Matriz: Definição, Tipologia e Operações Básicas em Econometria

Matrizes Definicao Tipologia e Operacoes Basicas em Econometria Matriz M CAD 208 Metodos Econometricos Aula 3 revisao de algebra matricial Aureliano Bressan FACEUFMG 2022 Aureliano Bressan CAD 208 Metodos Econometricos Matrizes Definicao Tipologia e Operacoes Basicas em Econometria Matriz M Temas desta aula 1 Matrizes Definicao Tipologia e Operacoes Basicas em Econometria 2 Matriz M Aureliano Bressan CAD 208 Metodos Econometricos Matrizes Definicao Tipologia e Operacoes Basicas em Econometria Matriz M Definicao e tipologia de matrizes Uma matriz e um arranjo retangular de numeros denotado por letras maiusculas em negrito Ja um vetor e um conjunto de numeros ordenados em uma linha ou coluna denotado em letras minusculas tambem em negrito Tipos comuns de matrizes em econometria Matrizes simetricas Matrizes diagonais Matriz escalar Matriz identidade Matriz triangular superior e inferior Aureliano Bressan CAD 208 Metodos Econometricos Matrizes Definicao Tipologia e Operacoes Basicas em Econometria Matriz M Definicao e tipologia de matrizes Uma matriz e um arranjo retangular de numeros denotado por letras maiusculas em negrito Ja um vetor e um conjunto de numeros ordenados em uma linha ou coluna denotado em letras minusculas tambem em negrito Tipos comuns de matrizes em econometria Matrizes simetricas Matrizes diagonais Matriz escalar Matriz identidade Matriz triangular superior e inferior Aureliano Bressan CAD 208 Metodos Econometricos Matrizes Definicao Tipologia e Operacoes Basicas em Econometria Matriz M Definicao e tipologia de matrizes Uma matriz e um arranjo retangular de numeros denotado por letras maiusculas em negrito Ja um vetor e um conjunto de numeros ordenados em uma linha ou coluna denotado em letras minusculas tambem em negrito Tipos comuns de matrizes em econometria Matrizes simetricas Matrizes diagonais Matriz escalar Matriz identidade Matriz triangular superior e inferior Aureliano Bressan CAD 208 Metodos Econometricos Matrizes Definicao Tipologia e Operacoes Basicas em Econometria Matriz M Manipulacao algebrica de matrizes Igualdade AB aik bik Transposicao BA bik aki Se A e simetrica entao AA Adicao de matrizes CAB aik bik Matrizes sao multiplicadas usando o produto interno o qual para dois vetores a e b e dado por ab a1b1 a2b2 anbn Assim para uma matriz A de ordem n K e uma matriz B de ordem K M a matriz produto C e uma matriz n M C AB cik a ibk Aureliano Bressan CAD 208 Metodos Econometricos Matrizes Definicao Tipologia e Operacoes Basicas em Econometria Matriz M Manipulacao algebrica de matrizes Igualdade AB aik bik Transposicao BA bik aki Se A e simetrica entao AA Adicao de matrizes CAB aik bik Matrizes sao multiplicadas usando o produto interno o qual para dois vetores a e b e dado por ab a1b1 a2b2 anbn Assim para uma matriz A de ordem n K e uma matriz B de ordem K M a matriz produto C e uma matriz n M C AB cik a ibk Aureliano Bressan CAD 208 Metodos Econometricos Matrizes Definicao Tipologia e Operacoes Basicas em Econometria Matriz M Manipulacao algebrica de matrizes Igualdade AB aik bik Transposicao BA bik aki Se A e simetrica entao AA Adicao de matrizes CAB aik bik Matrizes sao multiplicadas usando o produto interno o qual para dois vetores a e b e dado por ab a1b1 a2b2 anbn Assim para uma matriz A de ordem n K e uma matriz B de ordem K