Análise Combinatória Nível Médio Graduação

1 Uma das muitas aplicações da combinatória é prever a probabilidade de certos eventos ocorrerem Se um experimento tem M realizações possíveis todas igualmente prováveis e dentre essas realizações há N realizações favoráveis a certo evento de interesse então a probabilidade de o evento de interesse ocorrer é simplesmente NM Assim por exemplo o lançamento de um dado tem 6 realizações possíveis os números de 1 a 6 e qualquer uma das realizações tem a mesma probabilidade de ocorrer Se o evento de interesse for sair um número par então há 3 realizações favoráveis 2 4 6 de modo que a probabilidade do evento é 36 05 Esse é um exemplo simples mas já se pode vislumbrar nele a utilidade das ferramentas da combinatória contar a quantidade de eventos possíveis e a quantidade de eventos favoráveis e assim determinar a probabilidade de certo evento ocorrer Lembrese da fórmula da probabilidade do evento finito E ocorrer assumindo que as realizações possíveis são todas igualmente prováveis probabilidade de E 𝑛º 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çõ𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑎 𝐸 𝑛º 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çõ𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 a De quantas maneiras é possível distribuir 10 pessoas em duas salas b Considere que 10 pessoas escolhem aleatoriamente entrar em uma de duas salas A e B Qual é a probabilidade de a sala A ficar com 3 pessoas e a B com 7 c Desenhe um gráfico de barras da probabilidade de a sala A ficar com k pessoas No eixo X temse a quantidade k de pessoas na sala A k 0 1 10 e no eixo Y a probabilidade d Considere que 10 pessoas escolhem aleatoriamente entrar em uma de três salas A B e C Qual é a probabilidade de a sala A ficar com 3 pessoas e Dado que há s salas A1 A2 AS e n pessoas e dado que cada pessoa escolhe aleatoriamente entrar em uma sala obtenha uma fórmula geral para a probabilidade de a sala A1 ficar com k pessoas 2 A Mecânica Estatística é um dos pilares da física moderna ao lado da Física Quântica e da Teoria da Relatividade Ela explica por exemplo a Segunda Lei da Termodinâmica segundo a qual a energia térmica sempre tende a passar de um corpo mais quente para um mais frio Para intuir a razão pela qual isso ocorre podemos pensar no seguinte modelo simplificado de transferência de energia que é muito similar a o que ocorre na realidade Suponha que temos o seguinte sólido cristalino microscópico composto por 5 átomos e 6 ligações atômicas Figura 1 Sólido cristalino microscópico e sua estrutura atômica O sólido pode armazenar energia em suas ligações atômicas A energia fica armazenada nas ligações sob a forma de quanta que é uma unidade indivisível de energia Assim cada ligação pode ter uma quantidade inteira não negativa 0 1 2 3 de quanta de energia mas nunca por exemplo 23 quanta Figura 3 Três quanta de energia distribuídas pelas ligações atômicas do sólido A temperatura do sólido é determinada pela quantidade de energia armazenada em suas ligações atômicas Não importa a maneira como esta energia está distribuída mas sim apenas a quantidade de quanta de energia presente Assim por exemplo se as 3 quanta de energia da Figura 3 estivessem distribuídas nas 3 ligações atômicas internas ou mesmo se estivessem todas armazenadas numa mesma ligação não faria diferença em qualquer caso a temperatura do sólido seria a mesma Cada possível arranjo de energia em um sólido é chamado de um microestado Assim microestados que diferem apenas na distribuição de energia mas não diferem na quantidade de energia resultam na mesma temperatura do sólido Um microestado também pode descrever a distribuição de energia entre dois sólidos adjacentes Assim há microestados possíveis em que um sólido está mais quente que o outro e microestados em que ambos estão com a memsa temperatura As figuras 4 e 5 apresentam dois microestados possíveis associados a um total de 8 quanta de energia Figura 3 Oito quanta de energia distribuídas entre dois sólidos O sólido A está muito mais quente que o sólido B Figura 4 Oito quanta de energia distribuídas entre dois sólidos O sólido A está um pouco mais quente que o sólido B Acontece que a energia armazenada em uma ligação não fica lá para sempre Espontaneamente e constantemente a energia passa de uma ligação atômica para outra de forma aleatória e passa até mesmo de um sólido para outro sem restrição Se uma quanta de energia passa de uma ligação para outra dentro do mesmo sólido então a temperatura do sólido permanece a mesma Se por outro lado a energia numa ligação atômica do sólido A passa para uma ligação atômica do sólido B então um sólido A fica mais frio e o sólido B mais quente Como a transição da energia entre sólidos é aleatória todos os microestados têm a mesma probabilidade de ocorrer depois de decorrido tempo suficiente Além disso assuma que cada ligação atômica pode ter ou 0 ou 1 quanta de energia mas não mais Assuma também que se há X quanta de energia em um sólido então esse sólido tem X unidades de temperatura a Considere um sistema em que há dois sólidos A e B adjacentes cada um com 8 ligações atômicas e um total de 8 quanta de energia disponíveis Determine as probabilidades de que o sólido A atinja as temperaturas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 enquanto que o sólido B atinge a temperatura complementar Esboce um gráfico desses dados tendo no eixo X a temperatura e no eixo Y a probabilidade b Ainda no mesmo sistema do item anterior suponha que inicialmente o sólido A tenha temperatura 5 e o B 3 Pela resposta ao item anterior você pode ver que há uma probabilidade razoável apesar de pequena de que o sólido A passe a ter 6 de temperatura absorvendo energia do sólido B Isso parece nos levar à conclusão de que segundo esse modelo pode ocorrer de vez em quando de um corpo quente ficar ainda mais quente de forma espontânea Isso parece ser um paradoxo já que pela Segunda Lei da Termodinâmica a energia sempre tende ir do corpo mais quente para o mais frio e nunca se observa o contrário nem mesmo raramente Apresente um argumento combinatório para justificar o motivo de esse modelo de transferência de energia não ser uma contradição à Segunda Lei da Termodinâmica