Fluxos de Caixa e Séries de Pagamentos Não Uniformes

MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof George Sales Atualização Prof Samuel Durso 2 FLUXOS DE CAIXA E SÉRIES DE PAGAMENTOS NÃO UNIFORMES 3 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM No presente book serão apresentados os conceitos de fluxo de caixa com séries uniformes e não uniformes Ao final do estudo o discente deverá ser capaz de compreender identificar e aplicar o conhecimento adquirido em problemas financeiros do mundo real 4 SUMÁRIO 1 Série de Pagamentos Uniformes 12 Séries de Pagamentos Antecipados e Postecipados 2 Séries de pagamento uniformemente crescentes e decrescentes 3 Séries de pagamentos genéricos 4 Equivalência de Fluxos de Caixa 5 1 SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES Você está em uma loja comprando a sua tão sonhada TV de plasma quando recebe a seguinte oferta R 12000 à vista ou 10 suaves parcelas mensais de R 1300 sem entrada Ao mesmo tempo você tem à disposição uma aplicação financeira que lhe paga 10 ao mês Será que vale a pena entrar nesse financiamento considerando que você tem todo o dinheiro para pagar a TV à vista Ou seja vale a pena financiar a TV e aplicar o dinheiro no mercado financeiro ou vale a pena pagar a TV à vista Esse é um problema de série de pagamentos uniformes Cada parcela do financiamento é um pagamento e como todos os pagamentos têm o mesmo valor e são igualmente espaçados no tempo mensais são chamados de pagamentos uniformes Portanto série de pagamentos uniformes é um conjunto de fluxos de caixa de igual valor e espaçados no tempo de maneira homogênea Vejamos quatro formas de resolver esse problema pelo valor presente líquido pelo valor futuro pela taxa interna de retorno e pelo valor das parcelas Valor Presente O valor presente VP é o valor dos fluxos de caixa trazidos a valor 6 presente por uma determinada taxa de juros Podemos escrever o VP da seguinte forma Perceba que cada parcela corresponde a um pagamento PMT ou fluxo de caixa trazido a valor presente descontado pela taxa de juros i A equação geral do VP para uma série de pagamento uniforme é a seguinte Onde PMT valor de cada parcela de pagamento uniforme n número de períodos i taxa de juros ao período Essa equação assume que o primeiro pagamento é feito um período após a data inicial Esse é o nosso caso pois o financiamento é sem entrada Ao trazer a valor presente podemos comparar o resultado com o preço à vista do bem a ser adquirido Aplicando a equação temos Isso significa que trazendo a valor presente cada parcela do financiamento pela taxa de juros da aplicação financeira obtemos um valor maior do que o pagamento à vista Ou seja valeria a pena pagar à vista pois sai mais barato do que as parcelas do financiamento trazidas a valor presente 7 Exercício 1 1 Um eletrodoméstico está sendo vendido por R 120000 à vista podendo ser pago em 3 prestações mensais e iguais de R 40000 sendo a primeira devida 1 mês após a data da compra Considerando uma taxa de juros de 15 am qual seria o desconto no preço para pagamento à vista para que as duas formas de pagamento sejam equivalentes Solução Passo a Passo Para que os fluxos sejam equivalentes precisamos que o valor presente do pagamento a prazo e o preço à vista já com o desconto sejam iguais Portanto precisamos calcular o valor presente do fluxo de pagamentos a prazo De acordo com o enunciado temos o seguinte fluxo Hoje Valor Presente Mês 1 R 40000 Mês 2 R 40000 Mês 3 R 40000 Como todos os pagamentos são iguais podemos chamálos de PMT e aplicar a fórmula que acabamos de ver VP 116488 Portanto o valor do desconto será Desconto R 120000 R 116488 Desconto R 3511 Solução o desconto deveria ser de R 3511 8 Observação outra forma de resolvermos o Valor Presente com a HP O valor presente desse fluxo de pagamento pode ser resolvido também diretamente na HP f x y Limpa as memórias financeiras g 8 Garante que primeiro pagamento ocorre ao fim do primeiro período 400 CHS PMT Entra o valor de cada Parcela 3 n Entra com o número