Aula 9: Introdução a Econometria

Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 1 ESCOLA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ECONOMIA UCB NIVELAMENTO MÉTODOS QUANTITATIVOS Aula 9 Introdução a Econometria Material elaborado por Prof Dr Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Email carloscarrascogutierrezgmailcom Personal page httpssitesgooglecomviewcarloscarrascogutierrez Março de 2023 Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 2 1 Modelo de Regressão 11 Modelo de regressão linear simples Iniciaremos este estudo com o modelo de regressão linear O modelo de regressão linear SIMPLES é definido como 𝒚𝒊 𝛽0 𝛽1𝒙𝒊 𝜀𝑖 i 12 N 1 É conhecido por regressão simples porque tem apenas uma variável independente em que 𝐲 variável conhecida como endógena dependente explicada resposta prevista regressando indicado de impacto É uma variável OBSERVÁVEL 𝒙 variável conhecida como exógena independente explicativa controle previsora regressor É uma variável OBSERVÁVEL 𝜺 termo conhecido como erro da regressão desconhecido aliás nunca vamos saber o valor dele 𝛽0 e 𝛽1 são parâmetros populacionais da regressão desconhecidos na verdade NUNCA saberemos o valor deles Exemplo de modelo de regressão linear simples Estamos interessados em estudar se os anos de estudo influencia a renda do indivíduo Neste caso podemos definir as variáveis y 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑥 𝐸𝑑𝑢𝑐 O modelo de regressão simples é neste caso 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑖 𝛽0 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 𝜀𝑖 𝑖 12 𝑁 2 A equação 2 é escrita de uma forma geral para todos os indivíduos É possível escrever essa equação para cada indivíduo Suponha por exemplo que i1 João i2 Alberto i3 Erika iN Carlos Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 3 Então o modelo 2 pode ser escrito como i1 João 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎1 𝛽0 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐1 𝜀1 i2 Alberto 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎2 𝛽0 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐2 𝜀2 i3 Erika 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎3 𝛽0 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐3 𝜀3 iN Carlos 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑁 𝛽0 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐𝑁 𝜀𝑁 Algumas considerações Observe que existem N equações e não apenas uma Observe que os coeficientes 𝛽0 e 𝛽1 são os mesmos para todas as equações Observe que o erro de João é 𝜀1 e o erro do Carlos é 𝜀𝑁 ou seja existem outros fatores contidos no erro que explicam a renda de João e Carlos Podemos também colocar a renda de cada indivíduo em um vetor chamado apenas Renda Da mesma maneira podemos fazer para a variável educação e termo erro 𝑹𝒆𝒏𝒅𝒂 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎1 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑁 𝑬𝒅𝒖𝒄 𝑒𝑑𝑢𝑐1 𝑒𝑑𝑢𝑐𝑁 𝜺 𝜀1 𝜀𝑁 OBSERVAÇÃO Veja que apenas a variável renda e educ são observáveis o termo erro não é observável Ao trabalhar com dados reais poderemos apresentar essas variáveis em uma matriz com duas colunas para cada variável e N10 linhas Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 4 Tabela 1 Dados da renda e educação de N10 indivíduos Que tipo de base de dados representa São dados transversais Desenvolvemos um gráfico no STATA usando o comando scatter scatter renda educ O que é conhecido na prática 5000 10000 15000 20000 Renda 5 10 15 20 25 Educ Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 5 No modelo em estudo são conhecidas as variáveis Renda e Educação de cada indivíduo Por outro lado o termo erro 𝜀 e os parâmetros 𝛽0 e 𝛽1 são desconhecidos Para simplificar a equação 2 poderá ser escrita apenas da seguinte forma 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑖 𝛽0 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 𝜀𝑖 