais e nas redes sociais Observe estes exemplos A contece nesta quartafeira 30 de janeiro de 2019 o sorteio do concurso de número 2120 da MegaSena que hoje tem premiação estimada em R 2000000000 As dezenas serão sorteadas às 20h na cidade de Guaraciaba em Santa Catarina onde se encontra o Caminhão da Sorte Fonte Bohrer 2019 MegaSena concurso 2120 de hoje pode pagar R 20 milhões Para fazer ligações ou mandar mensagens de qualquer lugar do país seja de telefone fixo ou móvel para celulares será preciso discar o 9 antes do número do telefone Segundo a Anatel a inclusão de mais um dígito nos telefones móveis tem como principal objetivo aumentar a disponibilidade de números na telefonia celular Fonte Craide 2016 Números de celulares de todo o país terão nove dígitos a partir do dia 6 O rodízio de automóveis ficará suspenso na cidade de São Paulo a partir desta sextafeira 21 em razão dos feriados de fim de ano A restrição voltará a funcionar no dia 14 de janeiro de acordo com a prefeitura Fonte Jovem Pan 2018 Rodízio de veículos em São Paulo é suspenso para o fim de ano Matemática aplicada 98 A aplicação da análise combinatória e da probabilidade é muito mais ampla do que os exemplos citados As organizações empresariais utilizam esses estudos em muitas tomadas de decisões como em pesquisas mercadológicas avaliação de riscos das operações comparação e análise de dados e ainda ferramentas e programas computacionais muito eficientes O Lean Six Sigma1 por exemplo utiliza as probabilidades para desenvolver a melhoria da qualidade dos processos 61 Conceitos introdutórios Os tipos de problemas que envolvem probabilidades são infinitos por isso é importante conhecer seus conceitos básicos Os estudos de probabilidade analisam os experimentos aleatórios que são eventos cujos resultados são imprevisíveis Podemos considerar um exemplo simples lançar um dado honesto quatro vezes seguidas e na face voltada para cima obter um valor ímpar Pensar a respeito implica avaliar probabilidades Pierre de Fermat e Blaise Pascal2 foram os primeiros matemáticos a dar tratamento científico ao tema lançando as teorias sobre análise combinatória um dos pilares do estudo de probabilidades A necessidade de calcular o número de chances de sucesso em jogos de azar levou a análise combinatória ao desenvolvimento de métodos de contagem que permitiam observar os elementos de um conjunto obtido sob determinadas condições Assim as probabilidades surgem da necessidade de tomar decisões e avaliar as hipóteses possíveis Além de Fermat e Pascal outros matemáticos também contribuíram para o avanço da teoria das probabilidades destacandose os da família Bernoulli3 e Pierre Laplace4 A Figura 1 a seguir apresenta os três níveis de tratamento das informações para o desenvolvimento da teoria da análise combinatória Observe Figura 1 Análise combinatória Ordenar informações Organizar e contar Agrupar os dados Fonte Elaborada pelo autor Fazer a contagem agrupar os dados conforme suas características e ordenar as informações para a obtenção e comparação dos resultados portanto são objetivos da análise combinatória Logo a análise combinatória é o estudo que permite a um conjunto finito de elementos ser avaliado utilizando a lógica matemática e todas as possibilidades de combinações 1 Método para obter resultados rápidos envolvendo a resolução de problemas por meio da implantação de uma cultura de melhoramento contínuo dos processos reduzindo sua variabilidade e evitando desperdícios 2 Pierre de Fermat advogado e oficial francês propôs um sistema de geometria analítica Seus estudos em teoria de número são amplamente lembrados Blaise Pascal filósofo e matemático francês inventou a primeira máquina de calcular para processos de adição e subtração Juntos por meio de cartas estabeleceram os fundamentos da Teoria das Probabilidades 3 A família Bernoulli é reconhecida por se compor de notáveis cientistas das áreas de matemática e física 4 Matemático astrônomo e físico francês Pierre Simon Laplace formulou muitas teorias que ainda são válidas como o fato de que o movimento planetário conforme seus cálculos matemáticos demonstraram não levaria os planetas a se chocarem Vídeo Análise combinatória e probabilidades 99 62 Princípio fundamental da contagem Vamos observar o seguinte exemplo Arthur aproveitou uma promoção e comprou 3 camisas de modelos diferentes que estavam disponíveis nas cores azul branca laranja preta e bege Para avaliar quantas opções Arthur terá para se vestir podemos organizar as informações conforme a Figura 2 a seguir Figura 2 Modelos que representam as opções de Arthur Modelo 1 Azul Branco Laranja Preta Bege Modelo 3 Azul Branco Laranja Preta Bege Modelo 2 Azul Branco Laranja Preta Bege m modelos diferentes de camisas 3 n cores diferentes das camisas 5 Fonte Elaborada pelo autor Nessa figura é possível observar que m n 3 5 15 opções de escolha Chamamos de princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo o método algébrico que determinará o número total de possibilidades de o evento ocorrer sob certas condições por meio do produto entre m e n É importante observar que existem em um experimento inúmeras possibilidades a serem combinadas utilizando esse método Ainda o princípio fundamental da contagem pode ser chamado também de princípio da combinatória implicando avaliar que o número de possibilidades de ações distintas e independentes é resultante da multiplicação da quantidade de maneiras possíveis que cada uma delas pode ser realizada Para dar continuidade aos estudos de análise combinatória é necessário conhecer um pouco mais sobre o número fatorial 621 Número fatorial O fatorial é um número inteiro positivo representado por n Ele é obtido multiplicando seu valor por todos os antecessores até chegar a 1 O zero é excluído já que toda multiplicação resultaria em zero Vejamos a representação matemática do fatorial n n n 1 n 2 3 2 1 para n 2 Vídeo O fatorial de um número também pode ser expresso pelo fatorial de n 1 n n 1 n 1 Observe alguns exemplos 3 3 1 3 1 4 4 4 3 2 1 4 24 4 6 2 2 1 2 1 3 3 3 2 1 3 6 3 2 6211 Casos especiais 1 1 Para esse fatorial 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 0 1 Para esse fatorial também vale a mesma regra 0 1 0 1 1 1 1 6212 Equações com fatorial Adição x 12 4 x 12 4 3 2 1 24 x 12 24 x 24 12 36 Subtração 6 3 6 5 4 3 2 1 3 2 1 120 Multiplicação 2 4 2 1 4 3 2 1 2 24 48 Divisão 6 4 6 5 4 3 2 1 4 3 2 1 720 24 30 Podemos calcular com mais agilidade quando compostos o fatorial de cima até o fatorial de baixo Fatoriais iguais no numerador e denominador podem ser simplificados uma vez que representam o mesmo número Vejamos Mais um exemplo 7 43 7 6 5 4 3 2 1 4 3 2 1 3 2 1 24 6 5040 5040 35 Observe que também podemos agilizar os cálculos quando simplificamos 4 com 4 que são os fatoriais maiores e distribuímos o segundo fatorial até 1 Sobram então apenas produtos comuns para resolver 7 5 A 132 1 3 2 1 210 6 35 622 Formas de agrupamento simples Temos três formas de agrupar dados utilizando o princípio da análise combinatória arranjo simples combinação simples e permutação simples Cada uma das formas tem características próprias conforme veremos a seguir 6221 Arranjo simples Se tomarmos n elementos p a p onde n 1 de modo que se mudamos a ordem e natureza desses elementos o resultado final é alterado temos um arranjo A fórmula para cálculo do arranjo é dada por A n p n n p Vamos compreender a aplicabilidade desse conceito em exemplos 1 Quantos números distintos de 4 algarismos podemos formar com os números naturais de 1 a 8 Solução n número de elementos que podemos utilizar 1 2 3 4 5 6 7 8 total 8 p para termos números distintos devemos usar sempre quatro algarismos diferentes sem repetição Se tomarmos os algarismos 1234 teremos um número Se usamos os mesmos algarismos em outra ordem 2314 teremos um novo número embora ainda sejam os mesmos algarismos A isso chamamos de arranjo Aplicamos portanto a fórmula A n n p 8 8 4 8 4 8 7 6 5 4 4 1680 números distintos 35 vitaminas distintas 126 comissões distintas Matemática aplicada 104 b Agora como a palavra possui apenas 4 vogais permutamos as outras letras e multiplicamos por 4 A U I O 4 P6 3 6 5 4 3 2 1 3 720 2880 anagramas distintos c Fixamos então a letra a conforme pedido no enunciado e permutamos as letras restantes A P6 720 anagramas distintos d A restrição agora pede que os anagramas sejam iniciados por q e terminados em r então essas letras ficam fixas e permutamse as demais q r P5 120 anagramas distintos e Por último o item pede que as letras av fiquem sempre unidas e na mesma ordem Portanto elas se tornam um único elemento pois serão permutadas juntas e poderão ocupar qualquer um dos 6 lugares indicados a seguir A V A V A V A V A V A V Logo temos 6 formas diferentes de agrupar 5 letras 6 P5 6 5 4 3 2 1 6 120 720 anagramas distintos 2 Dispostos em ordem crescente e de maneira distinta os números 2 3 5 8 e 9 que posição ocupa o número 95832 Solução Se colocarmos os 5 números em ordem crescente e distinta teremos 1ª posição 23589 2ª posição 23598 3ª posição 23859 Logo posição será 95831 12600 senhas distintas Solução n tipos de suco 3 p agrupamento 5 Crnp np1 pn1 Cr35 351 531 Cr35 7 52 Cr35 765 521 21 Permutação com repetição A permutação com repetição na análise combinatória é utilizada quando os elementos estão se repetindo um dois ou todos Pr n p1p2pn Observemos o exemplo quantos anagramas distintos podemos criar a partir da palavra CALCULADORA Solução Na palavra a letra a aparece 3 vezes l e c aparecem 2 vezes cada Logo Pr 11 322 Pr 11109876543 34 6652800 4 1663200 Mais de um milhão e meio de novos anagramas podem ser definidos Análise combinatória e probabilidades 107 como estatística inteligência competitiva e estudos mercadológicos Observamos o uso da probabilidade na avaliação de níveis de risco sobre um investimento no retorno e desviopadrão nas correlações e regressões no cálculo de volatilidade no mercado de ações na avaliação de indicadores de qualidade na análise sistêmica que busca os valores esperados de retorno no marketing na avaliação da chance de sucesso ou fracasso de um produto novo nas medições por minuto de ligações em um call center entre outras inúmeras aplicações Dessa forma as probabilidades têm axiomas teoremas e conceitos repletos de utilidades 631 Teoria das probabilidades A teoria das probabilidades busca estimar as chances de ocorrência de um determinado acontecimento É um ramo da matemática que cria elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios Chamamos de experimento qualquer processo de observação Se medirmos a corrente elétrica inúmeras vezes em um ambiente por exemplo ela pode oscilar e essas oscilações podem ser medidas Ao fazermos um experimento então as oscilações são componentes aleatórios do processo São características de um experimento aleatório Se for possível repetir as mesmas condições do experimento seus resultados ainda podem ser diferentes pois existem variáveis ou fatores que nem sempre conseguimos controlar É possível descrever os resultados possíveis de um experimento aleatório Se o experimento for repetido muitas vezes uma configuração de regularidade aparecerá Com isso é possível construir um modelo probabilístico Os resultados de um experimento aleatório são caracterizados pelos seguintes elementos O conjunto de resultados possíveis que chamamos de espaço amostral é representado pela letra grega Ω A coleção de conjuntos de resultados de interesse é chamada de A O valor numérico que mostre a probabilidade de