Conceito Geral de Juros Simples em Matemática Financeira

MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof George Sales Atualização Prof Samuel Durso CONCEITO GERAL DE JUROS SIMPLES 3 SUMÁRIO 1 Juros 11 Valor do dinheiro no tempo 12 Conceito de Juros Ótica do Tomador e do Credor 13 Diagrama de Fluxo de Caixa 2 Taxas de Juros 21 Taxa Percentual 22 Taxa Unitária 3 Regimes de Capitalização 31 Regime Simples de Capitalização 311 Conceito 32 Relação entre Valor Presente Juros Prazo e Valor Futuro 33 Valor Nominal e Valor Atual 4 Dicas para cálculo de juros simples na calculadora HP 12C 4 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Compreender conceitos básicos sobre juros simples em matemática financeira Identificar aplicações dessa técnica no mundo real Solucionar problemas comuns da área de negócios 5 1 JUROS 11 Valor do dinheiro no tempo Quanto vale um real Essa pergunta tão simples não tem uma resposta única O dinheiro vale o tanto que se pode comprar com ele Há dez anos um real podia comprar certa quantidade de mercadoria e hoje pode comprar menos da mesma mercadoria Portanto o dinheiro tem diferentes valores no tempo Esse é um conceito fundamental em finanças pois dele saem todas as regras que veremos adiante Além da inflação que afeta o valor do dinheiro existem outros fatores que o influenciam no tempo Vejamos a seguir 12 Conceito de Juros Ótica do Tomador e do Credor Imagine que você possui uma determinada quantia de dinheiro em seu poder o suficiente para comprar um automóvel Você quer muito comprar o automóvel mas alguém lhe diz Espere um pouco compre o carro somente no mês que vem Mas por que esperar O carro estará mais barato no mês que vem Você pergunta Não Custará a mesma coisa Então por que esperar Na verdade não existe resposta convincente para essa pergunta Você simplesmente não precisa esperar para comprar o carro que tanto quer se não houver um incentivo para tanto Os juros são justamente isso um incentivo um prêmio para que você adie o consumo Assim você pode receber uma quantia de dinheiro extra para gastar no futuro o dinheiro que possui hoje Os juros também podem ser considerados como o preço pela utilização do dinheiro Certas pessoas e empresas possuem dinheiro em seu caixa Elas não necessariamente desejam comprar bens com esse dinheiro No entanto existem pessoas e empresas que precisam consumir certos produtos mas não têm dinheiro para tanto Então quem não tem dinheiro pode alugálo de quem o tem de sobra Podemos dizer então que os juros podem ser considerados também como o preço do aluguel do dinheiro por um determinado período de tempo 6 Observação Uma vez que os juros incentivam as pessoas que têm dinheiro hoje a adiar o consumo o Banco Central aumenta a taxa de juros quando quer diminuir o consumo e controlar a inflação Fazendo isso o Banco Central está aumentando o incentivo à poupança Com o aumento dos juros esperase menos gente consumindo menos vendas produtos sobrando nas prateleiras e preços caindo Essa é a lógica 13 Diagrama de Fluxo de Caixa Ao falar do valor do dinheiro no tempo somos tentados a representar um fluxo de caixa em uma linha do tempo É o chamado diagrama de fluxo de caixa Veja a seguir um exemplo Convencionouse que as setas para cima são entradas de caixa e as setas para baixo são saídas de caixa Assim temos no exemplo acima duas entradas de caixa uma hoje e outra daqui a três períodos podem ser dias meses anos e duas saídas de caixa uma daqui a sete períodos e outra daqui a doze períodos Os diagramas de fluxo de caixa serão muito úteis para entender certos conceitos mais para frente 7 2 TAXAS DE JUROS Os juros de operações financeiras podem ser expressos por meio de uma taxa a taxa de juros Exemplo 1 Digamos que você tem R 100000 guardados e empresta para um amigo que lhe promete devolver R 110000 daqui a 1 ano Qual a taxa de juros embutida nessa operação Nesse caso para encontrar a taxa de juros do período da operação basta dividir o valor a ser devolvido daqui a 1 ano pelo valor atual e subtrairmos 1 multiplicando por 100 para encontrar a taxa percentual Em resumo é muito simples calcular a taxa de juros quando existe um fluxo único de pagamento no futuro No nosso exemplo basta dividir o valor a ser devolvido daqui a 1 ano pelo valor atual e subtrairmos 1 Perceba que a taxa de juros deve fazer sempre referência a um determinado período de