Matemática Financeira: Juros Compostos e Aplicações

MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof George Sales Atualização Prof Samuel Durso 3 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Conhecer os principais conceitos relacionados com a aplicação sobre os juros compostos Ser capaz de identificar situações do mundo real nas quais a utilização dessa técnica se torna necessária solucionando problemas comuns da área de negócios 4 SUMÁRIO 1 Juros Composto e Aplicações 11 Regime Composto de Capitalização 12 Capitalização Simples x Capitalização Composta 13 Capitalização Composta com Taxas Variáveis 14 Dicas de Juros Compostos na Calculadora HP 12C 5 1 JUROS COMPOSTO E APLICAÇÕES 11 Regime Composto de Capitalização a Conceito No regime composto de capitalização a taxa de juros incide tanto sobre o montante inicialmente aplicado como também sobre os juros gerados até aquele momento Vamos ao seguinte exemplo você empresta a um amigo R 100000 por um ano à taxa de 10 depois do primeiro ano você mantém o empréstimo ao seu amigo por mais um ano mantendo a mesma taxa de 10 ao ano O valor desse empréstimo ao final do segundo ano pela capitalização composta é dado pela seguinte fórmula Observação Perceba que a taxa de juros do segundo período desta vez foi aplicada sobre o valor do empréstimo ao final do primeiro período R 1100 ou seja já incorporando os juros do primeiro período e não sobre o valor inicial do empréstimo R 1000 Vejamos outra forma de fazer o cálculo da capitalização composta Digamos que você esteja negociando e logo de cara faz o empréstimo de R 1000 ao seu amigo por dois anos à taxa de 10 ao ano O valor futuro desse empréstimo daqui a dois anos seria calculado da seguinte forma Note que cada parcela de juros é calculada sobre o montante do empréstimo já incorporando os juros do período anterior Uma terceira forma mais sucinta de fazer o mesmo cálculo é o seguinte 6 Note que a taxa de juros 10 ao ano é elevada ao quadrado pois se trata de um empréstimo por 2 anos b Relação entre as variáveis taxa de juros prazo valor presente e valor futuro Genericamente então temos a fórmula para a capitalização composta Onde VF Valor futuro VP Valor presente N número de períodos i taxa de juros do período Exemplo 1 Vejamos um exemplo prático em que utilizamos a taxa de juros composta seja um empréstimo com as seguintes características Valor Presente R 1000 Prazo 12 meses Taxa de juros 1 ao mês O montante devido no 12º mês será de Comentário Note que na capitalização composta portanto para encontrarmos a taxa de juros de um determinado número de períodos elevamos a taxa de juros de um período pelo número de períodos 7 Exercício de Fixação 1 Se a taxa de juros por capitalização composta é de 12 aa e o principal investido é de R100000 qual o valor a ser recebido após 5 anos Solução Passo a Passo Pelo enunciado podemos entender que o principal investido é o valor presente da nossa operação e que o valor a ser recebido após 5 anos pedido pelo exercício é o Valor Futuro da operação Uma vez que a operação utiliza capitalização composta podemos calcular o Valor Futuro da seguinte forma Sendo assim Solução O Valor a ser recebido em 5 anos é de R 176234 12 Capitalização Simples x Capitalização Composta Vejamos mais um exemplo para fixar a diferença entre as duas metodologias Digamos que você vai a um banco e pede um empréstimo de R 1000 por 6 meses A taxa de juros é de 1 ao mês Quanto seria o montante devido no vencimento desse empréstimo utilizando se as duas metodologias Veja o quadro a seguir 9 Observação Perceba que na capitalização simples o juro de cada mês é calculado sobre o montante inicial do empréstimo Já na capitalização composta o juro é calculado sobre o montante acumulado até o período anterior Podemos fazer os mesmos cálculos utilizando as fórmulas que vimos anteriormente Comentário Qual tipo de capitalização simples ou composta é a mais correta Na verdade não existe a mais correta tratase apenas de uma questão de convenção Para taxas de juros muito baixas a