10 Questões Calculo 1

A melhor função afim que aproxima fx 35x3 35x em torno de x 1 é da forma αx mx c para certas constantes reais m e c A soma m c é igual a Seja fx x2 98x 2022 Se fa 0 qual o valor de a Considere a função f R R dada pelo determinante fx det 32x1 5x2 60x2 7x que calcula a área do paralelogramo de vértices 00 A 32x1 60x2 B 5x2 7x A B 37x1 67x2 Qual o valor da taxa de variação desta área para x 2 Em outras palavras qual o valor de f2 Considere a função fx 2x 13 5x 32 Calculando a diferencial df def fx dx fx obtemos Lembre que escrevemos ax bx mod dx2 para indicar que a diferença ax bx é um múltiplo de dx2 df 12x2 54x 24dx mod dx2 df 10x2 24x 12dx mod dx2 df 24x2 74x 24dx mod dx2 df 12x2 74x 24dx mod dx2 df 12x2 74x 12dx mod dx2 1 A melhor função afim que aproxima f é a reta tangente no ponto cuja equação é y fx0 fx0 x x0 No nosso caso fx 35x3 35x x0 1 Vamos escrever a equação a fim de transformála na forma αx mx c De fato fx 335x2 35x0 335x2 35 105x2 35 No ponto x0 1 f1 10512 35 105 35 140 Além disso f1 3513 351 70 Ou seja na equação y 70 140x 1 y 140x 140 70 y 140x 70 αx 140x 70 m c m c 140 70 70 2 Vamos calcular fx fx x2 98x 2022 fx 2x 98 0 2x 98 Portanto f2 22 98 0 2a 98 a 982 49 a 49 Lembre que para todo inteiro n 0 1 x x2 x3 xn xn1 1 x 1 Utilizando este fato podemos calcular a soma 20 1 21 2 22 3 23 4 2138 139 O resultado é da forma A 2139 1 para certo inteiro A Qual 9 A melhor função linear que aproxima fx 36x3 83x2 45x em torno de x 0 é da forma ℓx mx para algum inteiro m Qual 10 A derivada de y 61x10 é da forma dydx nxm para certos números m e n Qual o valor de 6 m n Lembre que uma função f R R é uma transformação linear se ela leva combinações lineares em combinações lineares ou seja satisfaz fax by afx bfy para quaisquer a b x y R Dentre as seguintes funções de R em R marque todas que são transformações lineares Uma alternativa errada anula uma correta fx 7x 3 a função que converte a temperatura x dada em graus Celsius na temperatura fx em graus Fahrenheit a função que converte a temperatura x dada em graus Fahrenheit na temperatura fx em graus Celsius fx x a função que para cada comprimento x em centímetros associa o valor correspondente fx em polegadas a função perímetro fx de um quadrado de lado x a função área fx de um quadrado de lado x a função identicamente nula ie fx 0 para todo x R 3 Primeiramente vamos calcular o determinante fx det 32x1 5x2 60x2 7x 32x17x 5x260x2 7x32x 7x 5x60x 5x2 260x 22 224x2 7x 300x2 10x 120x 4 76x2 117x 4 fx 76x2 117x 4 A taxa de variação é expressa pela derivada fx 152x 117 Em x 2 f2 304 117 187 4 fx 2x13 5x32 Vamos calcular a derivada de f fx ddx 2x13 ddx 5x32 322x12 255x3 62x12 105x3 64x2 4x 1 105x3 24x2 74x 24 dfdx 24x2 74x 24 df 24x2 74x 24 dx df 24x2 74x 24 dx moddx2 pois df 24x2 74x 24 dx 0 0dx2 Múltiplo Seja rx o resto da divisão de x1920 75x656 464 por x2 2x 1 Calcule r1 5 2⁰1 2¹2 2²3 2³4 2¹³⁸139 Observe que os elementos acima são da forma 2ᵏk1 2⁰1 2⁰01 2¹2 2¹11 2²21 Então queremos calcular k0 até 138 2ᵏk1 k0 até 138 2ᵏ k1 até 138 2ᵏk a b Para o termo a usamos a fórmula do enunciado com x2 e n138 k0 até 138 2ᵏ 2⁰ 2¹ 2¹³⁸ 2¹³⁹121 2¹³⁹ 1 Agora defina Fx x⁰ x¹ x² x¹³⁸ k0 até 138 xᵏ e derivea Fx 1 2x 3x² 138x¹³⁷ k1 até 138 kxk1 Obtivemos uma expressão na forma k1 até 138 kxk1 mas queremos k1 até 138 kxᵏ para isso veja que xFx xk1 até 138 kxk1 k1 até 138 kxᵏ E para x2 2F2 k1 até 138 2ᵏk que é a expressão que desejamos Mas observe que Fx 1 x x² x¹³⁸ x¹³⁹ 1x1 Fx x¹³⁹ 1x1 Se fx 5x 2 3x 1 então 11 f16 é igual a Fx 139x¹³⁸x1 x¹³⁹ 1 x1² xFx x 139x¹³⁸x1 x¹³⁹ 1 x1² Logo em x2 2F2 21392¹³⁸21 2¹³⁹ 1 1392¹³⁹ 2 2 1392¹³⁹ 22¹³⁹ 2 13922¹³⁹ 2 1372¹³⁹ 2 Ou seja a expressão b vale 1372¹³⁹ 2 Agora basta somar ab para obter a soma desejada 1372¹³⁹ 2 2¹³⁹ 1 13712¹³⁹ 1 1382¹³⁹ 1 A Portanto A138 6 a fx 7x 3 não é linear f0 3 mas aplicação linear sempre deve levar zero no zero se T é linear T0 T0x 0Tx 0 x R b Nesse caso fx 9x5 32 e f0 32 0 portanto não é linear c Agora fx 59x32 e f0 1609 0 portanto não é linear d fx x é linear sejam abxy R fax by ax by ax by afx bfy e A função é fx x254 e é linear fax by 2ax by254 2x254 by254 afx bfy f O perímetro do quadrado é fx 4x linear fax by 4ax by 4ax 4by a4x bfy afx bfy g A função área não é linear fx x² pois f22 f4 4² 16 f2 f2 2² 2² 8 h A função nula é linear pois fax by 0 0 0 20 b0 afx bfy 7 Se rx é o resto da divisão de x¹⁹²⁰ 75x⁶⁵⁶ 464 por x² 2x 1 então deve existir um polinômio Qx tal que x¹⁹²⁰ 75x⁶⁵⁶ 464 Qxx² 2x 1 rx Derivando dos dois lados regra do produto 1920x 65675x⁶⁵⁵ Qxx² 2x 1 Qx2x 2 rx Em x1 obtemos 1920 656751 Q11 2 1 Q12 2 r1 r1 1920 65675 51120 8 fx 5x23x1 Derivando com a regra do quociente fx 53x1 35x2 3x1² 15x515x6 3x1² 11 3x1² Em x16 f16 11 481² 11 2209 1f16 1112209 2209 9 Novamente a equação da reta tangente y fx₀ fx₀x x₀ Tomando x₀0 f00 e fx 336x² 832x 45 f0 0² 0 45 45 Logo lx mx y 45x m 45 10 y ⁶1x¹⁰ Temos que y 1x¹⁰16 x¹⁰16 apenas por propriedades de raízes Com isso y x106 Derivando com a regra do tombo dydx 106 x106 1 106 x166 53 x83 Logo m 83 e n 53 6mn 683 53 6133 26 RESPOSTA 26