Analise de Resultados e Metodologias

42 ENSINO FUNDAMENTAL II 79 ANO Tabela 2 Trabalhos de Conclusão de Curso Título Autor SérieAno Conteúdo ASP ASPD Contribuições Da Teoria Histórico Cultural Para Uma Aprendizagem Desenvolvimental Na Resolução De Equações De 1 Grau Nos Estudantes De 8 Ano De Ensino Fundamental Na Escola Estadual Monteiro Lobato Nascimento 2017 8 ano do ensino fundamental Equação de 1 grau ASP Contribuições Da Teoria Histórico Cultural Para Aprendizagem Desenvolvimental Em Expressões Algébricas E Valor Numérico Nos Estudantes Do 8 Ano Do Ensino Fundamental No Colégio De Aplicação Da Universidade Federal De Roraima CapUfrr Silva 2018 8 ano do ensino fundamental Expressões Algébricas e Valores Numéricos ASP A Atividade de Situações Problema em aprendizagem na resolução de Operações com os Números Inteiros fundamentado em Galperin nos estudantes de 7 ano de Ensino Fundamental na Escola Estadual Professor Voltaire Pinto Ribeiro Silva 2018 7 ano do ensino fundamental Operações com Números Inteiros ASP O Pensamento Algébrico Por Meio Da Atividade De Situações Problema Discente Na Resolução De Equações Para Estudantes Do 7 Ano De Ensino Fundamental Costa 2022 7 ano do ensino fundamental Resolução de equações ASPD Analisar os trabalhos organizados por segmento da Educação Básica Ensino Fundamental II Para cada trabalho as informações foram organizadas em uma tabela analítica contendo os seguintes dados autor título anosérie de aplicação conteúdo matemático abordado tipo de atividade ASP ou ASPD e principais resultados pedagógicos relatados A análise dos dados teve se concentrar na identificação dos impactos da metodologia adotada no processo de ensinoaprendizagem da matemática bem como na articulação entre os referenciais teóricos e a Base Nacional Comum Curricular BNCC no que refere à formação de competências e habilidades UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA CRISTINA INGRID DOS SANTOS SILVA Contribuições da teoria históricocultural para aprendizagem desenvolvimental em expressões algébricas e valor numérico nos estudantes do 8 ano do Ensino Fundamental no Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Roraima CApUFRR Boa Vista RR 2018 2 CRISTINA INGRID DOS SANTOS SILVA Contribuições da teoria históricocultural para aprendizagem desenvolvimental em expressões algébricas e valor numérico nos estudantes do 8 ano do Ensino Fundamental no Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Roraima CApUFRR Monografia apresentada como prérequisito para conclusão do Curso de Licenciatura Plena em Matemática do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Roraima Orientador Prof Dr Héctor José García Mendoza Coorientadora Prof Me Adriana Regina da Rocha Chirone Boa Vista RR 2018 3 Dados Internacionais de Catalogação na publicação CIP Biblioteca Central da Universidade Federal de Roraima Ficha Catalográfica elaborada pela BibliotecáriaDocumentalista Angela Maria Moreira Silva CRB11381AM S586c Silva Cristina Ingrid dos Santos Contribuições da teoria históricocultural para aprendizagem desenvolvimental em expressões algébricas e valor numérico nos estudantes do 8 ano do Ensino Fundamental no Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Roraima CApUFRR Cristina Ingrid dos Santos Silva Boa Vista 2018 57 f il Orientador Prof Dr Héctor José García Mendoza Coorientadora Prof Me Adriana Regina da Rocha Chirone Trabalho de Conclusão de Curso monografia Universidade Federal de Roraima Curso de Licenciatura em Matemática 1 Ensino de Matemática 2 Ensino fundamental 3 Álgebra I Título II Mendoza Héctor José García orientador III Chirone Adriana Regina da Rocha coorientadora CDU 37251 4 FOLHA DE APROVAÇÃO CRISTINA INGRID DOS SANTOS SILVA Contribuições da teoria históricocultural para aprendizagem desenvolvimental em expressões algébricas e valor numérico nos estudantes do 8 ano do Ensino Fundamental no Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Roraima CApUFRR Monografia apresentada como prérequisito para conclusão do curso de licenciatura plena em Matemática do departamento de Matemática da Universidade Federal de Roraima Defendida em 13 de Julho de 2018 e avaliada pela seguinte banca examinadora Prof Dr Héctor José García Mendoza Orientador Curso de Matemática UFRR Prof Dr Alberto Martin Martínez Castañeda Curso de Matemática UFRR Prof Dr Oscar Tintorer Delgado Curso de Física UERR 5 Resumo Diante de vários recursos disponíveis ainda é comum na maioria das escolas professores de Matemática ministrando aula de forma tradicional onde a grande maioria dos estudantes não alcançam assimilação dos conteúdos de maneira eficiente O processo de ensino aprendizagem deve estar fundamentado por teorias de aprendizagem que tenha como enfoque a cognição desta maneira se apresentará brevemente a evolução da teoria históricocultural de Vygotsky continuado pela teoria da atividade de Leóntiev até a teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin O objetivo deste trabalho é analisar as contribuições da teoria históricocultural para uma aprendizagem desenvolvimental no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico nos estudantes do 8º ano do Ensino Fundamental II do Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Roraima CApUFRR A Atividade de Situações Problema ASP em Matemática é compreendida como um sistema de conteúdos de matemática baseado na teoria de Galperin Como experimento fundamentado nas teorias mencionadas apresentamse os resultados da prova de lápis e papel no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico com intuito de analisar a aprendizagem através da ASP A prova de lápis e papel foi utilizada como instrumento para obtenção de resultados através de análises quantitativa e qualitativa com enfoque principal na qualitativa Diante dos resultados obtidos a grande maioria dos estudantes mostram evidencia de uma aprendizagem desenvolvimental no conteúdo estudado Ao final será proposto um plano de ensino fundamentado em uma base orientadora geral completa e independente Palavras Chaves Expressões Algébricas Formação por etapas das ações mentais Atividade de Situações Problema Ensino aprendizagem desenvolvimental 6 Resumen Frente a varios recursos disponibles es todavía común en la mayoría de las escuelas maestros que enseñanza matemáticas de forma tradicional donde la gran mayoría de los estudiantes no lograr eficientemente la asimilación de contenidos La enseñanza aprendizaje debe basarse en las teorías del aprendizaje con enfoque en la cognición de esta manera se presentará brevemente la evolución de la teoría históricacultural de Vygotsky continuando por la teoría de la actividad Leóntiev hasta la teoría de formación por etapas de acciones mentales de Galperin El objetivo del trabajo es analizar las contribuciones de la teoría históricacultural para un aprendizaje desarrollador en el contenido de expresiones algébricas y valor numérico en los estudiantes de 8 grado de la Enseñanza Secundaria de la Escuela de Aplicación de la Universidad Federal de Roraima CApUFRR La actividad de situaciones problema ASP en matemáticas se entiende como un sistema de de contenidos de matemáticas basada en la teoría de Galperin Como un experimento fundamentado en las teorías mencionadas se presentan los resultados de la prueba de lápiz y papel en el contenido de ecuaciones algebraicas y valor numérico de expresiones con el fin de analizar el aprendizaje a través de ASP La prueba de lápiz y papel se utilizó como un instrumento para inferir los resultados través de un análisis cuantitativos y cualitativos con enfoque principal cualitativo Los resultados obtenidos la gran mayoría de estudiantes tienen evidencia de un aprendizaje desarrollador Al final se propondrá un plan de estudios basado en un asesor general completo e independiente Palabras Claves Expresiones Algebraicas Formación por etapas de las acciones mentales Actividad de situaciones problema Enseñanza aprendizaje desarrollador 7 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1 Estrutura da zona de desenvolvimento Proximal 15 Figura 2 Direção da Atividade de Situações Problema 26 Figura 3 Frequência total 44 Figura 4 Questão 1 da prova referente ao intervalo 1620 45 Figura 5 Questão 2 da prova referente ao intervalo 1620 45 Figura 6 Questão 3 da prova referente ao intervalo 1620 46 Figura 7 Questão 4 da prova referente ao intervalo 1620 46 Figura 8 Questão 5 da prova referente ao intervalo 1620 47 Figura 9 Questão 1 da prova referente ao intervalo 1215 47 Figura 10 Questão 2 da prova referente ao intervalo 1215 48 Figura 11 Questão 3 da prova referente ao intervalo 1215 48 Figura 12 Questão 4 da prova referente ao intervalo 1215 49 Figura 13 Questão 5 da prova referente ao intervalo 1215 49 Figura 14 Questão 1 da prova referente ao intervalo 811 50 Figura 15 Questão 2 da prova referente ao intervalo 811 50 Figura 16 Questão 3 da prova referente ao intervalo 811 51 Figura 17 Questão 4 da prova referente ao intervalo 811 51 Figura 18 Questão 5 da prova referente ao intervalo 811 52 Figura 19 Questão 1 da prova referente ao intervalo 47 53 Figura 20 Questão 2 da prova referente ao intervalo 47 53 Figura 21 Questão 3 da prova referente ao intervalo 47 54 Figura 22 Questão 4 da prova referente ao intervalo 47 54 Figura 23 Questão 5 da prova referente ao intervalo 47 55 8 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Gráfico 1 Resultado dos estudantes na questão 1 34 Gráfico 2 Resultado dos estudantes na questão 2 36 Gráfico 3 Resultado dos estudantes na questão 3 38 Gráfico 4 Resultado dos estudantes na questão 4 39 Gráfico 5 Resultado dos estudantes na questão 5 41 Gráfico 6 Resultado das médias das ações 43 9 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Tipos de base orientadora da ação 18 Tabela 2 Dimensões das categorias para análise qualitativa e quantitativa 28 Tabela 3 Resultado dos estudantes na questão 1 34 Tabela 4 Resultado dos estudantes na questão 2 35 Tabela 5 Resultado dos estudantes na questão 3 37 Tabela 6 Resultado dos estudantes na questão 4 38 Tabela 7 Resultado dos estudantes na questão 5 40 Tabela 8 Resultado das médias das ações 42 Tabela 9 Intervalos de frequência 44 10 Sumário INTRODUÇÃO 11 Objetivo Geral 12 Objetivos Específicos 12 CAPÍTULO I FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 14 11 Fundamentos Psicológicos 14 12 Expressões algébricas e valor numérico 20 13 A Atividade de Situações Problema em expressões algébricas e valor numérico 24 CAPÍTULO II PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS 27 21 Caracterização da pesquisa 27 22 Variáveis e categorias de análises 28 23 Instrumento da pesquisa 30 CAPITULO III RESULTADOS E ANÁLISES 33 31 Diagnóstico da aprendizagem dos estudantes 33 32 Relações entre as ações na Atividade de Situações Problema 42 33 Proposta de um plano de ensino 56 CONSIDERAÇÕES FINAIS 58 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 59 11 INTRODUÇÃO Ao longo dos anos percebemos ao nosso redor os grandes avanços que a sociedade vem sofrendo Aos poucos essas mudanças exigem adaptações para que sejamos encaixados nesse meio A sociedade moderna cada vez mais requer pessoas capacitadas e a escola tem uma alta responsabilidade em estimular e preparar os estudantes desde cedo porém a mesma não tem conseguido avançar no mesmo ritmo que as necessidades sociais Diante desse contexto a escola precisa assumir uma nova postura priorizando o ensino aprendizagem através de uma reestruturação no ensino fundamentado por teorias com enfoque na aprendizagem desenvolvimental que venham preparar os estudantes para o mundo em que vivem Em muitas escolas é comum a abordagem tradicional dos conteúdos na qual o professor apresenta aos estudantes exposições orais em seguida os mesmos são incentivados a trabalhar com exercícios selecionados dessa forma as informações obtidas são para uso em curto prazo de modo que posteriormente elas desaparecem o aluno dificilmente conseguirá aplicar esse conhecimento em novas situações limitando na maioria das vezes o conhecimento e a sua capacidade criativa Em vez de concentrarse no ensino da memorização e na aplicação de técnicas na resolução dos problemas com base nas exposições dos professores é necessário conferir ênfase na abordagem dos conteúdos colocando o estudante no centro do processo de aprendizagem isso quer dizer que o estudante não se limita a receber passivamente o conhecimento mas o elabora novamente de modo constante e autônomo Desse modo os estudantes mudam da posição de meros espectadores para a de criadores ativos construtores do seu conhecimento A função do professor no processo de aprendizagem é de grande responsabilidade Segundo Talízina 1984 1988 1994 o professor tem duas funções principais ser uma fonte de informação e dirigir o processo assimilação Como fonte de informação deve selecionar os conhecimentos da disciplina o sistema de habilidades explicar os conteúdos e ensinar a lógica de execução das ações Por outro lado deve dirigir o processo de transformação das ações externa sobre o objeto em internas ou seja a direção deve estar centrada na interação entre o objeto conteúdo e o estudante 12 Atualmente é notório que o ensino tradicional precisa ser substituído por ensino alicerçado em teorias centradas na cognição e que os professores conheçam essas teorias e coloquem nas em prática garantido assim aos estudantes um processo completo na assimilação dos conteúdos ensinados Nesse contexto quais são as contribuições da teoria históricocultural para uma aprendizagem desenvolvimental no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico nos estudantes do 8º ano do Ensino Fundamental II do Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Roraima CApUFRR Objetivo Geral Analisar as contribuições da teoria históricocultural para uma aprendizagem desenvolvimental no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico nos estudantes do 8º ano do Ensino Fundamental II do Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Roraima CApUFRR Objetivos Específicos Diagnosticar o nível de aprendizagem dos estudantes em expressões algébricas e valor numérico Estudar as relações do sistema de ações da Atividade de Situações Problema em expressões algébricas e valor numérico Verificar a contribuição da Base Orientação da Ação da Atividade de Situações Problema em expressões algébricas e valor numérico O presente trabalho se divide em três capítulos o primeiro se caracteriza por apresentar os fundamentos psicológicos onde se descreve a evolução da teoria históricocultural de Vygotsky que organiza a base dos estudos desenvolvidos Vygotsky desenvolveu os conceitos de área de desenvolvimento atual e zona de desenvolvimento proximal de suma importância para a educação como uma ciência Em seguida definese a atividade de estudo segundo Leóntiev embasada nessas teorias surge a teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin a teoria geral de direção da atividade de estudo de Talízina e a Atividade de Situações Problema ASP no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico O segundo capítulo apresenta os procedimentos metodológicos utilizados na pesquisa começase pela caracterização da mesma em mista pois relaciona resultados qualitativos e quantitativos com ênfase nos qualitativos expõese as variáveis e categorias de analises que serão utilizadas para correção do instrumento empregado por fim apresentase a prova de 13 lápis e papel como instrumento usado para obter dados que possibilite realizar as análises desejadas Por fim o terceiro capítulo constituído pelas análises e discussões dos resultados da prova de lápis e papel como resultado das análises quantitativas os dados coletados serão organizados e apresentados em tabelas e gráficos que serviram de base para as análises qualitativas do desempenho obtido 14 CAPÍTULO I FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA O enfoque deste trabalho é o processo de ensino aprendizagem no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico fundamentado por teorias centradas na cognição para isto será apresentada brevemente a evolução da teoria históricocultural de Vygotsky apoiada pela teoria da atividade de Leóntiev continuada pela teoria de formação das ações mentais de Galperin e direcionada pela atividade de estudo de Talízina 11 Fundamentos Psicológicos As teorias explanadas a seguir tem como referência os artigos de TINTORER O MENDOZA H J G Com título evolução da teoria histórico cultural de Vygotsky a teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin seguido da Atividade de Situações Problema em Matemática de MENDOZA H J G TINTORER Oscar e por fim a didática da Matemática fundamentada na teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin de MENDOZA H J G TINTORER O Nas quais buscam relacionar os métodos de resolução de problemas matemáticos para a construção da Atividade de Situações Problema em Matemática de MENDOZA e TINTORER fundamentados na teoria de Galperin Na década dos anos 20 um grupo de especialistas soviéticos liderado por Vygotsky indicaram uma reestruturação da psicologia como ciência com base nos princípios da filosofia marxista a fim de superar a psicologia