Trabalho de Matemática Aplicada à Administração - Derivadas e Pontos Críticos

Universidade Federal de Catalão UFCAT Prof Paulo Henrique Barbosa Galdino Disciplina Matemática Aplicada à Administração Trabalho QUESTÃO 01 Valor 10 pontos Calcule a derivada das seguintes funções a b c d e 𝑓𝑥 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑓𝑥 𝑥 5 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑓𝑥 𝑥 3 𝑙𝑛𝑥 𝑓𝑥 𝑥 3 𝑡𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥 QUESTÃO 02 Valor 10 pontos Calcule a derivada das seguintes funções a b c d e 𝑓𝑥 𝑥 2𝑥 𝑥 3 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒 𝑥 𝑓𝑥 𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 3 𝑓𝑥 𝑥 3 𝑡𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑙𝑛𝑒 2𝑥 QUESTÃO 03 Valor 10 pontos Dizemos que é um ponto crítico da função se a sua primeira derivada se anula neste ponto isto 𝑐 𝑓𝑥 é se temos 𝑓 𝑥 0 Determine os pontos críticos da função 𝑓𝑥 𝑥 3 9𝑥 2 24𝑥 10 Abaixo temos o gráfico da função dada acima Observe que os pontos críticos encontrados para a função dada indicam que as retas tangentes a estes pontos críticos são para paralelas ao eixo 𝑂𝑥 QUESTÃO 04 Valor 10 pontos Determine os pontos críticos das seguintes funções no intervalo 𝑓𝑥 2𝑥 3 15𝑥 2 24𝑥 7 0 6 Abaixo temos o gráfico da função dada acima Observe que os pontos críticos encontrados para a função dada juntamente com os extremos do intervalo 0 e 6 indicam pontos de máximos e mínimos da função dada QUESTÃO 05 Valor 10 pontos Dada uma função podemos classificar seus pontos críticos como sendo pontos de máximos ou 𝑓𝑥 mínimos da função dada Para tanto usamos o chamado Teste da Primeira Derivada para Pontos Críticos dado a seguir Dadas as funções abaixo determine e classifique seus pontos críticos quanto a máximo local ou mínimo local a 𝑓𝑥 𝑥 3 27𝑥 20 O seu gráfico bem como seus pontos críticos são dados abaixo b 𝑓𝑥 2𝑥 3 3𝑥 2 12𝑥 O seu gráfico bem como seus pontos críticos são dados abaixo e fx secx 1cosx cosx1 gx x1 hx cosx fx g o h x ghx Pela Regra da Cadeia fx ghx hx gx x2 hx senx fx cosx2 senx cosx2 senx senxcos2x senxcosx 1cosx tgx secx ou fx senxcos2x senx sec2x Se Exi funções tais que fx gx hx fx gxhx gxhx hx2 a gx x2 x hx x3 gx 2x 1 hx 3x2 fx 2x1x3 x2x3x2 x32 2x1x3 3x1x3 x32 2x1 3x1 x3 x32 2x1 3x1 x3 2x1 3x 3 x3 x 2 x3 b gx senx hx ex gx cosx hx ex fx cosxex senxex ex2 cosx senx ex ex2 cosx senx ex c gx ex gx ex hx 3x hx 3 g o h x e3x φx cosx φx senx φ o ψx cosx2 3 ψx x2 3 ψx 2x Pela Regra da cadeia 1 g o hx ghxhx e3x3 3e3x 2 φ o ψx φψxψx senx232x 2x senx23 fx g o hxφ o ψx fx g o hxφ o ψx g o h xφ o ψx 3e3x cosx23 e3x2x sen x23 3cosx2 3 2x sen x2 3 e3x d fx x3 tgx tgx x3 gx tgx gx sec2 x hx x3 hx 3x2 fx gxhx fx gxhx gxhx hx2 sec2x x3 tgx 3x2 x32 1 cos2x x3 3 senxcosx x2 x6 xcos2x 3 senxcosx x2 x4 x2 xcos2x 3 senxcosx x4 xcos2x 3 senxcosx x4 x 3 senx cosx x4 cos2x gx ln x gx 1x hx ex hx ex ux 2x ux 2 e2x eux hux h o u x h o ux hux ux fx ln e2x ln h o u x g h o u x g o ho u x fx gh o u x h o ux gh o u x hux ux 1e2x e2x 2 2 We fato lne2x y ey e2x y 2x yx 2 3 fx ddx x3 9 ddx x2 24 ddx x 10 ddx 1 3x2 9 2x 24 1 0 3x2 18x 24 7 fx 0 3x2 18x 24 0 3x2 6x 8 0 x2 6x 8 0 x 4 x 2 0 x 4 v x 2 x 4 x 2 são pontos críticos de f 4 f 0 6 R x 2x3 15x2 24x 7 fx 2 ddx x3 15 ddx x2 24 ddx x 7 ddx 1 2 3x2 15 2x 24 1 0 6x2 30 x 24 fx 0 6x2 30x 24 0 6x2 5x 4 0 x2 5x 4 0 x 4x 1 0 x 1 v x 4 Como 1 0 6 4 0 6 x 1 e x 4 são pontos críticos de f 8 5 a fx ddx x3 27 ddx x 30 ddx 1 3x2 27 1 0 3x2 27 fx 0 3x2 27 0 3x2 9 0 x2 9 0 x 3x 3 0 x 3 v x 3 x 3 x 3 são pontos críticos de f seja δ R 0 1 f4 3 42 9 316 9 3 7 21 0 2 3 0 3 f0 3 0 27 27 0 3 f4 342 9 316 9 21 0 9 4 3 0 3 x 3 é ponto de máximo local f4 0 f0 0 0 3 4 3 x 3 é ponto de mínimo local f0 0 f4 0 b fx 2 ddx x3 3 ddx x2 12 ddx x 2 3 x2 3 2 x 12 1 6 x2 6 x 12 fx 0 6 x2 6 x 12 0 6 x2 x 2 0 x2 x 2 0 x 1 12 4 1 2 2 1 1 7 2 ℝ f não tem pontos criticos A função do gráfico apresentado é fx 2 x3 3 x2 12 x 10