ocorrência de cada um dos conjuntos de interesse é chamado de P Existem quatro pontos desejáveis na especificação de um espaço amostral SS1 Lista de possíveis resultados de um experimento SS2 Desenvolvêlo sem duplicação SS3 Nível de detalhamento suficiente para atender aos interesses do pesquisador SS4 Listagem dos resultados para complementações e ampliação de novos resultados possíveis Matemática aplicada 108 Em resumo Experimento aleatório pode apresentar resultados diferentes quando repetido nas mesmas condições Espaço amostral conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório 632 Eventos probabilísticos Existem muitos eventos possíveis em probabilidade Cada um deles ou cada coleção de eventos apresenta características diferentes e uma apresentação específica No espaço amostral temos os mais variados tipos e coleções de eventos que podem ser caracterizados Por isso é essencial considerar um evento é um subconjunto do espaço amostral ao realizarmos um experimento aleatório o resultado pertence a um dado evento A portanto dizemos que ocorreu A 6321 Evento certo ou impossível Um evento é certo quando a sua ocorrência coincide com o espaço amostral ou seja sua possibilidade de ocorrência é igual a 100 Já o evento impossível é igual ao conjunto vazio tornando sua probabilidade de acontecer igual a 0 Vejamos os exemplos 1 Ao lançar um dado obtémse o espaço amostral Ω 1 2 3 4 5 6 Considere então o evento A ocorrência de um número menor que 7 e maior que 0 Todos os números que compõem o espaço amostral nesse caso satisfazem o evento Por isso temos A 1 2 3 4 5 6 Podemos dizer assim que A é um evento certo 2 No lançamento de um dado como obter o valor 7 Não existe no espaço amostral apresentado inicialmente nenhum número 7 o que faz com que a resposta seja vazia B Ø Dizemos então que B é um conjunto vazio pois não existe lado com valor 7 em um dado Análise combinatória e probabilidades 109 6322 União de eventos A união de eventos ocorre quando na análise de dois deles qualquer um atende ao proposto É importante ressaltar que nesse caso os eventos estão conectados pela palavra ou Evento E ocorrência de um número par C ou número múltiplo de 3 D C 2 4 6 D 3 6 E C D 2 3 4 6 6323 Intersecção de eventos No caso da intersecção de eventos ao analisálos devemos observar os elementos que aparecem nos dois e satisfazem a proposição ao mesmo tempo Neste exemplo observe que os eventos se conectam com a palavra e sendo obrigatório que pertença a ambos Evento F ocorrência de um número par C e múltiplo de 3 D F C D 2 4 6 3 6 F 6 6324 Eventos complementares Considere as seguintes informações A probabilidade de sucesso em um evento p A probabilidade de insucesso em um evento q Podemos dizer que p q 100 assim p e q são complementares Evento H banana laranja uva Evento I melancia mamão Logo p q ou H I banana laranja uva melancia e mamão 6325 Eventos independentes Os eventos são independentes quando a realização ou não de um deles não afeta a probabilidade de realização do outro e viceversa Vejamos este exemplo lançado um dado duas vezes qual é a probabilidade de se obter 4 no segundo lançamento se no primeiro o resultado foi 6 Nesse caso a probabilidade do segundo lançamento não depende do valor que foi encontrado no primeiro 6326 Eventos mutuamente exclusivos Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um deles exclui a realização do outro Ao lançar uma moeda honesta por exemplo a saída do resultado cara exclui a possibilidade de sair coroa Observação em eventos mutuamente exclusivos a probabilidade de um evento acontecer é igual à soma da probabilidade de que cada um deles aconteça Logo P P1 P2 633 Probabilidade da ocorrência de um evento Definimos a probabilidade de um evento acontecer quando dividimos o número de eventos escolhidos pelo total de eventos respectivos ao espaço amostral e representamos pela fórmula PA número de ocorrências de A número de elementos de Ω ou PA nA nΩ Vejamos alguns exemplos 1 Sendo o experimento aleatório o lançamento de uma moeda honesta qual a probabilidade de sair cara Solução nA 1 nΩ 2 Logo PA 12 050 ou ainda 50 2 No lançamento de um dado não viciado qual a probabilidade de sair um número menor que 4 Solução Espaço amostral Ω 1 2 3 4 5 6 Evento menor que 4 3 2 1 Logo Ω A 26 13 ou 033 ou ainda 50 aproximadamente Análise combinatória e probabilidades 111 3 Lançando simultaneamente 3 moedas honestas qual a probabilidade de serem obtidas pelo menos duas caras e exatamente duas caras Solução C cara K coroa Ω C C C C C K C K K K K K K C C K K C C K C K C K nΩ 8 Pelo menos duas caras Exatamente duas caras C C C C C K C C K K C C K C C C K C C K C Logo 4 1 8 2 ou 050 ou ainda 50 Logo 3 8 ou 0375 ou ainda 375 Considerações finais Nesse capítulo avançamos no estudo das probabilidades aplicando as propriedades mais importantes em especial a união e intersecção Diferenciamos o que são eventos probabilísticos e eventos certos o que é muito importante principalmente na tomada de decisões Também vimos as diferentes formas de ocorrência dos eventos e seus resultados quando utilizados em situações práticas Ampliando seus conhecimentos O tema probabilidade é bastante amplo e para abranger todos os estudos sobre ele seria necessária a produção de vários livros como este Como há um extenso conteúdo de pesquisa principalmente no que tange a aplicações em outras áreas vale a pena se aprofundar conhecer mais teoremas axiomas e outras propriedades Por isso vamos ver algumas sugestões para que você amplie sua pesquisa A GRANDE aposta Direção Adam McKay EUA Paramount Pictures 2015 1 filme 130 min O filme apresenta quatro analistas que prevendo um colapso bancário mundial em razão da fragilidade dos modelos utilizados conseguem por meio de outros modelos de previsões estatísticos e usando probabilidade antever e reduzir os riscos da catástrofe Baseado na história real do analista Michael Lewis Matemática aplicada 112 ALVES M M de O Probabilidades história teoria e aplicações Sl Amazon 2019 Publicação independente Com uma abordagem extremamente didática o livro é excelente para quem está iniciando os estudos sobre probabilidades HISTÓRIA da matemática Aula 14 Probabilidade Publicado pelo canal Univesp 1 vídeo 17min 2 out 2017 Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvr0GnS SWU2s Acesso em 10 set 2019 O vídeo apresenta uma síntese muito interessante da história da matemática focada especialmente no tema probabilidades Atividades 1 Quantas centenas distintas de 3 algarismos podemos formar com os números 2 4 5 6 7 8 e 9 2 Em um escritório de contabilidade com 8 funcionários quantas comissões de 3 funcionários podemos formar 3 Um grupo de profissionais é formado por 3 advogados e 4 engenheiros Quantas comissões de 4 pessoas são possíveis com 2 advogados e 2 engenheiros 4 Com a palavra PORTUGAL podemos formar quantos a Anagramas distintos b Anagramas distintos terminados por consoante c Anagramas distintos iniciados por G e terminados por O d Anagramas distintos em que as letras UR apareçam sempre juntas em qualquer ordem 5 Dois técnicos de futebol e quatro jogadores vão tirar uma foto Os jogadores devem ficar entre os técnicos De quantas formas distintas eles podem tirar essa foto 6 Em um acidente automobilístico a testemunha observou que a placa do motorista que cometeu a infração era formada por 3 letras todas vogais distintas e quatro números também distintos sendo que 8 ocupava a casa milhar Quantos veículos podem ser suspeitos 7 Qual é o número de senhas de 5 letras que não se repetem e que podem ser obtidas com as 10 primeiras letras do alfabeto 8 Se participar de uma loteria com um jogo simples qual será a chance de ganhar o prêmio maior Análise combinatória e probabilidades 113 9 Tomando todos os números de 3 algarismos distintos com a permutação dos dígitos 7 8 e 9 qual é a probabilidade de escolhendo um número desses ao acaso ele ser a Ímpar b Par c Múltiplo de 6 d Múltiplo de 4 e Maior que 780 10 Vamos considerar todos os números naturais de 4 algarismos distintos que se podem formar com os algarismos 1 3 4 7 8 e 9 Escolhendo um deles ao acaso qual é a probabilidade de sair um número que comece em 3 e termine em 7 11 Jogase um dado honesto três vezes qual é a probabilidade de sair a face 6 em seguida a face 2 e na terceira jogada a face 4 12 Jogandose dois dados honestos ao mesmo tempo qual é a soma de todas as faces voltadas para cima 13 No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis calcule a probabilidade de não sair soma 5 14 Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas qual é a probabilidade de ser vermelha ou um ás 7 Probabilidades Distribuições Neste capítulo vamos aprofundar um pouco mais os conceitos iniciais de probabilidade que vimos anteriormente Para isso abordaremos os seguintes temas distribuições discretas contínuas polinomiais e outros modelos além das aplicações para a esperança estatística também chamada esperança matemática Quando estudamos uma variável com resultados ou valores que tendem a mostrar variação de uma observação para outra dizemos que temos uma variável aleatória Isso ocorre em razão de fatores importantes relacionados como a chance Sempre é interessante que a definição de uma variável aleatória esteja associada à um experimento ou uma amostra para que seus possíveis resultados sejam numéricos Se não forem numéricos devemos ajustálos codificando para uma linguagem numérica em vez de chamarmos os eventos de cara C ou coroa K por exemplo podemos chamar cara de 1 e coroa de 0 71 Variáveis aleatórias discretas ou contínuas Uma das formas de classificar as variáveis como discretas ou contínuas é por meio da observação de como os valores se apresentam Em uma variável discreta os valores observados podem ser contados Por exemplo número de casas em uma rua número de revistas em uma banca número de cadernos em uma turma etc Nas variáveis contínuas podese considerar quaisquer valores dentro de um determinado intervalo A maioria das variáveis aleatórias é contínua pois admite qualquer tipo de valor como a duração de um acesso à internet os pesos das caixas de frutas as temperaturas medidas ao longo dia etc Compreender claramente o significado dessas duas variáveis é importante porque impacta no modelo de distribuição de probabilidade a ser usado Se uma variável aleatória x apresenta os valores x1 x2 x3 xn com as probabilidades correspondentes p1 p2 p3 pn então o valor esperado Ex será Ex p1 x1 p2 x2 p3 x3 pn xn O valor esperado também pode ser chamado de média probabilística u Para melhor entendimento vamos desenvolver um exemplo que demonstra como calcular o valor esperado ou a média probabilística Uma empresa sobre a venda de fogões a gás de quatro bocas registrou os dados apresentados na Tabela 1 Vídeo Tabela 1 Venda de fogões a gás de quatro bocas Probabilidades Distribuições 117 Os cálculos apresentados até aqui norteiam as aplicações dos diferentes tipos de variáveis Nosso próximo passo será utilizar essas variáveis para o entendimento do que são distribuições discretas e contínuas 72 Distribuições discretas A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória para uma variável discreta é definida por uma função de probabilidade denominada fx A função mostra a probabilidade correspondente a cada um dos valores da variável aleatória Vamos considerar como exemplo a situação de uma variável discreta e sua distribuição de probabilidade referente a vendas de motocicletas da empresa fictícia Racing Ltda Nos últimos 300 dias de operações em 54 dias não