do subjetivismo e fenomenalismo acabando com a separação da psique humana como portadora de relações sociais Na teoria histórica cultural de Vygotsky o processo de assimilação do homem está dado pela experiência social Vygotsky Leóntiev e Galperin entre outros reconhecem a natureza social da atividade interna psíquica do homem e sua unidade com a atividade externa prática ou material TALÍZINA 1984 1988 1994 VYGOTSKY 2001 2003a 2003b Para dominar sua conduta ou seja dirigir sua psique o homem deve apoiarse no inicio em objetos externos e só depois através da mediação ele adquire a capacidade de fazêlo mentalmente utilizando suas ideias internas que são agora elementos da atividade psíquica Portanto a ideia central de Vygotsky 2001 2003a 2003b é que a atividade psíquica interna é construída pela atividade externa estabelecendo uma unidade dialética entre ambas A psiques sem a conduta não existe como a conduta sem a psiques também não No ser humano esta atividade está condicionada pelo uso de instrumentos e as formas de utilização que a sociedade estabeleceu historicamente Assim as funções psíquicas superiores 15 no homem foram originadas nas primeiras formas de comunicação verbal entre as pessoas e estão mediatizadas pelos signos especificamente os signos linguísticos Para Vygotsky 2001 as funções intelectuais superiores e psicológicas aparecem duas vezes primeiro como interpsíquicas e depois como intrapsíquica Neste sentido desenvolveu os conceitos de área de desenvolvimento atual e zona de desenvolvimento proximal de suma importância para a educação como uma ciência Conforme considerações vigotskianas para zona de desenvolvimento atual significa o conhecimento disponível pelo aluno o real que possui enquanto na zona de desenvolvimento potencial se entende que o aluno possa chegar ao conhecimento com uma ajuda seja outro estudante superior ou pelo próprio professor Esta consideração explica o relacionamento inicial interpsicológico e assimilação pessoal e final do conhecimento uma condição de caráter intrapsicológica Portanto Vygotsky 2003a define que a zona de desenvolvimento proximal é a distância entre o nível real de desenvolvimento que é habitual determinado por resolução de problemas e independente do nível de desenvolvimento potencial determinado através de resolução de problemas na direção de um adulto ou uma colaboração de pares mais capazes A seguir a figura 1 apresenta a estrutura da definição dada sobre a zona de desenvolvimento proximal Figura 1 Estrutura da zona de desenvolvimento Proximal Fonte PILAR 2003 16 Então resumirse a teoria de Vygotsky em quatro pressupostos i a base para o desenvolvimento mental do homem é uma mudança na sua vida social ou sua atividade ii a forma original do desempenho da atividade é realçada por um indivíduo no externo social iii as novas estruturas mentais que são formadas no homem são derivados da internalização da forma inicial da atividade e iv diferentes sistemas de signos desempenham um papel central para o processo de interiorização Davydov Zinchenko 2003 Vygotsky contribuiu de maneira significante para o desenvolvimento de outras teorias com mesmo enfoque se pode considerala como propulsora das outras teorias que por sua vez buscavam resolver algumas imperfeições encontradas na teoria histórico cultural Como por exemplo Vygotsky não estabeleceu uma relação direta entre a psique e a atividade prática do sujeito mas cria as bases do princípio da unidade da psique e a atividade Posteriormente os trabalhos de Rubinstein e Leóntiev superam as críticas dos trabalhos de Vygotsky Rubinstein propõe analisar a atividade do sujeito como o objeto da psicologia mas tampouco revelou a relação concreta entre a psique e a atividade nem no plano teórico nem no plano experimental Talízina 1988 Talízina coloca que esta insuficiência foi resolvida por Leóntiev sendo a principal objeção apontada por ele a necessidade de analisar de forma crítica e objetiva a teoria histórico cultural de Vygotsky expressando que não são apenas os conceitos significados signos ou instrumentos mas a atividade real do sujeito que une o organismo com a realidade circundante que determina o desenvolvimento da consciência como um conjunto como algumas funções mentais 1988 p 21 Portanto Leóntiev torna a atividade o objeto da psicologia e é precisamente através dela que o sujeito se relaciona com o mundo Em seus estudos sobre a estrutura das atividades Leóntiev considerando o propósito e razão como elementoschave e estabelecido que tanto devem corresponder também separar os conceitos de ação atividade e operação Neste sentido a atividade humana é parte das ações que são executadas através de operações Considerando a atividade mental como um caso especial da atividade humana na sua relação com seu mundo material externo Talízina 1988 p 23 Segundo Talízina 1988 p 30 afirma que Leóntiev não apenas expõe a tese de sobre a psique como atividade externa transformada mas a forma de realização discutida totalmente no processo de ontogenia A investigação sistemática deste problema é um crédito para Galperin e seus associados 17 Os trabalhos de Vygotsky Leóntiev Rubinstein e seus partidários conduziram aos fines dos anos 40 aos princípios que constitui os fundamentos da psicologia soviética e da teoria de formação por etapas das ações mentais que são a o enfoque do caráter ativo do objeto da psicologia atividade b o reconhecimento da natureza social psíquica do homem e c o reconhecimento da unidade da atividade psíquica e a atividade externa prática Talízina 1988 p 30 Através da atividade o sujeito se relaciona com o objeto respondendo a suas necessidades e adotando uma atitude A interação entre o objeto e sujeito possibilita ao último internalizar o objeto e dá solução as tarefas A vida humana está formada por um sistema de atividades e elas não existe sem o objeto mas este último podese apresentar independente do sujeito ou como reflexo de sua interação A atividade está formada por ações operações e objetivos ou seja o sujeito se relaciona com o mundo exterior através de uma atividade que está formada por um sistema de ações a sua vez cada ação por um sistema de operações para alcançar um objetivo A atividade é movida pelo motivo material ou ideal as ações pelo objetivo e as operações se originam pelas condições da atividade mas o motivo pode influenciar nas ações para alcançar objetivo Portanto a assimilação dos conteúdos ou aquisição de conhecimento exige que o sujeito realize um sistema de atividades um sistema de ações que se pode transformar em habilidades ou hábitos em determinadas condições do processo de ensino A atividade ou ações ou habilidade ou hábitos atuam como objeto de assimilação A teoria da atividade é baseada em instrução planejada cuja intenção essencial é aumentar a eficiência do processo instrutivo e educativo utilizando os processos mais modernos de técnicas disponíveis para a ciência Na teoria da atividade de Leóntiev 2004 o estudante se relaciona com o mundo através da atividade que está formada por ações com suas respectivas operações para alcançar um objetivo Leóntiev reconhece nos trabalhos de Vygotsky que a atividade interna ou mental é reflexo da atividade externa ou material mas não indica como é esta transformação Em seguida Galperin indica o caminho para a transformação não resolvida por Leóntiev ao colocar que a atividade antes de ser mental deve passar por cinco etapas qualitativas que são primeira etapa formação da base orientadora da ação segunda etapa formação da ação em forma material ou materializada terceira etapa formação da ação verbal externa quarta etapa formação da linguagem interna para si e a quinta etapa formação da linguagem interna Isto se conhece como a teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin 18 GALPERIN TALÍZINA 1967 TALÍZINA 1984 1988 A continuação será exposta as cinco etapas de formação das ações mentais Se começará por uma etapa zero além dos cincos que existe entre a forma material e interna que é a motivacional É conhecido para o professor se não existe motivação por parte do estudante é difícil obter sucesso na aprendizagem E0 Motivacional a motivação tem que começar dos alunos que queiram aprender e que também influencia do professor transmitir seus conhecimentos ao indivíduo para mostrar uma direção a ser seguida Em outras palavras é o impulso interno que leva à ação de conquista o seu objetivo E1 Elaboração da Base Orientadora da Ação BOA a BOA distinguese por três caraterísticas do sistema de ações a primeira caraterística pode ser geral ou concreta ou seja quando o estudante domina ações gerais em relação ao objetivo para resolver um número maior de tarefas A segunda está relacionada com o êxito da atividade que depende da plenitude das ações orientadas que devem ser suficientes completa para alcançar o objetivo e nunca insuficiente incompleta A terceira característica é a forma de obtenção do sistema das ações pelo estudante a partir das orientações do professor o estudante vai incorporando o sistema de ações para dar solução às tarefas a serem desenvolvidas de forma independente Quando o professor apresenta o sistema de ações pronto sem muito esforço para o estudante se diz que a forma de obtenção é preparada A continuação será exposta na tabela 1 os tipos de Base Orientadora da Ação Fonte Talizina 1988 p89 Tabela 1 Tipos de Base Orientadora da Ação Nº Caráter Generalizado Plenitude Modo de Obtenção 1 Específica Incompleta Independente 2 Específica Completa Preparada 3 Generalizada Completa Independente 4 Generalizada Completa Preparada 5 Generalizada Incompleta Preparada 6 Generalizada Incompleta Independente 7 Específica Completa Independente 8 Específica Incompleta Preparada 19 Segundo Talízina 1988 a BOA mais produtiva é a orientada de forma geral completa e obtida de forma independe pelos estudantes mas é possível utilizar outra BOA sempre que seja completa dependendo das condições de ensino ainda com limitações na retenção e transferência Para Talízina desde o ponto de vista da motivação é muito importante que o professor trabalhe conjuntamente com os alunos para que eles tenham a sensação que estão elaborando junto com o professor a base orientadora da ação O caráter generalizado das ações nesta etapa está relaciona com a BOA selecionada o professor deve explicar as ações passo a passo O professor deve verificar se aluno está claro como deve atuar se não compreender há que explicar novamente mas compreender não significa assimilar por isso ainda faltam quatro etapas de assimilação 1984 p 201 202 E2 Formação da ação em forma material ou materializada o estudante deve realizar as ações passo a passo com a ajuda de portadores externos da informação O papel do professor é ativo deve verificar a execução da cada ação com suas respetivas operações e o controle do objetivo e se é necessário realizar as correções necessárias A generalização das ações está limitada pelos casos padrões onde são aplicadas as ações Ainda as ações são compartilhadas com o professor e colegas e não automatizadas consciente mas saber fazer as ações não significa saber explicar E3 Formação da ação verbal externa a linguagem tem rol fundamental o estudante deve saber explicar as ações de forma consciente sem o apoio das ações externas materializadas e o principal objetivo é assimilar as operações se começa a trabalhar num plano teórico A posição do professor muda nesta etapa aumenta a função reguladora no controle das ações sendo muito importante corrigilo quando cometem erros No final da etapa deve aumentar a independência dos estudantes mas é ainda explanada compartilhada e consciente É necessário aumentar a complexidades dos problemas eou exercícios devem ser heterogêneos diferentes e aplicados a diversas situações A generalização toma outra dimensão o sistema de ações deve ser explicado pelos estudantes alcançando certo grau de compactação ante novas tarefas não trabalhadas nas etapas anteriores E4 Formação da ação na linguagem externa para si ela é transitória antes da formação da linguagem interno Caracterizamse pela realização das ações pelo estudante para adentro como se fosse um pensamento em voz alta onde as ações são explanadas conscientes e generalizadas As ações começam a reduzirse rapidamente e automatizar se dando passo a internalização O controle das ações passa do externo para o interno 20 E5 Formação da ação na linguagem interna a atividade adquire a forma mental ou seja as ações agora passam a ser mental generalizada comprimida independente e automatizada Podese resumir que a internalização do objeto de estudo conteúdos consiste na transformação de ações externas em internas materiais em mentais não generalizada em generalizadas detalhas em comprimidas conscientes em automatizadas compartilhadas em abreviadas 12 Expressões algébricas e valor numérico Quando teria o homem começado a fazer Matemática Esta é uma pergunta interessantíssima para a qual somente se pode levantar algumas conjecturas As descobertas científicas realizadas nas últimas décadas demonstram que a presença do homem na terra é muito mais antiga do que e imaginava Os registros arqueológicos indicam que há cerca de 50000 anos houve uma grande revolução digamos intelectual em nossa espécie talvez consequência de um salto evolutivo na linguagem Há cerca de 20000 anos a arte já atingira grande qualidade como demonstram as belíssimas pinturas de animais em cavernas na França e Espanha numa prova de que formas e distribuições espaciais haviam se tornado familiares ao homem A prática da contagem em especial de pessoas e de animais é muito antiga um osso com cerca de 10000 anos de idade encontrado na África exibe marcas de contagem Em torno de 4000 aC aparecem formas primitivas de escrita que evoluíram e consolidaramse definitivamente na Mesopotâmia com os Sumérios e poucos séculos depois no Egito dos Faraós Os mais antigos documentos escritos que se conhecem tratam de dois temas básicos a glorificação dos reis e a contabilidade de impostos estoques e transações comerciais Alguns especialistas chegam a conjecturar que a escrita foi inventada para fazer registros numéricos Durante muitos séculos após sua invenção o uso das escritas mesopotâmica e egípcia ainda permaneceu restrito a um pequeno número de pessoas os chamados escribas A eles competia registrar a história dos reis a contabilidade dos impostos os estoques e as transações comerciais Ao fazêlo precisavam realizar pequenos cálculos aritméticos e geométricos de modo que seus conhecimentos não mais poderiam limitarse as técnicas das letras e dos símbolos mas deveriam incluir rudimentos matemáticos que eles próprios desenvolviam e passavam a seus sucessores Costumase dizer que os primeiros 21 conhecimentos matemáticos foram sendo acumulados de maneira indutiva ou empírica e não dedutiva É oportuno ressaltar neste ponto que os documentos matemáticos daquela época não empregavam a alta dose de simbologia à qual estamos atualmente acostumados De um modo geral somente os números eram representados por símbolos os desenvolvimentos eram em sua quase totalidade expressos por palavras uma forma de expressão que hoje é conhecida por álgebra retórica Dentre os raros símbolos matemáticos criados pelos egípcios destacamse o da soma e o da subtração respectivamente um par de perninhas caminhando na direção da escrita ou contrariamente a ela Um dos problemas de Ahmes dizia uma quantidade somada a seus 23 mais sua metade e mais sua sétima parte perfaz 33 Qual é esta quantidade Evidentemente os egípcios não adotavam a simbologia algébrica moderna coisa inventada há poucos séculos Não sabiam também resolver por nossos métodos nem mesmo as equações do 1º grau Entretanto usavam um artifício muito engenhoso que lhes permitia encontrar a resposta correta e que veio a ser chamado de regra da falsa posição De qualquer forma foram admiráveis os feitos dos valentes escribas astrônomos e engenheiros que viveram há milênios pois mesmo na ignorância não tiveram medo dos números e enfrentaramnos com as armas de que poderiam dispor a persistência a confiança e a vontade de pensar A matemática tem várias ramificações como a aritmética que estuda os números e as operações e a geometria que estuda o espaço e as formas Agora vamos iniciar o estudo de uma parte da matemática que em sua linguagem faz uso de letras no lugar de números A Álgebra O primeiro a escrever equações e expressões algébricas apenas com letras e sinais matemáticos foi o matemático francês François Viéte que viveu no século XVI Apaixonado por álgebra esse matemático foi responsável pela introdução da primeira notação algébrica sistematizada além de contribuir para a teoria das equações Ficou conhecido como o pai da álgebra Vejamos agora um experimento bem simples de ser realizado Adivinhando o resultado Pense em um número inteiro de 10 à 19 mas não me diga qual é Some os dois algarismos Agora subtraia essa soma do número que você pensou Eu vou adivinhar o resultado final que você encontrou É 9 Certo 22 Se você fizer essa pequena mágica com um colega ou com uma pessoa de sua família vai causar surpresa Isso porque mesmo sem conhecer o número pensado você acha o