Equações e Inequações

Capítulo 2 Parte 2 Matemática Elementar Equações e Inequações 4 de abril de 2025 Igor Oliveira matematicaelementarimdufrnbr Instituto Metrópole Digital Universidade Federal do Rio Grande do Norte NatalRN 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Índice Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia 34 Matemática Elementar Igor Oliveira 3 Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Inequação do 1º grau Definição 24 Uma inequação do primeiro grau é uma relação de uma das formas abaixo ax b 0 ax b 0 ax b 0 ax b 0 onde a b R e a 0 Lemos os símbolos da seguinte maneira menor que maior que menor ou igual que e maior ou igual que O conjunto solução de uma inequação do primeiro grau é o con junto S de números reais que satisfazem a inequação isto é o conjunto de números que quando substituídos na inequação tornam a desigualdade verdadeira 34 Matemática Elementar Igor Oliveira 4 Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Inequação do 1º grau Proposição 25 Propriedades de inequações Sejam a b c d R n N Valem i Invariância por adição de números reais a b a c b c ii Invariância por multiplicação de números reais positivos a b c 0 a c b c iii Mudança por multiplicação de números reais negativos a b c 0 a c b c iv Se a b então 1 a 1 b para a b 0 e com mesmo sinal v Se a 0 b 0 e c 0 segue que a b ac bc vi Se a 0 b 0 e n par segue que a b an bn vii Se a 0 b 0 e n ímpar segue que a b an bn viii Se a b e c d então a c b d ix Para a b c d R Se a b e c d então ac bd O resultado é análogo para os tipos ou 34 Matemática Elementar Igor Oliveira 5 Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Inequação do 1º grau Exemplo 26 Qual o conjunto solução da inequação 8x 4 0 Exemplo 27 Antes de fazer os cálculos diga qual dos números a 3456784 3456786 3456785 e b 34567852 3456788 é maior 34 Matemática Elementar Igor Oliveira 5 Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Inequação do 1º grau Exemplo 26 Qual o conjunto solução da inequação 8x 4 0 Exemplo 27 Antes de fazer os cálculos diga qual dos números a 3456784 3456786 3456785 e b 34567852 3456788 é maior 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau 6 Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Atividade Online Atividade Online 14 Problemas com Inequações 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online 7 Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Inequação do 2º grau Definição 28 Uma inequação do segundo grau é uma relação de uma das formas abaixo ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 onde a b c R e a 0 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online 8 Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Inequação do 2º grau Exemplo 29 Resolva as seguintes inequações x2 3x 2 0 x2 3x 2 0 Exemplo 30 Prove que a soma de um número positivo com seu inverso é sempre maior ou igual que 2 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online 8 Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Inequação do 2º grau Exemplo 29 Resolva as seguintes inequações x2 3x 2 0 x2 3x 2 0 Exemplo 30 Prove que a soma de um número positivo com seu inverso é sempre maior ou igual que 2 Definição 31 O módulo ou valor absoluto de um número real x denotado por x é definido por x x se x 0 x se x 0 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau 10 Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equações Modulares Para resolver equações modulares usaremos dois métodos Eliminação do módulo pela definição Partição em intervalos Exemplo 32 Resolva as equações a 2x 5 3 b 2x 3 1 3x c 3 x x 1 4 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos 11 Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Atividade Online Atividade Online 15 Resolva Equações Modulares 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online 12 Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Inequações Modulares Para solucionarmos inequações modulares usaremos as pro priedades a seguir Proposição 33 Propriedades Sejam x R a R i x 0 ii x a a x a iii x a x a ou x a iv x x x Os resultados ii e iii também são válidos para os casos com ou 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online 13 Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Inequações Modulares Exemplo 34 Resolva as inequações a 2x 5 3 b 2x 3 1 3x c 3 x x 1 4 Exemplo 35 Seja x R Mostre que x 1 02 2x 2 04 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online 13 Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Inequações