foram efetuadas vendas em 117 dias houve uma moto vendida em 72 dias duas motos vendidas em 42 dias três motos vendidas em 12 dias quatro motos vendidas e em 3 dias cinco motos vendidas Selecionando como experimento um dia de operação na Racing definimos nossa variável de interesse como sendo o número de motocicletas vendidas durante um dia x Sabemos que x é uma variável discreta que pode assumir os valores inteiros 0 1 2 3 4 ou 5 A função f0 vai mostrar a probabilidade de 0 motocicletas serem vendidas f1 mostrará a probabilidade de uma motocicleta ser vendida e assim por diante Os dados do problema mostram 54 dos 300 dias com 0 vendas portanto f0 será igual a 54 300 018 Desse modo a chance de uma motociclieta ter sido vendida durante um dia é pequena de 018 Por analogia podemos calcular o número de vendas para os diversos cenários que se apresentam Vamos observar Tabela 2 Probabilidade referente à variável aleatória x que satisfaz fx 0 e Σ fx 1 x vendas Cálculo auxiliar fx 0 54 300 018 1 117 300 039 2 72 300 024 3 42 300 014 4 12 300 004 5 3 300 001 Total 100 Fonte Elaborada pelo autor Podemos agora fazer a representação gráfica da distribuição de probabilidade para o número de motocicletas vendidas pela empresa Racing durante um dia Vídeo xi px Matemática aplicada 118 Gráfico 1 Distribuição de probabilidade motocicletas vendidas em um dia 045 03 035 04 02 025 01 015 0 005 0 1 2 3 4 5 Probabilidade x vendas y Fonte Elaborada pelo autor Uma boa razão para definir a tabela e o gráfico de uma variável aleatória é que uma vez conhecida fica mais fácil determinar a probabilidade de uma série de eventos que podem ser interessantes a um gestor ou a autoridades competentes Nesse caso as informações apresentadas podem ajudálo a entender o processo comercial de vendas da empresa analisada 73 Relação entre valor esperado e medidas de dispersão Para melhor compreensão dos conceitos a seguir vamos conhecer um pouco mais das medidas de posição ou de tendência central e das medidas de dispersão ou variabilidade 731 Medidas de posição eou tendência central A probabilidade associada à estatística permite uma série de aplicações interessantes E as medidas de posição principalmente a média contribuem para a resolução de problemas As principais medidas de posição são média mediana e moda A média é com certeza a principal medida utilizada como ferramenta gerencial Ela pode ser uma medida representativa ou não Vamos observar as duas apresentações a seguir A 4 5 7 4 5 média 25 5 5 B 1 2 2 7 13 média 25 5 5 Observe que A traz uma média bem representativa pois a maioria dos valores está centrada próxima à média Por sua vez B traz uma média pouco representativa pois a maioria dos elementos está distante dispersa em relação à média Logo podemos dizer que a média é útil para avaliar os fenômenos representados por medidas ou valores porém não deve ser analisada sozinha visto que pode levar a uma interpretação errônea dos dados Vídeo Número vendido Frequência relativa Probabilidades Distribuições 119 Além da média há duas outras medidas de dispersão a mediana e a moda O papel da mediana é estabelecer o meio da distribuição O fato de um valor estar no meio não necessariamente fará dele a média Observe A 4 5 7 4 5 O primeiro passo é colocar os dados em ordem crescente A 4 4 5 5 7 A mediana é 5 que está exatamente no centro Nesse caso também é o mesmo valor da média Observando agora em B B 1 2 2 7 13 Vemos que agora a mediana é 2 e a média 5 Estar no meio portanto não é o mesmo que estar na média Por fim temos a moda Ela é o valor mais representativo de um conjunto ou seja aquele com maior número de repetições Por isso a moda pode impactar a média sem necessariamente influenciar o valor da mediana Observe B 1 2 2 7 13 A moda da distribuição é 2 Dessa forma vemos que o valor esperado ou a média esperada de uma variável aleatória é uma medida normalmente central e de posição A expressão matemática para obtêla é dada por Ex u Σx fx Voltando à nossa tabela vamos acrescentar o valor esperado ou a média Tabela 3 Valor esperado ou média x vendas Cálculo auxiliar fx x fx 0 54 300 018 0 018 000 1 117 300 039 1 039 039 2 72 300 024 2 024 048 3 42 300 014 3 014 042 4 12 300 004 4 004 016 5 3 300 001 5 001 005 Total 100 Ex u Σx fx 150 Fonte Elaborada pelo autor A Tabela 3 revela que associando cada valor da variável venda de motocicletas distribuída nos 300 dias foi possível determinar o valor esperado 0 020 Matemática aplicada 120 732 Medidas de dispersão ou variabilidade Como vimos anteriormente definimos a posição média para a variável aleatória mas normalmente também precisamos de uma medida de dispersão que possa sintetizar o grau de variabilidade dos valores dessa variável aleatória Nos estudos estatísticos existem várias medidas de dispersão mas as principais são variância desviopadrão e coeficiente de variação A variância e o desviopadrão são medidas de dispersão absolutas e recebem esse nome por se expressarem na mesma unidade de medida em que está a variável Já o chamado coeficiente de variação CV expressará essa dispersão de forma relativa Para compreendermos melhor o papel dessas medidas vamos fazer os cálculos considerando os valores do exemplo presente na seção anterior a loja de motocicletas O primeiro passo é definir a variância Para isso construiremos nova tabela e aplicamos a fórmula da variância varx s2 Σx u2 fx Tabela 4 Cálculos para a definição da variância x vendas x u x u2 fx x u2 fx 0 0 150 150 225 018 225 018 04050 1 1 150 050 025 039 025 039 00975 2 2 150 050 025 024 025 024 00600 3 3 150 150 225 014 225 014 03150 4 4 150 250 625 004 625 004 02500 5 5 150 350 1225 001 1225 001 01225 Total 12500 dias² Fonte Elaborada pelo autor Portanto variância 125 dias2 Note que o primeiro passo é observar as dispersões entre cada dia e a média Para darmos continuidade ao cálculo elevamos essa diferença ao quadrado Portanto a variância é uma medida quadrática ou bidimensional O último passo é associar esses resultados a cada probabilidade ou seja multiplicar pelo valor de fx Vale mencionar que a variância costuma ser uma medida de difícil interpretação sem a ajuda de um programa computacional que possa gerar os gráficos de observação Por meio da variância temos o desviopadrão que é a raiz quadrada da variância e estabelece o intervalo ao qual podemos chamar de região central onde estão localizados os elementos que se encontram na média Desviopadrão 125 1118 dias Logo u150 u desvio 038 u desvio 261 1 030 Probabilidades Distribuições 121 Para finalizar vamos tratar do coeficiente de variação relativa O papel do CV é mostrar o percentual de elementos dispersos em relação à média ou seja a porcentagem de elementos acima e abaixo da média Para calcular o CV basta dividir o desviopadrão pela média u CV desvio u 1118 150 074 ou 74 Ao observar a Tabela 4 atentamente percebemos uma dispersão bastante significativa nos valores entre 3 e 5 Por isso nos cálculos obtivemos um coeficiente de variação tão elevado Vejamos um exemplo de aplicação A seguir apresentamos uma distribuição de probabilidade referente a uma variável aleatória x Tabela 5 Probabilidade de uma variável x dada pelos vetores 2 4 e 6 x fx 2 025 4 050 6 025 Fonte Elaborada pelo autor a Calcule Ex ou u o valor esperado de x b Calcule s2 variância c Calcule s desviopadrão d Encontre o coeficiente de variação relativa Solução Tabela 6 Cálculos auxiliares para encontrar os valores enunciados x fx x fx x u x u2 x u2 fx 2 025 050 2 4 200 2002 400 400 025 100 4 050 200 4 4 000 0002 000 0 050 000 6 025 150 6 4 200 2002 400 400 025 100 u 400 200 varíável2 Fonte Elaborada pelo autor Portanto a u 400 b Variância 200 variável2 c 2 00 1414 d CV 1414 4 0285 ou 285 Vamos para mais uma aplicação prática Observe a carteira de investimentos a seguir Nela vemos os ativos de várias empresas com o retorno esperado e a probabilidade de esses retornos ocorrerem nos mais diversos cenários 2 030 Matemática aplicada 122 Tabela 7 Carteira fictícia de investimentos em quatro cenários Cenário Retorno esperado x Probabilidade px Ruim 4 020 Regular 9 025 Bom 13 035 Ótimo 17 020 Fonte Elaborada pelo autor Fazendo a relação u x px teremos o retorno médio esperado 4 020 9 025 13 035 17 020 011 ou 11 Portanto é possível observar inúmeras aplicabilidades ao retorno esperado associado às probabilidades A seguir serão apresentadas outras formas de distribuição e suas respectivas aplicações 74 Distribuições binomiais A distribuição binomial surgiu a partir dos primeiros ensaios de Daniel Bernoulli cujos experimentos permitem só dois resultados possíveis um deles chamado S sucesso e outro chamado F fracasso Nos ensaios Bernoulli representou cada sucesso por p e cada fracasso por q decorrendo que cada fracasso será igual a 1 p Vamos fazer um experimento do ensaio Lançando uma moeda podemos ter dois resultados cara ou coroa Vamos apostar que sairá cara Logo cara será nosso S sucesso Se sair coroa fracasso perdemos a aposta Ao fazer inúmeros experimentos e descrever os resultados da variável aleatória sempre agrupados em duas classes S ou F obtémse uma distribuição binomial Um ponto importante que deve ser observado é que os eventos nunca ocorrem ao mesmo tempo portanto haverá somente um resultado ou seja os eventos serão sempre excludentes No nosso exemplo o resultado cara exclui a possibilidade do resultado coroa Como outros exemplos citamos situações em que uma possibilidade automaticamente exclui a outra um resistor elétrico pode ser perfeito ou defeituoso em uma pesquisa de mercado o entrevistado pode dizer sim ou não em uma prova a resposta pode ser certa ou errada Inclusive as variáveis contínuas também podem ser divididas em duas categorias A velocidade de um carro em movimento por exemplo pode ser medida e estar dentro ou fora do limite Sendo velocidade uma variável contínua assume valores inteiros ou fracionados Vídeo 3 020 Independente de a variável ser contínua ou discreta a soma das categorias sucesso e fracasso deve ser sempre 100 ou 1 Quatro propriedades fundamentais devem ser respeitadas para que uma probabilidade binomial possa estar definida São elas I Haverá somente dois resultados possíveis em cada repetição chamados de sucesso e fracasso Por meio desses exemplos é possível observar como a distribuição binomial pode colaborar com os gestores nas análises estatísticas das empresas Os indicadores oferecem a possibilidade de adotar ou ajustar ações estratégicas de acordo com as necessidades da gestão II Podem ser feitas inúmeras n repetições do experimento sendo n uma constante 75 Distribuição de Poisson O engenheiro e matemático francês Denis Poisson 17811840 foi um grande entusiasta de estudos sobre a mecânica celeste e o comportamento dos esferoides Poisson desenvolveu também trabalhos que envolviam o campo da electricidade e da astronomia Em 1837 publicou um importante tratado Traité des jugements e mesmo muito doente demonstrou pela primeira vez a distribuição que leva seu nome Probabilidades Distribuições 127 Esperança matemática 001 100 200000 R 1000 Se o comprador pagou R 3000 porém sua esperança de recebimento é R 1000 essa não é uma aposta razoável 2 Os alunos de uma sala de aula respondem a uma prova de 8 questões O número x de perguntas respondidas corretamente é dado por Tabela 8 Perguntas respondidas corretamente pelos alunos Perguntas x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Px 002 002 006 006 008 022 03 016 008 Fonte Elaborada pelo autor Qual o valor esperado de acertos dessas questões Solução 