de períodos 15 i Entra com a taxa de juros PV Calculará o Valor Presente A calculadora forneceu o valor de 116488 O mesmo valor ao qual chegamos anteriormente Valor Futuro O raciocínio do Valor Futuro é muito semelhante ao do Valor Presente levarmos todos os pagamentos para uma data específica Nesse caso para o fim do último período de pagamento A equação do Valor Futuro é a seguinte Perceba que cada parcela é levada até o último período pela taxa de juros correspondente ao período que resta até o último pagamento O último pagamento é multiplicado por 1 qualquer número elevado a zero resulta em 1 pois ocorre no fim de todo o período A equação geral do Valor Futuro é a seguinte Onde PMT valor de cada parcela de pagamento uniforme n número de períodos i taxa de juros ao período Aplicando essa equação ao nosso problema temos 9 1 Valor futuro das 10 prestações de 130000 Para tirar alguma conclusão precisamos comparar esse número com o valor futuro do preço à vista Para tanto devemos levar o valor à vista para o futuro utilizando a taxa de juros da aplicação financeira 2 Valor Futuro do valor à vista de 1200000 Qual dos dois pagamentos é preferível pagar o equivalente no final de 10 meses a 1360088 ou a 1325547 Como sempre se deseja pagar menos vale mais a pena o valor futuro equivalente de 1325547 ou seja nesse caso decidese por pagar 1200000 à vista ao invés de pagar 10 prestações de 130000 Cálculo do valor das parcelas O cálculo do valor das parcelas pode ser feito de duas formas a partir do Valor Presente ou a partir do Valor Futuro utilizandose as equações vistas acima Utilizando o Valor Presente temos Aplicando ao nosso exemplo Utilizando por sua vez o Valor Futuro temos 10 E aplicando ao nosso exemplo Esse valor é menor que os R 1300 das prestações Portanto ao aplicar os R 12000 no mercado financeiro obtemos um valor menor que o necessário para pagar as prestações Assim é recomendável fazer o pagamento à vista Exercício 2 2 Uma compra de R1000000 foi paga 20 à vista sendo o restante financiado em 4 prestações mensais iguais com juros de 5 am Qual o valor de cada prestação Solução Passo a Passo O primeiro passo para resolvermos essa questão é montarmos o fluxo de pagamentos do financiamento O enunciado diz que foi pago no ato 20 do valor da compra Ou seja R 200000 20 x R 10000 Bem se já foram pagos R 2000 no ato só foram financiados R 800000 R 10000 R 2000 Portanto o Valor Presente desse financiamento é R 800000 Então o fluxo do financiamento será Hoje Valor Presente R 800000 Mês 1 PMT Mês 2 PMT Mês 3 PMT Mês 4 PMT 11 Há duas maneiras de se descobrir o valor de cada prestação PMT através da fórmula ou da HP diretamente Vejamos cada uma delas Cálculo do PMT pela fórmula Cálculo do PMT pela HP f x y Limpa as memórias financeiras g 8 Garante que primeiro pagamento ocorre ao fim do primeiro período 8000 PV Entra o valor de cada parcela 4 n Entra com o número de períodos 5 i Entra com a taxa de juros PMT Calculará o Valor Presente O resultado fornecido também foi de 225609 Solução o valor de cada parcela será de R 225609 Fator de Financiamento Uma outra forma de calcularmos o valor das parcelas é através do Fator de Financiamento O Fator de Financiamento quando multiplicado pelo Valor Presente de um Fluxo Uniforme nos fornece diretamente o valor das parcelas de um financiamento Por exemplo imagine um vendedor em uma loja de automóveis que gostaria de informar ao cliente o valor das parcelas de um financiamento de um carro em 24 prestações mensais Para auxiliar o vendedor as financeiras normalmente disponibilizam uma tabela com os Fatores de Financiamento como a abaixo Número de Parcelas Fator de Financiamento 12 0091680 18 0063806 24 0049924 30 0041639 36 0036152 12 Portanto o vendedor simplesmente multiplica o Fator de Financiamen to para 24 prestações 0049924 pelo valor à vista do carro ou seja o Valor Presente do automóvel financiado Valor da prestação Fator de Financiamento x Valor Presente do Financiamento Se o preço do carro à vista é R 3000000 teremos Valor