resultado Mas o que parece uma mágica é na verdade uma aplicação da álgebra Primeiro veja o que acontece no caso particular em que o número pensado é 15 Número pensado 15 pode ser escrito assim 10 5 Soma dos algarismos 1 5 Número pensado menos a soma dos algarismos 10 5 1 5 10 5 1 5 9 Agora analisando o caso geral veja que o número pensado pode ser 10 0 10 1 até 10 9 Por isso vamos indicálo por 10 x Número pensado 10 x Soma dos algarismos 1 x Número pensado menos a soma dos algarismos 10 x 1 x 10 x 1 x 9 Percebeu qual é o truque Quando calculamos número pensado menos a soma dos algarismos o x desaparece pois x x 0 Aí ficamos sempre com 10 1 9 Usando a álgebra vimos que o resultado final não depende do número escolhido ele é sempre igual à 9 Usando letras podemos escrever generalizações isto é fatos que valem para todos os números de certo conjunto Nesses casos as letras são chamadas de variáveis quando representam números reais são chamadas de variáveis reais por exemplo a adição de quaisquer números reais é comutativa Podemos representala da seguinte forma se a e b são números reais então ab ba Substituindo as variáveis de uma expressão algébrica por números e efetuando os cálculos indicados obtemos o valor numérico da expressão por exemplo dada a expressão a 2 onde a 3 chegaremos ao valor 5 que é o valor numérico da expressão Com a utilização de variáveis é possível descobrir como expressar o termo geral de uma sequência também generalizar muitas fórmulas matemáticas como por exemplo o cálculo da diagonal de um polígono convexo a fórmula para o cálculo da área do quadrado retângulo e etc As operações como a adição subtração multiplicação e a divisão também podem ser efetuadas com expressões algébricas Para iniciar o estudo dessas operações vamos considerar expressões algébricas simples chamadas de monômios 23 Monômios são expressões algébricas que apresentam apenas um número apenas uma variável ou multiplicações entre números e variáveis Por exemplo a 5x2y3 b 2x c x3 d12 Em um monômio distinguimos duas partes um número que é o seu coeficiente e uma variável ou uma multiplicação de variáveis que é a sua parte literal Por exemplo 2xy O coeficiente é 2 e a parte literal é xy Monômios Semelhantes possuem a mesma parte literal Por exemplo 6x e x são monômios semelhantes Adição e Subtração vamos considerar uma adição de monômios semelhantes Por exemplo 7x3y25x3y2 Para somálos pode se pensar assim temos 7 monômios x3y2 mais cinco desses monômios logo temos 7 5 ou seja 12 monômios x3y2 Portanto 7x3y25x3y2 12x3y2 A subtração de monômios semelhantes também é feita dessa maneira Quando os monômios não são semelhantes deixamos apenas indicada a soma deles ou a diferença Multiplicação acompanhe a multiplicação do monômio x4 pelo monômio x3 x4 x3 x x x x x x x x7 Aqui temos um exemplo da propriedade das potências na multiplicação de potências de mesma base mantemos a base e somamos os expoentes x4 x3 x43 x7 Essa propriedade será utilizada na multiplicação de monômios Divisão acompanhe a divisão do monômio x5 pelo monômio x3 x5 x3 𝑥5 𝑥3 x x x x x x x x x2 Aqui temos um exemplo de outra propriedade na divisão de potências de mesma base mantemos a base e subtraímos os expoentes Na álgebra para iniciar o estudo das operações consideramos expressões algébricas simples chamadas de monômios Agora faremos o mesmo estudo com os polinômios 24 Polinômio é qualquer monômio ou qualquer adição algébrica isto é adição ou subtração de monômios Exemplo 2x 3y y3 Os monômios que formam um polinômio também são chamados de termos do polinômio Forma reduzida de um polinômio considere o polinômio 2x5 5x3y2 7x5 x3y2 Ele possui termos semelhantes isto é de mesma parte literal Sabemos que esses termos podem ser somados ou subtraídos 2x5 5x3y2 7x5 x3y2 2x5 7x5 5x3y2 x3y2 5x5 6x3y2 Dizemos então 5x5 6x3y2 é a forma reduzida do polinômio 2x5 5x3y2 7x5 x3y2 Um polinômio está na sua forma reduzida quando não tem monômios semelhantes 13 A Atividade de Situações Problema em expressões algébricas e valor numérico A Atividade de Situações Problema ASP em Matemática está orientada pelo objetivo de resolver situações problema na zona de desenvolvimento proximal num contexto de ensino aprendizagem onde existe uma interação entre o professor o estudante e a situação problema utilizando a resolução de problema em Matemática como metodologia de ensino a tecnologia disponível e outros recursos didáticos para transitar pelos diferentes estados do processo de assimilação Mendoza Tintorer 2017 A ASP em Matemática está formada por um sistema invariante de quatro ações com suas respetivas operações que permitem solucionar várias classes de problemas matemáticos A continuação é exposta o sistema de ações com suas respectivas operações Mendoza 2009 Mendoza et al2009 Mendoza Tintorer 2010 A ASP em expressões algébricas e valor numérico está formada por quatro ações invariantes que são 1ª ação compreender o problema 2ª ação montar a expressão algébrica 3ª ação solucionar a expressão algébrica encontrar o valor numérico 4ª ação interpretar a solução encontrada Em cada ação existe um conjunto de operações com o objetivo de realizar cada ação Mendoza 2009 Tintorer Mendoza 2009 A primeira ação é compreender o problema e está formada pelas operações ler o problema e extrair todos os elementos desconhecidos estudar os dados e suas condições e determinar os objetivos do problema 25 A segunda ação é construir o modelo matemático que é determinar variável a ser utilizada na expressão algébrica atribuir o significado que a variável deve representar na expressão elaborar o modelo matemático a partir das informações e condições extraídas do problema A terceira ação que é de solucionar o modelo matemático a qual temos que Observar as variáveis da expressão algébrica de acordo com os valores atribuídos a elas realizar a substituição nas expressões em seguida realizar as operações existentes encontrar a solução do modelo matemático Por último a quarta ação é interpretar a solução formada pelas operações interpretar o resultado extrair os resultados significativos que tenham relação com os objetivos do problema dar resposta aos objetivos do problema realizar uma reflexão baseado nos objetivos do problema analisar a partir de novos dados e condições que tenham relação direta ou não com os objetivos do problema existindo a possibilidade de reformular o problema e assim construir novamente o modelo matemático e interpretar sua solução Portanto Talízina 1988 p 14 afirma que o ensino planejado inclui os seguintes aspectos a a escolha da teoria psicológica de estudo que responde melhor às características específicas do ensino do homem b a formulação e realização das exigências de direção do processo de estudo apresentada pela teoria geral de direção c a criação dos recursos técnicos de ensino orientados ao modelo selecionado de ensino que satisfaça as exigências da teoria geral de direção A direção da atividade de estudo deve considerar os seguintes elementos o objetivo de ensino o estado de partida da atividade psíquica dos estudantes as tarefas para garantir as etapas do processo de assimilação o enlace de retorno ou retroalimentação e a correção do processo de estudo Talízina 1984 1988 1994 Os conteúdos antes de ser internalizado pelos estudantes o sistema de ações da atividade devem passar por cinco etapas qualitativas que são E0 Motivação E1 formação da Base Orientadora da Ação BOA E2 formação da ação em forma material ou materializada E3 formação da ação em verbal externa E4 formação da ação em linguagem externa par si e E5 formação da ação em linguagem interno O processo de ensino aprendizagem deve estar sob o comando do professor seguindo os princípios da teoria geral de direção constituída por o objetivo de ensino D1 o estado de partida da atividade psíquica dos estudantes D2 o processo de assimilação D3 a retroalimentação D4 e a correção D5 Este processo deve ser cíclico e transparente 26 visando como elemento principal o processo de transformação da atividade externa à atividade interna Talízina 1984 1988 19942000 Se representará a direção da atividade a partir da figura 2 onde E1 E2 até E5 significa as cinco etapas de formação das ações mentais Figura 2 Direção da Atividade de Situações Problema Fonte MENDOZA 2009 D3 D4 D5 ASP BOA E1 D3 D4 D5 ASP Interna E5 D1 D2 27 CAPÍTULO II PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Neste capítulo será exposto os procedimentos metodológicos utilizados para que sejam realizadas as coletas de dados e interpretação dos mesmos A caracterização da pesquisa ocorre mediante aprendizagem no conteúdo matemático de expressões algébricas e valor numérico ministrado aos alunos do 8º ano do Ensino Fundamental II do Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Roraima CAp UFRR utilizando como instrumento de coleta uma prova de lápis e papel na qual os resultados obtidos serão organizados em tabelas e gráficos para posteriormente serem analisados de forma qualitativa e quantitativa com enfoque principal no qualitativo que é visto como essencial evitando uma análise inadequada dos dados 21 Caracterização da pesquisa O Colégio de Aplicação CAp o estabelecimento de ensino onde ocorreu a realização da pesquisa atualmente encontrase vinculado ao Centro de Educação da Universidade Federal de Roraima CEDUCUFRR acompanhado dos cursos de Pedagogia Psicologia e Educação do Campo Atende as seguintes modalidades de ensino Ensino Fundamental I Ensino Fundamental II e Ensino Médio O colégio conta com boa infraestrutura composta por salas temáticas climatizadas e equipadas com materiais didáticos e eletrônicos Compõem ainda a estrutura do CAp sala de leitura biblioteca laboratório de informática auditório sala de recursos multifuncionais para atendimento educacional especial refeitório laboratório de ciências pátio interno entre outros espaços administrativos e pedagógicos Os estudantes que participaram da pesquisa fazem parte de um turma formada por alunos que ingressaram no colégio por sorteio público e do último processo seletivo de prova Atualmente a única forma de ingresso é mediante sorteio público A pesquisa se apresenta como uma abordagem mista relacionando as informações qualitativas com as quantitativas com ênfase nas análises qualitativas pretendese através da mesma diagnosticar a aprendizagem no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico de vinte e dois estudantes do 8º ano do ensino fundamental II do Colégio de Aplicação UFRR no ano de 2018 para isto será aplicado uma prova de lápis e papel como instrumento para análise dos resultados sendo está fundamentada nas ações da Atividade de Situações problemas ASP em Matemática Recordemos que as ações da ASP são compreender o 28 problema construir o modelo matemático solucionar o modelo matemático e interpretar a solução 22 Variáveis e categorias de análises Como já mencionado a corrente pesquisa é do tipo mista pois relaciona as análises dos resultados obtidos de forma qualitativa e quantitativa com enfoque qualitativo Na análise qualitativa o sistema de ações da ASP se converte em categorias e as operações realizadas pelo estudante em indicadores As categorias qualitativas de análises da ASP em Matemática são compreender o problema construir o modelo matemático solucionar o modelo matemático e interpretar a solução Enquanto que na análise quantitativa o sistema de ações se converte em variáveis e as operações em dimensões quantificadas em uma escala de 1 até 5 pontos de acordo com os indicadores essenciais que é entendido como conhecimento mínimo que deve saber o estudante Na tabela 2 apresentamse as dimensões das categorias para análise qualitativa e quantitativa utilizados para análise da prova de lápis e papel Tabela 2 Dimensões das categorias para análise qualitativa e quantitativa Aprendizagem no método resolução de problema em expressões algébricas Definição conceitual é a capacidade dos alunos resolver problemas e suas transferências para novas situações problema Definição operacional é a diferença de desempenho comparando um ponto inicial com outro a fim de resolver problemas e estabelecer transferências para novas situações problema Dimensão Descrição Y1 Desempenho de compreender o problema Y2 Desempenho de construir o modelo Y3 Desempenho de solucionar o modelo Y4 Desempenho de interpretar a solução Medição para designar o resultado quantitativo a cada dimensão Y1 Y2 Y3 Y4 será utilizado uma escala de 1 até 5 pontos com os critérios Se o aluno tem somente correto o indicador essencial obterá a qualificação de três 3 Se todos os indicadores estão incorretos obterá a qualificação de um 1 Se todos os indicadores estão corretos obterá a qualificação de cinco 5 Se o indicador essencial está incorreto ou parcialmente incorreto eou existe pelo menos outro indicador parcialmente correto obterá a qualificação de dois 2 Se o indicador essencial está correto mas existe pelo menos outro indicador parcialmente correto obterá a qualificação de quatro 4 Fonte MENDOZA 2009 29 Se o aluno tem somente correto o indicador essencial obterá qualificação de três Regular se todos os indicadores estão incorretos obterá qualificação de um Muito Ruim se todos os indicadores estão corretos obterá qualificação de cinco Muito Bom se o indicador essencial está incorreto ou parcialmente incorreto obterá qualificação de dois Ruim se o indicador essencial está correto mas existe pelo menos outro indicador parcialmente correto obterá qualificação de quatro Bom Indicadores da dimensão Nível da ação compreender o problema Y1 O aluno extrai os dados do problema O aluno determina as condições do problema O aluno define os objetivos do problema Indicador essencial O aluno define os objetivos do problema Indicadores da dimensão Nível da ação construir o modelo matemático Y2 Determinar variável a ser utilizada na expressão atribuir o significado que a variável deve representar na expressão elaborar o modelo matemático a partir das informações e condições extraídas do problema Indicador essencial O aluno define e constrói o modelo matemático a partir das condições e variáveis Indicadores da dimensão Nível da ação solucionar o modelo matemático Y3 Observar as variáveis da expressão algébrica de acordo com os valores numéricos atribuídos a elas realizar a substituição nas expressões em seguida realizar as operações existentes e por fim encontrar a solução do modelo matemático ou seja encontrar a solução da expressão Indicador essencial O aluno deve utilizar o melhor caminho de passo a passo que contenha recurso necessário para solucionar o modelo matemático Indicadores da dimensão Nível da ação interpretar a solução Y4 Interpretar o resultado extrair os resultados significativos que tenham relação com os objetivos do problema dar resposta aos objetivos do problema analisar a partir de novos dados e condições que tenham relação direta ou não com os objetivo do problema a possibilidade de reformular o problema construir novamente o modelo matemático solucionar o modelo matemático e interpretar a solução 30 Indicador essencial O aluno dá resposta aos objetivos do problema Considerando o indicador essencial como parâmetro e a escala de critérios estabelecidos se determinará o valor alcançado por cada estudante Os dados serão apresentados em tabelas e gráficos nas análises e discursões dos resultados 23 Instrumento da pesquisa A prova de lápis e papel foi aplicada aos estudantes do 8º ano do Ensino Fundamental como instrumento de coleta de dados O objetivo de utilizar esse recurso é obter informações que possibilitem realizar analises referentes a aprendizagem desenvolvimental no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico A prova contém cinco questões relacionase em cada questão as categorias da ASP dessa maneira possibilitará uma análise quantitativa e qualitativa mais eficiente dos resultados Prova Questão 1 Escreva as expressões algébricas que correspondem as sentenças matemáticas abaixo Em seguida calcule o valor numérico de cada uma delas para x 2 a A soma de um número com 6 b O quíntuplo de um número menos 3 Observase que a questão envolve as ações compreender o problema construir o modelo matemático e solucionalo É necessário que o estudante seja capaz de extrair os dados do problema através das informações obtidas determinar a variável a ser utilizada para construir as expressões algébricas depois de construir as expressões o estudante precisa substituir corretamente o valor numérico que a variável utilizada representa em seguida realizar as operações de multiplicação adição e subtração com números inteiros Dessa forma o estudante solucionará o modelo matemático ou seja encontrará as soluções das expressões algébricas Questão 2 Calcule o valor numérico das expressões algébricas abaixo para x 2 e y 3 a x 3y b x2 5y 31 Esta questão envolve apenas a ação solucionar o modelo matemático Como a questão determina o valor numérico das variáveis estabelecidas nas expressões o estudante necessita substituilo corretamente nas variáveis das expressões realizar em seguida as operações de potenciação multiplicação e adição com números inteiros Assim encontrará a solução das expressões algébricas