tempo No exemplo visto acima a taxa referese ao período de 1 ano Exercício de Fixação 1 Admita que você investiu em um Banco R 300000 e após 35 dias corridos no qual estão contidos 22 dias úteis foi entregue o valor de R 310200 Qual é a taxa de juros embutida na operação financeira 2 Sabemos que o valor futuro no vencimento de um contrato de DI será de R 10000000 Digamos que 8 hoje um determinado contrato vencendo daqui a 6 meses valerá R 9569378 Qual a taxa de juros embutida no período Exemplo 2 Você tem R 100000 hoje e gostaria de obter uma taxa de juros de 3 pelo seu dinheiro por uma aplicação de 1 mês Qual seria o valor dos juros e do montante recebido por você daqui a 1 mês Sabemos que os juros recebidos equivalem à taxa de juros multiplicada pelo valor presente Portanto os juros recebidos serão E o valor recebido daqui a 1 mês será dado por Observação Valor Futuro pode ser chamado de Montante Valor Nominal Valor de Face Valor de Resgate e Valor Capitalizado Valor Presente pode ser chamado de Capital Valor Atual Valor Descontado Valor Desagiado e Principal Ou seja Valor Futuro Valor Presente Juros R 100000 R 3000 R 103000 Outra maneira mais direta de chegar ao mesmo valor seria através da fórmula 9 Que fornece o mesmo resultado Exercício de Fixação 3 Admita que você investiu R 500000 em um CDB Nessa operação o Banco comercial prometeu devolver seu dinheiro ao final do período com uma taxa de 75 Qual será o valor futuro que você irá receber Exemplo 3 Sabemos que o valor futuro no vencimento do contrato de DI é de R 10000000 Digamos que hoje um determinado contrato vencendo daqui a 6 meses vale R 9245000 Qual a taxa de juros embutida Ou seja quem compra ou vende esse contrato hoje está negociando o seu dinheiro a uma taxa de juros de 817 ao semestre Existem duas formas de expressar as taxas de juros a forma percentual e a unitária Vejamos a seguir 21 Taxa Percentual Na forma percentual a taxa aparece multiplicada por 100 Por exemplo 20 ao ano 2 ao mês Essa é a maneira mais usual da taxa de juros ainda que a mais complicada em termos de aplicação nas fórmulas utilizadas pois é necessário dividir ou multiplicar os resultados por 100 10 Assim taxa unitária 005 portanto a taxa percentual é de 5 22 Taxa Unitária Na forma unitária a taxa é apresentada de maneira decimal Por exemplo 02 ao ano 20 se expresso em taxa percentual 002 2 se expresso em taxa percentual ao mês Para transformar a taxa percentual em taxa unitária basta dividir a primeira por 100 Caso seja necessário transformar a taxa unitária em taxa percentual portanto basta multiplicar a primeira por 100 Comentário O uso da taxa unitária é mais simples quando ela é aplicada em fórmulas mas é menos usual do ponto de vista da prática do mercado financeiro razão pela qual optamos por utilizar a forma percentual daqui em diante Assim podemos dizer que se a taxa percentual é de 5 a taxa unitária será de 005 11 3 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO Capitalização é a acumulação dos juros ao longo do tempo Voltemos ao nosso primeiro exemplo você acabou de receber os R 110000 referentes ao empréstimo que fez ao seu amigo Você tem duas alternativas empresta novamente por mais 1 ano seu amigo continua precisando do dinheiro ou gasta o dinheiro Digamos que você opte por emprestar novamente pela mesma taxa de juros Qual será o montante devido pelo seu amigo daqui a 1 ano Para responder a essa questão precisamos saber qual o regime de capitalização utilizado simples ou composto 31 Regime Simples de Capitalização 311 Conceito Pelo regime simples de capitalização a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial Os juros obtidos nos períodos anteriores não entram no cálculo dos juros nos períodos posteriores 32 Relação entre Valor Presente Juros Prazo e Valor Futuro Genericamente temos a fórmula para a capitalização simples Onde VF valor futuro VP valor presente i taxa de juros do período n número de períodos Desmembrando esta fórmula temos 12 Exercício de Fixação 4 Você ficou negativo em sua conta corrente no valor de R 300000 pelo prazo de 15 dias A taxa de juros é 5 am Sabese que nesse prazo o Banco cobra taxa de juros simples Qual é o valor final que deve ser pago ao banco Comentário Período de capitalização é o espaço de tempo compreendido entre as duas contagens sucessivas de juros Assim a taxa de juros pode ser expressa ao dia ao