Modulares Exemplo 34 Resolva as inequações a 2x 5 3 b 2x 3 1 3x c 3 x x 1 4 Exemplo 35 Seja x R Mostre que x 1 02 2x 2 04 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos 14 Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Desigualdades clássicas Para iniciar apresentamos algumas desigualdades simples mas famosas válidas para quaisquer a b R a 0 a2 0 a b a b desigualdade triangular 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos 15 Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Desigualdades clássicas Teorema 36 Desigualdade Triangular Dado um triângulo ABC como o abaixo o comprimento de um dos lados é sempre inferior à soma dos comprimentos dos outros dois lados ou seja a b c b a c e c a b A igualdade a b c ocorre se e somente se os pontos A B e C forem colineares e A estiver entre B e C 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas 16 Atividade Online Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Atividade Online Atividade Online 16 Relações Entre os Lados do Triângulo 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online 17 Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Desigualdades clássicas Teorema 37 Para quaisquer x y R vale xy x2 y2 2 Além disso a igualdade acontece se e somente se x y Vejamos no quadro um experimento geométrico relacionado a essa desigualdade Teorema 38 Para quaisquer a b R vale ab a b 2 Além disso a igualdade acontece se e somente se a b 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online 17 Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Desigualdades clássicas Teorema 37 Para quaisquer x y R vale xy x2 y2 2 Além disso a igualdade acontece se e somente se x y Vejamos no quadro um experimento geométrico relacionado a essa desigualdade Teorema 38 Para quaisquer a b R vale ab a b 2 Além disso a igualdade acontece se e somente se a b 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online 17 Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Desigualdades clássicas Teorema 37 Para quaisquer x y R vale xy x2 y2 2 Além disso a igualdade acontece se e somente se x y Vejamos no quadro um experimento geométrico relacionado a essa desigualdade Teorema 38 Para quaisquer a b R vale ab a b 2 Além disso a igualdade acontece se e somente se a b 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online 18 Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Desigualdades clássicas Teorema 39 Desigualdade das médias aritmética e geométrica Para quaisquer a1 a2 an R vale na1 an a1 an n A igualdade acontece se e somente se a1 a2 an Teorema 40 Desigualdade das médias harmônica e geométrica Para quaisquer a1 a2 an R vale n 1 a1 1 an na1 an A igualdade acontece se e somente se a1 a2 an 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online 18 Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Desigualdades clássicas Teorema 39 Desigualdade das médias aritmética e geométrica Para quaisquer a1 a2 an R vale na1 an a1 an n A igualdade acontece se e somente se a1 a2 an Teorema 40 Desigualdade das médias harmônica e geométrica Para quaisquer a1 a2 an R vale n 1 a1 1 an na1 an A igualdade acontece se e somente se a1 a2 an Teorema 41 Desigualdade de CauchySchwarz Sejam x₁ xₙ y₁ yₙ ℝ então vale x₁y₁ xₙyₙ x₁² xₙ² y₁² yₙ² Além disso a igualdade só ocorre se existir um número real α tal que x₁ αy₁ xₙ αyₙ 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online 20 Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Aplicações Exemplo 42 Duas torres são amarradas por uma corda APB que vai do topo A da primeira torre para um ponto P no chão entre as torres e então até o topo B da segunda torre Qual a posição do ponto P que nos dá o comprimento mínimo da corda a ser utilizada 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online 21 Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Aplicações Exemplo 43 Prove que num triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa é sempre menor ou igual que a metade da hipotenusa Prove ainda que a igualdade só ocorre quando o triângulo retângulo é isósceles 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online 22 Desigualdades clássicas Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Aplicações Exemplo 44 Prove que entre todos os triângulos retângulos de catetos a e b e com hipotenusa c fixada o que tem maior soma dos catetos S a b é o triângulo isósceles 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas 23 Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Exercícios 