0 002 1 002 2 006 7 016 8 008 53 O número esperado de acertos é de aproximadamente 6 questões 3 Uma fábrica produz caixas de cotonetes a um custo de R 5000 cada Em uma primeira fase das caixas produzidas 90 apresentam cotonetes perfeitos As caixas com cotonetes imperfeitos vão para uma segunda fase para tentar corrigilos na qual existe um custo adicional de R 3000 Mas somente 60 dessas caixas ficam perfeitas O restante continua com defeito Sabendo que cada caixa perfeita é vendida por R 9000 e que a fábrica ainda consegue vender as caixas com defeito por R 2500 em média qual o lucro ou prejuízo esperado E ainda valeu a pena a fábrica ter feito a segunda fase retrabalho Solução Primeira fase Custo R 5000 Venda R 9000 Lucro x 4000 Prob 090 Logo R 4000 090 R 3600 Segunda fase envolve duas situações a Perfeita P Custo R 5000 R 3000 Venda R 9000 Lucro x R 1000 Prob 006 Logo R 1000 006 R 060 III A probabilidade de sucesso ou fracasso será sempre constante em todas as repetições Matemática aplicada 128 b Defeituosa D Custo R 8000 Venda R 2500 Prejuízo x R 5500 Prob 004 Logo R 5500 004 R 220 Portanto o ganho médio esperança será de R 3600 R 060 R 220 R 3440 de lucro O enunciado porém também pergunta se valeu a pena o retrabalho Para calcular basta limitar os dados apenas à primeira fase P e D Caixas perfeitas 90 logo R 4000 R 090 R 3600 Caixas defeituosas 10 logo R 2500 R 010 R 250 Assim vemos que o retrabalho valeu a pena pois o ganho médio é maior R 3350 4 Em um caçaníqueis com dois discos que giram simultaneamente o apostador para fazer uma única jogada paga R 8000 Ele roda os dois discos e se aparecerem as imagens de duas maçãs ganha R 4000 Se aparecerem duas bananas ganha R 8000 Se forem duas pêras ganha R 10000 e se forem duas uvas R 16000 O caçaníqueis tem em cada disco no seu desenho original 4 maçãs 3 bananas 2 pêras e 1 uva O que é possível de acontecer com esse apostador nessas condições ganhar ou perder dinheiro Solução Primeiro vamos observar as probabilidades de cada uma das frutas surgir Maçã 410 040 Banana 310 030 Pêra 210 020 Uva 110 ou 010 O caçaníqueis contudo roda sempre com duas frutas Logo vamos calcular duas frutas selecionadas ao mesmo tempo M e M 040 040 016 B e B 030 030 009 P e P 020 020 004 U e U 010 010 001 IV Essas repetições são independentes e excluentes por isso o resultado de uma repetição não influenciará nem será influenciado por outros resultados Probabilidades Distribuições 129 Vale considerar ainda que podem sair frutas diferentes ao rodar o caçaníqueis e a probabilidade de isso acontecer será dada por 1 016 009 004 001 070 Para facilitar vamos estruturar as informações Tabela 9 Probabilidades e ganhos no caçaníqueis segundo as frutas que podem surgir Frutas Paga Recebe x Prob x Ganho médio u MM 80 40 40 016 40 016 R 640 BB 80 80 0 009 0 009 R 000 PP 80 100 20 004 20 004 R 080 UU 80 160 80 001 80 001 R 080 Frutas dif 80 0 80 070 80 070 R 5600 u perda de R 6060 Fonte Elaborada pelo autor A cada R 8000 jogados em cada aposta no caçaníqueis o cassino lucra em média R 6660 Considerando que os caçaníqueis normais têm três discos de frutas aparecendo na tela o ganho aumenta para R 7600 a cada R 8000 apostados Para o jogador há a quase certeza da perda total ou parcial do valor apostado pois a probabilidade de aparecerem frutas diferentes é muito alta 70 Considerações finais Probabilidade é um tema complexo repleto de fórmulas e propriedades mas ao mesmo tempo enriquecedor e importante para a resolução de problemas nas atividades do cotidiano de empresas e pessoas Vimos como as distribuições de Poisson binomiais e esperança matemática são excelentes ferramentas para problemas que envolvem probabilidades Hoje essas ferramentas são utilizadas em testes de mercado para avaliação de novos produtos em análises de gestão da qualidade e diminuição de perdas nas empresas na avaliação de pesquisas médicas e no cotidiano das pessoas como no processo de criação de senhas para movimentação bancária Os estudos de probabilidade também são muito utilizados nas novas tecnologias computacionais auxiliando por exemplo nos estudos de previsões climáticas agricultura e astronomia Aproveite para conhecer mais e aprofundar seus estudos Ampliando seus conhecimentos IEZZI G Fundamentos da matemática elementar São Paulo Saraiva 2013 v 2 Esse livro apresenta uma série de exercícios resolvidos de probabilidade com aplicações inclusive no Microsoft Excel As teorias são escritas em linguagem simples e detalhada sendo uma leitura recomendável para aprofundar o entendimento Continua Para que se tenha um modelo binomial a distribuição do número de sucessos p será o processo composto de uma sequência de n observações independentes com probabilidade constante Matemática aplicada 130 Atividades 1 Uma empreiteira construirá um prédio e faz as seguintes estimativas Tempo de obra Probabilidade 15 dias 030 20 dias 020 28 dias 050 Qual será o prazo médio para a execução dessa obra de acordo com as estimativas apresentadas 2 Um investidor está sendo orientado sobre os cenários do mercado A probabilidade de momento ruim é de 50 e se isso ocorrer o ganho será de 10 Se o mercado se comportar bem e a chance de isso acontecer é de 20 o investidor ganha 15 Se o mercado apresentar resultados ótimos por sua vez o investidor ganha 19 Nessas condições e considerando que qualquer um desses cenários pode ocorrer qual será o resultado esperado de ganho ou média de ganho do investidor 3 Em um programa de TV o jogador tem uma chance de levar o maior prêmio Porém só leva se ao jogar dois dados honestos a soma das faces voltadas para cima for 11 Qual a probabilidade de ganhar o prêmio maior 4 Ainda em relação ao problema anterior se as somas puderem ser 11 ou 5 as chances aumentam para quanto 5 A tabela a seguir apresenta uma distribuição de probabilidade referente a uma variável aleatória y y fx 3 025 6 050 9 025 a Calcule Ex ou u o valor esperado de x b Calcule s2 variância c Calcule s desviopadrão 6 Observe duas carteiras de investimentos apresentadas a seguir Carteira 1 Cenário Retorno x fx Ótimo 15 028 Bom 9 025 Regular 6 035 Ruim 3 012 Px n x p x 1 p nx Probabilidades Distribuições 131 Carteira 2 Cenário Retorno x fx Ótimo 14 030 Bom 10 040 Regular 7 020 Ruim 4 010 a Determine o retorno médio esperado a variância e o desviopadrão de cada carteira b Em qual das carteiras você prefere investir Por quê 7 Para contratar um seguro de vida uma seguradora cobra a taxa de R 150000 e em caso de acidente paga R 3500000 para o segurado A probabilidade de um segurado sofrer acidente é de 4 Quanto ganha em média a seguradora por cada apólice comprada 8 Em cinco jogadas de uma moeda honesta sendo Px 2 a probabilidade de caras esperadas determine P0 P1 9 Em um colégio seis alunos participaram da Olimpíada de Matemática de 2018 e a probabilidade de classificação é de 25 Qual a chance de metade deles se classificar utilizando a distribuição binomial 10 A área de gestão da qualidade de uma empresa de Curitiba seleciona aleatoriamente 10 embalagens de um caminhão com carga muito grande e se sabe por histórico que 20 dessas embalagens apresentam defeitos Das 10 selecionadas qual a probabilidade de exatamente 2 estarem defeituosas 11 Sendo n 7 e p 025 determine o desviopadrão e as características de simetria assimetria 12 No vestibular uma prova se apresenta com 60 questões independentes Cada questão tem 5 alternativas de resposta mas somente uma é correta Um aluno resolve assinalar aleatoriamente as respostas Será que ele consegue tirar nota 5 13 Em uma agência do INSS uma enquete observou que o número médio de segurados atendidos é de 6 por hora Determine a probabilidade de em uma hora qualquer do dia os guichês atenderem 8 segurados 14 Uma pesquisa mostra que um número médio de 6 clientes por hora abastece seus veículos com etanol em determinado posto Perguntase a Qual a chance de 3 clientes pararem na mesma hora b Qual a chance de todos os clientes pararem na mesma hora Ou ainda Cn x p x q nx Na probabilidade a distribuição de Poisson é uma distribuição de variáveis discretas e adequada para descrever situações onde existe uma chance de ocorrência em um intervalo ou campo contínuo geralmente dado por tempo ou área Onde As matrizes com m linhas e n colunas sendo m e n números naturais diferentes de zero são chamadas de matrizes m x n Observe os exemplos Matriz 2 x 4 8 7 9 8 9 6 7 8 Matriz 2 x 2 8 7 9 6 As matrizes são representadas sempre por letras maiúsculas e seus elementos por minúsculas Elas vêm acompanhadas por dois índices numéricos chamados i e j os quais representam respectivamente a linha e a coluna que cada elemento está ocupando Am x n a11 a12 an a21 a22 an a31 a32 an am1 am2 am Cn x n xnx A 4 7 3 5 Observe Am x n Secundária à esquerda i j Principal à direita i j Veja a matriz a seguir A3 1 4 8 6 2 4 3 2 Logo 1 é o elemento da diagonal principal representada por a11 i j 1 8 é o elemento da diagonal secundária então i j n 1 3 1 4 Matriz nula diagonal e identidade A matriz diagonal é do tipo quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal são nulos A2x2 1 0 0 0 Por sua vez também do tipo quadrada na matriz identidade todos os elementos da diagonal principal são representados pelo elemento 1 e os demais são representados por zero Id2x2 1 0 0 0 A distribuição binomial é aplicada em avaliações de questões mercadológicas resultados de ações publicitárias controles de qualidade para grandes amostras entre outras áreas Os parâmetros da distribuição binomial são n e p e logo a média e a variância são obtidas por u np e s2 np 1 p Com base nessa informação vamos agora aplicar os conceitos e a fórmula da distribuição binomial a exercícios práticos No primeiro exemplo resolveremos um problema que envolve vários lançamentos de um dado honesto Propriedades da adição Comutativa matrizes A B B A Associativa matrizes A B C A B C Elemento oposto matrizes A e A A A A 0 Elemento neutro matriz A e 0 A 0 0 A A 823 Subtração de matrizes Ao subtrairmos A B teremos como resultado uma matriz de mesma ordem ou seja mesmo formato Nesse caso é necessário muito cuidado com os sinais negativos na operação Os valores positivos de B ficarão negativos e os negativos em razão do jogo de sinais ficarão positivos A B B B 3 0 2 5 5 4 1 3 3 0 2 5 5 4 1 3 32 05 51 43 1 5 6 7 1 Qual a probabilidade de saírem 3 coroas em 6 lançamentos de uma moeda não viciada Solução 825 Multiplicação entre matrizes Para multiplicar uma matriz não basta multiplicar seus elementos uns pelos outros O produto das matrizes A e B resulta em uma matriz em que cada elemento é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da iésima linha de A por elementos da jésima coluna A Observe a multiplicação das matrizes a seguir A 2 5 B 3 4 1 4 2 5 Primeira linha e primeira coluna 23 6 52 10 Primeira linha e segunda coluna 24 8 55 25 Segunda linha e primeira coluna 13 3 42 8 Segunda linha e segunda coluna 14 4 45 20 A B 16 33 11 24 Agora uma matriz 3 x 2 na resolução do produto de matrizes A B 2 1 3 1 4 5 3 1 6 3 0 1 2311 2116 2413 5331 5136 5433 0311 0116 0413 Assim temos A B igual a 7 4 11 18 13 29 1 6 3 Cn x p x q nx 6050 3 050 63 O próximo passo é inverter B A B A 3 1 4 2 1 1 6 3 5 3 0 1 321540 311341 126530 116331 B A 0 4 32 16 Propriedades da multiplicação de matrizes Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes são aceitas as propriedades apresentadas na sequência Associativa A B C A B C Distributiva A B C A B A C ou A B C A C B C Elemento neutro A Iₙ Iₙ A A sendo I a matriz identidade 83 