M a matriz produto C e uma matriz n M C AB cik a ibk Aureliano Bressan CAD 208 Metodos Econometricos Matrizes Definicao Tipologia e Operacoes Basicas em Econometria Matriz M Manipulacao algebrica de matrizes Igualdade AB aik bik Transposicao BA bik aki Se A e simetrica entao AA Adicao de matrizes CAB aik bik Matrizes sao multiplicadas usando o produto interno o qual para dois vetores a e b e dado por ab a1b1 a2b2 anbn Assim para uma matriz A de ordem n K e uma matriz B de ordem K M a matriz produto C e uma matriz n M C AB cik a ibk Aureliano Bressan CAD 208 Metodos Econometricos Seja i um vetor coluna de 1s Entdo n Sox x tx Xn ix i1 O r BroaB DAQAQ Seja i um vetor coluna de 1s Entdo n Sox x tx Xn ix i1 Se todos os elementos em x sdo iguais a uma constante a entdo x aie n S x iai aii na i1 O r eBr SF HAO oo Aureliano Bressan CAD 208 Métodos Econométricos Seja i um vetor coluna de 1s Entdo n Sox x tx Xn ix i1 Se todos os elementos em x sdo iguais a uma constante a entdo x aie n S x ai aii na i1 Se a 1n entdo obtemos a média aritmética de x 1c 1 x Sox ix né n i1 40 r Brac zB DAC Seja i um vetor coluna de 1s Entdo n Sox x tx Xn ix i1 Se todos os elementos em x sdo iguais a uma constante a entdo x aie n S x iai aii na i1 Se a 1n entdo obtemos a média aritmética de x 1g 1 x So xi IX ns n Logo temos um resultado util para derivacdes futuras no curso n So xi ix nx i1 oo Aureliano Bressan CAD 208 Métodos Econométricos A soma dos quadrados dos elementos de x e de x por y é n n 2 S x7 xx S xiyi xY i1 i1 O r BroaB DAQAQ A soma dos quadrados dos elementos de x e de x por y é n n S x xx S xvi xy i1 i1 E pela definicdo de multiplicagdo de matrizes Xs xpx1 é o produto interno da késima e ésima colunas de X 40 r Brac zB DAC oo Aureliano Bressan CAD 208 Métodos Econométricos Matrizes Definicao Tipologia e Operacoes Basicas em Econometria Matriz M Matrizes Inversas Uma matriz quadrada A p p possui inversa se existe uma matriz B p p tal que AB BA I Tal matriz B e denominada inversa de A e denotada A1 com as seguintes propriedades AB1 B1A1 A1A AA1 I A1 A1 A11 A Matrizes singulares sao matrizes que nao possuem inversa Aureliano Bressan CAD 208 Metodos Econometricos Matrizes Definicao Tipologia e Operacoes Basicas em Econometria Matriz M Matrizes Inversas Uma matriz quadrada A p p possui inversa se existe uma matriz B p p tal que AB BA I Tal matriz B e denominada inversa de A e denotada A1 com as seguintes propriedades AB1 B1A1 A1A AA1 I A1 A1 A11 A Matrizes singulares sao matrizes que nao possuem inversa Aureliano Bressan CAD 208 Metodos Econometricos Matrizes Definicao Tipologia e Operacoes Basicas em Econometria Matriz M Matrizes Inversas Uma matriz quadrada A p p possui inversa se existe uma matriz B p p tal que AB BA I Tal matriz B e denominada inversa de A e denotada A1 com as seguintes propriedades AB1 B1A1 A1A AA1 I A1 A1 A11 A Matrizes singulares sao matrizes que nao possuem inversa Aureliano Bressan CAD 208 Metodos Econometricos Matrizes Definicao Tipologia e Operacoes Basicas em Econometria Matriz M Uma matriz idempotente util Uma matriz idempotente e aquela que e igual ao seu quadrado ie M2 M M M Se M e uma matriz simetrica e idempotente entao MMM A matriz M e uma matriz fundamental em estatıstica utilizada em calculos importantes de regressao linear Veremos sua derivacao basica a seguir Aureliano Bressan CAD 208 Metodos Econometricos