13 Dada as frações 966666555557 966666555558 e 966666555558 966666555559 qual é a maior 14 Nove cópias de certas notas custam menos de R 1000 e dez cópias das mesmas notas custando o mesmo preço cada uma custam mais de R 1100 Quanto custa uma cópia das notas 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas 24 Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Exercícios 15 Ache os valores de x para os quais cada uma das seguin tes inequações é válida a x2 9 0 b x x2 9 0 c x 3 x 1 0 d x2 1 x2 3 0 e x2 x 6 x2 6x 5 0 f x2 x 6 x2 5x 4 0 16 Para quais valores de a R a expressão quadrática ax2 ax 8 é sempre diferente de zero 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas 25 Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Exercícios 17 Sejam a b c d R tais que a b c d Mostre que a b a c b d c d 18 Mostre que se r e s são números racionais positivos satis fazendo r s então existe um outro número racional q tal que r q s 19 Com algarismos x y e z não todos nulos formamse os números de dois algarismos xy e yx cuja soma é o número de três algarismos zxz Quanto valem x y e z 20 Quantos são os números inteiros de 2 algarismos que são iguais ao dobro do produto de seus algarismos 21 Determine o conjunto solução de cada uma das equações ou inequações modulares abaixo a 3x 5 7 b x 8 1 c x² 9 7 d x² 1 3 e x 1 3x 2 6 f x 1 x 2 3 g 2x 5 3 2 h x² 1 3 i x 1 x 1 2 j x 1 x 1 2 22 Prove que x y x y para todo x y ℝ 23 Seja x ℝ Mostre que a x 5 01 2x 10 02 b x 3 01 32x 3 75 015 c x 2 5 2 x² 4 1 d x 3 46 5 x² 4x 21 21 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas 27 Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Exercícios 24 Quatro cidades rurais Abaeté Bertioga Caicó e Diaman tina estão situadas geograficamente como a imagem abaixo A empresa Ozymandias deseja construir uma central de distri buição de energia para as quatro cidades de modo que a soma total das distâncias da central a cada uma das quatro cidades seja a mínima possível Mostre que a central deve ser cons truída no ponto O que é o ponto em comum dos segmentos AC e BD 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas 28 Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Exercícios 25 Três círculos que não se intersectam tem seus centros colineares sobre uma mesma reta Um quarto círculo os tan gencia conforme a imagem abaixo Mostre que o raio do quarto círculo é maior que pelo menos um dos outros raios Figura Disposição dos quatro círculos 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas 29 Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Exercícios 26 Provar que em todo triângulo a soma dos comprimentos das medianas é menor que o perímetro do triângulo e maior que o semiperímetro metade do perímetro dele 27 Suponha que 0 a b Prove que a a b b 28 Sejam a b c R Mostre que ab bc ca a bc b ac c ab 29 Use algum dos resultados da seção de Desigualdades Clássicas e mostre que 4x3 4x2 x 0 para todo x 0 30 Prove que a4 b4 c4 abc a b c 31 Sejam a b c R Prove que a b a c b c 8abc Sejam a b c d ℝ Prove que a b c d 1a 1b 1c 1d 16 33 Considere a b c p ℝ Faça o que se pede a Use uma das desigualdades das médias para provar que se p2 a p2 b p2 c ℝ então p2 ap2 bp2 c p2 a p2 b p2 c3³ b Considere um triângulo de lados a b e c área A e perímetro p A Fórmula de Herón diz que A p2 p2 a p2 b p2 c Use o resultado do item anterior para provar que A p2 p2 a p2 b p2 c3³ p² 123 c Conclua a partir dos resultados anteriores que entre todos os triângulos de perímetro p fixado o de maior área é o triângulo equilátero 32 Considere a b c ℝ Faça o que se pede a Use uma das desigualdades das médias para provar que a²b²c² ab bc ac3³ b Considere um paralelepípedo de lados a b e c Sendo V o volume e AL a área lateral área de todas as faces somadas do paralelepípedo use o resultado do item anterior não precisa ter resolvido para provar que V AL6³ c Conclua a partir dos resultados anteriores que entre todos os paralelepípedos de área lateral fixada o de maior volume é o cubo 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas 33 Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Exercícios 36 Considere n N Faça o que se pede a Use as desigualdades das médias para provar que 1 1 2 1 3 1 n n2 1 2 3 n b O somatório dos n primeiros números naturais não nulos é igual a nn 1 2 Use o resultado do item anterior não precisa ter resolvido para provar que 1 1 2 1 3 1 n 2n n 1 37 A soma de três números positivos é 6 Prove que a soma de seus quadrados não é menor que 12 34 Matemática