Determinantes de uma matriz Como visto anteriormente matrizes quadradas são aquelas que têm o mesmo número de linhas e colunas Para essas matrizes é possível associar um número ao qual chamamos de determinante Os determinantes são demasiadamente úteis às ciências Eles ajudam a solucionar problemas que envolvem sistemas lineares geometria analítica equações em projetos de engenharia entre outros Os cálculos de áreas regulares ou irregulares também são facilitados com o uso dos determinantes Nesta seção faremos uma introdução ao tema que será melhor aprofundado no próximo capítulo A notação de um determinante é dada por det ou Det Logo o nosso objetivo é demonstrar o determinante de uma matriz A escrevemos A ou Det A Mas existem outras notações matemáticas aceitas 831 Determinante de primeira ordem Seja uma matriz quadrada de primeira ordem M a₁₁ o seu determinante é o número real a₁₁ Observe os exemplos M 7 det M 7 ou 7 7 M 5 det M 5 ou 5 5 É importante ressaltar que as duas barras verticais que representam o determinante de uma matriz não são a representação de módulo 6 5 4 No caso de uma matriz de segunda ordem observe M a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ Sendo uma matriz de ordem 2 o determinante associado a M por definição é dado por det M a₁₁a₂₂ a₁₂a₂₁ Considere o exemplo apresentado dada a matriz M de ordem 2 o determinante será a diferença subtração do produto da diagonal principal a₁₁ e a₂₂ pelo produto da diagonal secundária a₁₂ e a₂₁ M 8 6 6 5 Det M 85 66 40 36 4 832 Menor complementar É chamado de menor complementar MC quando suprimimos a linha e coluna aᵢⱼ de uma matriz M de ordem n 1 Vejamos um exemplo dada a matriz M M a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ MC₁₁ a₂₂ a₂₂ M a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ MC₁₂ a₂₁ a₂₁ Observe uma matriz de ordem 3 M a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ MC₁₁ a₂₂ a₂₃ a₃₂ a₃₃ Logo a₂₂ a₃₃ a₂₃ a₃₂ MC₁₂ a₁₁ a₁₂ a₃₁ a₃₂ Logo a₂₁ a₃₃ a₂₃ a₃₁ 3 2 1 0125 Observe que na matriz de ordem 3 o desenvolvimento será um pouco maior pois sobrará uma linha com 3 elementos e uma coluna com 3 elementos em cada uma das operações realizadas Perceba ainda que cada resultado determinante obtido será uma matriz 2 x 2 Considerações finais Vimos como o estudo de matrizes e determinantes é interessante e facilitador na resolução de problemas matemáticos Se comparado a outros estudos matemáticos é possível perceber que ele é bastante recente com aproximadamente 150 anos Por outro lado parece ser o campo mais promissor da matemática aplicada pois vários estudiosos continuam ampliando as suas aplicabilidades e grande parte dos modelos computacionais já utiliza as matrizes como base para o desenvolvimento de novos projetos Ampliando seus conhecimentos NUMB3RS Autores Nicolas Falacci e Cheryl Heuton Estados Unidos ParamountCBS 2005 118 episódios Muitas produções de cinema e artes gráficas utilizam matrizes as quais são construídas a partir de softwares que codificam e manipulam pixels com formas geométricas dando movimento cor e textura a cada apresentação Apenas um quadro dos milhares que formam um filme por exemplo compreende milhões de pixels construídos com o auxílio de matrizes Recomendamos portanto a série NUMB3RS que em 118 episódios revela fórmulas e explicações matemáticas de modo didático inclusive com conceitos relacionados às matrizes MICROSOFT OFFICE Centro de Treinamento do Office 365 Disponível em https supportofficecomptbrofficetrainingcenter Acesso em 26 set 2019 Desde setembro de 2018 o Office 365 vem aprimorando as fórmulas de matrizes facilitando sua concepção e resolução Para conhecer um pouco mais essa ferramenta sugerimos acessar a seção de treinamento no site oficial da Microsoft e selecionar Excel Atividades 1 Dadas as matrizes 1 e 2 determine uma nova matriz que resulte da soma dessas duas 1 1 3 4 1 2 5 1 2 2 1 3 3 3 5 2 2 3 1 4 0 2 2 Usando a propriedade do produto resolva a matriz a seguir 9 9 Sistemas lineares 393 060 3 040 6 9 8 7 91 Complemento algébrico e menor complementar Sistemas lineares 145 92 Sistemas lineares Chamamos de linear toda equação apresentada pela forma a1x1 a2x2 a3x3 a4x4 anxn b Essa equação é formada por números reais a1 a2 an chamados de coeficientes das incógnitas São exemplos de equações lineares 5x 7y 6z 9 5x 7j 4t 8 x y 11t 4 Existem porém equações que não são lineares como zt 3y m 15 x2 7m 6d 19 Observe que um termo da segunda equação faz com que ela não seja um modelo linear o termo x2 921 O sistema linear Podemos dizer que o sistema linear é representado por um conjunto de equações lineares que obedecem ao formato a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm Em matemática o sistema linear também pode ser conceituado como um sistema de equações do primeiro grau Isso significa que essas equações possuem apenas polinômios de grau 1 e em cada um deles existe uma incógnita Logo podemos dizer que em um sistema linear não haverá multiplicação de incógnitas apenas soma e subtração Ainda podemos dizer que não há também potência diferente de 0 ou 1 Nesse sentido os métodos explorados a seguir tendem a facilitar o cálculo de sistemas lineares 922 Matrizes associadas a um sistema linear Podemos associar um sistema linear a matrizes Nesse caso cada coeficiente é associado a um termo aij da matriz respeitando a ordem das incógnitas Observe Vídeo 3 2 1 0216 0004096 00743 ou 743 Esse sistema linear resultará em uma matriz incompleta pois não acrescentamos os valores colocados à frente da igualdade apenas os valores que acompanham as incógnitas Observe A 3 2 1 2 1 1 3 1 1 Para transformála em uma matriz completa precisamos acrescentar uma coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema Em uma matriz os termos independentes são aqueles colocados após o sinal de igual e que não estão acompanhados de incógnitas Também podem ser chamados de termos resultantes Após inserirmos a quarta coluna com os termos independentes chamaremos essa matriz de B B 3 2 1 0 2 1 1 8 3 1 1 3 Um sistema em que todos os termos independentes são nulos é chamado de homogêneo Vejamos um exemplo 5x 4y 3z 0 4x 7y 8z 0 x² y 3z 0 Consideramos que esse sistema é homogêneo em razão de todos os termos independentes serem iguais a zero Sistemas lineares 147 Vejamos um sistema mais complexo x y 6 2x 3y 14 x 6 y Substituindo na segunda equação 2x 3y 14 2 6 y 3y 14 Portanto 12 2y 3y 14 resultando em 2y 3y 14 12 Logo y 2 o que permite calcular x y 6 isto é x 2 6 Por fim encontrase x 4 Podemos ter inúmeros pares ordenados resultantes do sistema como 24 São infinitas as soluções de modo que esse é um sistema classificado como possível e indeterminado Agora observe o próximo sistema x y 10 x y 10 Nesse caso ao tentar a resolução eliminamos x e y Logo vemos que nenhum par ordenado satisfaz ao mesmo tempo as equações Esse sistema não tem solução sendo impossível resolvêlo 93 Sistemas normais Quando um sistema apresenta o mesmo número de equações e de incógnitas é chamado de sistema normal desde que seu determinante da matriz incompleta associada seja diferente de zero Portanto se m n e Det A 0 podemos dizer que o sistema é normal 931 Regra de Cramer A regra de Cramer define que todo sistema dito normal terá uma única solução dada por xi Dxi D Nessa fórmula devemos considerar que i pertence a 123 n D Det A que se refere ao determinante da matriz associada ao sistema Dxi determinante obtido pela substituição na matriz incompleta da coluna i pela coluna formada por termos independentes À medida que fazemos a classificação de um sistema observando a forma como se apresenta podemos definir que tipo de método vamos utilizar para resolvêlo Em alguns casos só de observamos a forma como os termos se apresentam já conseguimos definir se ele tem resolução ou não Vídeo b 9 Como vimos de acordo com as classificações de um sistema linear a depender de suas equações e incógnitas ele pode ser de três tipos I Determinado e possível se o determinante A 0 o que resulta em uma solução única Exemplo x y z 3 2x y z 0 3x y 2z 6 m n 3 D 1 1 1 2 1 1 3 1 2 D 0 II Indeterminado e possível possuindo infinitas soluções Exemplo a 5b 2c 1 2a b c 2 x 4b 3c 1 D 0 Da 0 Db 0 Dc 0 III Impossível isto é sem possibilidade de solução D 0 Exemplo a 2b c 1 2a b 3c 4 3a 3b 2c 0 D 1 2 1 2 1 3 3 3 2 D 0 Da 1 2 1 4 1 3 35 0 0 3 2 Sistemas lineares 149 A partir desse conceito definemse algumas propriedades a Ao trocar de posição as equações de um sistema outro sistema equivalente será possível x y 3z 1 x y 5 2 y z 4 3 x y 5 2 y z 4 3 x y 3z 1 será equivalente a b Quando multiplicamos uma ou mais equações de um sistema por uma constante obtemos um sistema equivalente ao anterior x 3y 4 1 x y 0 2 Multiplicando a equação 2 por 4 teremos x 3y 4 4x 4y 0 Logo ambos os sistemas passam a ser equivalentes c Se adicionarmos a uma das equações de um sistema o produto resultante de outra equação desse mesmo sistema por um número constante obteremos um sistema equivalente ao anterior x 3y 5 1 x y 1 2 Ajustamos para x 3y 5 x y 1 x 3y 5 4y 4 4y 4 Podemos observar que os resultados xy representam a solução de ambos os sistemas 95 Sistemas escalonados Vários métodos podem ser utilizados para resolver sistemas lineares com escalonamento Os mais comuns são o método da adição o método da substituição e o método de Cramer o qual é usado geralmente para sistemas maiores tipo 3 x 3 com incógnitas determinadas ou não Para que você possa perceber a diferença entre eles alguns exemplos estão propostos a seguir Vídeo 797 060 7 040 2 Matemática aplicada 150 Método da adição Adicionase membro a membro das equações com o objetivo de calcular uma das incógnitas Exemplo x y 7 x 3y 1 O primeiro passo nessa equação será multiplicar a segunda equação por 1 e assim eliminar a incógnita x É importante ter a percepção de que qualquer operação que consiga anular uma das incógnitas irá facilitar o cálculo x y 7 e x 3y 1 Perceba que x será anulado nessa operação e sobrarão apenas as incógnitas y para serem calculadas 4y 8 y 2 Substituindo o valor de y em uma das equações teremos x y 7 x 2 7 x 5 Portanto x 5 y 2 Método da substituição O primeiro passo é escolher uma das equações dadas para isolar uma das incógnitas e em seguida substituir em outra equação Exemplo x 2y 9 3x y 7 Vamos isolar x portanto x 9 2y Agora vamos substituir na segunda equação 3 9 2y y 7 27 6y y 7 5y 7 27 5y 20 y 4 9 Sistemas lineares 151 Escolhemos então uma das equações para encontrar x x 2y 9 x 2 4 9 x 8 9 x 1 Portanto x 1 y 4 Agora observe o exemplo de um sistema com três equações O fato de o número de equações ser igual ao número de incógnitas facilitará a resolução do sistema Logo m equações n incógnitas 2x 3y z 4 x 2y z 3 3x y 2z 1 Devemos trocar de posição a primeira equação com a segunda para que o primeiro coeficiente x seja igual a 1 x 2y z 3 2x 3y z 4 3x y 2z 1 Agora fazemos a segunda posição pela soma da primeira equação multiplicada por 2 com a segunda equação x 2y z 3 7y 3y 2 3x y 2z 1 2 A seguir trocamos a terceira equação pela soma da primeira multiplicada por 3 com a terceira equação x 2y z 3 7x 3z 2 3 7y 5z 8 898 060 8 040 1 Matemática aplicada 152 Por fim anulamos os coeficientes da segunda incógnita a partir da terceira equação e trocamos a terceira equação pela soma da segunda multiplicada por 1 com a terceira equação x 2y z 3 7x 3z 2 2z 6 1 Com isso já encontramos o valor de z na última equação que é 3 Agora basta substituílo para encontrar y 2z 6 logo z 3 7y 3 3 2 7y 9 2 y 1 Por fim como temos y acharemos o valor