Questão 3 A quantidade de água L em litros que uma bomba pode retirar de um poço e levar até uma caixadágua no alto de uma residência é representada por L 45t 10 em que t é o tempo em minutos t0 Quantos litros de água essa bomba terá colocado na caixadágua após uma hora de funcionamento A questão relaciona as ações compreender o problema solucionar o modelo matemático e interpretar a solução sendo que esta última ação não poderá ser analisada com clareza em decorrência da formulação da questão O estudante necessita extrair os dados do problema o mesmo perceberá que o modelo matemático já se encontra pronto então terá que encontrar o valor da variável presente na expressão substituir corretamente o valor numérico que a variável representa e em seguida realizar as operações de multiplicação e adição de números inteiros dessa maneira será encontrada a solução da expressão algébrica Depois de encontrar o resultado ou seja solucionar o modelo matemático o estudante terá condições para dar resposta ao problema Questão 4 O valor de venda de certo chocolate é obtido pela soma do valor da embalagem mais o dobro do valor de produção a Escreva uma expressão algébrica que representa o valor de venda deste chocolate b Qual será o preço de venda desse chocolate se o valor da embalagem for R 275 e o valor de produção for R 600 A questão permite relacionar todas as ações lembrando que as ações são compreender o problema construir o modelo matemático solucionar o modelo e interpretar a solução A 32 ação interpretar a solução não pode ser analisada com clareza em consequência da formulação da questão Esta questão exige do estudante um pensamento mais estruturado acerca do conteúdo estudado pois ao extrair os dados do problema o mesmo necessita determinar as variáveis e o significado delas no problema a partir daí construir o modelo matemático ou seja a expressão algébrica depois de construíla o estudante precisa substituir corretamente os valores numéricos que as variáveis representam na expressão em seguida realizar as operações de multiplicação e adição dessa forma será obtido a solução do modelo matemático Após solucionalo o estudante deverá interpretar a solução e dar resposta ao problema Questão 5 Na bilheteria do cinema há um cartaz com o preço dos ingressos Criança R 800 Adulto R 1600 Se foram vendidos 120 ingressos para adulto e 215 ingressos para criança qual o valor arrecadado Nesta questão assim como na anterior estão relacionadas as quatro ações compreender o problema construir o modelo matemático solucionar o modelo e interpretar a solução Tendo em vista que devido a formulação da questão a ação interpretar a solução não se verifica com clareza O estudante deve extrair as informações do problema precisa determinar as variáveis e o significado delas no problema a partir daí construir o modelo matemático ou seja a expressão algébrica depois de construíla é necessário substituir corretamente os valores numéricos que as variáveis representam na expressão em seguida realizar as operações de multiplicação e adição Assim será obtido a solução do modelo matemático após soluciona lo o estudante deverá interpretar a solução e dar resposta ao problema 33 CAPITULO III RESULTADOS E ANÁLISES No decorrer deste capítulo será apresentado e analisado o desempenho obtido pelos vinte e dois estudantes do 8º ano do Ensino Fundamental que realizaram a prova de lápis e papel no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico Como resultado das análises quantitativas os dados coletados serão organizados e apresentados em tabelas e gráficos que serviram de base para as análises qualitativas do desempenho obtido Em cada questão da prova encontrase analises do desempenho quantitativo e qualitativo dos estudantes em relação às ações da ASP e suas respectivas operações Em seguida uma análise geral das médias das ações da ASP e por fim será selecionado uma prova de cada faixa de frequência para uma análise mais detalhada 31 Diagnóstico da aprendizagem dos estudantes O diagnóstico da aprendizagem dos estudantes no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico obtido através do instrumento prova de lápis e papel tem o objetivo de buscar informações através das categorias da ASP do nível de aprendizagem alcançado pelos estudantes diante da utilização da teoria históricocultural As ações da ASP são convertidas nas seguintes categorias qualitativas de análises compreender o problema construir o modelo matemático solucionar o modelo matemático e interpretar a solução Levando em consideração que as questões expressas na prova não permitem avaliar com clareza a quarta ação que é interpretar a solução A prova diagnóstica foi elaborada de maneira específica composta por cinco questões buscouse relacionar as categorias da ASP nas mesmas dessa forma possibilitou uma análise minuciosa dos resultados os valores quantitativos empregados nas questões são atribuídos de acordo com a tabela 2 apresentada anteriormente Os resultados exibidos a seguir representa o desempenho dos estudantes no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico alcançados na prova diagnóstica a continuação será apresentada as tabelas e gráficos dos resultados obtidos em cada questão O intuito é analisar qualitativamente o desempenho dos estudantes a partir dos dados quantitativos que obtiveram na prova A seguir a tabela 3 e o gráfico 1 expostos abaixo referemse ao desempenho dos estudantes na questão 1 34 Tabela 3 Resultado dos estudantes na questão 1 E Q1 1 A 2 A 3 A A B A B A B E01 5 5 5 5 5 5 E02 5 2 5 2 5 1 E03 1 1 1 1 1 1 E04 5 3 5 2 5 1 E05 5 2 5 2 5 1 E06 5 5 5 5 5 5 E07 5 2 5 2 5 1 E08 5 5 5 4 5 3 E09 5 5 5 5 5 3 E10 5 5 5 5 5 5 E11 5 5 5 5 5 5 E12 5 5 5 5 5 5 E13 5 5 5 5 5 5 E14 5 5 5 5 5 5 E15 5 5 5 5 5 5 E16 5 5 5 5 5 5 E17 5 5 5 5 5 5 E18 5 5 5 5 5 5 E19 5 5 5 5 5 5 E20 5 5 5 5 5 5 E21 5 5 5 5 5 5 E22 5 5 5 5 5 5 Media 48 43 48 42 48 39 Mediana 5 5 5 5 5 5 Moda 5 5 5 5 5 5 DP 083 129 083 135 083 168 Fonte confeccionada pela autora 2018 Gráfico 1 Resultado dos estudantes na questão 1 Fonte confeccionada pela autora 2018 00 10 20 30 40 50 E01E02E03E04E05E06E07E08E09E10E11E12E13E14E15E16E17E18E19E20E21E22 Médias das Ações da P1 1ªA 2ªA 3ªA 35 A questão relaciona as três ações da ASP compreender o problema construir o modelo matemático e solucionálo Dos 22 estudantes que participaram da pesquisa 15 obtiveram pontuação máxima em todas as ações analisadas o que é um excelente resultado e mostra que a maioria da turma extraiu os dados do problema através das informações determinou a variável a ser utilizada na expressão algébrica depois de montar a expressão substituiu o valor numérico que a variável utilizada representa e em seguida encontraram corretamente a solução do problema Através do gráfico 1 observase um rendimento bom nas médias dos estudantes E08 e E 09 ambos apresentam pontuações entre 4 e 5 nas ações analisadas outra característica destes estudantes é que retratam pontuações mais elevadas nas ações compreender o problema e montar a expressão ao solucionála apresentam rendimentos mais baixos sendo que os erros cometidos com mais frequência nestes casos são aritméticos não estão ligados em si ao conteúdo estudado ou a compreensão do que se pede na questão Já os estudantes E02 E 04 E05 e E07 apresentam rendimento regular com pontuações entre 3 e 4 Observase que conseguem pontuações mais elevadas nas primeiras ações e que esses rendimentos são menores na última ação esse comportamento ao aparecer se manifesta por que os estudantes não compreendem corretamente o problema por seguinte não avançam corretamente para as próximas ações nestes casos os erros cometidos com mais frequência não são apenas aritméticos estão relacionados a interpretação inadequada dos dados da questão e também ao conteúdo estudado Apenas o E03 apresenta características diferentes dos demais estudantes não consegue avançar em nenhuma das ações analisadas Não compreende o que se pede na questão não conseguiu extrair os dados e consequentemente não avança nas outras ações novamente podemos perceber que as ações estão relacionadas entre si pois se o estudante não compreende o que se pede questão dificilmente conseguirá avançar nas outras ações A seguir será exposta a tabela 4 e o gráfico 2 que representam o desempenho dos estudantes na questão 2 Tabela 4 Resultado dos estudantes na questão 2 Q2 3ªA E A B Média E01 3 3 30 E02 5 4 45 E03 1 1 10 E04 5 4 45 E05 1 1 10 E06 4 4 40 36 E07 3 3 30 E08 2 2 20 E09 3 5 40 E10 5 4 45 E11 5 4 45 E12 5 4 45 E13 5 5 50 E14 5 5 50 E15 5 5 50 E16 5 5 50 E17 5 5 50 E18 5 5 50 E19 5 5 50 E20 5 5 50 E21 5 5 50 E22 5 5 50 Media 42 40 41 Mediana 5 45 45 Moda 5 5 5 DP 134 126 126 Fonte confeccionada pela autora 2018 Gráfico 2 Resultado dos estudantes na questão 2 Fonte confeccionada pela autora 2018 Esta questão envolve apenas a ação solucionar o modelo matemático tendo o estudante que determinar o valor numérico das expressões algébricas para isto necessita substituir corretamente o valor das variáveis realizar em seguida as operações de potenciação multiplicação e adição com números inteiros A média obtida pelos estudantes oscilaram de 40 a 42 então podese considerar que obtiveram um bom desempenho na questão 10 estudantes E13 E14 E15 E16 E17 E 18 E19 E20 E21 e E22 obtiveram pontuação máxima ou seja solucionaram 00 10 20 30 40 50 E01 E02 E03 E04 E05 E06 E07 E08 E09 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 E22 Média da 3ª Ação da P2 37 corretamente a expressão algébrica os estudantes E02 E04 E06 E09 E10 E11 e E 12 apresentaram pontuação entre 4 e 5 então conseguiram fazer corretamente o indicador essencial mais existe pelo menos outro parcialmente correto ou seja substituíram corretamente o valor da variável e cometeram pequenos erros aritméticos Com pontuação entre 3 e 2 estão os estudantes E01 E07 e E08 estes substituíram parcialmente correto o valor das variáveis nas expressões algébricas e por seguinte não chegaram a solução correta já os estudantes E03 e E05 não conseguiram desempenho na ação obtendo dessa forma pontuação 1 A tabela 5 e o gráfico 3 abaixo expõe o desempenho dos estudantes na questão 3 Tabela 5 Resultado dos estudantes na questão 3 Q3 E 1ªA 3ªA 4ªA E01 1 1 1 E02 1 1 1 E03 1 1 1 E04 1 1 1 E05 1 2 1 E06 1 2 1 E07 2 3 1 E08 1 1 1 E09 2 1 1 E10 1 1 1 E11 5 5 5 E12 1 1 1 E13 1 1 1 E14 1 1 1 E15 5 5 5 E16 5 5 5 E17 5 5 5 E18 5 5 5 E19 5 5 5 E20 5 5 5 E21 5 5 5 E22 5 5 5 Media 27 28 26 Mediana 15 2 1 Moda 1 1 1 DP 191 187 197 Fonte confeccionada pela autora 2018 Nesta questão é dada a expressão algébrica o estudante necessita compreender o problema solucionar a expressão e interpretar a solução Os resultados apresentados mostram que a maioria dos estudantes obtiveram rendimento ruim apresentam uma média que oscila 38 entre 26 e 28 outra característica é que exibem moda igual a 1 indicando que está foi a nota que mais se repetiu a mesma indica que os estudantes não conseguiram avançar em nenhuma das ações analisadas Gráfico 3 Resultado dos estudantes na questão 3 Fonte confeccionada pela autora 2018 Dos 22 estudantes que realizaram a prova 9 E01 E02 E03 E04 E08 E10 E12 E 13 e E14 obtiveram nota 1 em todas as ações ou seja não interpretaram o problema não substituíram a variável na expressão algébrica e por seguinte não deram resposta ao problema Os estudantes E05 E06 E07 e E09 apresentam pontuação entre 3 e 1 nas análises quantitativas onde 3 exprime que o estudante tem somente o indicador essencial correto e 1 não realizou corretamente nenhum dos indicadores essenciais Os demais estudantes alcançaram pontuação máxima em todas as ações A tabela 6 e gráfico 4 apresentados a seguir representam o desempenho dos estudantes na questão 4 Tabela 6 Resultado dos estudantes na questão 4 Q4 E 1ªA 2ªA 3ªA 4ªA Total E01 5 5 5 5 20 E02 5 5 5 4 19 E03 1 1 4 5 11 E04 1 1 5 4 11 E05 1 2 1 1 5 E06 1 1 1 1 4 E07 5 5 5 5 20 E08 1 1 1 1 4 E09 1 1 4 4 10 E10 5 5 5 5 20 0 1 2 3 4 5 E01 E02 E03 E04 E05 E06 E07 E08 E09 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 E22 Resultado da P3 1ªA 3ªA 4ªA 39 E11 5 5 5 5 20 E12 5 5 5 5 20 E13 5 5 5 5 20 E14 5 5 5 5 20 E15 5 5 5 5 20 E16 5 5 5 5 20 E17 5 5 5 5 20 E18 5 5 5 5 20 E19 5 5 5 5 20 E20 5 5 5 5 20 E21 5 5 5 5 20 E22 5 5 5 5 20 Media 39 40 44 43 165 Mediana 5 5 5 5 20 Moda 5 5 5 5 20 DP 178 172 137 136 579 Fonte confeccionada pela autora 2018 Gráfico 4 Resultado dos estudantes na questão 4 Fonte confeccionada pela autora 2018 Na questão 4 apresentase uma situaçãoproblema que relaciona as quatro ações da ASP dos 22 estudantes analisados 15 obtiveram um desempenho muito bom apresentaram pontuação 5 nas quatro ações da ASP em matemática ou seja constroem a expressão algébrica de acordo com os dados do problema solucionam a expressão realizando corretamente as substituições das variáveis realizam as operações de multiplicação e soma em seguida interpretam a solução Os estudantes E02 E03 E04 E05 e E09 apresentam nas ações analisadas resultados que oscilam desde a pontuação máxima até a mínima a maioria destes não extraíram os dados 0 1 2 3 4 5 E01 E02 E03 E04 E05 E06 E07 E08 E09 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 E22 Resultados da P4 1ªA 2ªA 3ªA 4ªA 40 do problema e não montaram a expressão algébrica mais através de ensaio e erro encontram a solução correta ou parcialmente correta do problema O estudante E02 exibe característica diferente dos demais pois extrai os dados do problema monta a expressão algébrica substitui corretamente o valor das variáveis na expressão soluciona a expressão mais não apresenta a interpretação da solução do problema Já os estudantes E06 e E08 apresentam pontuação 1 em todas as ações ou seja não conseguem avançar em nenhuma das categorias analisadas Geralmente os estudantes que não compreendem o problema e não extrai os dados do mesmo apresentam dificuldade para avançar pelas próximas ações quando avançam as pontuações na grande maioria das vezes são inferiores a máxima indicando que as ações estão relacionadas entre si isto é os estudantes que conseguem pontuações máxima nas primeiras ações apresentam maiores chances de avançar pelas próximas ações com pontuações máximas A seguir a tabela 7 e o gráfico 5 representam o desempenho dos estudantes na questão 5 da prova diagnóstica Tabela 7 Resultado dos estudantes na questão 5 Q5 E 1ªA 2ªA 3ªA 4ªA Total E01 5 5 5 5 20 E02 5 5 5 5 20 E03 1 1 1 2 5 E04 1 1 1 1 4 E05 2 1 1 1 5 E06 4 3 5 4 16 E07 5 4 5 5 19 E08 5 5 5 5 20 E09 5 5 5 5 20 E10 5 4 5 5 19 E11 5 5 5 5 20 E12 5 5 5 5 20 E13 5 5 5 5 20 E14 5 5 5 5 20 E15 5 5 5 5 20 E16 5 5 5 5 20 E17 5 5 5 5 20 E18 5 5 5 5 20 E19 5 5 5 5 20 E20 5 5 5 5 20 E21 5 5 5 5 20 E22 5 5 5 5 20 Media 45 43 45 45 176 Mediana 5 5 5 5 20 Moda 5 5 5 5 20 DP 127 139 137 127 523 Fonte confeccionada pela autora 2018 Nesta questão assim como na anterior apresentase uma situaçãoproblema que relacionam as quatro ações da ASP dos 22 estudantes analisados apenas o estudante E04 41 apresenta pontuação 1 como resultado em todas as ações 16 obtiveram um desempenho muito bom apresentando pontuação 5 nas quatro ações da ASP em matemática estes constroem a expressão algébrica de acordo com os dados do problema solucionam a expressão realizando corretamente as substituições das variáveis e as operações de multiplicação e soma em seguida apresentam a solução do problema Gráfico 5 Resultado dos estudantes na questão 5 Fonte confeccionada pela autora 2018 Os estudantes E03 E05 E06 E07 e E10 apresentam oscilações entre a pontuação máxima e a mínima Os estudantes E03 e E05 exibem características parecidas apresenta pontuação 2 como maior valor alcançado O E03 não apresenta desempenho nas três primeiras ações que são compreender o problema montar a expressão algébrica e soluciona la obtendo assim pontuação 1 contudo expõe a interpretação da solução de maneira aleatória mais com certa lógica obtém 2 nesta ação já o E05 obteve pontuação 2 na primeira ação pois não compreende corretamente o problema mais extrai alguns dados corretos por seguinte não avança nas próximas ações analisadas obtendo dessa maneira pontuação 1 Os demais estudantes cometeram pequenos erros principalmente ao montar a expressão algébrica 0 1 2 3 4 5 E01 E02 E03 E04 E05 E06 E07 E08 E09 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 E22 Resultados da P5 1ªA 2ªA 3ªA 4ªA 42 32 Relações entre as ações na Atividade de Situações Problema A seguir a tabela 8 e o gráfico 6 expostos abaixo representam a média que os estudantes obtiveram nas quatro ações analisadas na prova a partir desses dados é possível observar por meio da Média Mediana Moda e Desvio Padrão o resumo do comportamento dos dados desse conjunto ou seja o desempenho dos estudantes em cada ação Tabela 8 Resultado das médias das ações Médias das Ações E 1ªA 2ªA 3ªA 4ªA Total E01 42 50 42 37 171 E02 36 43 34 33 146 E03 10 10 16 27 63 E04 22 23 26 20 91 E05 22 25 20 10 77 E06 32 35 36 20 123 E07 38 40 38 37 153 E08 34 38 30 23 125 E09 36 40 36 33 145 E10 42 48 42 37 168 E11 50 50 50 50 200 E12 42 50 42 37 171 E13 42 50 42 37 171 E14 42 50 42 37 171 E15 50 50 50 50 200 E16 50 50 50 50 200 E17 50 50 50 50 200 E18 50 50 50 50 200 E19 50 50 50 50 200 E20 