3 Ficara implícito que essa equação vale para os N indivíduos Neste exemplo queremos saber se a renda da pessoa i pode ser explicada pelos anos que ficou estudando Ao final a educação afeta a renda Em geral a renda do indivíduo pode depender de outros fatores por exemplo poderia ser influenciado pelo lugar onde o indivíduo mora pelo nível de experiência habilidade ou sexo homem ganha mais do que mulher entre outros No modelo de regressão linear SIMPLES temos apenas uma variável educação que é usado para explicar a renda consequentemente tudo o que não está no modelo fica no termo erro Exemplo Considere o modelo de regressão linear simples dado pela equação 3 𝑴𝒐𝒅𝒆𝒍𝒐 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑖 𝛽0 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 𝜀𝑖 𝑖 12 𝑁 Usando alguma base de dados o modelo pode ser estimado e o resultado apresentado como 𝑬𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒅𝒂 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑖 𝛽0 𝛽1 𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 6 Em que Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 6 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 é a renda estimada a partir da equação 6 𝛽0 e 𝛽1 são estimadores dos parâmetros 𝛽0 e 𝛽1 respectivamente Os pacotes econométricos STATA Rstudio Eviews Matlab Excel nos ajudam a encontrar as estimativas de 𝛽0 e 𝛽1 OBSERVAÇÃO i O modelo de regressão linear é diferente da equação estimada ii 𝛽0 e 𝛽1 são parâmetros ao passo que 𝛽0 e 𝛽1 são variáveis aleatórias conhecidas também como ESTIMADORES Em particular quando os estimadores assumem valores numéricos são chamados de ESTIMATIVAS Por exemplo 𝛽0 2 e 𝛽1 4 então eles são estimativas ii As variáveis 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 e 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 são DIFERENTES 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 é encontrada a partir da equação 6 e 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 é observada iii Na verdade a equação estimada é uma FUNÇÃO LINEAR para o caso do modelo de regressão linear simples com intercepto 𝛽0 e inclinação 𝛽1 Exercício FAZER Considere o modelo de regressão linear simples 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑖 𝛽0 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 𝜀𝑖 i 12 N Desejamos explicar através do modelo se a renda do indivíduo i é explicada pela sua educação Todos os outros fatores que poderão explicar a renda estão jogados no termo do erro 𝜀 Usando o Excel e a base de dados EXERCÍCIOAULAXLSX encontre evidencias para ver se a educação explica a renda usaremos os dados de 10 indivíduos n10 Pedese Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 7 a Encontre a equação estimada usando o estimador de MQO 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝛽0 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐 Use as equações encontradas b Quanto ganharia um indivíduo que estudou 1 ano c Quanto ganharia um indivíduo que estudou 2 anos d Monte uma tabela e encontre os resíduos Use o Excel ou STATA SOLUÇÃO a Usando agora a BASE DE DADOS da Tabela 1 podemos obter a equação estimada Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 8 Resultado do Excel Coeficientes Erro padrão Stat t valorP Interseção 8826086957 1017216434 0867671 0410845 Educ 7282608696 7171324585 1015518 757E06 𝑬𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒅𝒂 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑖 88260 72826𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 As estimativas 𝛽0 88260 e 𝛽1 72826 foram obtidas usando o Método de Mínimos Quadrados Ordinários MQO veremos mais adiante em que consiste este estimador 5000 10000 15000 20000 renda 5 10 15 20 25 educ cons 8826087 1017216 087 0411 1463097 3228314 educ 7282609 7171325 1016 0000 5628898 8936319 renda Coef Std Err t Pt 95 Conf Interval Total 184025000 9 204472222 