Matrizes Definicao Tipologia e Operacoes Basicas em Econometria Matriz M Uma matriz idempotente util Uma matriz idempotente e aquela que e igual ao seu quadrado ie M2 M M M Se M e uma matriz simetrica e idempotente entao MMM A matriz M e uma matriz fundamental em estatıstica utilizada em calculos importantes de regressao linear Veremos sua derivacao basica a seguir Aureliano Bressan CAD 208 Metodos Econometricos Matrizes Definicao Tipologia e Operacoes Basicas em Econometria Matriz M Uma matriz idempotente util Uma matriz idempotente e aquela que e igual ao seu quadrado ie M2 M M M Se M e uma matriz simetrica e idempotente entao MMM A matriz M e uma matriz fundamental em estatıstica utilizada em calculos importantes de regressao linear Veremos sua derivacao basica a seguir Aureliano Bressan CAD 208 Metodos Econometricos De inicio consideremos a matriz Mg ou N um caso especial da matriz M x oly x 1 ix iix iix n n x O r BroaB DAQAQ De inicio consideremos a matriz Mg ou N um caso especial da matriz M x L x 1 ix iix iix n n x A matriz 1nii 6 uma matriz n x n com todo elemento igual a 1n Ja o vetor de valores na forma de desvios é dado por xX xX x2 xX 1 x ix x iix n Xn X O r BroaB DAQAQ E uma vez que xIx temos entdo que o ultimo resultado pode ser reescrito como 1 1 1 x iix Ix iix I iix Mox n n n O r BroaB DAQAQ E uma vez que xIx temos entdo que o ultimo resultado pode ser reescrito como 1 1 1 ni c ni nil Mox n n n Note que os elementos na diagonal principal de Mg sao iguais a 1 1n e os elementos fora da diagonal sdo 1n 40 r Brac zB DAC oo Aureliano Bressan CAD 208 Métodos Econométricos E uma vez que xIx temos entdo que o ultimo resultado pode ser reescrito como cE ni c ni nit Mox n n n Note que os elementos na diagonal principal de Mg sao iguais a 1 1n e os elementos fora da diagonal séo 1n Esta matriz é util no calculo de somas do quadrado de desvios Vale destacar que os desvios simples em relacdo 4 média sao dados por n So xi X i Mox 0x 0 i1 oo Aureliano Bressan CAD 208 Métodos Econométricos Para uma VA x a soma dos quadrados dos desvios em relacao a média é n n Soxi xP 7 nx i1 i1 O r Bro eB NAS oo Aureliano Bressan CAD 208 Métodos Econométricos Para uma VA x a soma dos quadrados dos desvios em relacao a média é n n Ss x i1 i1 Em termos matriciais n S xi X xxixXi MoxMox xMgMox ij1 logo n So xi x xMox i1 40 r Brac zB DAO oo Aureliano Bressan CAD 208 Métodos Econométricos Matrizes Definicao Tipologia e Operacoes Basicas em Econometria Matriz M Matriz M Definicao Em notacao matricial a variacao amostral total de x pode ser representada por xNx com N 1 1 nii Que e o mesmo resultado da matriz M0 Ja para uma matriz X definimos a matriz M de modo analogo a derivacao anterior agora com Xi lembrando que iin M I XXX1X Aureliano Bressan CAD 208 Metodos Econometricos Matrizes Definicao Tipologia e Operacoes Basicas em Econometria Matriz M Matriz M Definicao Em notacao matricial a variacao amostral total de x pode ser representada por xNx com N 1 1 nii Que e o mesmo resultado da matriz M0 Ja para uma matriz X definimos a matriz M de modo analogo a derivacao anterior agora com Xi lembrando que iin M I XXX1X Aureliano Bressan CAD 208 Metodos Econometricos Matrizes Definicao Tipologia e Operacoes Basicas em Econometria Matriz M Leitura Recomendada Johnston DiNardo Apˆendice A Gujarati D Apˆendice B Aureliano Bressan CAD 208 Metodos Econometricos