de x x 2 1 3 3 x 2 3 3 x 2 Portanto x 2 y 1 e z 3 Vamos avançar agora para um sistema mais complexo com três equações e quatro incógnitas Dado o sistema a b c d 6 2a b 2c d 1 a 2b c 2d 3 Observe que o número de equações é menor que o número de incógnitas Logo m n Anulamos todos os coeficientes da primeira incógnita a partir da segunda equação Então trocamos a segunda equação pela soma do produto da primeira equação por 2 com a segunda equação Vejamos a b c d 6 2a b 2c d 1 a 2b c 2d 3 a b c d 6 b 4c 3d 13 a 2b c 2d 3 2 9 Sistemas lineares 153 Trocamos a terceira equação pela soma do produto da primeira equação por 1 com a terceira equação a b c d 6 b 4c 3d 13 a 2b c 2d 3 a b c d 6 b 4c 3d 13 3b 0d 3d 9 1 Na sequência anulamos os coeficientes da segunda incógnita a partir da terceira equação Trocamos a terceira equação pela soma do produto da segunda equação por 3 com a terceira equação a b c d 6 b 4c 3d 13 3b 0d c 9 a b c 3d 6 y 4c 3d 13 12c 6d 30 3 Dessa forma está feito o escalonamento do sistema Como m n sabemos que o sistema é possível e indeterminado por isso admitemse infinitas soluções Chamamos de grau de indeterminação GI a diferença entre o número de incógnitas e o de equações de um sistema nessas condições GI n m 4 3 1 Se o grau de indeterminação é 1 atribuímos a uma das incógnitas um valor ᾱ supostamente conhecido e resolvemos o sistema em função desse valor Sendo d ᾱ substituindo esse valor na terceira equação por exemplo teremos 12 6 ᾱ ᾱ ᾱ ᾱ 12 30 6 30 6 2 5 2 c c c 30 Verificados os valores c e d podemos substituílos na segunda equação b b b b b 4 5 2 3 13 10 2 3 13 10 3 3 13 ᾱ ᾱ ᾱ ᾱ ᾱ ᾱ ᾱ 999 060 9 040 0 36 002799 016 Agora que já conhecemos b c e d podemos substituílos na primeira equação para encontrar o valor de a a a 3 5 a 2 a 6 2a 2a 6 5 a 2a 12 2a 2a 11 12 2a 1 a a 1 a 2 Os sistemas lineares podem ser ainda maiores como 4 x 4 5 x 5 etc Porém quanto maiores mais complexos são em suas resoluções Atualmente temos ferramentas computacionais que facilitam o trabalho de resolução de grandes sistemas Para entender melhor esse método vejamos alguns exemplos resolvidos 1 Escalone e resolva os seguintes sistemas lineares a Sistema linear básico tipo 2 x 2 x 3y 0 3x 5y 0 Solução Multiplicamos a primeira equação por 3 3x 9y 0 3x 5y 0 4y 0 Substituindo na primeira equação x 3y 0 x 3 4 0 x 12 0 x 12 S 120 b Sistema de 3 equações e 3 incógnitas 3 x 3 a 2b c 9 2a b c 3 3a b 2c 4 Solução a 2b c 9 2a b c 3 multiplicamos por 2 3a b 2c 4 multiplicamos por 3 a 2b c 9 3b 3c 15 7b 5c 31 Podemos simplificar para reduzir os elementos sem modificar o valor final a 2b c 9 3b 3c 15 divisível por 3 7b 5c 31 a 2b c 9 a 2b c 9 b c 5 7b 5c 31 c 2 Substituindo na primeira e na segunda colunas teremos b 3 e a 1 portanto S 123 Agora para facilitar a compreensão vamos proceder com a aplicação da regra de Cramer determinando x e y na equação x 2y 9 3x y 7 Tornando esse sistema uma matriz teremos A B C 1 2 x 9 3 1 y 7 9 00279 016 x detAₓ detA y detAᵧ detA Calculando o determinante da matriz incompleta teremos detA 1 2 1123 5 Para obter a matriz Aₓ é necessário substituir a primeira coluna da matriz A na qual estão os coeficientes de x pela coluna da matriz C Aₓ 9 2 9127 5 7 1 Agora façamos o mesmo com a matriz Aᵧ substituindo a segunda coluna da matriz A Aᵧ 1 9 1793 20 3 7 x detAₓ 5 5 detA detA 5 1 y detAᵧ 5 20 1 4 Os exercícios apresentados foram resolvidos de forma mais fácil quando lançamos mão do uso de determinantes Os determinantes são uma importante propriedade das matrizes e têm especial relevância para os conceitos apresentados até então 1 00100 1 02316 ou 2316 c Ampliando seus conhecimentos SILVEIRA J F Porto da Surgimento da teoria das matrizes UFRGS Disponível em wwwmatufrgsbrportosilpassa3bhtml Acesso em 3 out 2019 O texto indicado elucida o surgimento e a história da teoria das matrizes Tratase de um portal da UFRGS que disponibiliza também outros textos pertinentes sobre o assunto EXCEL trabalhando com matrizes 2015 1 vídeo 19 min Publicado pelo canal Wesley Matos Excel Man Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvnJ1t8qbVA9s Acesso em 3 out 2019 Vale a pena conhecer as videoaulas sobre matrizes e determinantes desenvolvidas pelo professor de computação gráfica Wesley Matos Com exemplos práticos o professor apresenta o passo a passo da construção de matrizes e determinantes utilizando a ferramenta Microsoft Excel Atividades 1 Obtenha matriz transposta B¹ a partir da matriz B B 1 2 4 1 0 3 2 Obtenha a matriz oposta de A A 1 4 4 1 3 Faça a adição das matrizes M e N e encontre o resultado chamado matriz P M N 3 3 6 2 2 5 1 4 4 Dadas as matrizes a seguir obtenha A B A B 6 3 1 2 3 4 7 0 5 Resolva a matriz B x A isto é multiplique um número inteiro por uma matriz B 3 8 7 6 5 Matemática aplicada 158 6 Determine o conjuntosolução do sistema linear a seguir 3x y 13 x 2y 16 7 Usando o método da substituição determine o conjuntosolução do sistema a seguir 3x y 11 x 2y 7 8 Usando a resolução por meio de determinantes com a regra de Cramer resolva o mesmo sistema anterior 3x y 11 x 2y 7 9 Determine o conjuntosolução do sistema 3 x 3 a seguir utilizando o método da adição x y z 9 3x 2y z 4 2x 3y 2z 3 10 Determine o conjuntosolução do sistema 3 x 3 por escalonamento utilizando a regra de Cramer x 2y z 0 2x y 3 1 x 3y z 2 9 10 Funções polinomiais limites e derivadas Este capítulo está organizado em três partes A primeira tratará das funções polinomiais que é um prérequisito de précálculo para desenvolvermos as duas etapas finais denominadas limites e derivadas Nosso objetivo será descrever o comportamento de uma ou mais funções à medida que seu argumento se aproxima de determinado valor Entendese por argumento o ângulo formado pelo eixo positivo do plano cartesiano e a função Na segunda parte deste capítulo veremos técnicas para o cálculo de limites e propriedades relevantes Finalmente na terceira parte chegaremos às derivadas É válido observar que o conceito de derivadas relacionase à taxa de variação instantânea de uma função e que na prática está muito presente no cotidiano das pessoas e empresas As técnicas de derivação possibilitam por exemplo a análise da taxa de crescimento de uma população a variação de custos e demandas em uma empresa Logo os três temas são fundamentais e aplicáveis 101 Funções polinomiais Observe a soma an xn an 1xn 1 a0 Cada monômio dessa soma é um termo do polinômio Normalmente a forma padronizada de escrever uma função polinomial é com os seus termos em graus decrescentes Na fórmula observamos ainda que as constantes an an1 a0 são os coeficientes do polinômio Chamamos o termo an xn de central ou principal e a0 de termo constante ou independente É importante saber que n é sempre um número inteiro e não negativo Podemos dizer que toda função polinomial é definida e contínua para os números reais As funções polinomiais ainda podem ser classificadas e caracterizadas de acordo com o seu grau que corresponderá ao valor do maior expoente da variável do polinômio São chamadas de funções de grau 1 ou n 1 aquelas dadas por Px a0x0 a1x1 que será igual a a0 a1x A função fx 4x 1 por exemplo é polinomial de grau 1 dada por dois monômios Nas funções polinomiais de grau 2 a sua representação é parabólica e o termo a sempre estará ao quadrado A função fx 5x2 4x 2 por exemplo é polinomial de grau 2 e representada por três monômios Vejamos funções polinomiais de outros graus fx 10 Nesse caso não há variável mas podemos considerála com grau 0 Logo é uma função constante Vídeo 9060 0 040 9 1 1 0001007 1007 Matemática aplicada 160 fx 0 Não há grau As funções polinomiais têm múltiplas aplicações das mais simples utilizadas em química física biologia e ciências sociais às mais complexas usadas na engenharia no cálculo numérico e na economia Além disso podem ser representadas graficamente Avaliemos alguns exemplos 1 O gráfico de um grau de um polinômio ou função linear é dado por fx a0 a1x em que 1 0 É uma linha oblíqua com coeficiente linear igual a 1 e coeficiente angular igual a1 Gráfico 1 Função de grau 1 dada por y 2x 1 0 0 2 4 6 8 10 1 2 3 4 5 x y 0 1 1 3 2 5 3 7 4 9 Fonte Elaborado pelo autor 2 O gráfico de um polinômio de grau 2 dado por y x2 x 2 define uma parábola Gráfico 2 Função de grau 2 dada por y x2 x 2 2 2 0 0 1 2 3 4 5 2 1 3 4 4 x y 2 0 1 2 0 2 1 0 2 4 Fonte Elaborado pelo autor 3 O gráfico do polinômio de grau 3 representará sempre uma curva cúbica Gráfico 3 Função de grau 3 dada por y 4x3 3x2 5x d Funções polinomiais limites e derivadas 161 4 2 2 4 6 0 2 4 4 2 x y 2 10 1 3 0 0 1 2 2 34 Fonte Elaborado pelo autor Podemos observar que os Gráficos 1 2 e 3 são totalmente distintos dependendo do grau da função A partir do grau das equações polinomiais também definimos quantas raízes tem em cada uma delas Vejamos outros exemplos x 12 0 logo x 1 x 1 0 Portanto admite duas raízes reais iguais a 1 x 15 0 logo x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 Então temos cinco raízes 102 Multiplicidade de uma raiz Nas equações algébricas as raízes podem ser todas distintas ou não Dependerá de como cada equação se apresenta A multiplicidade define o grau da junção dos termos comuns Exemplo 1 Na equação x 42 x 33 x 1 0 teremos x 4 x 4 logo 4 é uma raiz dupla ou de multiplicidade 2 x 3 x 3 x 3 então 3 é uma raiz tripla ou de multiplicidade 3 x 1 portanto 1 é uma raiz simples ou de multiplicidade 1 Exemplo 2 Vejamos a equação px 8 x 4 x 7 x 5 x 4 x 7 x 4 8x 32 0 8x 32 Vídeo 9 Matemática aplicada 162 Logo x 4 x 7 0 portanto x 7 x 5 0 portanto x 5 x 4 0 portanto x 4 x 7 0 portanto x 7 x 4 0 portanto x 4 Assim px é o produto da constante 8 por 6 fatores de primeiro grau Podemos dizer que é de sexto grau e as raízes são 4 7 5 4 7 e 4 Em que 4 é raiz tripla ou de multiplicidade 3 7 é raiz dupla ou de multiplicidade 2 5 é raiz simples ou de multiplicidade 1 Então px 8 x 43 x 72 x 5 Vamos aplicar esses novos conhecimentos à resolução dos exercícios a seguir 1 Uma pessoa vai viajar para os Estados Unidos e está avaliando três planos de internet para escolher o mais viável Plano 1 R 3500 de taxa fixa R 050 por hora utilizada efetivamente Plano 2 R 2000 de taxa fixa R 190 por hora utilizada efetivamente Plano 3 sem custo de taxa fixa R 395 por hora efetivamente utilizada Qual será o plano mais interessante para uma pessoa que utilizará 7 horas E se o utilizar acima de 30 horas esse plano continuará interessante Solução Podemos definir as funções de cada plano utilizando as funções polinomiais de primeiro grau Primeiro para 7 horas Plano 1 R 050 7 R 3500 R 3850 Plano 2 R 190 7 R 2000 R 3330 Plano 3 R 390 7 R 000 R 2730 Agora para 30 horas Plano 1 R 050 30 R 3500 R 5000 Plano 2 R 190 30 R 2000 R 7700 Plano 3 R 390 30 R 000 R 11700 0060 9 040 0 1 1 0000261 00262 Funções polinomiais limites e derivadas 163 Se a pessoa utilizar apenas 7 horas o plano 3 é mais interessante Mas em um tempo maior como 30 horas o plano 1 mesmo com uma taxa adicional é muito melhor Logo podemos dizer que o plano 3 é melhor somente em curtos períodos 2 Defina em função de m o grau de px m 2 x4 m2 4 x5 3x2 1 Solução O monômio com maior grau é o que tem o elemento x5 Logo para o grau dessa função ser igual a 5 m2 4 deve ser diferente de zero m2 4 será igual a zero quando m2 4 logo m 2 Quando m é igual a 2 o grau de px 4 Quando m for igual a 2 o primeiro e segundo termo somem então o termo que terá maior grau será 3x2 Logo o grau de px 2 E se m for de 2 e 2 o m2 22 será 0 O grau de px então será igual a 5 3 Sendo a equação x3 x2 x 130 0 determine a