50 50 50 50 200 E21 50 50 50 50 200 E22 50 50 50 50 200 Media 395 425 398 368 1586 Mediana 420 500 420 367 1707 Moda 5 5 5 5 20 DP 110 112 102 119 424 Fonte confeccionada pela autora 2018 43 Gráfico 6 Resultado das médias das ações Fonte confeccionada pela autora 2018 A média moda e a mediana servem para medir a tendência dos valores nas ações desenvolvidas pelos estudantes na prova Apresentase como valor máximo a pontuação 5 que ocorre quando o estudante realiza corretamente todos os indicadores conforme descrito na tabela 2 Observase que a média apresentada na primeira ação é 395 indicando que os estudantes na compreensão do problema tiveram desempenho regular na segunda ação retratam média 425 ou seja apresentam bom desempenho ao montar as expressões algébricas ao verificar a terceira ação que é solucionar a expressão os estudantes apresentam média 398 indicando desempenho regular assim como na primeira ação e na última ação analisada que é interpretar a solução os estudantes apresentam 368 de média que pode ser considerado também como desempenho regular A mediana varia entre 5 e 367 Na compreensão e solução do problema os estudantes apresentam mediana 42 na ação montar a expressão algébrica retratam 5 que é a pontuação máxima que podem alcançar e na interpretação do problema apresentam 367 A moda nas 42 36 10 22 22 32 38 34 36 42 50 42 42 42 50 50 50 50 50 50 50 50 50 43 10 23 25 35 40 38 40 48 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 42 34 16 26 20 36 38 30 36 42 50 42 42 42 50 50 50 50 50 50 50 50 37 33 27 20 10 20 37 23 33 37 50 37 37 37 50 50 50 50 50 50 50 50 00 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 E01 E02 E03 E04 E05 E06 E07 E08 E09 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 E22 Média das Ações 1ªA 2ªA 3ªA 4ªA 44 quatro ações analisadas tem resultado 5 indicando que essa foi a pontuação que mais se repetiu Observase que os resultados obtidos na mediana e moda seguem comportamentos parecidos com a média isso acontece por que ambas medem a tendência dos resultados então ao parecer os estudantes de modo geral tiveram mais facilidade para montar as expressões algébricas pois nesta ação apresentam melhores resultados e maior dificuldade em interpretar as soluções dos problemas pois observase resultados mais baixo se comparados com as outras ações analisadas De posse dessas informações é possível explicar a homogeneidade da turma como medida de variabilidade o desvio padrão expressa o grau de dispersão do conjunto de médias ou seja indica o quanto esses dados são regulares quanto mais próximo de zero for o desvio padrão mais homogênea será a turma De acordo com os resultados expostos na tabela os estudantes não apresentam um comportamento homogêneo pois o desvio padrão em todas as ações está entre 1 e 119 A seguir apresentase na tabela 9 e figura 3 os resultados das médias obtidas pelos estudantes nas ações analisadas na prova De acordo com os intervalos estabelecidos na tabela 9 foram obtidas as seguintes frequências Fonte confeccionada pela autora 2018 Figura 3 Frequência do total Fonte confeccionada pela autora 2018 510 20 65 Frequência do Total 47 811 1215 1620 Tabela 9 Intervalos de frequência Intervalo Frequência 47 1 811 2 1215 4 1620 13 45 De acordo com as informações exibidas na figura 3 inferese que 65 dos estudantes que realizaram a prova encontramse com média entre o intervalo 1620 expressando que a maioria apresentaram bons resultados 20 estão entre 1215 10 representa os estudantes que obtiveram médias entre o intervalo 811 e 5 os que ficaram entre 47 este último resultado indica que uma pequena porcentagem de estudantes apresentam resultados não satisfatórios Com o intuito de realizar uma análise minuciosa das frequências obtidas foi selecionada uma prova por faixa de frequência em cada prova foram realizadas as referidas análises A seguir apresentase a análise da prova entre o intervalo 1620 que representa 65 dos estudantes Figura 4 Questão 1 da prova referente ao intervalo 1620 Fonte confeccionada pela autora 2018 A figura 4 representa a primeira questão da prova encontrase relacionadas as ações compreender o problema montar e solucionar a expressão algébrica É possivel observar que o estudante compreende e extrai os dados corretamente do problema em seguida monta e substitui os valores numéricos que a variável representa e por fim soluciona a expreessão de forma exata obtendo resultado 5 que é a pontuação maxima em todas as ações analisadas Figura 5 Questão 2 da prova referente ao intervalo 1620 Fonte confeccionada pela autora 2018 A segunda questão encontrase representada na figura 5 a mesma envolve apenas a ação solucionar a expressão algébrica observase que o estudante substitui corretamente o valor 46 das variáveis nas expressões realiza as operações de potenciação multiplicação soma e diferença e em seguida encontra a solução exata nas duas expressões Desta forma alcança pontuação máxima nesta ação Figura 6 Questão 3 da prova referente ao intervalo 1620 Fonte confeccionada pela autora 2018 Na figura 6 encontrase a questão 3 nesta relacionamse as ações interpretar o problema solucionar a expressão algébrica e interpretar a solução encontrada O estudante realiza a interpretação correta do problema extrai os dados substitui o valor da variável na expressão encontra a solução exata e em seguida interpreta a solução do problema Consegue pontuação 5 em todas as ações analisadas Figura 7 Questão 4 da prova referente ao intervalo 1620 Fonte confeccionada pela autora 2018 A questão 4 representada pela figura 7 envolve as quatro ações da ASP em expressões algébricas e valor numérico As ações são compreender o problema construir e solucionar as expressões algébricas e por fim interpretar a solução encontrada 47 Observase que o estudante compreende e extrai corretamente os dados do problema constrói a expressão algébrica de acordo com o que se pede na questão soluciona corretamente a expressão e na ação interpretar a solução o estudante a exprime de maneira simples mais a forma de resolver e organizar os resultados deixam claro que o mesmo entendeu a solução do problema dessa maneira obtém pontuação máxima em todas as ações analisadas Figura 8 Questão 5 da prova referente ao intervalo 1620 Fonte confeccionada pela autora 2018 A figura 8 exibe a última questão da prova nesta assim como na anterior relaciona as quatro ações O estudante do mesmo modo que nas outras questões apresenta pontuação máxima em todas as ações pois interpreta e extrai os dados do problema constrói a expressão algébrica de acordo com dados obtidos em seguida soluciona a expressão e interpreta a solução encontrada O estudante selecionado no intervalo de 1620 obteve pontuação máxima na prova pois realizou corretamente todas as ações analisadas nas cinco questões Por seguinte é selecionada a prova de um estudante entre o intervalo 1215 para realizar as análises Figura 9 Questão 1 da prova referente ao intervalo 1215 Fonte confeccionada pela autora 2018 48 A figura 9 apresenta a questão 1 nela estão relacionadas as ações interpretar o problema construir e solucionar a expressão algébrica Notase que o estudante no item a interpreta de maneira correta extrai os dados do problema em seguida constrói a expressão substitui o valor da variável e encontra a solução correta obtendo assim pontuação 5 em todas as ações Já no item b ele não compreende totalmente o problema pois extrai os dados e constrói a expressão de maneira parcialmente correta então alcança pontuação 3 nessas duas ações e ao solucionar a expressão encontra resultado incorreto obtendo pontuação 1 nesta ação Figura 10 Questão 2 da prova referente ao intervalo 1215 Fonte confeccionada pela autora 2018 Esta questão envolve a ação solucionar a expressão algébrica observase que o estudante substituiu corretamente o valor numérico das variáveis nas expressões em seguida realiza as operações de potenciação multiplicação soma e diferença que estão presentes nas expressões encontrando desse modo as soluções exatas Nesta ação alcança resultado 5 que é a pontuação máxima Figura 11 Questão 3 da prova referente ao intervalo 1215 Fonte confeccionada pela autora 2018 Na questão 3 apresentada na figura 11 estão envolvidas as ações interpretar o problema solucionar e interpretar a solução Nesta questão o estudante não compreende corretamente o problema observase que ele extrai a expressão dada no problema no entanto não realiza a substituição da variável na expressão por seguinte não conseguiu encontrar a solução 49 consequentemente não avança em nenhuma das ações analisadas na questão alcançando resultado 1 em todas Figura 12 Questão 4 da prova referente ao intervalo 1215 Fonte confeccionada pela autora 2018 A figura 12 exibe a questão 4 da prova nela encontramse as quatro ações analisadas no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico O estudante conseguiu pontuação 5 em todas as ações pois compreende e extrai os dados do problema constrói a expressão algébrica realiza a substituição das variáveis corretamente em seguida soluciona a expressão fazendo de maneira correta as operações de multiplicação e soma Na interpretação pela forma de resolver e organizar os resultados entendeu a solução do problema Figura 13 Questão 5 da prova referente ao intervalo 1215 Fonte confeccionada pela autora 2018 50 Na questão 5 exibida pela figura 13 estão relacionadas as quatro ações Notase que o estudante compreende o problema extrai os dados e constrói a expressão algébrica em seguida soluciona a expressão substituindo corretamente o valor das variáveis realiza as operações de multiplicação e soma e por fim interpreta a solução apresentando resposta ao problema dessa forma conseguiu obter pontuação 5 que é o resultado máximo em cada ação analisada A seguir é escolhida a prova de um estudante entre o intervalo 811 para realizar as análises Figura 14 Questão 1 da prova referente ao intervalo 811 Fonte confeccionada pela autora 2018 A questão 1 representada pela figura 14 envolve as seguintes ações compreender o problema construir e solucionar a expressão algébrica O desempenho do estudante nesta questão é muito bom o mesmo realiza corretamente todas as ações obtendo dessa forma pontuação 5 Verificase que estudante compreende o que se pede na questão pois constrói as expressões algébricas de acordo com os dados extraídos logo após realiza a substituição da variável nas duas expressões em seguida efetua as operações de multiplicação e soma apresentando assim resultado correto ao final da solução Figura 15 Questão 2 da prova referente ao intervalo 811 Fonte confeccionada pela autora 2018 A figura 15 exibe a questão 2 nela consiste apenas a ação solucionar a expressão algébrica observase que o estudante realiza corretamente a substituição das variáveis nas duas expressões no entanto não encontra a solução correta pois o mesmo comete erros nas 51 operações de multiplicação soma e diferença existentes nas expressões O resultado alcançado pelo estudante nesta ação é 2 Figura 16 Questão 3 da prova referente ao intervalo 811 Fonte confeccionada pela autora 2018 Na questão 3 como segue na representação pela figura 16 o estudante não realiza nenhuma das ações presentes nesta questão que são compreender o problema solucionar e interpretar a solução Observase que o mesmo não compreende o problema extrai os dados de forma desorganizada e equivocada dessa maneira não avança na solução da expressão e por seguinte não realiza sua interpretação Alcançando nessas condições pontuação 1 em todas as ações analisadas que é o resultado mínimo possível Figura 17 Questão 4 da prova referente ao intervalo 811 Fonte confeccionada pela autora 2018 52 A questão 4 expõe o desempenho do estudante ao resolver uma situação problema envolvendo as quatro ações da ASP em expressões algébricas através da figura 17 observa se que o estudante não compreende o que se pede na questão extrai os dados e constrói a expressão algébrica de maneira incorreta em seguida realiza tentativa de resolver o problema por meio da operação de multiplicação encontrando dessa forma solução incorreta e por seguinte não interpreta a solução Recebe resultado 1 em todas as ações analisadas nesta questão Figura 18 Questão 5 da prova referente ao intervalo 811 Fonte confeccionada pela autora 2018 A figura 18 apresenta o desempenho do estudante na questão 5 da prova diagnóstica estão relacionadas as quatro ações da ASP que são compreender o problema construir a expressão algébrica solucionala e interpretar o resultado Verificase que o estudante interpreta o problema e extrai os dados corretamente em seguida mesmo sem construir a expressão algébrica é capaz de chegar a solução parcialmente correta do problema pois para a solução completa necessitava somar os resultados que obteve ao realizar as multiplicações por seguinte não exprime a interpretação da solução Então apresenta nesta questão os seguintes resultados na ação compreender e construir consegue pontuação 5 solucionar 4 e interpretar a solução 1 A seguir é escolhida a prova de um estudante que se encontra entre 47 o ultimo intervalo analisado neste trabalho 53 Figura 19 Questão 1 da prova referente ao intervalo 47 Fonte confeccionada pela autora 2018 A figura 19 expõe o desempenho do estudante na questão 1 da prova encontrase relacionada nesta questão as seguintes ações compreender o problema construir e solucionar a expressão algébrica Verificase que o estudante realiza no item a todas as ações analisadas de maneira correta obtendo assim resultado 5 já no item b não interpreta totalmente correto o problema notase que ao extrair os dados o faz de maneira parcialmente incorreta assim como na construção da expressão Obtém nessas duas ações resultados 3 consequentemente apresenta solução incorreta da expressão alcança nesta ação resultado 2 Figura 20 Questão 2 da prova referente ao intervalo 47 Fonte confeccionada pela autora 2018 A questão 2 da prova apresentada por meio da figura 20 exibe o desempenho do estudante onde se analisa apenas uma ação que é solucionar a expressão algébrica Observa se que o estudante no item a assim como no b não realiza corretamente a substituição das variáveis nas expressões algébricas apresentando dessa forma solução incorreta em ambas alcançando resultado 1 na ação analisada 54 Figura 21 Questão 3 da prova referente ao intervalo 47 Fonte confeccionada pela autora 2018 A figura 21 apresenta o desempenho do estudante na questão 3 nesta relacionamse as seguintes ações compreender o problema solucionar a expressão e interpretar o resultado Verificase que o estudante retira o dados do problema de forma errada não substitui corretamente o valor numérico da variável na expressão e consequentemente não apresenta solução e interpretação correta Dessa forma o resultado que alcança em todas as ações analisadas é 1 Figura 22 Questão 4 da prova referente ao intervalo 47 Fonte confeccionada pela autora 2018 A questão 4 representada pela figura 22 envolve as quatro ações da ASP em expressões algébricas e valor numérico As ações são compreender o problema construir e solucionar as expressões algébricas e por fim interpretar a solução encontrada 55 O estudante não compreende o que se pede na questão extrai os dados do problema de maneira incorreta consequentemente constrói a expressão algébrica de forma errada na ação encontrar a solução o mesmo realiza operação de soma entre os dados do problema e por fim apresenta a solução que também está incorreta dessa maneira obtém resultado 1 em todas as ações analisadas Figura 23 Questão 5 da prova referente ao intervalo 47 Fonte confeccionada pela autora 2018 A figura 23 exibe o desempenho do estudante na questão 5 da prova diagnóstica nela é possível analisar as quatro ações da ASP em expressões algébricas Verificase que o estudante compreende parcialmente correto o problema retira os dados do mesmo mais não constrói a expressão algébrica notase que realiza operações erradas para chegar a solução do problema dessa forma apresenta solução incorreta Obtém na primeira ação pontuação 4 e nas demais ações obtém pontuação 1 Ao final de todo o processo de análises realizadas nas provas destacamse as seguintes características dificilmente o estudante que obteve pontuação mínima na primeira ação que é compreender o problema conseguiu avançar com pontuação máxima nas outras ações Ao parecer é importante que o estudante compreenda o que se pede no problema a partir disso tem mais possibilidades de avançar corretamente nas próximas ações Houve em algumas questões comportamentos parecidos como por exemplo na questão 3 onde é dada a expressão algébrica e o estudante precisa compreender o problema solucionar e interpretar a solução a grande maioria dos estudantes obtiveram resultado 1 em todas as ações analisadas indicando que não realizaram nenhum indicador correto a média dos resultados observada foi menor de todas as questões Indagados sobre esse comportamento os mesmos responderam que não conseguiram entender o problema e que não enxergavam o valor da variável a ser substituída na expressão Nas demais questões os erros mais comuns não desrespeitavam em si ao conteúdo mais as operações