diferença entre as duas metodologias é muito pequena motivo pelo qual nos países onde a taxa de juros é baixa optase pela capitalização simples pela facilidade do cálculo No Brasil em virtude das altas taxas de inflação que sempre tivemos nos acostumamos a trabalhar com a capitalização composta pois esta considera que os juros do período anterior são reaplicados no próximo período Exercício de Fixação 2 Você ficou negativo em sua conta corrente no valor de R 300000 pelo prazo de 15 dias A taxa de juros é 5am Sabese que nesse prazo o Banco cobra taxa de juros simples e juros compostos Qual forma de capitalização você escolheria para o período Solução Passo a Passo Primeiro vamos fazer a capitalização simples 10 Nesse gráfico observamos duas curvas a azul gerada por uma taxa de juros de 1 ao período e a vermelha gerada por uma taxa de juros de 05 ao período Em ambos os casos tratase de um título com valor no vencimento igual a R 1000 Vejamos então para melhor entender o gráfico o que acontece quando faltam 25 períodos para o vencimento do título linha tracejada Para uma taxa de 1 ao período temos Capitalização simples Capitalização composta Diferença 80000 77977 2023 Em seguida a capitalização composta Solução A capitalização composta é a melhor opção pois pagase menos Vejamos no gráfico abaixo as diferenças geradas pelos dois sistemas de capitalizações simples e composto para duas taxas de juros conforme o prazo 11 Para uma taxa de 05 ao período temos Capitalização simples Capitalização composta Diferença 88989 88277 612 Observação Perceba dois fenômenos a Quanto maior a taxa de juros maiores as diferenças entre as duas metodologias b Quanto mais distante do vencimento do título maior a diferença entre as duas metodologias Ainda considerando a comparação entre capitalização simples e capitalização composta podemos observar a diferença de comportamento das curvas Nesse gráfico observamos duas curvas ambas à taxa de juros de 100 ao ano A azul é gerada por capitalização simples e a vermelha é gerada por capitalização composta Notase que quando o tempo for 1 1 ano tanto juros simples quanto juros compostos geram o mesmo resultado Esse comportamento está relacionado com a forma de cálculo empregado para o tempo n Enquanto o tempo for menor do que 1 uma unidade na capitalização simples essa fração irá multiplicar Já 12 para a capitalização composta essa fração de tempo irá exponenciar e nesse caso atingirá um valor menor Na tabela a seguir temos o resultado das operações considerando a taxa de juros de 100 ao ano em verde estão os melhores resultados para o período Tempo em anos Capitalização Simples Capitalização Composta 0 100000 100000 01 110000 107177 02 120000 114870 03 130000 123114 04 140000 131951 05 150000 141421 06 160000 151572 07 170000 162450 08 180000 174110 09 190000 186607 1 200000 200000 11 210000 214355 12 220000 229740 13 230000 246229 14 240000 263902 15 250000 282843 16 260000 303143 17 270000 324901 18 280000 348220 19 290000 373213 2 300000 400000 Observação Quando o prazo é menor que o período em que a taxa de juros é expressa o valor futuro da capitalização simples é maior que o valor futuro na capitalização composta Quando o prazo é maior que o período em que a taxa de juros é expressa o valor futuro da capitalização composta é maior que o valor futuro na capitalização simples 13 Capitalização Composta com Taxas Variáveis Vimos até agora o cálculo dos juros compostos com uma taxa única que valia para todo o período de cálculo No entanto pode ser útil em algumas circunstâncias considerar que existem taxas de juros diferentes para cada período 13 a Mesma taxa de juros para todos os períodos Exemplo para um empréstimo de R 100000 por 3 meses com taxa de 1 ao mês o valor devido no vencimento será de b Taxa de juros variável nos períodos Exemplo agora digamos que a taxa seja variável 1 no primeiro mês 15 no segundo e 17 no terceiro mês Veja o cálculo do valor devido no vencimento Exercício de Fixação 3 Uma aplicação por juros compostos ofereceu os seguintes