multiplicidade da raiz x 1 Solução Px x2x 1 1x 130 Px x 1 x2 130 Px x 130 x2 130 0 Como x 130 0 temos que 1 é raiz de multiplicidade 30 É válido ressaltar que atualmente existem tecnologias avançadas para observar o comportamento de várias funções polinomiais simultaneamente e fazer boas aproximações entre elas Isso possibilita agilidade na resolução de problemas com maior grau de precisão especialmente em engenharias e na construção civil 103 Princípio da indução finita Vamos iniciar esse assunto conhecendo uma propriedade curiosa sobre os números ímpares Se somarmos apenas um número ímpar por exemplo o resultado da soma será ele mesmo isto é 1 1 Se somarmos os dois primeiros números ímpares será 1 3 4 os três primeiros 1 3 5 9 por fim os quatro primeiros ímpares 1 3 5 7 16 A essa altura podemos observar um padrão de construção É bem provável que a regra a balizar essa construção descreva que a soma dos n primeiros números ímpares será igual a n2 Para validarmos essa regra contudo teríamos que testála para todos os naturais o que seria praticamente impossível Para testar esse padrão há várias maneiras A mais comum que conheceremos a seguir chamase princípio da indução finita Vídeo Base para n 1 111211 6 1 Base n 1 Funções polinomiais limites e derivadas 167 Para praticar um pouco mais esses conceitos vamos analisar alguns exercícios resolvidos por indução finita a seguir 1 Provar por indução matemática que 1 3 5 2n 1 n n 1 Solução O primeiro passo é definir a base e a hipótese que queremos demonstrar Base para n 1 então 1 12 O passo base é verdadeiro Hipótese sendo a fórmula verdadeira para n k k 1 então deve ser verdadeira para n k 1 Ou seja 1 3 5 2k 1 k k 1 Devese mostrar que 1 3 5 2k 1 2k 1 k 12 k 1 Portanto sabese que 1 3 5 2k 1 2k 1 k2 2k 1 k 12 2 Provar por indução matemática que 2 1 2 2 2 3 2n n2 n sendo n 1 Solução Base para n 1 então 2 1 2 e 12 1 2 Logo verdadeira Hipótese 2 1 2 2 2 3 2k k2 k k k 1 com k 1 Queremos mostrar que 2 1 2 2 2k 2k 1 k 12 k 1 k 1 k 1 1 k 1 k 2 sendo k 1 Portanto sabese que 2 1 2 2 2k 2k 1 kk 1 2k 1 k2 k 2k 2 k2 3k 2 k 1 k 2 Vimos como as induções matemáticas são importantes para testar raciocínios lógicos na avaliação das proposições Uma indução é usada portanto para demonstrar a verdade de um número infinito de proposições Matemática aplicada 168 104 Limites Para iniciar o entendimento de limites é necessária uma compreensão prévia do conteúdo de funções que são a base para esse estudo Os limites são muito utilizados em geografia cálculos populacionais de território computação engenharia economia etc de modo a serem um conceito de importante domínio Observe a função A fx x2 Gráfico 4 Representação da função parábola fx x2 2 0 0 0 1 1 1 2 1 3 3 5 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 4 4 4 4 9 9 eixo y eixo x Fonte Elaborado pelo autor Essa parábola está representando a área da função Agora vamos atribuir para x o valor 3 e calculando o resultado teremos f3 32 9 A seguir a parábola representada com as novas informações Gráfico 5 Parábola fx x2 delimitada por x 3 2 0 0 0 1 1 1 2 1 3 3 5 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 4 4 4 4 9 9 eixo y eixo x Fonte Elaborado pelo autor Vídeo Funções polinomiais limites e derivadas 169 Observe que quando x assume o valor 3 no eixo y o valor correspondente é 9 Agora já temos condições de entrar na ideia intuitiva de limites 1041 Ideia intuitiva de limites Na introdução das ideias de limites será possível observar que não nos interessa a função quando x é igual a 3 Poderá haver situações em que a função não estará nem definida quando x for igual a 3 O que nos interessa em relação a limites é quando x está na vizinhança daquele valor 3 do gráfico isto é os valores de x se aproximando do valor 3 a partir dos valores menores que 3 e dos valores maiores que 3 Com isso poderemos perceber para qual valor a tendência dessa função se direciona Esse valor que a função tende a assumir é chamado limite Observando nosso próximo gráfico vamos imaginar valores de x vindo da esquerda Note que esses valores de x vão determinar novas áreas da função Quanto mais esse valor de x se aproximar de 3 o valor da nova área da função ficará mais próxima de 9 e isso irá acontecer a cada vez que x se aproximar de 3 Gráfico 6 Aproximações para fx x2 pela esquerda 2 0 0 0 1 1 1 2 1 3 3 5 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 4 4 4 4 9 9 eixo y eixo x Fonte Elaborado pelo autor Você percebeu que essas aproximações foram feitas a partir de valores menores que 3 ou pela esquerda mas essa aproximação também poderá se dar pela direita pois podemos ter valores de x que são maiores que 3 mas que irão cada vez mais se aproximar de 3 Observando o gráfico novamente vamos perceber uma área maior partindo um pouquinho acima de 3 até acima de 9 no eixo y Lim 3 fx lim 2 gx 3 lim fx 2 lim gx x 3 x 3 x 3 Agora basta substituir os limites 3 9 2 4 27 8 35 b lim x 3 fx gx Solução Observe que no radicando temos duas funções fx e gx Logo se fx 9 e gx 4 temos limfx gx 9 4 36 6 x 3 x 3 c lim fx gx Solução Temos duas funções sendo divididas e modulares Logo lim fx gx x 3 Como temos o limite relacionado a uma fração ele será o limite tanto da função quanto do denominador Vejamos na forma de fração para facilitar o entendimento lim fx lim gx 9 4 9 4 x 3 x 3 2 Resolve a função lim t 2 4t² 5t 7 Solução Primeiramente vamos separar em três limites lim t 2 4t² lim t 2 5t lim t 2 7 portanto 4 lim t² 5 lim t 7 4 lim t² 5 lim t 7 4 2² 5 2 7 19 3 Resolve a função lim x 3 x⁴ x² 1 2² 5 Solução Como é uma função polinomial simples basta substituír a variável x pelo limite x2 lim x2 fracx4x21225 frac164145 frac199 4 Resolve a função lim x2 sqrtfracy25y3y21 Solução fracsqrt325cdot33321 sqrtfrac915391 fracsqrt278 frac32 1043 Limites laterais Continuando os estudos de limites vamos ver agora especificamente os limites laterais Consideremos fx definida em um intervalo aberto a b onde a b Se fx se aproximar cada vez mais de L à medida que x se aproximar de a nesse intervalo dizemos que L é o limite lateral à direita da função f Assim escrevemos lim xa fx L Usaremos x a para indicar que os valores de x são sempre maiores que a Gráfico 8 Representação de limites laterais Fonte Elaborado pelo autor Observamos que o Gráfico 8 mostra função na qual a tem valor menor que b e essa função está definida apenas para esses valores de x Esses valores porém não são nem a nem b Por essa razão o intervalo é aberto Vamos imaginar que tomando um valor de x entre a e b e substituindo o valor na função f encontraremos a imagem da função Funções polinomiais limites e derivadas 177 1044 Limites no infinito Vamos analisar o comportamento da função fx 1 1 x Atribuindo valores para x encontraremos os valores fx Veja as duas representações a seguir para x tendendo a infinito positivo e x tendendo para infinito negativo Tabela 1 Representações de x tendendo a e a a Representação x x f x 1 0 2 1 2 3 2 3 4 3 4 100 99 100 1000 999 1 000 b Representação x x f x 1 2 2 3 2 3 4 3 4 5 4 100 101 100 1000 1 001 1 000 Fonte Elaborada pelo autor Observe que nas representações tendendo a mais infinito os valores de x ficam cada vez maiores À medida que o valor de x tende a ir a mais infinito fx tende ao valor 1 Cada vez mais o valor do numerador se aproxima do denominador Se observarmos os valores de x tendendo a menos infinito observaremos que ao usarmos valores suficientemente grandes porém negativos também fx tenderá ao valor 1 Graficamente temos a seguinte representação Gráfico 14 Observação para x e x x y 1 1 Fonte Elaborado pelo autor Matemática aplicada 178 Logo podemos chegar a algumas conclusões Dizemos que fx possui limite L quando x tende a mais infinito e à medida que x se distancia da origem no sentido positivo fx fica cada vez mais próximo de L Entendemos que fx possui limite L quando x tende a menos infinito e à medida que x se distancia da origem no sentido negativo fx também ficará cada vez mais próximo de L Para mais clareza analisemos a percepção gráfica de um limite no infinito Gráfico 15 Representação da função gx 2 com limites x e x y x gx 2 2 Fonte Elaborado pelo autor No Gráfico 15 vemos que à medida que o x caminha para mais infinito ou seja tende ao infinito pela direita mais a função se aproximará do valor 2 Logo podemos dizer o limite da função gx 2 quando x tende a Observando o contrário vemos que o valor de x tende a menos infinito se o seu limite se aproximar do valor 2 105 Derivadas Segundo Boyer e Merzbach em sua obra História da matemática 2012 Pierre de Fermat cientista francês magistrado produziu ensaios que até hoje são muito relevantes Fermat um dos pioneiros no estudo das funções demonstrou as limitações do conceito da reta tangente em uma curva como aquela que encontrava a curva em um único ponto Na mesma época outros matemáticos como Gotfried Leibniz e Isaac Newton desenvolviam estudos paralelos que juntos deram origem às derivadas Para que possamos entender os conceitos de derivadas é preciso voltar a alguns prérequisitos importantes 1051 Coeficientes da reta Quando representamos uma função linear graficamente é possível obter dois coeficientes importantes o coeficiente angular e o coeficiente linear No estudo de funções vimos que os coeficientes permitem representar com muita precisão a função no plano gráfico Vídeo Matemática aplicada 188 10563 Constante multiplicando função A função fx obtida com a multiplicação da função ux pela constante k será fx k ux Ou de modo simplificado y k u sendo que ux é derivável então f x k u x Exemplo Dada a função fx 8 ux em que ux 4x 3 obtenha f x Solução Para ux 4x 3 a derivada é u x 4 Portanto f x 8 ux f x 8 4 32 Podemos confirmar a validade desse resultado fazendo primeiro a multiplicação indicada para obter fx e em seguida derivando a função 8 fx 8 u x 8 4x 3 fx 32x 24 logo f x 32 10564 Soma ou diferença de funções Dada a função fx definida a partir da soma das funções ux e vx logo fx ux vx Então a derivada de fx será dada por f x u x v x De modo simplificado temos y u v E teremos y u v De modo análogo fazemos o mesmo para a subtração bastando apenas a mudança de sinal Por exemplo Dada a função ux vx em que ux 4x 5 e vx 8x 12 obtemos f x fazendo ux 4x 5 então u x 4 e vx 8x 12 de modo que v x 8 Logo u x v x 4 8 12 Para verificar a validade do resultado calculamos 4x 5 8x 12 teremos fx 12x 17 derivando f x 12 10565 Potência de x Dada a função fx xn em que n é um número real sua derivada será f x n xn 1 Ou ainda de modo simplificado y xn n xn1 Exemplos a fx x4 f x 4 x41 4x3 b fx 18x2 f x 18 2x21 36x Matemática aplicada 192 d q 2p4 12p3 5p2 8p 7 Solução q 4 2 p41 3 12p31 2 5 p21 1 8 p11 0 q 8p3 36p2 10p 0 e y x Solução y 1 x11 y 1 x0 y 1 f y 6 ux em que ux 4x 4 Solução Se y 6 ux então y 6 u x Para ux 4x 4 teremos u x 4 Portanto y 7 4 28 g Dada a função fx ux vx em que ux 7x 6 e vx 8x 12 obtenha a derivada Solução u 7x 6 u 7 v 8x 12 v 8 Logo y u x v x 7 8 15 h Dada a função fx ux vx em que ux x 8 e vx 5x obtenha a derivada u x 8 u 1 v 5x v1 5 Logo fx u x v x 1 5 4 106 Aplicações das derivadas às atividades econômicas É importante compreender como o estudo das derivadas pode contribuir para ampliar o entendimento e a aplicabilidade na solução de questões comerciais econômicas e administrativas Custo marginal receita e lucro marginal por exemplo são conceitos utilizados o tempo todo pelas empresas na adequação de suas atividades Vídeo Funções polinomiais limites e derivadas 193 1061 Funções marginais Entre as funções marginais mais importantes