aritméticas envolvidas 56 De acordo com os resultados obtidos dos 22 estudantes que realizaram a prova ao parecer a grande maioria alcançaram aprendizagem desenvolvimental no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico comprovando dessa forma a eficácia do ensino embasado na teoria históricocultural A seguir é apresentado um plano de ensino composto por cinco aulas elaborado de acordo com a BOA tem como objetivo orientar o professor no processo de ensino de forma que os estudantes possam melhorar os resultados e consequentemente conseguir alcançar com êxito a assimilação dos conteúdos 33 Proposta de um plano de ensino Plano de ensino Disciplina Matemática Ano 2018 Número de aulas 5 aulas Nº de aula Conteúdos Objetivos Nº da BOA HA Descrição 1 Estudo da Álgebra Introdução da álgebra com base na compreensão do seu estudo e apresentação da noção algébrica 3 2h Levar os alunos a compreender o emprego da álgebra do cotidiano por meio de aula expositiva e pratica mostrar sua importância na Matemática 2 Definição de expressões algébricas e valor numérico Introdução ao estudo da álgebra reconhecimento de expressões algébricas e valor numérico 3 2h Apresentação da aula por meio de slides buscando trazer definições formais e não formais de expressões algébricas e valor numérico de maneira a aproximar as definições e utilizações com o cotidiano dos estudantes 3 Monômios adição e subtração Calcular expressões algébricas de uma variável efetuar as operações de adição e subtração de monômios 3 2h Com auxílio de aula pratica trazer o conceito de monômio e desenvolvimento de atividades relacionadas a adição e subtração dessa forma contribuir de maneira eficaz para a construção do conhecimento no referido assunto Resolver em conjunto as atividades propostas 4 Monômios multiplicação e divisão Efetuar as operações de multiplicação e divisão de monômios 3 2h Apoiado no uso de slides desenvolver diversas atividades assim como suas resoluções no quadro em que ocorra a participação simultânea nas resoluções de maneira a construir juntos o conhecimento do assunto estudado no decorrer da aula 5 Polinômios forma reduzida de um polinômio Calcular expressões algébricas de duas ou mais variáveis e valor numérico 3 2h Através de aula pratica e mista trazer o conceito de polinômio e desenvolvimento de atividades relacionadas dessa forma contribuir de maneira eficaz para a construção do conhecimento no referido assunto Resolver em grupo as atividades propostas 57 Este plano de ensino é apenas um esboço básico para se começar a trabalhar com a atividade de situações problemas em expressões algébricas e valor numérico foi escolhida a base orientadora da ação de número três pelo fato de ser uma base completa o professor pode assim trabalhar de forma mais efetiva os conteúdos com os estudantes visto que os mesmos estarão aptos para solucionar diversos exercícios tendo em vista que se trabalhou com os mesmos a resolução de casos gerais ou seja o professor passa a construir os modelos e métodos de resolução em conjunto com os estudantes Com o passar de todos os processos os estudantes se tornarão mais independentes na resolução de exercícios assim o professor passará a ter um papel de regulador das ações corrigindo e esclarecendo as dúvidas caso necessário 58 CONSIDERAÇÕES FINAIS Os resultados exibidos neste trabalho expressa o emprego das teorias apresentadas no decorrer do primeiro capítulo no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico nos levando a realizar reflexões sobre suas utilizações como ferramentas para complementar as metodologias de ensino Os resultados foram coletados por meio da prova de lápis e papel Após realizar as análises quantitativas e qualitativas com enfoque nas qualitativas dos resultados da prova de lápis e papel se conseguiu de maneira mais eficiente uma caracterização dos estudantes em relação a aprendizagem no conteúdo de expressões algébricas e valor numérico Verificouse que a maioria dos estudantes que realizaram a prova apresentaram um nível satisfatório de aprendizagem do conteúdo estudado pois desenvolveram e encontraram na maioria das questões as respostas corretas obtiveram poucos erros em relação ao conteúdo sendo estes mais relacionados as operações aritméticas envolvidas nas questões A Atividade de Situações Problema ASP em Matemática é uma ferramenta com um vasto campo que pode ser utilizada para criar habilidades nos estudantes na resolução de problemas matemáticos através desta se observou o comportamento dos estudantes diante das questões e as ações que necessitavam ser executadas em geral o estudante que conseguiu realizar a primeira ação corretamente mantevese com bons resultados nas ações seguintes As orientações da base do sistema de quatro ações para resolver modelos matemáticos que conduzem a expressões algébricas e valor numérico necessitam ser gerais que permitam resolver a maior variedade de problemas matemáticos Também devem ser repassadas todas as informações sobre as ações para que os estudantes passassem a obtêla de forma independentemente As formas de análises realizadas exprimem de modo refinado os resultados alcançados pelos estudantes evitando uma análise redundante e muitas vezes errônea Ao parecer a grande maioria dos estudantes alcançaram aprendizagem desenvolvimental no conteúdo estudado inferese então que as teorias abordadas proporcionam aos estudantes um processo de ensino aprendizagem mais eficiente 59 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DANTE L R Formulação e resolução de problema Teoria e Pratica São Paulo Atica 2010 GALPERIN P Y TALÍZINA N F La formación de conceptos geométricos elementales y su dependencia sobre la participación dirigida de los alumnos In Psicología Soviética Contemporánea Selección de artículos científicos La Habana Ciencia y Técnica 1967 p 272301 LENIN V L Materialismo y Empiriocriticismo 2ª ed Moscú Ediciones en Lenguas extranjeras 1975 LEONTIEV Alexis O desenvolvimento do psiquismo 2 ed São Paulo Centauro 2004 Matemática teoria e contexto 8º ano Marília Centurión José Jakubovic 1 ed São Paulo Saraiva 2012 MENDOZA H J G TINTORER O A DIDÁTICA DA MATEMÁTICA FUNDAMENTADA NA TEORIA DE FORMAÇÃO POR ETAPAS DAS AÇÕES MENTAIS DE GALPERIN In Isauro Beltrán Núnez Betânia Leite Ramalho Org P Ya Galperin e a teoria da assimilação mental por etapas Pesquisa e experiências para um ensino inovador 1ed Campina SP Mercado de Letras 2016 v 1 p 125153 MENDOZA H J G TINTORER Oscar A ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA EM MATEMÁTICA In LONGAREZI Andréa Maturano PUENTES Roberto Valdés Aprendizagem desenvolvimento Implicações para e do ensino EDUFU 2017 MENDOZA H J G TINTORER Oscar A atividade de Situações Problema em Matemática In LONGAREZI Andréa Maturano PUENTES Roberto Valdés Aprendizagem desenvolvimento Implicações para e do ensino EDUFU 2017 MENDOZA Héctor J G Estudio del efecto del sistema de acciones en el proceso de aprendizaje de los alumnos en la actividad de situaciones problemas em Matemática en la asignatura de Álgebra Lineal en el contexto de la Facultad Actual de la Amazonia Teses doutorado em psicopedagogia Faculdade de Humanidade e Ciência na Educação Universidade de Jaén 2009 MENDOZA Héctor J G ORTIZ Ana M MARTÍNEZ Juan M TINTORER Oscar La teoría de la actividad de formación por etapas de las acciones mentales en la resolución de problemas Revista Inter Sciencie Place Rio de Janeiro Ano 2 N º 09 SetembroOutubro 2009 MENDOZA Héctor J G TINTORER Oscar Formação por etapas das ações mentais na Atividade de Situações Problema em Matemática X Encontro Nacional de Educação Matemática Salvador 2010 MOREIRA M A Teorias de Aprendizagem São Paulo EDU 2ª ed 2011 O romance das equações algébricas Gilberto G Garbi 2 ed rev e ampl São Paulo Editora Livraria da Física 2007 PILAR Rico Montero La Zona de Desarrollo Próximo Habana Pueblo y Revolución 2003 RUBINSTEIN J L Principios de Psicologia General Habana Revolucionaria 1970 60 SMIRNOV A A LEÓNTIEV A N Psicología Habana Imprenta Nacional de Cuba 1961 TALÍZINA N Conferencias sobre Los Fundamentos de la Enseñanza en la Educación Superior Universidad de la Habana 1984 TALÍZINA N Psicología de la Enseñanza Moscú Progreso 1988 TALÍZINA N Psicología de la Enseñanza Moscú Progreso 1988 TINTORER O MENDOZA H J G EVOLUÇÃO DA TEORIA HISTÓRICO CULTURAL DE VIGOTSKI À TEORIA DE FORMAÇÃO POR ETAPAS DAS AÇÕES MENTAIS DE GALPERIN In Ghedin Evandro Peternella Alessandra Org Teorias Psicológicas e suas implicações à educação em ciências 1ed Boa Vista Editora UFRR 2016 v1 p 157170 VYGOTSKY L S A construção do Pensamento e da Linguagem São Paulo Martins Fonte 2001 UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA AMANDA CAROLINE GOMES DA SILVA A Atividade de Situações Problema em aprendizagem na resolução de Operações com os Números Inteiros fundamentado em Galperin nos estudantes de 7 ano de Ensino Fundamental na Escola Estadual Professor Voltaire Pinto Ribeiro AMANDA CAROLINE GOMES DA SILVA A Atividade de Situações Problema em aprendizagem na resolução de Operações com os Números Inteiros fundamentado em Galperin nos estudantes de 7 ano de Ensino Fundamental na Escola Estadual Professor Voltaire Pinto Ribeiro Monografia apresentada como prérequisito para conclusão do Curso de Licenciatura Plena em Matemática do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Roraima Orientador Prof Dr Héctor José García Mendoza Dados Internacionais de Catalogação na publicação CIP Biblioteca Central da Universidade Federal de Roraima Ficha Catalográfica elaborada pela BibliotecáriaDocumentalista Angela Maria Moreira Silva CRB11381AM S586c Silva Amanda Caroline Gomes da A atividade de situações problema em aprendizagem na resolução de operações com os números inteiros fundamentado em Galperin nos estudantes de 7 ano de Ensino Fundamental na Escola Estadual Professor Voltaire Pinto Ribeiro Amanda Caroline Gomes da Silva Boa Vista 2018 57 f il Orientador Prof Dr Héctor José García Mendoza Trabalho de Conclusão de Curso monografia Universidade Federal de Roraima Curso de Licenciatura em Matemática 1 Ensino de Matemática 2 Ensino fundamental 3 Aritmética 4 Atividades de Situações Problemas I Título II Mendoza Héctor José García orientador CDU 37251 FOLHA DE APROVAÇÃO AMANDA CAROLINE GOMES DA SILVA A Atividade de Situações Problema em aprendizagem na resolução de Operações com os Números Inteiros fundamentado em Galperin nos estudantes de 7 ano de Ensino Fundamental na Escola Estadual Professor Voltaire Pinto Ribeiro Monografia apresentada como prérequisito para conclusão do curso de licenciatura plena em Matemática do departamento de Matemática da Universidade Federal de Roraima Defendida em 13 de Julho de 2018 e avaliada pela seguinte banca examinadora Prof Dr Héctor José García Mendoza Orientador Curso de Matemática UFRR Prof Dr Alberto Martin Martínez Castañeda Curso de Matemática UFRR Prof Dr Oscar Tintorer Delgado Curso de Física UERR RESUMO A educação no meio em que vivemos passa por várias precariedades em diversos contextos externos e internos os ensinos ofertados nas escolas deixam muito a desejar nos aspectos mais básicos como por exemplo a leitura e escrita porém existem dois fatores que contribuem para essa situação são eles a falta de interesse em aprender do aluno e a maneira que o professor ensina na sala de aula O processo de ensino aprendizagem deve estar fundamentado por teorias de aprendizagem que tem como foco o conhecimento dessa maneira apresentaremos de forma breve à evolução da teoria históricocultural de Vygotsky passando por as teorias da atividade de Leóntiev formação por etapas das ações mentais de Galperin atividades de situações problema direção da atividade de estudo de Talízina Estudar como a aplicação e a utilização da Atividade de Situações Problema em Matemática pode melhorar a forma de ensino com base nas teorias de formação por etapas das ações mentais de Galperin e da direção de atividade de estudo de Talízina para examinar a aprendizagem desenvolvimentalA pesquisa apresenta como a Atividade de Situações Problema em Matemática é compreendida como um sistema de quatro ações para o ensino aprendizagem na resolução de problemas em matemática baseado na teoria de Galperin Foi realizada uma experiência no conteúdo de operações de números inteiros na turma 7º ano na Escola Estadual Voltaire Pinto Ribeiro utilizando a resolução de problemas Palavras Chaves Atividade de situações problema Atividade de Estudo Operações de Números Inteiros Formação por etapas das ações mentais Resumen La educación en le medio que vivimos pasa por varias precariedades en diversos contextos externos e interno las enseñanzas ofrecida en las escuelas dejen mucho a desear en los aspectos más esenciales como por ejemplos la lectora y escrita por tanto existen dos factores que contribuyen para esa situación es la falta de interés de alumno e la manera como maestro enseña El proceso de enseñanza aprendizaje debe estar fundamentado por teorías de aprendizaje que tienen como foco el conocimiento de esa manera presentaremos de forma breve la evolución de la teoría históricocultural de Vygotsky pasando por las teorías de la actividad de Leóntiev formación por las etapas de las acciones mentales de Galperin la actividades de situaciones problema y la dirección da actividad de estudio de Talízina La investigación presenta la Actividad de Situaciones Problema en Matemáticas como un sistema de cuatro acciones para la enseñanza aprendizaje en la resolución de problemas en matemáticas basado en la teoría de Galperin Se realizó una experiencia en el contenido de operaciones de números enteros con estudiantes del 7º año en la Escuela Estadual Voltaire Pinto Ribeiro utilizando la resolución de problemas Se realizó un diagnóstico y posteriormente se realiza una propuesta de un plan de enseñanza siguiendo las etapas de formación de las acciones mentales de Galperin Palabras claves Actividad de situaciones problema Actividad de Estudio Operaciones de Números enteros Formación por etapas de las acciones mentales Lista de Figuras Figura 1 Relação de Zona de Desenvolvimento Proximal12 Figura 2 Zona de Desenvolvimento Proximal13 Figura 3 Correção questão 1 E1543 Figura 4 Correção questão 2 E1543 Figura 5 Correção questão 3 e 4 E1544 Figura 6 Correção questão 1 E0545 Figura 7 Correção questão 2 E0545 Figura 8 Correção questão 3 e 4 E0546 Figura 9 Correção questão 1 E0946 Figura 10 Correção questão 3 e 4 E0947 Figura 11 Correção questão 123 4 E0648 Listas de Tabelas Tabela 1 Tipos de Base Orientadora15 Tabela 2 Métodos de resolução de problemas de operações de números inteiros28 Tabela 3 Resultados do Problema 1 da prova diagnóstica32 Tabela 4 Resultados do Problema 2 da prova diagnóstica34 Tabela 5 Resultados do Problema 3 da prova diagnóstica37 Tabela 6 Resultados do Problema 4 da prova diagnóstica39 Tabela 7 Resultado Geral das médias das quatro ações41 Tabela 8 Resultados da frequência com o intervalo de classe41 Lista de Gráficos Gráfico 1 Resultado da pergunta 133 Gráfico 2 Resultado da pergunta 236 Gráfico 3 Resultado da pergunta 338 Gráfico 4 Resultados pergunta 440 Gráfico 5 Resultados das médias ações42 Anexos Plano de Aula 152 Plano de Aula 254 Plano de Aula 356 Sumário INTRODUÇÃO 9 Problema da Pesquisa 10 Objetivo Geral 10 Objetivos Específicos 10 CAPITULO I FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 12 11 A Teoria Histórica Cultural Vigotsky Leontiev Talízina e Galperin 12 12 Didática da Resolução De Operações Com Os Números Inteiros 17 CAPITULO II PROCEDIMENTO METODOLÓGICO 27 21 Contextos da Pesquisa 27 22 Categorias e Variáveis de Análises 27 23 Fases e instrumentos de coletas de dados da pesquisa 29 CAPITULO III ANALISE DOS RESULTADOS 32 Resultado da correção do primeiro problema 32 31 Resultado da correção do segundo problema 34 32 Resultado da correção do terceiro problema 36 33 Resultado da correção do quarto problema 38 34 Proposta do plano de ensino 49 CONCLUSÃO 50 REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS 51 ANEXO 52 9 INTRODUÇÃO A educação no meio em que vivemos passa por várias precariedades em diversos contextos externos e internos os ensinos ofertados nas escolas deixam muito a desejar nos aspectos mais básicos como por exemplo a leitura e escrita porém existem dois fatores que contribuem para essa situação são eles a falta de interesse em aprender do aluno e a maneira que o professor ensina na sala de aula Muitos professores reclamam que os alunos têm uma grande deficiência na aprendizagem quando chegam ao fim da educação básica tendo como um exemplo uma operação de somasubtraçãodivisãomultiplicação com números inteiros Diante de tal situação existem várias teorias para entender ensinar e ajudar os professores a mudar a realidade na forma de ensino fazendo assim buscar novos conhecimentos métodos conceitos e o principal terem uma visão mais didática na forma de ensino e aprendizagem e as teorias que serão utilizadas ao decorrer deste trabalho são fundamentada na teoria histórica cultural com ênfase na formação das etapas de ações mentais de Galperin e na Atividade de Situações Problemas com isso este trabalho tem o intuito de associar e aplicar