Root MSE 12868 Adj Rsquared 09190 Residual 132478261 8 165597826 Rsquared 09280 Model 170777174 1 170777174 Prob F 00000 F1 8 10313 Source SS df MS Number of obs 10 regress renda educ Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 9 Representando a equação estimada A função linear 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑖 88260 72826𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 é representado na figura b Quanto ganharia um indivíduo que estudou 1 ano Logo educ 1 avaliado na função temos 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑖 88260 728261 88260 72826 161086 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 c Quanto ganharia um indivíduo que estudou 2 anos 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑖 88260 728262 88260 72826 233912 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 A primeira variável é observada e a segunda é obtida da equação estimada Podemos calcular o RESÍDUO da regressão da seguinte forma 5000 10000 15000 20000 5 10 15 20 25 Educ Renda Linear prediction Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 10 RESÍDUO DA REGRESSÃO 𝛆𝒊 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑖 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑖 O QUE É O RESÍDUO DE UMA REGRESSÃO ε𝑖 é o resíduo da regressão Estimativa do ERRO Faça um gráfico usando o comando SCATTER scatter A figura a seguir mostra o resíduo da regressão em função de id id Renda Educ Renda Estimada Resíduo Renda Renda Estimada 1 5000 5 452391 47609 2 6000 8 670870 70870 3 7000 9 743696 43696 4 10000 10 816522 183478 5 8000 11 889348 89348 6 9000 12 962174 62174 7 13000 14 1107826 192174 8 11000 16 1253478 153478 9 14500 20 1544783 94783 10 20000 25 1908913 91087 Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 11 2 Modelo de Regressão Linear MULTIPLA O modelo de regressão múltipla tem mais de uma variável exógena ou independente neste caso existem k variáveis independentes 𝑦𝑖 𝛽0 𝛽1𝑥𝑖1 𝛽2𝑥𝑖2 𝛽𝑘𝑥𝑖𝑘 𝜀𝑖 i 12 N 2 Exemplo Modelo de regressão múltipla Vimos alguns problemas do modelo de regressão linear simples É possível incorporar outras variáveis na análise Por simplicidade acrescentaremos apenas a variável dummy denominada de fem Essa variável toma valores iguais a 1 se o indivíduo i for mulher por isso chamamos de fem de feminino e valores iguais a 0 se for homem Modelo 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑖 𝛽0 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 𝛽2𝑓𝑒𝑚𝑖 𝜀𝑖 𝑖 12 𝑁 5 2000 1000 0 1000 2000 Residuals 0 2 4 6 8 10 id Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 12 Exemplo Estimouse pelo método de mínimos quadrados ordinários MQO o modelo de regressão múltipla 5 os resultados foram Equação estimada 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑖 𝛽0 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 𝛽2𝑓𝑒𝑚𝑖 Usando os dados amostra e o método MQO encontramos as seguintes estimativas 𝛽0 125 𝛽1 1012 𝛽2 20 temos 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑖 125 1012𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 20𝑓𝑒𝑚𝑖 8 Em que 𝑓𝑒𝑚 1 se for mulher e 0 se for homem A variável Renda está em reais por hora a Encontre quanto ganha um homem com 1 ano de estudo b Encontre quanto ganha uma mulher com 2 anos de estudo c Quem ganha mais um homem ou uma mulher ceteris paribus d Se o indivíduo i1 João tivesse estudado um ano a mais então quanto a mais a sua renda teria aumentado Resolução a 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝐻 125 1012𝑒𝑑𝑢𝑐𝐻 20𝑓𝑒𝑚𝐻 125 10121 200 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑚 125 10121 200 2262 Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 13 b 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟 125 1012𝑒𝑑𝑢𝑐𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟 20𝑓𝑒𝑚𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑀𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟 125 10122 201 1262 c Quem ganha mais um homem ou uma mulher VAMOS FALAR DO CONCEITO DE CETERIS PARIBUS A comparação entre homem e mulher tem que ser justa Renda do homem 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝐻 125 1012𝑒𝑑𝑢𝑐𝐻 200 125 1012𝑒𝑑𝑢𝑐𝐻 Renda da mulher 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑀 125 1012𝑒𝑑𝑢𝑐𝑀 201 125 1012𝑒𝑑𝑢𝑐𝑀 20 Considerando a hipótese de Ceteris Paribus 𝑒𝑑𝑢𝑐𝐻 𝑒𝑑𝑢𝑐𝑀 então temos 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝐻 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑀 125 1012𝑒𝑑𝑢𝑐𝐻 125 1012𝑒𝑑𝑢𝑐𝑀 20 20 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝐻 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑀 20 Outra forma Considere 𝑒𝑑𝑢𝑐𝐻 𝑒𝑑𝑢𝑐𝑀 5 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝐻 125 10125 631 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑀 125 10125 20 431 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝐻 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑀 631 431 20 Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 14 Para a comparação entre homem e mulher ser justa devemos usar o conceito Ceteris Paribus tudo o resto constante c Fazer e ver que a resposta é 1012 Suponha que joão estudou 1 ano 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎1 𝐽𝑂Ã𝑂 125 1012𝑒𝑑𝑢𝑐𝐽𝑂Ã𝑂 20𝑓𝑒𝑚𝐽𝑂Ã𝑂 125 10121 200 2262 Suponha que joão estudou 2 ano 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎2 𝐽𝑂Ã𝑂 125 1012𝑒𝑑𝑢𝑐𝐽𝑂Ã𝑂 20𝑓𝑒𝑚𝐽𝑂Ã𝑂 125 10122 200 3274 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎2 𝐽𝑂Ã𝑂 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎1 𝐽𝑂Ã𝑂 1012 Exercício FAZER EM CASA Considere o modelo de regressão linear simples 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑖 𝛽0 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 𝜀𝑖 𝑌 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑖 𝑋 𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 para i 12 N Objetivo do trabalho desejo saber se a educação afeta a renda no Brasil Hipótese de pesquisa Ho A educação afeta a renda Levantar uma base de dados Desejamos explicar através do modelo de regressão linear simples se a renda do indivíduo i é explicada pela sua educação Todos os outros fatores que poderão explicar a renda estão jogados no termo do erro 𝜀 Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 15 Para encontrar evidencias de que se a educação explica a renda usaremos os dados de 5 indivíduos n5 X Y id educ renda 1 8 3800 2 10 3500 3 14 5000 4 2 1000 5 12 4500 Pedese e Encontre a equação estimada usando o estimador de MQO 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝛽0 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐 Resultado usando o EXCEL Coeficientes Erro padrão Stat t valorP Interseção 5613207547 4741474146 1183852822 0321728658 X educ 3259433962 4703991549 6929081246 000616314 𝛽1 32594 𝛽0 56132 Logo a equação estimada resulta 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 56132 32594𝑒𝑑𝑢𝑐 Y 56132 32594X Use as equações encontradas f Encontre quanto seria a renda de um indivíduo que estudou 15 anos 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 56132 32594𝑒𝑑𝑢𝑐 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 56132 3259415 545042 Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 16 g Encontre quanto é a renda de um indivíduo que estudou apenas 3 anos 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 56132 325943 153914 h Monte uma tabela e encontre os resíduos id X educ Y renda 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 residuo Yrenda 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 1 8 3800 316884 63116 2 10 3500 382072 32072 3 14 5000 512448 12448 4 2 1000 12132 2132 5 12 4500 44726 274 Para o indivíduo i1 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 56132 325948 316884 Resíduo 1 380031688463116 Para o indivíduo i2 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 56132 