estão o custo e custo médio marginal a receita marginal e o lucro marginal O significado de marginal pode ser estendido a outras funções como produção marginal e produção média marginal Para entender melhor esse conceito vejamos o exemplo Em uma fábrica de resistores na produção de q unidades de um certo resistor industrial elétrico o custo em reais foi avaliado e se estabeleceu que C 01q3 20q2 1450q 9500 Para produzir 100 resistores qual será o custo de produção E o custo na produção do aparelho 101 Qual será também a taxa de variação do custo em relação à quantidade quando q 100 Determinando o custo quando são produzidos 100 resistores q 100 C100 01 1003 20 1002 1450 100 9500 C100 100000 200000 145000 9500 C100 45450000 Calculamos agora o custo de produção do resistor 101 q 101 C101 01 1013 20 1012 1450 101 9500 C101 10303010 204020 146450 9500 C101 46305000 A diferença entre os custos é de R 855000 Para determinar a taxa de variação do custo em relação à quantidade quando q 100 é importante lembrar que a taxa de variação no ponto q 100 é sinônimo da derivada da função custo C q 01q3 20q2 1450q 9500 C q 01 3q2 2 20q 1450 C q 03q2 40q 1450 q 100 C q 03 1002 40 100 1450 C q 845000 A taxa de variação do custo em q 100 é de R 845000unidade Lembrando que o custo de fabricação do resistor 101 foi de R 855000 Há uma diferença pequena na taxa de variação de R 10000 Não é casual a proximidade entre os valores 8550 e 8450 reais Existe um vínculo entre o custo de fabricação da unidade 101 e a taxa de variação em q 100 Se dividirmos a diferença dos custos pela diferença das quantidades que nesse caso é de 1 unidade temos a taxa de variação média do custo em relação à quantidade no intervalo de 100 a 101 Funções polinomiais limites e derivadas 195 c Determine a receita marginal para 300 unidades Rmq 1 300 500 Rmq 20000 3 Dada a função custo igual a 80q 28000 e a função receita 04q2 400q determine a função lucro o lucro marginal e o lucro para uma produção de 200 unidades Lq RT CT Lq 04q2 400q 80q 28000 Lq 04q2 400q 80q 28000 Lq 04q2 320q 28000 Lmq 04 2q 320 Lmq 08q 320 O lucro marginal para 200 unidades será Lm200 08 200 320 Lm200 160 320 Lm200 16000 Os exercícios práticos desenvolvidos revelam como as derivadas apresentam grande aplicabilidade em diferentes áreas como engenharia astrofísica indústria entre outras sendo um domínio relevante à formação do matemático Considerações finais Este capítulo contemplou três assuntos muito complexos e interligados função polinomial limites e derivadas O tema é amplo sendo possível avançar mais nas particularidades e nos casos que o envolvem Os conceitos elementares apresentados e suas devidas aplicações servem como estímulo para que você avance nos estudos futuros Ampliando seus conhecimentos Leithold L Matemática aplicada à economia e administração São Paulo Harbra 1998 Há muita bibliografia interessante para os conteúdos deste capítulo mas para ajudálo a se aprofundar no tema sugerimos especialmente a leitura dessa obra e de outras traduzidas do matemático Louis Leithold Atividades 1 Sejam fx 2x 3 gx 4 x e hx x2 x 1 determine px fx gx hx 2 Sejam fx e gx tais que fx ax2 b 1 x 3 e gx bx2 a 2 x 1 determine a e b de modo que fx gx seja independente de x 198 Matemática aplicada c 20 8 4x 20 160 4x 20 4x 140 x 35 4 498 2x 634 2x 634 498 2x 136 portanto x 68 Logo 498 68 R 56600 5 3x x João 3x e Pedro x 4x 64 logo x 16 Portanto Pedro tem 16 anos e João tem 48 anos 6 a x y 14 2x 3y 48 Podemos optar por eliminar x então multiplicamos toda a primeira linha por 2 2x 2y 28 Isso resultará em 2x 3y 48 y 20 Substituindo em qualquer equação x y 14 portanto x 20 14 logo x 6 b Podemos fazer a letra b pelo modelo da substituição x 10 y Logo 3 10 y 4y 51 Substituindo uma das equações 30 3y 4y 51 7y 51 30 x 10 7 7y 21 x 17 y 7 c 3 6x 2x 2 x 7 6x 2x x 3 7 2 9x 2 x 2 9 Gabarito 201 80 x x 60 x 100 140 2x x 100 x 100 140 x 40 x 40 O percentual de animais vacinados contra as duas doenças é de 40 2 Votos recebidos pelo candidato L 100 20 120 Votos recebidos pelo candidato M 100 80 180 Votos recebidos pelo candidato N 80 20 100 3 U 0 1 2 3 4 5 6 A 1 2 B 2 3 4 C 4 5 U A B U C U A 0 1 2 3 4 5 6 1 2 0 3 4 5 6 B U C 2 3 4 U 4 5 2 3 4 5 U A B U C 0 3 4 5 6 2 3 4 5 U A B U C 3 4 5 4 O conjunto A B é formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B ou seja A B 1 Logo não é um conjunto vazio 5 Os elementos do conjunto A B são aqueles que pertencem ao conjunto A ou pertencem ao conjunto B sem a necessidade de repetição A B 1 2 3 4 5 3 Funções gráficos e aplicações 1 y x 2 x y 0 0 2 2 1 1 2 3 2 2 2 4 3 3 2 5 4 4 2 6 5 5 2 7 202 Matemática aplicada Esses dados resultam no gráfico 7 5 4 2 0 0 1 3 y x 2 R2 1 Y X Y 4 5 2 S ax b S 15x 1000 Logo 1915 15x 1000 915 15x x 61 planos 3 Q Custo Custo médio unitário Custo fixo unitário Custos variáveis unitários 0 40000 100 100000 1000 100 10 400 100 4 10 4 6 200 180000 1800 200 8 400 200 2 8 2 6 300 210000 2100 300 7 400 300 133 7 133 567 400 240000 2400 400 6 400 400 1 6 1 5 a Custo médio por unidade 1000 800 700 600 b Custo fixo total 40000 c Custo fixo unitário 400 200 133 100 d Custo variável unitário 600 600 567 500 Gabarito 203 4 a CTx 28 x 15000 CT 28500 15000 CT R 2900000 b RTx 88 x RT 88 500 RT R 4400000 c LTx RTx CTx Lt 88 x 28 x 15000 Lt 88 x 28x 15000 Lt 60 x 15000 Lt 60 500 15000 Lt R 1500000 d RTx CTx 88 x 28 x 15000 88 x 28 x 15000 60 x 15000 x 250 unidades e LTx 60 x 15000 40000 60 x 15000 40000 15 000 60 x 55000 60 x x aproximadamente 917 unidades 5 a Média x 6 Média y 46 b Σx Σy Σx2 Σxy 2 1 4 2 5 2 25 10 6 5 36 30 8 7 64 56 9 8 81 72 30 23 210 170 206 Matemática aplicada 5 Podemos dizer que P ft portanto P b at Com taxa de crescimento i 275 vamos calcular Base 1 i 100 a 1 2 75 100 a 10275 Então a função será P 480000 10275t 6 V b at a 1 12 5 100 a 0875 Logo V 42000 0875x 7 a log16 64 x 64 16x 26 24x 6 4x x 64 x 32 b log5 0000064 x 0000064 5x 64 1 000 000 5x 2 10 6 6 5x 2106 5x 156 5x 56 5x x 6 Gabarito 207 c log 49 3 7 x 713 72 x 713 72x 13 2x x 16 8 log5 x 2 logo x 52 que é igual a 25 log10 y 4 logo y 104 que é igual a 10000 Substituindo esses valores na expressão apresentada temos k log20 10 000 25 k log20 400 k log20 202 k 2 log20 20 k 2 9 f81 log3 x 81 3k 81 3k 34 Logo k 4 10 f6 2 log6 62 f6 2 2 log6 6 f6 4 11 C 1 it M C 1 it 2C 1 it 2 1 008t 2 108t 2 Log 108t log 2 t log 108 log 2 t log 2 log 108 t 0301 0033 t 912 ou aproximadamente 9 anos 208 Matemática aplicada 12 Como a base é 5 1 a função é crescente Existe log a b somente se a e b 0 e a 1 3x 6 0 3x 6 x 2 Logo podemos dizer que Df x R x 2 13 x y² x y 2 x y y x A função fx x² terá inversa f 1x x 14 x 2y 3 3y 5 x 3y 5 2y 3 3yx 5x 2y 3 3yx 2y 5x 3 y 3x 2 5x 3 y 5x 3 3x 2 para x 23 5 Sequências e progressões 1 n2 7n Dois primeiros termos 22 7 2 4 14 18 Três primeiros termos 32 7 3 9 21 30 Logo 30 18 12 Esse é o terceiro termo da sequência 2 Observe que sempre diminui 4 para um e aumenta 9 para outro 32 4 28 28 9 37 37 4 33 33 9 42 42 4 38 Gabarito 209 3 A B C D E F G H 8 A soma dos três espaços consecutivos é igual a 15 1 8 B C 15 2 B C D 15 Desenvolvendo a expressão 2 menos a expressão 1 B C D 8 B C 20 20 D 8 0 D 8 8 E F 20 E F G 20 E F G 8 E F 20 20 G 8 0 G 8 4 c15 a15 b16 Logo 2 15 1 2 16 992 5 n 1 a2 a1 7 1 a2 4 7 11 n 2 a3 a2 7 2 a3 11 14 25 n 3 a4 a3 7 3 a4 25 21 46 210 Matemática aplicada 6 a4 20 r 4 a7 a4 3r a7 20 3 4 a7 20 12 a7 8 7 a1 3 r a1 a2 6 3 3 a70 a1 69 r a70 3 69 3 3 210 S70 3 210 35 S70 213 35 7455 8 2 18 a1 2 an a5 18 a5 a1 4r 18 2 4r 18 2 4r 16 4r r 4 Logo a PA será 2 6 10 14 18 9 a1 207 an 999 r 9 an a1 n 1 r 999 207 9n 9 999 207 9 9n 9n 801 n 89 216 Matemática aplicada 4 Sair 11 56 65 2 chances Sair 5 14 23 32 41 4 chances Logo 6 36 ou aproximadamente 17 5 x fx x fx x u x u² x u² fx 2 025 050 2 4 200 200² 400 400 025 100 4 050 200 4 4 000 000² 000 0 050 000 6 025 150 6 4 200 200² 400 400 025 100 u 400 200 Portanto a Média probabilística ou resultado esperado 400 b Variância probabilística 200 c Desvio padrão probabilístico 2 00 1414 6 Carteira 1 Cenário Ret x fx x fx x u x u² x u² fx Ótimo 15 028 420 15 891 609 37088 10664 Bom 9 025 225 9 891 009 00081 0002025 Regular 6 035 2 10 6 891 291 84681 296383 Ruim 3 012 036 3 891 591 34928 419136 u 891 s² 17821 Carteira 2 Cenário Ret x fx x fx x u x u² x u² fx Ótimo 14 030 420 14 10 400 16 480 Bom 10 040 400 10 10 000 0 0 Regular 7 020 140 7 10 300 9 180 Ruim 4 010 040 4 10 600 36 360 u 10 s² 102 a Carteira 1 ganho médio de 891 Carteira 2 ganho médio de 10 Variância 1 1782 Variância 2 102 Desvio padrão 1 422 Desvio padrão 2 316 A carteira 2 apresenta melhor retorno médio esperado e menor desvio padrão isto é menor risco Referências ÁVILA G Cálculo de funções de uma variável 7 ed Rio de Janeiro LTC 1998 BOHRER R MegaSena concurso 2120 de hoje pode pagar R 20 milhões Mais Minas 30 jan 2019 Disponível em httpsmaisminasorgmegasenaconcurso2120dehoje Acesso em 2 ago 2019 BONICI R M C JÚNIOR C F de A O software mymathlab e o ensino de cálculo Disponível em httpwwwsinprosporgbrcongressomatematicarevendodadosfilestextosSessoesO20 SOFTWARE20MYMATHLAB20E20O20ENSINO20DE20CC381LCULOpdf Acesso em 24 set 2019 BOYER C B MERZBACH U C História da matemática 3 ed Trad de Helena Castro São Paulo Blucher 2012 Tradução da 3 ed Americana CANTOR G Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen Journal für die reine und angewandte Mathematik Berlin n 77 p 258262 1874 CARVALHO L M Matemática aplicada Campinas Ed Unicamp 2012 CASTRUCCI B Elementos de teoria dos conjuntos Rio de Janeiro Greem 1973 CRAIDE S Números de celulares de todo o país terão nove dígitos a partir do dia 6 Agência Brasil Brasília DF 29 out 2016 Disponível em httpagenciabrasilebccombrgeralnoticia201610 numerosdecelularesdetodoopaisteraonovedigitospartirdodia6 Acesso em 2 ago 2019 DANTE L R Matemática contexto e aplicações 2 ed São Paulo Ática 2013 FERREIRA J C Elementos de lógica matemática e teoria dos conjuntos São Paulo Campus 2001 FUNDAMENTOS da matemática elementar São Paulo Saraiva Coleção GARCIA A C Sequências PA PG e funções logarítmicas São Paulo Clube de Autores 2012 GUIDORIZZI H L Um curso de cálculo 5 ed São Paulo LTC 2007 HARIKI S Matemática aplicada à administração e economia Rio de Janeiro Saraiva 2013 IEZZI G MURAKAMI C Fundamentos de matematica elementar conjuntos funções São Paulo Atual 2013 v 1 IEZZI G Matemática Rio de Janeiro Qualitymark 2010 JOVEM PAN Rodízio de veículos em São Paulo é suspenso para o fim de ano 20 dez 2018 Disponível em httpsjovempanuolcombrnoticiasbrasilrodiziodeveiculosemsaopauloesuspensopara ofimdeanohtml Acesso em 2 ago 2019 KHAN ACADEMY Disponível em httpsptkhanacademyorg Acesso em 23 ago 2019 LAPA N Matemática aplicada introdutória São Paulo Saraiva 2014 LEITHOLD L O cálculo com geometria analítica 3 ed São Paulo Harbra 1994 MACHADO A dos S Matemática na escola de segundo grau São Paulo Atual 2005 Coleção MALTHUS T R An essay on the 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SIGNORELLI C F Matemática 2º Grau São Paulo Saraiva 2008 Coleção SMOLE K C S Matemática ensino médio São Paulo Saraiva 2003 SÓ MATEMÁTICA Disponível em httpswwwsomatematicacombr Acesso em 22 ago 2019 TAHAN M Matemática divertida e curiosa São Paulo Macrom Books 2014 TAVARES R Teoria dos conjuntos NFU Publicação independente 2017 THOMAS G B Cálculo 10 ed Rio de Janeiro Makron Books 2009 Edson Carlos Chenço aplicada matemática Código Logístico 58558 Fundação Biblioteca Nacional ISBN 9788538764809 9 7 8 8 5 3 8 7 6 4 8 0 9 Matemática Aplicada Edson Carlos Chenço