mês ao bimestre ao trimestre É importante que o tempo e a taxa de juros estejam na mesma unidade temporal Se por exemplo a taxa estiver ao mês o tempo deverá ser contado em meses Prazo de aplicação é o tempo em que estiver aplicado o capital Exercício de Fixação 5 Tendose um montante valor futuro de R 7980 qual é o valor do capital inicial sabendose que o prazo da operação foi de 14 meses a uma taxa de juros simples de 1 ao mês 13 33 Valor Nominal e Valor Atual Valor nominal é o valor de uma determinada obrigação a ser paga no futuro por exemplo uma nota promissória O valor nominal nada mais é do que o valor do capital aplicado mais os juros Assim sendo o valor nominal é igual ao montante ou valor futuro Valor atual é o valor que aplicado a uma determinada taxa de juros e por determinado prazo reproduz o valor nominal Esse valor atual pode ser calculado a qualquer época anterior ao vencimento da obrigação Assim sendo temos N valor nominal igual ao montante V valor atual raciocínio igual ao cálculo do capital inicial Comentário Só mudaram as letras de VF para N e VP para V Exercício de Fixação 6 Um empréstimo foi contraído para ser liquidado daqui a 5 anos Seu valor nominal é de R 1500000 à taxa de 12 aa e regime de capitalização simples Calcule o valor atual na data da assinatura do contrato 14 4 DICAS PARA CÁLCULO DE JUROS SIMPLES NA CALCULADORA HP 12C Dica 1 como encontrar o valor presente Tendose um montante valor futuro de R 7980 qual é o valor do capital inicial considerando que o prazo da operação foi de 14 meses a uma taxa de juros simples de 1 ao mês Step Comando Explicações 1 f clx Limpa todos os registros da calculadora 2 7980 ENTER Armazena o valor futuro do exercício 3 001 ENTER Armazena a taxa de juros unitária 4 14 X Multiplica a taxa de juros unitária pelo período 5 1 Soma 1 o valor encontrado no step 4 denominador da fração 6 Divide o montante armazenado no step 1 pelo denominador do step 5 Resposta R 700000 Dica 2 como encontrar o valor futuro Você ficou negativo em sua conta corrente no valor de R 300000 pelo prazo de 15 dias A taxa de juros é 5 am Sabese que nesse prazo o Banco cobra taxa de juros simples Qual é o valor final que deve ser pago ao banco Step Comando Explicações 1 f clx Limpa todos os registros da calculadora 2 3000 CHS PV Armazena o valor presente que precisa estar com sinal negativo 3 60 i Armazena a taxa de juros anual no formato percentual 4 15 n Armazena o período em dias 5 f INT Retorna o valor dos juros para o período 6 Soma os juros encontrados no step 5 ao principal do step 2 Resposta R 307500 Dica 3 como encontrar os juros Sabemos que o valor futuro no vencimento do contrato de DI é de R 10000000 Digamos que hoje um determinado contrato vencendo daqui a 6 meses vale R 9245000 Qual a taxa de juros mensal embutida assuma regime simples de capitalização 15 Step Comando Explicações 1 f clx Limpa todos os registros da calculadora 2 100000 ENTER Armazena o valor futuro do DI 3 92450 Divide o valor futuro pelo valor presente 4 1 Retorna a taxa de juros unitária do semestre 5 100 x Retorna a taxa de juros percentual do semestre 6 6 Retorna a taxa de juros percentual mensal Resposta 13611 INDICAÇÃO DE LEITURA OBRIGATÓRIA VIEIRA SOBRINHO J D Matemática financeira 8ª ed São Paulo Atlas 2008 Capítulo 2 Capitalização simples pp 415 INDICAÇÃO DE LEITURA OBRIGATÓRIA VIEIRA SOBRINHO J D Manual de aplicações financeiras HP12C tradicional platinum prestigie 3ª ed São Paulo Atlas 2008 Capítulo 1 Principais funções matemáticas e financeiras pp 512 16 FIPECAFI Todos os direitos reservados A FIPECAFI assegura a proteção das informações contidas nesse material pelas leis e normas que regulamentam os direitos autorais marcas registradas e patentes Todos os textos imagens sons vídeos eou aplicativos exibidos nesse volume são protegidos pelos direitos autorais não sendo permitidas modificações reproduções transmissões cópias distribuições ou quaisquer outras formas de utilização para fins comerciais ou educacionais sem o consentimento prévio e formal da FIPECAFI CRÉDITOS Autoria George Sales Coordenação de Operações Juliana Nascimento Design Instrucional Patricia Brasil Design Gráfico e Diagramação Dejailson Markes Captação e Produção de Mídias Erika Alves Gabriel Rodrigues Gabriel dos Santos e Maurício Leme Revisão de Texto Patricia 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