Matematica Aplicada

MATEMATICA APLICADA A1 Com base em seus conhecimentos sobre teoria de funções indique com V Verdadeiro ou F Falso as próximas afirmações A2 DISSERTATIVA A função Custo Médio é definida como a função Custo dividida pela quantidade produzida Cmedx Cxx Suponha que a função Custo de certa empresa é dada pelo seguinte polinômio do terceiro grau Cx 12x³ 50x² 70x 80 Determine a A função Cmedx da referida empresa b O valor de Cmed20 ou seja o custo médio na produção de 20 unidades c O valor Cmed80 ou seja o custo médio na produção de 80 unidades d Para que valor a função Cmedx tenderá á medida que x aumenta muito tende ao infinito A3 Assinale a alternativa que corresponda às derivadas das quatro funções abaixo f₁x 05x¹⁰ 3x⁶ 2x³ 1 f₂x 2x⁵ 3x⁴ 2x³ 5x f₃x 13x³ 14x⁴ f₄x 21eˣ 12ln x O a f₁x 05x⁹ 3x⁵ 2x² f₂x 2x⁴ 3x³ 2x² 5 f₃x 1x⁴ 1x⁵ f₄x 21eˣ 12x b f₁x 5x⁹ 12x⁵ 6x² f₂x 10x⁴ 12x³ 6x² 5 f₃x 1x⁴ 1x⁵ f₄x 18eˣ 10x c f₁x 5x⁹ 18x⁵ 6x² f₂x 10x⁴ 12x³ 6x² 5 f₃x 1x⁴ 1x⁵ f₄x 21eˣ 12ln x d f₁x 5x⁹ 18x⁵ 6x² f₂x 10x⁴ 12x³ 6x² 5 f₃x 1x⁴ 1x⁵ f₄x 21eˣ 12x e Nenhuma das alternativas anteriores A5 Dissertativa O modelo de demanda para um produto ou seja a função que calcula o preço p de um produto no mercado em termos da quantidade demandada x desse produto é modelada como p x950 O custo mensal de produção do referido produto é modelado pela função Cx18x3800 a Qual deve ser o preço cobrado do produto de modo a maximizar o lucro da empresa b Se para cada unidade vendida a empresa tiver que arcar com um imposto de R 400 qual deve ser o novo preço que maximiza do lucro A2 DISSERTATIVA A função Custo Médio é definida como a função custo dividida pela quantidade produzida Suponha que a função Custo de certa empresa é dada pelo seguinte polinômio de terceiro grau a a Função da referida empresa Apenas precisamos simplificar essa expressão Portanto a função custo médio da empresa é b O valor de ou seja o custo médio na produção de 20 unidades Para encontrar o custo médio na produção de 20 unidades podemos usar a função custo médio que calculamos anteriormente Portanto o custo médio na produção de 20 unidades para essa empresa é de 387400 c O valor de ou seja o custo médio na produção de 80 unidades Para encontrar o custo médio na produção de 80 unidades podemos usar a função custo médio que calculamos anteriormente Portanto o custo médio na produção de 20 unidades para essa empresa é de 7287100 d Para que valor a função tenderá à medida que x aumenta muito tende ao infinito Para encontrar o limite da função à medida que x aumenta muito tende ao infinito podemos analisar os termos dominantes na expressão da função Cmedx Cx x Cx 12x3 50x2 70x 80 Cmedx Cmedx 12x3 50x2 70x 80 x 12x3 x 50x2 x 70x x 80 x Cmedx 12x2 50x 70 80x1 Cmed20 Cmed20 12x2 50x 70 80x1 Cmed20 12 202 50 20 70 80 201 Cmed20 3874 Cmed80 Cmed80 12x2 50x 70 80x1 Cmed80 12 802 50 80 70 80 801 Cmed20 72871 Cmedx Cmedx Cmedx Cmedx 12x2 50x 70 80x1 À medida que x tende ao infinito os termos que têm maior influência são aqueles com grau mais alto em x Nesse caso o termo dominante é Todos os outros termos se tornam insignificantes em comparação com Então quando x tende ao infinito também tende ao infinito então a função tenderá ao infinito à medida que x aumenta muito A5 DISSERTATIVA O modelo de demanda para um produto ou seja a função que calcula o preço p de um produto no mercado em termos da quantidade demandada x desse produto é modelada como O custo mensal de produção do referido produto é modelado pela função a Qual deve ser o preço cobrado do produto de modo a maximizar o lucro da empresa Para maximizar o lucro da empresa precisamos encontrar o ponto em que a receita é maximizada e consequentemente o lucro é maximizado O lucro é dado pela diferença entre a receita e o custo Primeiro vamos encontrar a função de receita que é o produto da quantidade vendida x pelo preço p Tendo que A função de custo O lucro é dado pela diferença entre a receita e o custo Para maximizar o lucro precisamos encontrar o valor de x que maximiza Isso ocorre no ponto crítico onde a derivada de em relação a x é igual a zero Então para maximizar o lucro a quantidade x que deve ser vendida é 466 unidades Substituindo na função preço 12x2 12x2 12x2 Cmedx p x 950 Cx 18x 38 Rx Rx px x Rx x 950 x Rx x2 950x Cx 18x 38 Lx Lx Rx Cx Lx x2 950x 18x 38 Lx x2 932x 38 Lx Lx L x 2x 932 0 2x 932 x 466 Portanto o preço cobrado deve ser R48400 b Se para cada unidade vendida a empresa tiver que arcar com um imposto de R 400 qual deve ser o novo preço que maximiza do lucro Quando a empresa tem que arcar com um imposto de R400 para cada unidade vendida isso afeta diretamente o custo por unidade produzida e vendida Vamos ajustar a função de custo para refletir esse imposto adicional Se a empresa vende x unidades o custo total adicional devido ao imposto será Portanto a nova função de custo considerando o imposto será de Agora podemos realizar a função de lucro considerando o novo custo Novamente vamos encontrar o ponto crítico para maximizar o novo lucro Então o novo preço Portanto o preço cobrado deve ser R48600 p466 x 950 466 950 p 484 Cx 4x Cnovox Cx 4x Cnovox 18x 38 4x Cnovox 22x 38 Lx Lnovox Rx Cx Lnovox x2 950x 22x 38 Lnovox x2 928x 38 L novox 2x 928 0 2x 928 x 464 p464 x 950 464 950 p 486 DEMAIS QUESTÕES Questão 01 F F V F V V F V Questão 03 Alternativa D Questão 04 Alternativa B