Elementar Igor Oliveira Inequação do 1º grau Atividade Online Inequação do 2º grau Módulos Atividade Online Módulos Desigualdades clássicas Atividade Online Desigualdades clássicas Exercícios 34 Bibliografia UFRN NatalRN Bibliografia 1 OLIVEIRA Krerley I M FERNÁNDEZ Adán J C Iniciação à Matemática um Curso com Problemas e Soluções 2 ed Rio de Janeiro SBM 2010 2 OLIVEIRA Krerley I M FERNÁNDEZ Adán J C Estágio dos Alunos Bolsistas OBMEP 2005 4 Equações Inequações e Desigualdades Rio de Janeiro SBM 2006 Capítulo 2 Parte 1 Matemática Elementar Equações e Inequações 13 de setembro de 2024 Igor Oliveira matematicaelementarimdufrnbr Instituto Metrópole Digital Universidade Federal do Rio Grande do Norte NatalRN 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Índice Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia 29 Matemática Elementar Igor Oliveira 3 Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Apresentação da Aula Como você responderia se te perguntassem Qual o número cujo dobro somado com sua quinta parte é igual a 121 Você já viu alguma brincadeira do tipo 1 Escolha um número 2 Multiplique esse número por 6 3 Some 12 4 Divida por 3 5 Subtraia o dobro do número que você escolheu 6 O resultado é igual a 4 29 Matemática Elementar Igor Oliveira 3 Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Apresentação da Aula Como você responderia se te perguntassem Qual o número cujo dobro somado com sua quinta parte é igual a 121 Você já viu alguma brincadeira do tipo 1 Escolha um número 2 Multiplique esse número por 6 3 Some 12 4 Divida por 3 5 Subtraia o dobro do número que você escolheu 6 O resultado é igual a 4 29 Matemática Elementar Igor Oliveira 3 Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Apresentação da Aula Como você responderia se te perguntassem Qual o número cujo dobro somado com sua quinta parte é igual a 121 Você já viu alguma brincadeira do tipo 1 Escolha um número 2 Multiplique esse número por 6 3 Some 12 4 Divida por 3 5 Subtraia o dobro do número que você escolheu 6 O resultado é igual a 4 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução 4 Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 1º grau Definição 1 Uma equação do primeiro grau na variável x é uma expressão da forma ax b 0 onde a b R a 0 e x é um número real a ser encontrado 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução 5 Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 1º grau Proposição 2 Propriedades Sejam a b c R Os seguintes valem i a b a c b c ii a b ac bc Exemplo 3 Resolva a equação 5x 3 6 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução 5 Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 1º grau Proposição 2 Propriedades Sejam a b c R Os seguintes valem i a b a c b c ii a b ac bc Exemplo 3 Resolva a equação 5x 3 6 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução 6 Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 1º grau Exemplo 4 Qual o número cujo dobro somado com sua quinta parte é igual a 121 Exemplo 5 Escreva em forma de expressões cada passo da brincadeira da Introdução e mostre porque ela sempre funciona 1 Escolha um número 2 Multiplique esse número por 6 3 Some 12 4 Divida por 3 5 Subtraia o dobro do número que você escolheu 6 O resultado é igual a 4 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução 6 Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 1º grau Exemplo 4 Qual o número cujo dobro somado com sua quinta parte é igual a 121 Exemplo 5 Escreva em forma de expressões cada passo da brincadeira da Introdução e mostre porque ela sempre funciona 1 Escolha um número 2 Multiplique esse número por 6 3 Some 12 4 Divida por 3 5 Subtraia o dobro do número que você escolheu 6 O resultado é igual a 4 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução 7 Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 1º grau Exemplo 6 Analise as implicações abaixo x2 1 0 x2 1x2 1 0 x2 1 x4 1 0 x4 1 x 1 1 Isso quer dizer que o conjunto solução de x2 1 0 é 1 1 Observação Muito cuidado ao efetuar divisões em ambos os lados de uma equação para não cometer o erro de dividir os lados por zero Veja como podemos provar que 1 2 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução 7 Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 1º grau Exemplo 6 Analise as implicações abaixo x2 1 0 x2 1x2 1 0 x2 1 x4 1 0 x4 1 x 1 1 Isso quer dizer que o conjunto solução de x2 1 0 é 1 1 Observação Muito cuidado ao efetuar divisões em ambos os lados de uma equação para não