3259410 382072 Resíduo 2 3500 382072 32072 No STATA 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝛽0 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐 cons 5613208 4741474 118 0322 9476279 2070269 Xeduc 3259434 4703992 693 0006 1762414 4756454 Yrenda Coef Std Err t Pt 95 Conf Interval Total 9572000 4 2393000 Root MSE 43318 Adj Rsquared 09216 Residual 562924528 3 187641509 Rsquared 09412 Model 900907547 1 900907547 Prob F 00062 F1 3 4801 Source SS df MS Number of obs 5 regress Yrenda Xeduc Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 17 𝛽1 32594 𝛽0 56132 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 56132 32594𝑒𝑑𝑢𝑐 CONCEITOS PARA INFERENCIA ESTATÍSTICA 3 Teste de Hipótese Estudaremos dois testes de hipóteses a Teste individual dos parâmetros teste tstudents 11 Teste individual A educação afeta a renda Usaremos o teste tstudents principalmente para testar se uma variável independente influencia a variável dependente no modelo de regressão linear Observe que é um teste individual Por exemplo no modelo 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑖 𝛽0 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 𝛽2𝑓𝑒𝑚𝑖 𝜀𝑖 𝑖 12 𝑁 Em que 𝑓𝑒𝑚𝑖 1 se o indivíduo i é uma mulher e 0 se for homem Queremos saber se a educação influencia a renda do indivíduo portanto devemos fazer o teste para o parâmetro 𝛽1 que relaciona a variável educação com a renda 𝐻0 𝛽1 0 𝐻1 𝛽1 0 Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 18 Observe que se a conclusão do teste é a não rejeição da hipótese nula aceita a nula concluímos que 𝛽1 0 isto é no modelo de regressão temos que 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 0𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 0 ou seja a educação não afeta a renda Caso contrário ao rejeitar a hipótese nula concluímos que 𝛽1 0 afirmando que a educação influencia a renda O sexo afeta a renda Ou seja o homem ganha mais do que mulher Podemos também fazer outro teste desta vez queremos saber se o sexo afeta a renda do indivíduo então procedemos da mesma maneira só que agora testaremos para o coeficiente 𝛽2 𝐻0 𝛽2 0 𝐻1 𝛽2 0 𝛼 5 A seguir mostraremos os procedimentos do teste de hipótese tstudents 12 Passos para o teste de hipótese teste tstudents Passo 1 Encontre os graus de liberdade GL da distribuição tstudents GL nk n número de observações k número de parâmetros Exemplo para n100 e k3 temos GL100397 Passo 2 Defina o nível de significância 𝛼 𝛼 P erro tipo 1 nível de significância do teste O 𝛼 é escolhido pelo pesquisador e pode tomar valore de 𝛼 1 𝜶 5 ou 𝛼 10 O mais usado é o nível de 5 Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 19 Passo 3 Veja se o teste é unilateral ou bilateral Por exemplo para o nível de significância 𝛼 5 005 temos um teste bilateral e outro unilateral Teste Bilateral 𝐻0 𝛽1 0 𝐻1 𝛽1 0 Teste Unilateral 𝐻0 𝛽1 0 𝐻1 𝛽1 0 ou 𝐻0 𝛽1 0 𝐻1 𝛽1 0 Observação O teste unilateral para as hipóteses 𝐻0 𝛽1 0 vs 𝐻1 𝛽1 0 terá a região de rejeição a direita Passo 4 Busque na tabela a estatística tabelada conhecida também como ponto crítico Com o valor do nível de significância 𝛼 e GLnk encontramos usando a tabela tstudents o ponto crítico 𝑡𝛼 2 ponto crítico para o teste bilateral 𝑡𝛼 ponto crítico para o teste unilateral direita Exemplo Para o teste bilateral para o nível de significância 𝛼 5 005 n19 e k3 temos que GL193 16 A tabela mostra as probabilidades para a extremidade superior Então como o teste é bilateral entramos na tabela com o valor de 𝛼 2 0025 coluna quatro e GL 16 Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 20 Então o valor crítico ou tabelado é 𝑡𝛼 2 𝑥0 21199 Até este ponto não usamos nenhuma informação da amostra apenas a teoria amostral e probabilidade Passo 5 Use a base de dados para encontrar a estatística calculada tcal Este passo consiste em estimar o modelo por MQO e logo encontrar as estimativas dos parâmetros o erro padrão para logo encontrar a