as teorias no processo de formação do conhecimento dos alunos por fim certificar a efetividade dos estudos realizados Nesse contexto surge uma perspectiva de escola e ensino voltados para o desenvolvimento integral do estudante a Didática Desenvolvimental O processo que o aluno tem de assimilar algum assunto matemático decorre de dois princípios são eles O mediador que podemos considerar que seja o professor e o assunto a ser ensinado Com base nesses dois princípios podemos desenvolver uma didática de ensino que se baseia em uma forma mais eficiente de ensino e aprendizagem com direcionamento de resoluções de problemas A pesquisa foi realizada na Escola Estadual Professor Voltaire Pinto Ribeiro através do projeto institucional de bolsa de iniciação da docência PIBID no subprojeto de Matemática no ensino médio da Universidade Federal de Roraima UFRR a escola está localizada na Avenida São Joaquim nº 1584 bairro Doutor Silvio Leite município de Boa VistaRR funciona nos 3 turnos atendendo o Ensino Básico Regular 6º ao 9º ano e 3º segmento da Educação de Jovens e Adultos EJA situada na Zona Oeste da capital onde boa parte da comunidade em que a escola está inserida apresenta aspectos de desestruturação familiar envolvimento com drogas A escola estadual professor Voltaire Ribeiro tem como objetivo ministrar educação básica 10 Problema da Pesquisa A utilização da Atividade de Situações Problema como metodologia de ensino fundamentada nas teorias de formação por etapas das ações mentais de Galperin a direção da atividade de estudo de Talízina coopera para uma aprendizagem de desenvolvimento referente ao assunto Números Inteira com os estudantes do 7 ano de Ensino Fundamental na Escola Estadual Professor Voltaire Pinto Ribeiro Objetivo Geral Estudar como a aplicação e a utilização da Atividade de Situações Problema em Matemática pode melhorar a forma de ensino com base nas teorias de formação por etapas das ações mentais de Galperin e da direção de atividade de estudo de Talízina para examinar a aprendizagem desenvolvimental no conteúdo de números inteiros nos estudantes de 7 ano de Ensino Fundamental na Escola Estadual Professor Voltaire Pinto Ribeiro Objetivos Específicos Identificar o nível de partida da Atividade de Situações Problema em Números Inteiros Analisar a Base Orientação da Ação da Atividade de Situações Problema em Números Inteiros para propor um plano de ensino O processo de assimilação dos alunos parte primeiro de um conhecimento teórico como por exemplo conceitos de números inteiros de alguma maneira os alunos intuitivamente sabem o que são números então a partir desse conhecimento intrínseco é desenvolvida uma contextualização de conceitos e ações de números inteiros que direcionam os alunos a aprimorar e concretizar tais conhecimentos e dessa forma a atividade de ensino se torna um processo gradual de aprendizagem que envolve os alunos numa espécie de fases sendo elas entender incorporar e saber aplicar como nosso exemplo o conceito de números inteiros Há várias teorias que norteiam a forma de ensinar os alunos porém nos focaremos no meio de ensino pautado na resolução de problemas a partir dessa resolução como metodologia de ensino direcionamos os alunos a aprender de uma forma que além de desenvolver o pensamento teórico eles possam ter aptidão em aprender de forma que não precise de mediador que esteja sempre presente no processo de aprendizagem ou seja os tornam mais independentes instigados a aprender da melhor forma 11 Segundo D Amore em seu livro ELEMENTOS DE DIDÁTICA DA MATEMÁTICA 2010 para ter êxito no processo de ensinoaprendizagem o professor deve dominar o assunto para a transposição da didática E a partir ter uma adaptação do conhecimento matemático para transformálo em conhecimento a ser ensinado A Didática tem sido entendida como a ciência e a arte de ensinar Para DAmore há várias discussões sobre definições de didática que a longo dessa constrói a Didática da matemática e a classificando como disciplina independente dessa forma torna didática geral distante da didática da matemática A pesquisa foi dividida em capítulos aonde no capítulo I tem como foco a fundamentação teórica explicando as teorias adotadas neste trabalho e como cada uma é relacionada e como pode ser aplicada referente ao assunto de números inteiros o capítulo seguinte tem o enfoque os procedimentos metodológicos adotados para nortear a pesquisa através dos instrumentos utilizados e por fim tendo a teoria aplica nos procedimentos metodológicos na qual é feita as análises dos resultados encontrados no capítulo III fazendo uma análise minuciosa dos resultados adquiridos 12 CAPITULO I FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Neste capítulo trataremos sobre o aspecto teórico que baseia este artigo direcionando o estudo do ensino aprendizagem a maneira que as teorias contribuem para um ensino melhor e mais eficaz tais teorias a seguir são trabalhando de formas correlacionadas ou seja estão interligadas para com o intuito demonstrar como essas teorias são eficientes no âmbito educacional e entender seus métodos 11 A Teoria Histórica Cultural Vigotsky Leontiev Talízina e Galperin Lev Semionovitch Vygotsky 18961924 teve uma grande contribuição para a psicologia e a educação de uma forma bastante significativa um dos marcos de seus estudos foi a criação da Zona de Desenvolvimento Proximal ZDP Mas o que vem a ser Zona de Desenvolvimento Proximal Diante de algumas teorias trabalhadas por Vigotsky podemos destacar uma que é desenvolvida para explicar como se dá o processo de aprendizagem essa teoria é chamada de Zona de Desenvolvimento Proximal e explica que o desenvolvimento cognitivo humano se desenvolve a cada etapa em que se aprende algo é como se fosse uma escada e a cada degrau agregamos mais conhecimento ao que já foi aprendido colocando no contexto educacional esse degrau é à distância do que o aluno já sabe desenvolvimento real entre o que ele pretende atingir desenvolvimento potencial tendo como suporte o assunto já internalizado juntamente com o auxilio de um mediador professor A Zona de Desenvolvimento Proximal no campo da Educação Escolar é compreendida da seguinte forma Professor Saber conteúdo matemático e Aluno Esses três elementos são os pilares no ensino aprendizagem Explicando todos os elementos podemos dizer que o professor é o emissor do conteúdo ou a ponte entre os alunos e o saber pois dentro da Zona de Desenvolvimento Proximal se Professor Saber Aluno Figura 1 Relação da Zona de Desenvolvimento Proximal 13 encontra em um patamar mais elevado referente aos alunos então o professor será um auxilio um mediador ou um direcionador no processo de ensino Ser a ponte entre o saber e o aluno é ter capacidade de levar o conhecimento para o estudante de forma que se possa alcançar mais um degrau na escada do conhecimento é agregar mais valores ao que já se sabe Um fator muito importante nesse processo de ensino é que o professor deve dominar o assunto no qual ele ensina a mediação do professor é uma interação social que permite ao aluno atuar no seu limite de desenvolvimento potencial O parecer da ZDP envolve o avanço do aluno Veja a figura 2 Aquilo que é zona de desenvolvimento proximal hoje será o nível de desenvolvimento real amanhã ou seja aquilo que uma criança pode fazer com assistência hoje ela será capaz de fazer sozinha amanhã VYGOTSKY 2000 p 113 o que é válido tanto no ambiente escolar como fora dele Figura 2 Zona de Desenvolvimento Proximal Uma exemplificação matemática para entender a Zona de Desenvolvimento proximal com a seguinte situação 14 Em uma cidade do Alasca o termômetro marcou 15 pela manhã Se a temperatura descer mais 13 o termômetro vai marcar Qual é o desenvolvimento Real Como mencionado acima o desenvolvimento real aquele que o aluno já sabe já aprendeu usando o exemplo do termômetro o desenvolvimento real é a internalização a conceituação dos números positivos e suas operações e também números negativos Qual é o desenvolvimento potencial O desenvolvimento potencial consiste em agregar mais conhecimento ao assunto já internalizado que nesse caso é o aluno saber efetuar operações com os números negativos tendo como suporte o conhecimento das operações dos números positivos Então essa distância que existe entre o desenvolvimento real e o potencial será mediada pelo professor Aleksei Nikolaevich Leontiev assim como Vigotsky é um grande referencial na psicologia e na educação e sua teoria sobre Atividade é bastante explorada no campo educacional que é a categoria central no materialismo históricocultural Dentro da teoria estudada por de Léontiev há três elementos que baseiam a Atividade são elesO sujeito ativo o objeto e o mediador são os mesmos elementos trabalhados por Vigotsky em ZDP A reunião desses três elementos proporciona uma ligação entre si pois são dependente um precisa do outro para acontecer com essa ligação temos um processo de assimilação que ocorre como um conjunto de ações para a atividade essas ações contextualiza um necessidade de alcançar um objetivo por exemplo aprender determinado conteúdo matemático Assim aprender é o motivo que impulsiona a ação do aluno de modo que ele seja responsável por sua aprendizagem facilitando seu desejo por saber o porquê de determinada atividade e dessa maneira ter uma satisfação em atingir o objetivo de aprendizagem Trazendo agora para o ensino matemático referente aos números inteiros um dos maiores desafios em ensinar matemática é a falta de compreensão do propósito de determinada atividade como somar os números negativos ou ação pelo aluno logo não basta simplesmente trabalhar com determinado conteúdo matemático em sala de aula para garantir sua compreensão há a necessidade de propor atividades específicas que podem ser exemplos da vida cotidiana que facilitem potencializem a internalização dos conceitos e por consequência o desenvolvimento da aprendizagem Desta maneira a Teoria da Atividade 15 tornase um elemento chave para proporcionar a interação dos conteúdos matemáticos com outras disciplinas escolares e com o contexto social Conforme foi visto no conceito de Atividade de Leontiev a atividade pressupõe de ações para ser executadas e assim atingir seus objetivos dessa forma as ações mentais do sujeito é formado como um reflexo de suas ações externas objeta que são reguladas pelas condições materiais em que ocorrem assim busca discutir e explicar o processo de internalização da atividade externa A Base Orientadora da Ação BOA tem o intuito de orientar os alunos durante o processo de aprendizagem que usará as ações para chegar num determinado resultado este resultado não é apenas alcançado com a ajuda do professor mas também do aluno que começa a aprender de forma independente no contexto escolar a BOA é um mecanismo que o educador utiliza para elevar o conhecimento dos alunos dessa maneira chegar a um processo de assimilação mais solidificada e sobretudo generalizada Tabela 1 Tipos de Bases Orientadoras Tipos de Base Orientadora da Ação Nº Caráter Generalizado Plenitude Modo de Obtenção 1 Concreta Incompleta Independente 2 Concreta Completa Preparada 3 Generalizada Completa Independente 4 Generalizada Completa Preparada 5 Generalizada Incompleta Preparada 6 Generalizada Incompleta Independente 7 Concreta Completa Independente 8 Concreta Incompleta Preparada Adaptada pela Autora 2018 Na BOA nº3 é onde ocorre o processo mais completo e eficaz para o aluno fazendo assim evoluir de forma mais rápida no conhecimento e usando a criatividade pois fornece um conjunto mais abrangente de condições para o estudante resolver a situaçãoproblema O grau de transferência às outras situações é maior se comparado aos outros tipos É essa BOA que devemos trabalhar no ambiente de aprendizagem as demais BOAs deixam uma margem de conhecimentos mais falhos na forma de obtenção do conteúdo A base orientadora de terceiro tipo tem uma composição completa os orientadores estão representados em sua 16 forma generalizada característica para toda uma classe de fenômenos TALÍZINA 1988 p 90 tradução nossa A formação das ações mentais por etapas é dividida em cinco passos Elaboração da Base Orientadora da ação na qual o professor deve determinar um objetivo e o processo de assimilação dos conhecimentos deve ter como norte as habilidades e tarefas o professor tem de levar em conta o conhecimento já existente do aluno na hora de planejar o BOA aonde os alunos possam realizar a ações da atividade que exige o objetivo de ensino Mendoza Tintorer 2010 Formação da ação em forma material O aluno executam as ações passo a passo com a ajuda de mediadores da informação O professor de maneira ativa expõe cada ação para os alunos uma base de guia para a atividade de maneira que o aluno se torne independente Formação da ação em verbal externa o aluno deve saber explanar os conteúdos assimilados de forma clara e objetiva nesse momento verificamos se o aluno está aprimorando os seus conhecimentos Formação da linguagem externa para si o aluno começa a sintetizar o conteúdo aprendido de forma esporádica aonde ocorre a generalização Formação da linguagem interna o aluno retém de forma efetiva o sistema de ações como esquema seguindo uma ordem lógica que muda de cada aluno Momento em que generalização máxima e a maiores sínteses na execução com independência absoluta No processo de assimilação o professor é uma peça fundamental porque é através dele que os alunos vão ter informação e direção no processo assimilação Como fonte de informação deve selecionar os conhecimentos da disciplina o sistema de habilidades explicar os conteúdos e ensinar a lógica de execução das ações Por outro lado deve dirigir o processo de transformação das ações externa sobre o objeto em internas ou seja a direção deve estar centrada na interação entre o objeto e o estudante Talízina 1984 1988 1994 Os estudos de Talízina 2000 confirmam a necessidade de os alunos não só de compreenderem o conteúdo da atividade que se introduz mas também de aprender a realizar a atividade proposta de forma correta Para ela a explicação verbal dada pelo professor durante 17 a realização da atividade não é suficiente pois os alunos nem sempre recordam as ligações dos conhecimentos tratados e as ações que formam a atividade em questão Existem quatro elementos que norteiam o ensinoaprendizagem que são Definir o objetivo de direção ou de ensino Conhecer o nível de partida Transitar pelos diferentes estados do processo de assimilação Retroalimentação Tais elementos são fontes para explicar os conteúdos e ensinar a lógica de execução das ações Dessa forma materializando o conteúdo Nessa etapa então são intensificadas as relações comunicativas entre alunos e destes com o professor para que a ação sobre o objeto de estudo seja efetivada É como se fosse através de uma atividade proposta pelo professor restringindo para as operações de números inteiros o aluno tivesse como objetivo de realizar uma potenciação no entanto é necessário que haja um conhecimento solidificado sobre a multiplicação para assimilar o processo de resolução da atividade para que seja solucionada e assim fazer atividades semelhantes que seria a retroalimentação A direção da atividade de estudo nada mais é que a interação da Zona de Desenvolvimento Proximal Conceito de Atividade e as Etapas das ações mentais que através dessas teorias podemos ter um ensino e aprendizado mais completo tanto interno como externo estabelecendo sempre um vínculo entre o professor o saber e o aluno 12 Didática da Resolução De Operações Com Os Números Inteiros Breve História sobre os Números Inteiros Os números surgiram com a finalidade de contar coisas que chamamos esses números de naturais Os números negativos apareceram pela primeira vez no decorrer da história da Matemática na China Antiga aproximadamente há 4000 anos Os chineses realizavam cálculos através de duas coleções de barras sendo a vermelha para números positivos e a preta para números negativos Já os matemáticos indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um algoritmo de resolução para equações quadráticas As regras sobre grandezas já eram conhecidas através dos teoremas gregos sobre subtração a bc d ac bd ad bc que os hindus converteramnos em regras numéricas sobre números negativos e positivos No século III Diofanto operava facilmente com os números negativos porém quando se deparava com problemas que tinham soluções de valores inteiros negativos os classificava 18 como absurdo Não tão somente Diofanto mas muitos matemáticos europeus como Stifel e Cardano nos séculos XVI e XVII não apreciavam os números negativos A partir do século XVIII quando foi descoberta a interpretação geométrica dos números positivos e negativos como segmentos de direções opostas é que a situação mudou O Renascimento trouxe a expansão comercial aumentando a circulação de dinheiro e os comerciantes eram obrigados a utilizar os símbolos mais e menos para expressar situações de lucro e prejuízo Assim os matemáticos da época desenvolveram técnicas operatórias para problemas que envolvessem números negativos e positivos Surgia então um novo conjunto numérico representado pela letra Z de Zahlen número em alemão