cometer o erro de dividir os lados por zero Veja como podemos provar que 1 2 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau 8 Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Atividade Online Atividade Online 09 Modelo com equações de primeiro grau e resolução 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online 9 Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 1º grau Exemplo 7 Se x representa um dígito na base 10 na equação x11 11x 1x1 777 qual o valor de x 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online 10 Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 1º grau Exemplo 8 Determine se é possível completar o preenchimento do tabuleiro abaixo com os números naturais de 1 a 9 sem repetição de modo que a soma de qualquer linha seja igual à de qualquer coluna ou diagonal 1 6 9 Os tabuleiros preenchidos com essas propriedades são conhe cidos como quadrados mágicos 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online 11 Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 1º grau Exemplo 9 Imagine que você possui um fio de cobre extremamente longo mas tão longo que você consegue dar a volta na Terra com ele Para simplificar considere que a Terra é uma bola redonda e que seu raio é de exatamente 6378000 metros O fio com seus milhões de metros está ajustado à Terra ficando bem colado ao chão ao longo do Equador Digamos agora que você acrescente 1 metro ao fio e o molde de modo que ele forme um círculo enorme cujo raio é um pouco maior que o raio da Terra e tenha o mesmo centro Você acha que essa folga será de que tamanho Já sabemos que a folga obtida aumentando o fio independe do raio em consideração Além desse problema veja outras curiosidades sobre o número π no vídeo O Pi existe e tente calculáo em casa usando algum objeto redondo 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online 11 Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 1º grau Exemplo 9 Imagine que você possui um fio de cobre extremamente longo mas tão longo que você consegue dar a volta na Terra com ele Para simplificar considere que a Terra é uma bola redonda e que seu raio é de exatamente 6378000 metros O fio com seus milhões de metros está ajustado à Terra ficando bem colado ao chão ao longo do Equador Digamos agora que você acrescente 1 metro ao fio e o molde de modo que ele forme um círculo enorme cujo raio é um pouco maior que o raio da Terra e tenha o mesmo centro Você acha que essa folga será de que tamanho Já sabemos que a folga obtida aumentando o fio independe do raio em consideração Além desse problema veja outras curiosidades sobre o número π no vídeo O Pi existe e tente calculáo em casa usando algum objeto redondo 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau 12 Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Sistemas de Equações do 1º grau Definição 10 Equação do 1º grau em várias variáveis Uma equação do primeiro grau nas varáveis x1 x2 xn é uma expressão da forma a1x1 a2x2 anxn b 0 Dizemos que os números r1 r2 rn formam uma solução da equação se substituindo x1 por r1 x2 por r2 xn por rn temos que a equação acima é satisfeita isto é a1r1 a2r2 anrn b 0 Exemplo 11 x 3y 2z 8 0 é uma equação do primeiro grau nas variáveis x y e z Determine uma solução para essa equação 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau 12 Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Sistemas de Equações do 1º grau Definição 10 Equação do 1º grau em várias variáveis Uma equação do primeiro grau nas varáveis x1 x2 xn é uma expressão da forma a1x1 a2x2 anxn b 0 Dizemos que os números r1 r2 rn formam uma solução da equação se substituindo x1 por r1 x2 por r2 xn por rn temos que a equação acima é satisfeita isto é a1r1 a2r2 anrn b 0 Exemplo 11 x 3y 2z 8 0 é uma equação do primeiro grau nas variáveis x y e z Determine uma solução para essa equação 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau 12 Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Sistemas de Equações do 1º grau Definição 10 Equação do 1º grau em várias variáveis Uma equação do primeiro grau nas varáveis x1 x2 xn é uma expressão da forma a1x1 a2x2 anxn b 0 Dizemos que os números r1 r2 rn formam uma solução da equação se substituindo x1 por r1 x2 por r2 xn por rn temos que a equação acima é satisfeita isto é a1r1 a2r2 anrn b 0 Exemplo 11 x 3y 2z 8 0 é uma equação do primeiro grau nas variáveis x y e z Determine uma solução para essa equação 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau 13 Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Sistemas de Equações do 1º grau Definição 12 Sistema de equações do 1º grau em várias variáveis Um sistema de equações do primeiro grau em n variáveis x1 x2 xn é um conjunto de k equações do primeiro grau em ALGUMAS das variáveis x1 x2 xn isto é temse o seguinte conjunto de equações a11x1 a12x2 a1nxn b1 0 a21x1 a22x2 a2nxn b2 0 ak1x1 ak2x2 aknxn bk 0 onde alguns dos elementos aij 1 i k 1 j n podem ser zero Porém em cada uma das equações do sistema algum coeficiente aij é diferente de zero e além disso cada variável xj aparece em alguma equação com coeficiente distinto de zero 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau 14 Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Sistemas de Equações do 1º grau Dizemos que os números r1 r2 rn formam uma solução do sistema de equações da definição anterior se r1 r2 rn é solução para todas as equações simultaneamente Há três possibilidades quando se resolve um sistema de equa ções do primeiro grau o sistema tem uma única solução o sistema tem uma infinidade de soluções o sistema não possui solução Sistemas de Equações do 1º grau Exemplo 13 João possui 14 reais e deseja gastar esse dinheiro em chocolates e sanduíches para distribuir com seus 6 amigos de modo que cada um fique exatamente com um chocolate ou um sanduíche Sabendo que cada chocolate custa 2 reais e cada sanduíche custa 3 reais quantos chocolates e saduíches João deve comprar Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Sistemas de Equações do 1º grau Exemplo 13 João possui 14 reais e deseja gastar esse dinheiro em chocolates e sanduíches para distribuir com seus 6 amigos de modo que cada um fique exatamente com um chocolate ou um sanduíche Sabendo que cada chocolate custa 2 reais e cada sanduíche custa 3 reais quantos chocolates e saduíches João deve comprar Exemplo 14 Resolva o sistema nas variáveis x y e z abaixo xyz10 xy10 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau 16 Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Sistemas de Equações do 1º grau Exemplo 15 Resolva o sistema nas variáveis x y e z abaixo x y 2z 1 0 x z 2 0 y z 3 0 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau 17 Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Atividade Online Atividade Online 10 Sistemas de Equações Lineares 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online 18 Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 2º grau Definição 16 A equação do segundo grau com coeficientes a b e c é uma equação da forma ax2 bx c 0 onde a b c R a 0 e x é uma variável real a ser determinada Exemplo 17 Encontre as soluções de uma equação do segundo grau 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online 18 Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 2º grau Definição 16 A equação do segundo grau com coeficientes a b e c é uma equação da forma ax2 bx c 0 onde a b c R a 0 e x é uma variável real a ser determinada Exemplo 17 Encontre as soluções de uma equação do segundo grau 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau 19 Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Atividade Online Atividade Online 11 Equações do segundo grau com cálculo de raízes quadradas com etapas Atividade Online 12 Método de completar quadrados 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online 20 Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 2º grau Definição 18 Chamamos de discriminante da equação do segundo grau a expressão b2 4ac e denotamos pela letra grega maiúscula lêse delta Em resumo Se 0 existem duas soluções reais Se 0 existe uma solução real x1 x2 b2a Se 0 não existe solução real 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online 21 Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 2º grau Exemplo 19 Sabendo que x é um número real que satisfaz x 1 1 1 1 x determine os valores possíveis de x Observação O número φ 1 5 2 é conhecido como razão áurea número de ouro proporção divina entre outras denominações Veja o episódio A Proporção Divina parte 01 e parte 02 do programa português Isto É Matemática 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online 21 Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 2º grau Exemplo 19 Sabendo que x é um número real que satisfaz x 1 1 1 1 x determine os valores possíveis de x Observação O número φ 1 5 2 é conhecido como razão áurea número de ouro proporção divina entre outras denominações Veja o episódio A Proporção Divina parte 01 e parte 02 do programa português