da prestação 0049924 x R 3000000 R 149772 Vejamos agora como as Financeiras calculam os Fatores de Financiamento O primeiro passo é obter o número de prestações e a taxa de juros do período Em nosso exemplo o número de prestações é 24 e os juros são 15 ao mês Depois podemos aplicar a fórmula apresentada anteriormente para cálculo do PMT a partir do Valor Presente apenas substituindo o VP por 1 Dessa forma teremos Aplicando a taxa de juros e o número de prestações na fórmula podemos verificar como a financeira obteve o Fator de Financiamento para 24 prestações mensais no exemplo acima Podemos adaptar a mesma lógica na HP12C e encontrarmos o Fator de Financiamento com a calculadora 13 Exercício 3 3 Qual o fator de financiamento usado para 6 pagamentos mensais e juros de 5 ao mês Solução Passo a Passo Nesse exercício também vamos encontrar o Fator de Financiamento pelos dois métodos utilizando a fórmula e a HP Vejamos cada um deles Cálculo do PMT pela fórmula Cálculo do PMT pela HP f x y Limpa as memórias financeiras 1 CHS PV Entra o Valor Presente como 1 6 n Entra com o número de períodos 5 i Entra com a taxa de juros PMT Calculará o Fator de Financiamento pelo Valor Presente O resultado fornecido também foi de 019702 Solução o Fator de Financiamento será 019702 12 Séries de Pagamentos Antecipados e Postecipados Até o momento trabalhamos com fluxos de pagamentos postecipados Isso significa que o primeiro pagamento ocorre no primeiro período posterior ao momento zero Como exemplo estamos trabalhando com um financiamento sem entrada Ou seja o primeiro pagamento ocorre no primeiro período após a compra Já os fluxos de pagamentos antecipados consideram o primeiro pagamento no momento zero Vejamos o nosso exemplo anterior com a primeira parcela tendo que ser paga no ato da compra 14 Valor Presente O Valor Presente em uma série uniforme de pagamentos antecipados é dado pela seguinte fórmula Aplicando ao nosso problema temos Note que o Valor Presente ficou ainda mais distante do valor da TV à vista o que é um sinal de que o fluxo antecipado é mais caro que o fluxo postecipado Valor Futuro Vejamos agora o cálculo do Valor Futuro Nesse caso temos 15 Aplicando ao problema temos Lembremos que devemos comparar esse valor com o Valor Futuro do preço à vista da TV levado ao futuro pela taxa de 1 R 1325547 Note que esse Valor Futuro antecipado é ainda mais distante do valor futuro do preço à vista da TV o que reforça a conclusão de que o fluxo de caixa antecipado é mais caro que o fluxo de caixa postecipado Prestações Por fim também podemos calcular o valor da prestação no fluxo antecipado Em nosso exemplo temos Lembrando que a prestação no fluxo postecipado era de R 126698 verificamos que a uma taxa de juros de 1 ao mês a prestação no fluxo antecipado ficaria ainda menor se comparada aos R 1300 da prestação real sendo mais uma evidência de que o fluxo antecipado é mais caro 16 2 SÉRIES DE PAGAMENTO UNIFORMEMENTE CRESCEN TES E DECRESCENTES Aqui abordaremos fluxos de pagamento que crescem ou decrescem em progressão aritmética a uma taxa constante chamada de G Voltemos ao nosso exemplo da TV Você recebeu duas outras ofertas em que as prestações são crescentes ou decrescentes Veja a seguir 17 Note que a soma das prestações é aproximadamente igual a R 13000 igual aos R 13000 do fluxo uniforme que vimos anteriormente Vejamos no entanto o que vai acontecer com o cálculo do valor presente e do valor futuro nesses novos fluxos Valor Presente O Cálculo do Valor Presente para fluxos uniformemente crescentes é calculado da seguinte forma Aplicando temos Comparando com o Valor Presente calculado na Série Uniforme R 1231270 verificamos que chegamos a um valor menor Era de se esperar uma vez que deixamos os pagamentos mais pesados para o final E o que acontecerá com a série uniformemente decrescente Vejamos Aplicando os números na fórmula temos Note que agora o Valor Presente é maior que aquele a que chegamos quando utilizamos a Série Uniforme Isso aconteceu porque a série começa com os pagamentos