estatística tcalculada Para o teste de hipótese do parâmetro 𝛽1 𝐻0 𝛽1 0 𝐻1 𝛽1 0 a estatística tcal é definida como 𝑡𝑐𝑎𝑙 𝛽1 𝐸𝛽1 𝑉𝑎𝑟 𝛽1 𝛽1 𝛽1𝐻0 𝑣𝑎𝑟 𝛽1 𝛽1 𝑣𝑎𝑟 𝛽1 72826 717132 1016 em que 𝛽1𝐻0 é o valor do parâmetro 𝛽1 quando a hipótese nula é verdadeira Neste caso 𝛽1𝐻0 0 𝐸𝛽1 𝛽1𝐻0 Propriedade conhecida como não viés não tendencioso Assumimos que é satisfeita 𝑣𝑎𝑟𝛽1 𝜎𝛽1 EP𝛽1 DP 𝛽1 EP Erro Padrão Standard Erro Std Err 𝛽1 calculado a partir da base de dados 𝜎𝛽1 calculado a partir da base de dados Graus de Liberdade 01 005 0025 001 0005 12 13562 17823 21788 26810 30545 13 13502 17709 21604 26503 30123 14 13450 17613 21448 26245 29768 15 13406 17531 21314 26025 29467 16 13368 17459 21199 25835 29208 17 13334 17396 21098 25669 28982 X0 Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 21 Logo 𝒕𝒄𝒂𝒍 𝜷𝟏 𝝈𝜷𝟏 𝜷𝟏 𝐄𝐏 𝜷𝟏 𝜷𝟏 𝐃𝐏 𝜷𝟏 1 Conclusão do teste Se 𝑡𝛼 2 tcal 𝑡𝛼 2 então NÃO REJEITA H0 Se tcal 𝑡𝛼 2 ou tcal 𝑡𝛼 2 então REJEITASE H0 2 Pvalor P 𝑡tcal Regra de decisão usando o Pvalor Nível de significância Outro ponto que merece atenção em relação aos testes de hipóteses é o conceito de nível de significância normalmente escolhido pelo pesquisador Todo teste de hipótese está sujeito a um nível de erro conhecido também como probabilidade do erro do tipo I ou nível de significância denotado pela letra grega 𝛼 Os valores típicos da probabilidade do erro tipo I usados na literatura são 𝛼 1 𝛼 5 e 𝛼 10 O valor que usaremos para a análise de avaliação de impacto é 𝛼 5 Pvalor Finalmente apresentamos o conceito de Pvalor para os testes de hipóteses O Pvalor é uma probabilidade e portanto varia entre zero e 100 e é calculado a partir da amostra em estudo e certas hipóteses de distribuição de probabilidades que variam conforme o tipo de teste de hipótese a ser usado Normalmente os diferentes pacotes estatísticos até o próprio Excel oferecem as estimativas do Pvalor para o teste de médias e análise de regressão cons 1 1468279 068 0545 367272 567272 x1000 1 2548236 392 0029 1890376 1810962 y1000unid Coef Std Err t Pt 95 Conf Interval Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 22 Definição Pvalor Definimos o Pvalor para um teste bilateral como a probabilidade de se obter uma estatística de teste 𝑡 igual ou mais extrema que aquela estatística calculada a partir de uma amostra 𝑡𝑐𝑎𝑙 quando a hipótese nula é verdadeira Em outras palavras 𝑃𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃𝑡 𝑡𝑐𝑎𝑙 Em que 7𝑃 denota a medida de probabilidade 𝑡 é a estatística de teste 𝑡𝑐𝑎𝑙 é a estatística de teste calculada a partir da amostra é o valor absoluto Em geral podemos seguir uma regra geral que permite concluir sob todo teste de hipótese usando apenas os conceitos de Pvalor e nível de significância 𝛼 Regra geral Se o 𝑃𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝛼 então rejeitamos a hipótese nula ou Se o 𝑃𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝛼 então não rejeitamos a hipótese nula No caso de igualdade o pesquisador fica indiferente na escolha Exercício Seja o modelo de regressão linear múltipla 𝑌 𝛽0 𝛽1𝑋1 𝛽2𝑋2 𝜀 Suponha que desejamos explicar o salário por duas variáveis educação e experiência Escrevemos o modelo de regressão linear da seguinte forma 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑎𝑖 𝛽0 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 𝛽2𝑒𝑥𝑝𝑖 𝜀𝑖 𝑖 12 𝑛 1 Em que Renda é a rendahora em reais educ é a o número de anos que uma pessoa estudou e exp é a experiência que a pessoa tem no trabalho Após usarmos dados e estimarmos o modelo de regressão podemos obter a equação estimada 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑖 𝛽0 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 𝛽2𝑒𝑥𝑝𝑖 2 Em que 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑎 é a renda estimada pela equação 2 e 𝛽0 𝛽1 𝑒 𝛽2 são os estimadores dos respectivos parâmetros Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 23 Usando as equações 