Isto É Matemática 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau 22 Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Atividade Online Atividade Online 13 Fórmula de Bhaskara 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online 23 Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 2º grau Teorema 20 Os números α e β são as raízes da equação do segundo grau ax2 bx c 0 se e somente se α β b a e αβ c a Exemplo 21 Paulo cercou uma região retangular de área 28m2 com 24m de corda Encontre as dimensões dessa região 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online 23 Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 2º grau Teorema 20 Os números α e β são as raízes da equação do segundo grau ax2 bx c 0 se e somente se α β b a e αβ c a Exemplo 21 Paulo cercou uma região retangular de área 28m2 com 24m de corda Encontre as dimensões dessa região 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online 24 Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 2º grau Definição 22 Equação biquadrada A equação biquadrada com coeficientes a b e c é uma equação da forma ax4 bx2 c 0 onde a b c R a 0 e x é uma variável real a ser determinada Exemplo 23 Resolva a equação x4 2x2 1 0 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online 24 Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 2º grau Definição 22 Equação biquadrada A equação biquadrada com coeficientes a b e c é uma equação da forma ax4 bx2 c 0 onde a b c R a 0 e x é uma variável real a ser determinada Exemplo 23 Resolva a equação x4 2x2 1 0 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online 25 Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 2º grau De modo geral podemos resolver uma equação do tipo ax2k bxk c 0 onde k N fazendo y xk Assim para cada solução y α encontrada teremos as seguintes possibilidades uma única solução x kα se k é ímpar nenhuma solução se α 0 e k é par duas soluções x kα se α 0 e k é par 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online 25 Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 2º grau De modo geral podemos resolver uma equação do tipo ax2k bxk c 0 onde k N fazendo y xk Assim para cada solução y α encontrada teremos as seguintes possibilidades uma única solução x kα se k é ímpar nenhuma solução se α 0 e k é par duas soluções x kα se α 0 e k é par 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online 25 Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 2º grau De modo geral podemos resolver uma equação do tipo ax2k bxk c 0 onde k N fazendo y xk Assim para cada solução y α encontrada teremos as seguintes possibilidades uma única solução x kα se k é ímpar nenhuma solução se α 0 e k é par duas soluções x kα se α 0 e k é par 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online 25 Equação do 2º grau Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Equação do 2º grau De modo geral podemos resolver uma equação do tipo ax2k bxk c 0 onde k N fazendo y xk Assim para cada solução y α encontrada teremos as seguintes possibilidades uma única solução x kα se k é ímpar nenhuma solução se α 0 e k é par duas soluções x kα se α 0 e k é par 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau 26 Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Exercícios 1 Descubra os valores de x de modo que seja possível com pletar o preenchimento do quadrado mágico abaixo x 2 Observe as multiplicações a seguir i 12345679 18 222222222 ii 12345679 27 333333333 iii 12345679 54 666666666 Para obter 999999999 devemos multiplicar 12345679 por quanto 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau 27 Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Exercícios 3 Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade Quando tu tiveres a minha idade a soma das nossas idades será de 45 anos Quais são as nossas idades 4 Passarinhos brincam em volta de uma velha árvore Se dois passarinhos pousam em cada galho um passarinho fica voando Se todos os passarinhos pousam com três em cada galho um galho fica vazio Quantos são os passarinhos 5 O número 3 é a raiz da equação x2 7x 2c 0 Nessas condições determine o valor do coeficiente c 6 Determine o conjunto solução S Q formado pelos nú meros que adicionado ao triplo de seu quadrado resulta em 14 7 Determine os valores de m R talis que a equação mx2 m 1x m 1 0 tenha somente uma raiz real 8 Calcule as dimensões de um retângulo de 20cm de períme tro e 22cm2 de área 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau 28 Exercícios