mais pesados os quais por estarem mais próximos da data de hoje pesam mais no valor final 18 Valor Futuro Podemos fazer o mesmo exercício de comparação utilizando o Valor Futuro da Série Vejamos primeiramente a série uniformemente crescente Aplicando os números na fórmula temos Comparando com o Valor Futuro da Série Uniforme R 1360088 notamos que chegamos a um valor menor indicando novamente que a série uniformemente crescente é mais leve para o devedor Vejamos agora a série uniformemente decrescente Aplicando os números na fórmula temos A exemplo do Valor Presente também o Valor Futuro do fluxo uniformemente decrescente supera o Valor Futuro da série uniforme E pelo mesmo motivo ou seja por concentrar os maiores pagamentos no início da série 19 3 SÉRIES DE PAGAMENTOS GENÉRICOS Vimos como funciona um fluxo de caixa uniforme ou seja pagamentos iguais feitos em períodos homogêneos Agora vamos generalizar esse conceito e considerar pagamentos ou recebimentos diferentes entre si feitos em períodos de tempo não homogêneos Veremos alguns casos particulares de fluxos de caixa genéricos fluxos diferidos fluxos com parcelas intermediárias fluxos perpétuos e fluxos irregulares Séries de pagamentos diferidos É muito comum lá pelo mês de setembro as lojas começarem a oferecer financiamentos do seguinte tipo compre agora e comece a pagar somente quando receber seu 13º Pois bem esse é um fluxo de caixa diferido pois o primeiro pagamento está alguns períodos distante da data de hoje Como exemplo digamos que você está de olho naquela TV de plasma A oferta é a seguinte 10 parcelas de R 1300 a primeira daqui a 4 meses Para melhor entender esse fluxo é muito útil que o representemos em uma reta do tempo como podemos ver a seguir Digamos que a mesma TV à vista custe R 12000 e a taxa de juros paga pelo mercado financeiro seja de 1 ao mês Vamos calcular o Valor Presente e o Valor desse fluxo de caixa Para tanto devemos trazer todos os fluxos para uma determinada data de modo a podermos utilizar as fórmulas vistas no fluxo de caixa uniforme Veja o diagrama a seguir A parte em azul representa um novo fluxo de caixa agora uniforme 20 são 10 parcelas de R 1300 Já calculamos o Valor Presente desse fluxo no material anterior Agora podemos substituir o fluxo antigo de 10 parcelas de R 1300 por um único fluxo de R 1231270 conforme o diagrama a seguir Por fim devemos trazer esse fluxo para a data de hoje utilizando a equação do desconto Perceba que agora vale a pena pegar o financiamento pois o seu Valor Presente é menor que o preço à vista Vejamos o Valor Futuro Podemos utilizar a equação do Valor Futuro que vimos no fluxo de caixa uniforme tomando o cuidado de usar o número correto de parcelas nesse caso 10 Ou seja mesmo que estejamos calculando o Valor Futuro no 13º mês utilizamos n 10 pois são dez as parcelas Para comparar com o preço à vista da TV devemos levar esse preço R12000 ao futuro Aqui utilizamos n 13 pois estamos levando o preço de hoje para o 13º mês Note que o preço à vista da TV no futuro é maior que o Valor Futuro das parcelas do financiamento Portanto vale a pena pegar o financiamento 21 Fluxos com pagamentos intermediários É muito comum vermos financiamentos imobiliários com parcelas intermediárias Veja o exemplo a seguir Vamos representar o negócio proposto Bloco A em um diagrama de fluxo de caixa considerando que a entrega das chaves se dará após 6 meses 23 Podemos reduzir esse fluxo de caixa com parcelas intermediárias em 3 fluxos de caixa uniformes 1º fluxo 48 parcelas mensais de R 525 2º fluxo 4 parcelas anuais de R 2500 3º fluxo 1 parcela semestral de R 15000 Considerando que uma aplicação financeira paga uma taxa de juros de 12 ao ano efetiva vamos calcular o valor presente desses 3 fluxos utilizando a equação para o fluxo de caixa uniforme 1º fluxo antes de mais nada é necessário calcular a taxa equivalente para 1 mês pois tratase de fluxos mensais e aplicando a fórmula temos 2º fluxo aqui não precisamos calcular a taxa equivalente pois trata se de um fluxo