1 e 2 podemos fazer inferência estatística em relação aos parâmetros do modelo populacional 1 Por exemplo para testar se a variável educação tem um impacto na renda testamos sob o parâmetro que associa a educação com a renda que é o 𝛽1 𝐻0 𝛽1 0 3 𝐻1 𝛽1 0 Se a hipótese nula 𝐻0 é rejeitada então a hipótese alternativa 𝐻1 é a escolhida Neste caso afirmamos que 𝛽1 0 e consequentemente concluímos que a educação tem um impacto na renda da população Em caso de não rejeitar a hipótese nula aceitase 𝐻0 concluímos que 𝛽1 0 e consequentemente afirmaremos que a educação não afeta a renda O teste é desenvolvido tendo em consideração a probabilidade do erro tipo I conhecido também como nível de significância de 𝛼 Para desenvolver o teste precisamos encontrar a estatística t calculada 𝑡𝑐𝑎𝑙 𝛽1 𝛽1𝐻0 𝜎𝛽1 𝑡𝑛𝑘 4 Em que 𝛽1𝐻0 é o valor de 𝛽1 quando a hipótese nula é verdadeira ou seja 𝛽1𝐻0 0 Logo 𝑡𝑐𝑎𝑙 𝛽1 0 𝜎𝛽1 𝛽1 𝜎𝛽1 5 Regra Se o valor 𝑡𝛼 2 𝑡𝑐𝑎𝑙 𝑡𝛼 2 então não rejeita 𝐻0 Se o valor 𝑡𝑐𝑎𝑙 𝑡𝛼 2 ou se 𝑡𝑐𝑎𝑙 𝑡𝛼 2 então rejeitase 𝐻0 Em que 𝑡𝛼 2 e 𝑡𝛼 2 são os valores críticos encontrados da tabela 𝑡student ao nível de significância de 𝛼 Os graus de liberdade é calculado como 𝑔𝑙 𝑛 𝑘 tal que n é o número de observações da amostra e k o número de parâmetros do modelo Vamos colocar essa informação em prática Usando uma amostra de tamanho 𝑛 63 estimouse o modelo de regressão linear 1 pelo método de mínimos quadrados ordinários MQO resultando a equação estimada Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 24 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑎 21 141 71 322 𝑒𝑑𝑢𝑐 02 001 𝑒𝑥𝑝 6 Ou seja os estimadores de MQO dos parâmetros 𝛽0 𝛽1 e 𝛽2 são 𝛽0 21 𝛽1 71 𝑒 𝛽2 02 Os valores em parêntesis representam os erros padrões dos estimadores O erro padrão de 𝛽0 pode ser definido como 𝜎𝛽0 𝑉𝑎𝑟𝛽0 141 O erro padrão standard erro é a raiz quadra da variância do estimador Da mesma maneira para os outros dois estimadores os erros padrões são 𝜎𝛽1 e 𝜎𝛽2 Observe que o erro padrão é usado no teste de hipótese para calcular a estatística tstudent conhecido também como 𝑡𝑐𝑎𝑙 mostrado na equação 4 Admitindo um nível de significância de 𝛼 5 Pedese a Conclua se a educação influencia a Renda Faça o teste 3 b Conclua se a experiência influencia a Renda teste 𝐻0 𝛽2 0 vs 𝐻1 𝛽2 0 c Conclua se a constante 𝛽0 é estatisticamente igual a zero teste 𝐻0 𝛽0 0 vs 𝐻1 𝛽0 0 d Usando a equação estimada 5 encontre o valor da renda para um indivíduo que estudou 10 anos e teve 5 anos de experiência no mercado e Apresente num gráfico o Pvalor do teste 3 SOLUÇÃO 𝑡𝑐𝑎𝑙 𝛽1 𝛽1𝐻0 𝜎𝛽1 𝑡𝑛𝑘 𝑡𝑐𝑎𝑙 71 0 322 220 Encontrando os pontos críticos 𝑡𝛼 2 e 𝑡𝛼 2 Busco na tabela da tstudents com 𝛼 5 Na calda superior entro com 𝛼 2 0025 e com GLnk633 60 Logo 𝑡𝛼 2 2 Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 25 Finamente como 𝑡𝑐𝑎𝑙 220 2 𝑡𝛼 2 REJEITAMOS H0 Ou seja a educação afeta a renda ao nível de significância de 𝛼 5 Exemplo Usando a base de dados RENDAXLSX estime o modelo 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑖 𝛽0 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 𝛽2𝑓𝑒𝑚𝑖 𝜀𝑖 𝑖 12 𝑁 a Testar se educação afeta a renda Considere o nível de significância de 𝛼 5 b Testar se há diferença de salário entre um homem e uma mulher Considere o nível de significância de 𝛼 5 c Coloque as estrelinhas encima dos coeficientes da equação estimada mostrando a sua significância estatística ao 1 5 e 10 d Encontre o R2 e R2ajustado da regressão RESOLUÇÃO A equação estimada é cons 3043472 5456765 558 0000 1965866 4121078 fem 2713072 5754177 471 0000 3849411 1576732 educ 2068189 6074883 340 0001 8685165 3267862 renda Coef Std Err t Pt 95 Conf Interval Total 236712238 163 145222232 Root MSE 3537 Adj Rsquared 01385 Residual 201420884 161 125106139 Rsquared 01491 Model 352913536 2 176456768 Prob F 00000 F2 161 1410 Source SS df MS Number of obs 164 regress renda educ fem Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 26 