Bibliografia UFRN NatalRN Exercícios 9 Sejam α1 e α2 as raízes da equação do 2grau ax2 bx c 0 Calcule as seguintes expressões em função de a b e c a α1 α2 2 b α1 α2 c α1 α2 d 4α1 4α2 Dica no item c inicie calculando o quadrado da expressão 10 Resolva as equações abaixo a x4 3x2 4 0 b x6 4x3 4 0 11 Colégio Naval 1986 Uma equação biquadrada tem duas de suas raízes iguais a 2 e 3 Determine o valor do coeficiente do termo de 2grau dessa equação 12 EPCAR 2002 Determine o produto das raízes da equa ção 7 x2 1 x2 29 Matemática Elementar Igor Oliveira Introdução Equação do 1º grau Atividade Online Equação do 1º grau Sistemas de Equações do 1º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Atividade Online Equação do 2º grau Exercícios 29 Bibliografia UFRN NatalRN Bibliografia 1 OLIVEIRA Krerley I M FERNÁNDEZ Adán J C Iniciação à Matemática um Curso com Problemas e Soluções 2 ed Rio de Janeiro SBM 2010 2 OLIVEIRA Krerley I M FERNÁNDEZ Adán J C Estágio dos Alunos Bolsistas OBMEP 2005 4 Equações Inequações e Desigualdades Rio de Janeiro SBM 2006 Resoluções Exercício 3 Problema das Idades Enunciado Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade Quando tu tiveres a minha idade a soma das nossas idades será de 45 anos Quais são as nossas idades Resolução Vamos definir Minha idade atual x Tua idade atual y Diferença de idades d x y constante 1ª informação Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade Quando eu tinha tua idade há d anos atrás Tua idade naquela época y d y x y 2y x Minha idade atual é o dobro disso x 22y x x 4y 2x 3x 4y x 43 y 2ª informação Quando tu tiveres a minha idade a soma das nossas idades será 45 Isso ocorrerá daqui a d anos Tua idade y d x Minha idade x d x x y 2x y Soma x 2x y 3x y 45 Substituindo x 43 y na segunda equação 343 y y 45 4y y 45 y 15 x 43 15 20 Resposta Minha idade é 20 anos e tua idade é 15 anos Exercıcio 4 Problema dos Passarinhos Enunciado Passarinhos brincam em volta de uma velha arvore Se dois passarinhos pousam em cada galho um passarinho fica voando Se todos os passarinhos pousam com trˆes em cada galho um galho fica vazio Quantos sao os passarinhos Resolucao Sejam p numero de passarinhos g numero de galhos 1ª situacao 2 passarinhos por galho sobra 1 p 2g 1 2ª situacao 3 passarinhos por galho sobra 1 galho vazio ou seja usam g 1 galhos p 3g 1 Igualando as duas equacoes 2g 1 3g 3 g 4 g 4 p 2 4 1 9 Resposta Sao 9 passarinhos Exercıcio 5 Equacao Quadratica Enunciado O numero 3 e a raiz da equacao x2 7x 2c 0 Nessas condicoes determine o valor do coeficiente c Resolucao Substituindo x 3 na equacao 32 73 2c 0 9 21 2c 0 30 2c c 15 Resposta c 15 Exercıcio 6 Equacao do 2º Grau Enunciado Determine o conjunto solucao S Q formado pelos numeros que adicionado ao triplo de seu quadrado resulta em 14 Resolucao Seja x o numero procurado x 3x2 14 3x2 x 14 0 Resolvendo a equacao quadratica 12 4 3 14 1 168 169 2 x 1 169 6 1 13 6 Soluções x₁ 12 6 2 x₂ 14 6 7 3 Resposta S 2 73 Exercício 7 Condição de Raiz Única Enunciado Determine os valores de m ℝ talis que a equação mx²m1xm1 0 tenha somente uma raiz real Resolução Para ter uma única raiz real Δ 0 Δ m 1² 4 m m 1 0 m² 2m 1 4m² 4m 0 3m² 2m 1 0 1 3m² 2m 1 0 Resolvendo Δ 4 12 16 m 2 4 6 m₁ 13 m₂ 1 Caso especial Se m 0 a equação se torna x 1 0 que tem uma única raiz x 1 Resposta m 1 0 13 Exercício 8 Dimensões do Retângulo Enunciado Calcule as dimensões de um retângulo de 20cm de perímetro e 22cm² de área Resolução Sejam x e y as dimensões 2x y 20 x y 10 1 xy 22 2 De 1 y 10 x Substituindo em 2 x10 x 22 10x x² 22 x² 10x 22 0 Resolvendo Δ 100 88 12 x 10 12 2 5 3 Resposta As dimensões são 5 3 cm e 5 3 cm Exercício 16 Expressão Sempre Positiva Enunciado Para quais valores de a ℝ a expressão quadrática ax² ax 8 é sempre diferente de zero Resolução Para a expressão nunca se anular o discriminante deve ser negativo Δ a² 4 a 8 0 a² 32a 0 aa 32 0 Estudo do sinal Raízes a 0 e a 32 Parábola voltada para cima Negativo entre as raízes Resposta a 0 32 Exercício 21 Equações e Inequações Modulares a 3x 5 7 Resolução 3x 5 7 3x 12 x 4 3x 5 7 3x 2 x 23 Resposta S 23 4 b x 8 1 Resolução O módulo nunca é negativo Resposta S c x² 9 7 Resolução x² 9 7 x² 16 x 4 x² 9 7 x² 2 x 2 Resposta S 4 2 2 4 g 2x 5 3 2 Resolução 2x 5 1 1 2x 5 1 4 2x 6 2 x 3 Resposta S 2 3 h x² 1 3 Resolução 3 x² 1 3 2 x² 4 4 Como x2 0 temos 0 x2 4 2 x 2 Resposta S 2 2 i x 1 x 1 2 Resolucao Analisamos trˆes casos 1 x 1 x 1 x 1 2 2x 2 x 1 2 1 x 1 x 1 x 1 2 2 2 Falso 3 x 1 x 1 x 1 2 2x 2 x 1 Resposta S 1 1 5