anual e a taxa já está em sua forma anual Portanto 3º fluxo dessa vez precisamos calcular a taxa equivalente semestral E o valor presente pode ser calculado simplesmente descontando o valor da parcela única O valor total do imóvel hoje seria então R 2000000 entrada R 2016612 parcelas mensais R 759337 parcelas anuais R 1417367 chaves R 6193316 TOTAL 24 Esse deveria ser o preço máximo a se pagar pelo imóvel à vista Para qualquer valor acima disso o financiamento seria mais interessante Vejamos o exemplo do imóvel Digamos que um imóvel está sendo alugado por R 1000mês Se a taxa de juros paga pelo mercado é de 1 ao mês qual seria o Valor Presente desse imóvel Portanto esse imóvel valeria R 100000 hoje Tiremos a prova dos noves consideremos um fluxo bastante longo por exemplo 100 anos 1200 meses e recalculemos o Valor Presente agora utilizando a equação do fluxo de caixa uniforme Ou seja um valor muito próximo daquele calculado com a equação do fluxo de caixa perpétuo Séries de pagamentos irregulares Até o momento analisamos fluxos de caixa que podiam ser reduzidos a fluxos uniformes Agora analisemos o caso de fluxos irregulares que não podem ser reduzidos a fluxos de caixa uniformes Vejamos um primeiro exemplo Digamos que você tenha comprado um imóvel com o seguinte fluxo de pagamentos Entrada R 40000 1ª parcela no 2º mês R 10000 2ª parcela no 5º mês R 20000 3ª parcela no 6º mês R 15000 4ª parcela no 10º mês R 5000 Pergunta qual o Valor Presente desse fluxo de caixa considerando que o mercado paga uma taxa de juros de 1 ao mês Para descobrir é necessário trazer a Valor Presente cada fluxo de caixa separadamente Sendo assim temos 25 4 EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA Dois fluxos de caixa são considerados equivalentes quando descontados por uma mesma taxa de juros geram os mesmos Valores Presentes Voltemos ao nosso exemplo imobiliário A um exame superficial ambos os Blocos de apartamentos parecem ter quase o mesmo preço Bloco A R 20000 4 x R 2500 R 15000 48 x R 525 R 70200 Blocos B e C R 15000 5 x R 4000 R 10000 60 x R 417 R 70020 Mas um profissional do mercado financeiro não pode simplesmente fazer essa conta primária Porque sabemos que o dinheiro tem valor no tempo e portanto precisamos descontálo pela taxa de juros Relembremos que o Valor Presente do Bloco A a uma taxa de juros de 12 ao ano era de R 6193316 Qual será o Valor Presente dos Blocos B e C Utilizando a metodologia vista anteriormente e considerando a mesma taxa de juros e que as chaves serão entregues daqui a 6 meses temos 60 parcelas mensais antes de mais nada é necessário calcular a taxa equivalente para 1 mês pois tratase de fluxos mensais e aplicando a fórmula temos 5 parcelas anuais aqui não precisamos calcular a taxa equivalente pois tratase de um fluxo anual e a taxa já está em sua forma anual Portanto 26 Entrega das chaves dessa vez precisamos calcular a taxa equivalente semestral E o valor presente pode ser calculado simplesmente descontando o valor da parcela única O valor total do imóvel hoje seria então R 1500000 entrada R 1901000 parcelas mensais R 1441910 parcelas anuais R 944912 chaves R 5787822 TOTAL Note então que o preço dos blocos B e C R 5787822 é menor que o preço do bloco A R 6193316 Esses dois fluxos não são equivalentes Qual deveria ser o valor das parcelas mensais para os blocos B e C para que esses fluxos fossem equivalentes O Valor Presente total deveria ser de R 6193316 Portanto o Valor Presente das parcelas mensais deveria ser de R 1901000 R 6193316 R 5787822 R 2306494 Invertendo a equação do valor presente de um fluxo de caixa uniforme temos Ou seja se as prestações mensais fossem iguais a R 50595 os dois fluxos de caixa seriam equivalentes 27 FIPECAFI Todos os direitos reservados A FIPECAFI assegura a proteção das informações contidas nesse material pelas leis e normas que regulamentam os direitos autorais marcas registradas e patentes Todos os textos imagens sons vídeos eou aplicativos exibidos nesse 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