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑖 𝛽0 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 𝛽2𝑓𝑒𝑚𝑖 Substituindo os valores 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑖 30434 2068𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 27130𝑓𝑒𝑚𝑖 a 𝐻0 𝛽1 0 3 𝐻1 𝛽1 0 Encontrando os pontos críticos Encontrando os pontos críticos 𝑡𝛼 2 e 𝑡𝛼 2 Usamos a tstudent com GL n k 164 3161 logo 𝑡𝛼 2 196 Encontrando o tcal 𝑡𝑐𝑎𝑙 𝛽1 𝛽1𝐻0 𝜎𝛽1 𝛽1 0 𝜎𝛽1 2068 607 34 Logo como o tcal 𝑡𝛼 2 então REJEITAMOS Ho Ou seja a educação afeta a renda Usando o PVALOR para concluir o teste PVALOR 0001 𝛼 5 005 LOGO REJEITAMOS Ho Portanto afirmamos que a educação afeta a renda b 𝐻0 𝛽2 0 3 𝐻1 𝛽2 0 Usamos diretamente o PVALOR 0000 𝛼 5 005 Rejeitamos Ho O sexo influencia a renda c 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑖 30434 2068𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖 27130𝑓𝑒𝑚𝑖 Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 27 d ANEXO Teste de Hipótese Teste tstudents Considere o modelo 𝑦𝑖 𝛽0 𝛽 1𝑥𝑖 𝜀𝑖 Podemos testar se 𝐻0 𝛽1 0 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥 𝑛ã𝑜 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑦 𝐻1 𝛽1 0 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑦 Inferência Estatística 𝛼 𝑃𝑡 𝑡𝛼 2 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐼 𝑡𝛼 2 𝑡 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑘1 é 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 Na prática 𝛼 assume valores de 1 5 e 10 Rejeição rejeição de H0 pode ser 1 5 10 Pvalor é o valor da probabilidade 𝑃𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝛼 005 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑛ã𝑜 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐻0 Em geral Para todos os testes de Hipóteses se cumpre 𝑃𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝛼 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑛ã𝑜 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐻0 𝑃𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝛼 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐻0 Neste caso você precisa saber 1 Valor de 𝛼 2 Saber qual Hipótese é nula e Hipótese alternativa 3 Saber a Estatística do teste 4 Saber se é um teste unilateral ou bilateral Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 28 Modelo de regressão linear múltipla e o Estimador de MQO Seja o modelo de regressão linear múltipla 𝑌𝑖 𝛽0𝛽1𝑋𝑖1𝛽2𝑋𝑖2 𝛽𝑘𝑋𝑖𝑘 𝜀𝑖 𝑖 123 𝑛 𝑖 1 𝑌1 𝛽0 𝛽1𝑋11𝛽2𝑋12 𝛽𝑘𝑋1𝑘 𝜀1 𝑖 2 𝑌2 𝛽0 𝛽1𝑋21𝛽2𝑋22 𝛽𝑘𝑋2𝑘 𝜀2 𝑖 𝑛 𝑌𝑛 𝛽0 𝛽1𝑋𝑛1𝛽2𝑋𝑛2 𝛽𝑘𝑋𝑛𝑘 𝜀𝑛 Podemos escrever como 𝑌 𝑋𝛽 𝜀 ou 𝑌1 𝑌2 𝑌𝑛 1 𝑋11 𝑋12 𝑋1𝑘 1 𝑋21 𝑋22 𝑋2𝑘 1 𝑋𝑛1 𝑋𝑛2 𝑋𝑛𝑘 𝛽1 𝛽2 𝛽𝑘 𝜀1 𝜀2 𝜀𝑛 Ou seja 𝑌𝑛1 𝑋𝑛𝑘1𝛽𝑘11 𝜀𝑛1 Em que 𝑌 𝑌1 𝑌2 𝑌𝑛 𝑛1 𝑋 1 𝑋11 𝑋12 𝑋1𝑘 1 𝑋21 𝑋22 𝑋2𝑘 1 𝑋𝑛1 𝑋𝑛2 𝑋𝑛𝑘 𝑛𝑘1 𝜀 𝜀1 𝜀2 𝜀𝑛 𝑛1 𝛽 𝛽1 𝛽2 𝛽𝑘 Estimador de MQO Interpretação gráfica Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 29 Seja o modelo de regressão linear escrito na forma vetorial 𝑌 𝑋𝛽 𝜀 𝑌 𝑌1 𝑌2 𝑌𝑛 𝛽 𝛽0 𝛽1 𝛽𝑘 𝑋 1 𝑋11 𝑋12 𝑋1𝑘 1 𝑋21 𝑋22 𝑋2𝑘 1 𝑋𝑛1 𝑋𝑛2 𝑋𝑛𝑘 𝑛𝑘1 Desenhamos o vetor 𝑌 no espaço de dimensão 𝑛 e o espaço SX gerado pelas colunas linearmente independentes da matriz 𝑋 𝑌 𝑌 𝜀 𝜀 𝑌 𝑌 𝜀 𝑌 𝑋𝛽 A Equação estimada é definida como 𝑌 𝑋𝛽 A iésima linha desta equação pode ser representada como 𝑌𝑖 𝛽0 𝛽1𝑋𝑖1𝛽2𝑋𝑖2 𝛽𝑘𝑋𝑖𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 123 𝑛 Como qualquer vetor 𝑥 do espaço S𝑋 é ortogonal ao vetor de resíduos 𝜀 então o produto interno é zero Ou seja para algum vetor 𝑥 𝑆𝑋 e 𝑦 ℝ𝑛 em que 𝑥 e y são ortogonais se cumpre que o produto interno entre 𝑥 e 𝑦 é zero ou seja Aula 9 Introdução a Econometria Copyright 2023 de Carlos Enrique Carrasco Gutierrez Todos os Direitos Reservados 30 Se 𝑥 𝑦 então 𝑥 𝑦 0 Isto implica que 𝑥𝑦 0 A matriz X contem nas colunas vetores no espaço SX logo cada vetor será ortogonal ao vetor de resíduo 𝜀 Logo se cumpre 𝑋𝜀 0 𝑋𝑌 𝑋𝛽 0 𝑋𝑋𝛽 𝑋𝑌 𝛽 𝑋𝑋1𝑋𝑌 Em que 𝛽 é o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários MQO