retornos mensais Mês 1 Mês 2 Mês 3 Mês 4 15 28 34 24 Qual foi o retorno no final do período e o retorno médio do período Solução Passo a Passo Retorno acumulado Como estudamos o retorno dessa aplicação no final do período será o retorno ao final do mês 4 após os 4 retornos mensais serem acumulados Assim o retorno acumulado será Retorno médio O Retorno médio do período é aquele que é equivalente a uma taxa constante em todos os meses do período e que nos dá ao final o mesmo retorno acumulado dessa aplicação 14 Em nosso exemplo seria uma taxa de X aplicada nos 4 meses e que ao final nos daria um retorno acumulado de 1048 Mês 1 Mês 2 Mês 3 Mês 4 X X X X Solução O retorno ao final do período ou seja o retorno acumulado foi de 1048 e o retorno médio foi de 252 ao mês Observação O retorno médio da taxa de juros compostos não é a média aritmética das taxas de juros apresentadas Em juros compostos é preciso descobrir a taxa acumula do período e ajustála ao período que se deseja representar 14 Dicas de Juros Compostos na Calculadora HP 12C Dica 1 como encontrar o VF Você pegou um empréstimo de curto prazo no valor de R 300000 pelo prazo de 3 meses A taxa de juros é 25 am Sabese que nesse prazo o Banco cobra taxa de juros compostos Qual o valor que você irá pagar ao final do período 15 Step Comando Explicações 1 f clx Limpa todos os registros da calculadora 2 3000 CHS PV Armazena o valor presente do empréstimo 3 25 i Armazena a taxa de juros do empréstimo 4 3 n Armazena o período do empréstimo 5 FV Retorna no visor o saldo a pagar do empréstimo Resposta R 323067 Dica 2 como encontrar o VP Uma determinada aplicação financeira apresenta valor de face de R 500000 caso seja mantida por 18 meses Sabendo que a taxa de remuneração dessa aplicação a juros compostos é de 07 am calcule o valor presente da aplicação Step Comando Explicações 1 f clx Limpa todos os registros da calculadora 2 5000 CHS FV Armazena o valor futuro da aplicação 3 07 i Armazena a taxa de juros da aplicação 4 18 n Armazena o período da aplicação 5 PV Retorna no visor o valor presente da aplicação Resposta R 441000 Dica 3 como encontrar o período João colocou R 200000 em uma aplicação Ao final de um determinado período resgatou R 453589 Sabendo que a aplicação remunera a juros compostos de 15 ao mês quantos meses João permaneceu com o valor aplicado Step Comando Explicações 1 f clx Limpa todos os registros da calculadora 2 2000 CHS PV Armazena o valor presente da aplicação 3 4500 FV Armazena o valor futuro da aplicação 4 15 i Armazena os juros da aplicação 5 n Retorna no visor o período da aplicação Resposta 55 meses Dica 4 como encontrar a taxa de juros Um empréstimo capitalizado pelo regime composto foi concedido pelo prazo de 24 meses O valor emprestado foi de R 10000000 e o valor pago pelo cliente ao final do período foi de R 12500000 Qual foi a taxa de juros mensal dessa contratação Step Comando Explicações 1 f clx Limpa todos os registros da calculadora 2 100000 CHS PV Armazena o valor presente do empréstimo 3 125000 FV Armazena o valor futuro do empréstimo 4 24 n Armazena o período do empréstimo 5 i Retorna no visor a taxa de juros do empréstimo Resposta 09341 16 FIPECAFI Todos os direitos reservados A FIPECAFI assegura a proteção das informações contidas nesse material pelas leis e normas que regulamentam os direitos autorais marcas registradas e patentes Todos os textos imagens sons vídeos eou aplicativos exibidos nesse volume são protegidos pelos direitos autorais não sendo permitidas modificações reproduções transmissões cópias distribuições ou quaisquer outras formas de utilização para fins comerciais ou educacionais sem o consentimento prévio e formal da FIPECAFI CRÉDITOS Autoria George Sales Atualização Samuel Durso Coordenação de Operações Juliana Nascimento Design Instrucional Patricia Brasil Design Gráfico e Diagramação Dejailson Markes Captação e Produção de Mídias Erika Alves Gabriel Rodrigues Gabriel dos Santos e Maurício Leme Revisão de Texto Patricia 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