sendo formado pelos números positivos Naturais e seus respectivos opostos podendo ser escrito da seguinte forma Z 3 2 1 0 1 2 3 As operações de números inteiros foi o assunto que deu suporte para aplicação da prova diagnóstica nesse tópico temos como objetivo explanar de forma suscita cada operação que foi trabalhada que são Adição Subtração Multiplicação Divisão Potenciação e Radiciação com suas respectivas propriedades O conjunto formado pelos inteiros positivos e positivos negativos e incluindo o zero é chamado de conjuntos dos números inteiros que representamos pela letra ℤ ℤ54321012345 Adição Consiste em juntar ou unir os elementos de dois os mais conjuntos formando um novo conjunto A soma é denotada por este símbolo Na adição são apresentadas algumas propriedades como Comutatividade Se mudarmos as parcelas de lugar na adição o resultado não se altera 7 3 10 3 7 10 Associação As parcelas numa adição podem ser somadas de maneiras diferentes e o resultado não se altera 5 2 6 13 5 2 6 13 19 Na adição encontrar o Elemento Neutro que é o zero qualquer que seja o número adicionado à zero tem como resultado o próprio número Exemplos 0 7 7 2 0 2 Como sabemos nos números inteiros há tantos números positivos e quanto negativos devemos dá uma atenção especial à soma de números com os mesmos sinais para que não troque as definições pois são pequenos detalhes que podem fazer diferença no resultado da operação ATENÇÃO Sinais iguais Somamse os valores absolutos e dáse o sinal comum Sinais diferentes Subtraemse os valores absolutos e dáse o sinal do maior 1º CASO Quando na soma temos sinais iguais somamos as parcelas e repetimos o sinal seja ele negativo ou positivo mas para isso é necessários que todos os sinais sejam iguais Agora mostremos uma regrinha para esse tipo de operações seguidas de exemplos Exemplos 2 5 7 10 22 32 5 4 9 56 12 68 2º CASO Quando temos sinais diferentes ou seja se um número está negativo e o outro positivo temos uma nova operação chamada de subtração e o que é a subtração É uma parcela ou quantidade retirada de outro número Denotada por este símbolo ATENÇÃO Regra do sinal Esse menos indica que a operação a ser realizada é de subtração Esse menos indica que a operação a ser realizada é de subtração 20 Exemplos 3 4 1 Podemos perceber que o maior número é o quatro e como os sinais são diferentes temos uma subtração dessa forma diminuímos e colocamos o sinal do maior número E o mesmo raciocínio é valido para a operação 15 20 5 O maior número é o vinte logo o sinal no resultado foi positivo Multiplicação e divisão de números inteiros Multiplicação É uma evolução natural da adição pois é definida de modo que represente a soma de determinado número de conjuntos que possuem a mesma quantidade de elementos Por exemplo Maria comprou exemplares de um mesmo produto em uma loja Caso compre oito produtos que custem R 200 o total a ser pago será de R 1600 pois somamos o valor R 200 oito vezes Sendo assim 2 2 2 2 2 2 2 2 16 ou 2816 A multiplicação é uma operação que consiste em deixar mais prática a somo de vários números que são repetidos em um dado momento como vimos no exemplo acima é mais pratico pegar valor que é dado e multiplicarmos pela quantidade de vezes que ele se repete Divisão denotação simbólica Significa partir ou distinguir em diversas partes separar as diversas partes de Na divisão utilizamos praticamente o mesmo método da multiplicação A divisão é uma operação que nos dá ideia inversa da multiplicação Nessa operação também encontramos algumas propriedades como Propriedades da divisão Não é comutativa Dividir 2 1 2 é diferente de dividir 1 2 05 portanto a comutatividade não vale para a divisão Não é associativa A associatividade não vale na divisão Por exemplo dividir 4 2 2 2 2 1 tem resultado diferente de 4 2 2 4 1 4 Lembrando que os parênteses têm prioridade ou seja devem ser resolvidos primeiros Fechamento A propriedade de fechamento em que a divisão de dois números reais será um número real não satisfaz pois a divisão por zero não tem como resultado um número real 21 Elemento neutro O número 1 um é o elemento neutro na divisão dividir um número por 1 um tem como resultado o próprio número Sinais iguais na multiplicação ou na divisão sempre resultam em sinal positivo Regra do sinal Exemplos 6 7 42 12 2 24 100 2 50 125 5 25 Em relação à multiplicação e à divisão podemos estabelecer a seguinte regra geral 1 Se os dois números possuírem o mesmo sinal o resultado será positivo 2 Se os dois números possuírem sinais diferentes o resultado será negativo Potenciação Assim como associamos a adição com a multiplicação devemos associar a potenciação com a multiplicação 2 2 2 2 onde todos os fatores números são iguais A potenciação é um meio de fazermos uma operação de um jeito mais rápida Sua representação é da seguinte forma 2 2 2 2 24 16 notemos que o número 2 é multiplicado por ele mesmo 4 vezes então para identificarmos uma potenciação devemos identificar qual número está se repetindo Enquanto na multiplicação somamos as parcelas na potenciação multiplicamos Agora vamos conhecer a estrutura da potenciação Operação de Multiplicação Operação de Multiplicação Operação de Divisão Operação de Divisão 22 Denominamos Base o número que se repete Expoente o número de fatores iguais Potência o resultado da operação A operação efetuada é denominada potenciação Exemplos 54 5 5 5 5 625 Aqui percebermos que o número 5 se repete 4 vezes 43 4 4 4 64 O número 4 se repete 3 vezes por isso o expoente é igual a 3 pois é a representação das vezes que se repete Leitura Observe alguns exemplos 3² lêse três elevado ao quadrado ou o quadrado de três 2³ lêse dois elevado ao cubo ou o cubo de dois Agora conheceremos alguns tipos de potenciação que são mais frequentes Base real e expoente inteiro Quando o expoente é inteiro significa que ele pode possuir número negativo ou positivo Expoente positivo Quando a base for um número real e o expoente for positivo obteremos a potência efetuando o produto dos fatores Acompanhe alguns exemplos 22 2 2 4 Expoente igual a 1 Quando o expoente for igual a um positivo a potência será o próprio número da base Veja os exemplos abaixo 21 2 23 Expoente igual a 0 Se o expoente for 0 a reposta referente à potência sempre será 1 Acompanhe os exemplos 250 1 Propriedades da potenciação As propriedades da potenciação são utilizadas para simplificar os cálculos Há no total cinco propriedades vamos aqui listalas Produto de potências de mesma base quando as bases forem iguais devemos conserva ou seja manter as bases e somar os expoentes Exemplos an am an m 22 23 22 3 25 Divisão de potências de mesma base usando a ideia da soma de expoentes com as bases iguais fazemos analogia para divisão conserva a base e subtrai os expoentes Exemplos an am an m 56 52 56 56 2 54 Potência de potência Acontece quando uma base está elevada a um expoente e há outro expoente que engloba a base e seu expoente podemos observar como é mostrado nos exemplos anm an m 1232 123 2 126 Potência de um produto o expoente geral é expoente dos fatores Ocorre uma distribuição de potencias aos números que estão dentro dos parênteses Exemplos a bn an bn 4 52 42 52 Multiplicação de potências com o mesmo expoente Nesse caso devemos conserva o expoente pois eles são iguais e multiplicamos as bases Exemplo an bn a bn 73 43 7 43 Radiciação É a operação matemática inversa à potenciação Enquanto a potenciação é uma multiplicação na qual todos os fatores são iguais a radiciação procura descobrir que fatores são esses dando o resultado dessa multiplicação A radiação é a famosa raiz quadrada aonde buscamos encontrar o quadrado perfeito a radiação trabalha em parceria com a potenciação uma vez que para descobrir a raiz quadrada de número devemos saber qual 24 número que multiplicado por ele mesmo dá aquele resultado para entendermos melhor vamos a um exemplo Dada a potência 42 44 16 Dizemos que a raiz quadrada raiz com índice 2 de 16 é igual a 4 pois buscamos encontrar um número que multiplicado por ele mesmo dê esse resultado Veja o exemplo abaixo este é o símbolo que denota a radiciação ou raiz quadrada Portanto para determinarmos a raiz de um número basta descobrirmos o número que multiplicado por si mesmo resulta no número da raiz Veja exemplos 1 1 pois 1 1 1 4 2 pois 2 2 4 9 3 pois 3 3 9 Lembrando que este capítulo tem o intuito de apenas resumir o assunto abordado ao decorrer da pesquisa é uma forma básica de expor cada assunto que foi ministrado Ao decorrer no processo de aprendizagem sobre as operações números inteiro nos deparamos com grandes dificuldades que os alunos possuem ao assimilarem os procedimentos das operações esses estudos realizados por Glaeser 1985 analisa os obstáculos como por exemplo Inaptidão para manipular quantidades isoladas Dificuldade de afastarse de um sentido conceito atribuído aos seres numéricos fixação no estágio das operações concretas por oposição ao formal Dificuldades em dar um sentido a quantidades negativas isoladas Para se operar com adição e com a subtração de inteiros usamse regras de sinais e as dificuldades aparecem devido a não compreensão e a não utilização correta dessas regras O não domínio dos conceitos para efetuar multiplicações e divisões a não execução dos procedimentos corretos para resolver expressões numéricas como eliminar parênteses colchetes e chaves e a sequência das operações são os fatores que geram confusão por parte dos alunos na hora de operar com os números inteiros Para construirmos um método de ensino e aprendizagem que produzam resultados significativos na construção do saber dos alunos o ensino deve promover o desenvolvimento das capacidades intelectuais do estudante se ao mesmo tempo se formam suas necessidades e motivos cognitivos de estudo se o escolar educase como uma personalidade integral 25 O método a ser utilizado nessa pesquisa é a Atividade de Situações Problemas em Matemática ASP que visa resolver situações problema na zona de desenvolvimento proximal num contexto de ensino aprendizagem onde existe uma interação entre o professor o estudante e a situação problema utilizando a resolução de problema em Matemática como metodologia de ensino a tecnologia disponível e outros recursos didáticos para transitar pelos diferentes estados do processo de assimilação A ASP possuem quatro elementos norteadores para sua execução sendo eles Compreender o problema Construir o modelo matemático Solucionar o modelo matemático e Interpretar a solução A primeira ação é compreender o problema e está formada pelas operações ler o problema e extrair todos os elementos desconhecidos estudar os dados e suas condições e determinar os objetivos do problema A segunda ação é construir o modelo matemático onde é necessários determinar as variáveis e incógnitas nominar as variáveis e incógnitas com suas unidades de medidas construir o modelo matemático a partir das variáveis incógnitas e condições e por último realizar a análise das unidades de medidas do modelo matemático Solucionar o modelo matemático é a terceira ação formada pelas operações selecionar os métodos matemáticos para solucionar o modelo selecionar um programa informático que contenha os recursos necessários dos métodos matemáticos para solucionar o modelo e solucionar o modelo matemático Por último a quarta ação é interpretar a solução formada pelas operações interpretar o resultado extrair os resultados significativos que tenham relação com os objetivos do problema dar resposta aos objetivos do problema realizar uma reflexão baseado nos objetivos do problema analisar a partir de novos dados e condições que tenham relação direta ou não com os objetivos do problema existindo a possibilidade de reformular o problema e assim construir novamente o modelo matemático solucioná lo e interpretar sua solução Nesse assunto trabalhamos com a teoria de Majmutov aonde apresenta com precisão como construir o problema docente seus diferentes tipos e chegar a sua solução contribuindo significativamente para o trabalho docente de excelência essa teoria está entrelaçado com a ASP 26 A formulação do problema de ser feita da maneira em que o ensino da aprendizagem estar sob o comando do professor seguindo os princípios da teoria geral de direção constituída por o objetivo de ensino o estado de partida da atividade psíquica dos estudantes o processo de assimilação a retroalimentação e a correção Este processo deve ser cíclico e transparente visando como elemento principal o processo de transformação da atividade externa à atividade interna TALÍZINA 1984 1988 1994 Para Majmutov o caminho da construção de conhecimento no processo de ensino passa pela formulação e solução do problema docente REZENDE VALDES 2006 Problema docente é um fenômeno subjetivo e existe na consciência do estudante em forma ideal no pensamento da mesma maneira que qualquer julgamento enquanto não seja perfeito logicamente e se expresse na linguagem ou nas letras do escrito Esta formulação linguística de um problema é o que se denomina tarefa MAJMUTOV 1983 p 129 A tarefa como categoria didática se diferencia do problema como categoria psicológico didática e lógica pelo fato que ela a tarefa é a expressão externa do problema O problema docente como conceito independente reflete uma esfera específica da realidade uma etapa plenamente determinada do processo aprendizagem do estudante Precisamente por esta razão o problema docente é uma importante categoria psicológica didática cuja utilização na investigação do processo de ensino pode contribuir para a revelação de regularidades novas ou a precisão das que já se conhecem MAJMUTOV 1983 p 131 Ele destaca a contradição como a força motriz na formação do problema docente Já a solução do problema docente é principio da formulação do problema que consiste em criar uma analise das questões dessa forma encontrar um caminho para solucionálo os alunos enfrentam as dificuldades encontradas diante das questões a partir de um pensamento que construiu o problema dessa forma aprendem algo novo da relação entre o conhecido e desconhecido a lei dos contrários e da negação a partir de então vão construindo uma escada de conhecimentos adquiridos 27 CAPITULO II PROCEDIMENTO METODOLÓGICO Esse tópico está relacionado com os elementos da pesquisa como os métodos utilizados técnicas e instrumentos que facilitem a coleta de dados e interpretação para uma obtenção de um resultado qualitativo com a interação diretamente com os alunos utilização de prova de lápis e papel para uma maior agregação do conhecimento 21 Contextos da Pesquisa Este trabalho é parte de uma das experiências realizadas pelo projeto institucional de bolsa de iniciação da docência PIBID no subprojeto de Matemática no ensino fundamental da Universidade Federal de Roraima UFRR realizado na escola estadual Voltaire Pinto Ribeiro turma 7ºB turno matutino 22 Categorias e Variáveis de Análises A pesquisa se inicia com a observação no qual o objetivo é primeiro conhecer o ambiente em que irá trabalhar e conhecer o comportamento dos alunos tais observações foram acompanhadas por anotações que puderam agregar os fundamentos dessa pesquisa A partir da observação foi traçado um planejamento da aula sobre as operações dos números inteiros para que posteriormente fosse feita uma avaliação de lápis e papel onde seriam analisados os aspectos quantitativos e qualitativos em base da ASP As quatro ações da ASP que compreende compreender o problema construir o modelo matemático solucionar o modelo matemático e interpretar a solução são referentes ao aspecto qualitativo enquanto a quantitativa fica embasada nas operações e seus indicadores Nas análises quantitativas as ações são convertidas em variáveis mensuráveis com valores ordinais 1 2 3 4 5 Ou seja temos a variáveis compreender o problema construir o modelo matemático solucionar o modelo matemático e interpretar a solução Em cada variável existe um indicador constituído pelas operações da ASP como critério de essencial ou seja é considerado como o conhecimento mínimo que deve saber o aluno Veja a tabela 2 28 Tabela 2 Método de resolução de problema de operações de números inteiros Aprendizagem no método de resolução de problema de Operações de números Inteiros Definição Conceitual É a capacidade dos alunos resolverem problemas e suas transferências para novas situações Dimensão Descrição Y1 Desempenho de compreender o problema Y2 Desempenho de construir o problema Y3 Desempenho de solucionar o problema Y4 Desempenho de Interpretar o problema Medição Designa o resultado quantitativo a cada dimensão Y1 Y2 Y3 Y4 será utilizado uma escala de 1 a 5 pontos com o critério Se todos os indicadores estão incorretos obterá a qualificação de 1 Se o indicador essencial está incorreto ou parcialmente incorreto ou existe pelo menos outro indicador parcialmente correto obterá a qualificação 2 Se somente um indicador estiver correto obterá a qualificação 3 Se há indicadores corretos porém tenha outro que esteja parcialmente incorreto obterá a qualificação igual a 4 Se todos os indicadores estiverem corretos obterá qualificação igual a 5 Adaptada pela Autora 2018 Indicadores da dimensão Nível da ação compreender o problema Y1 O aluno extrai os dados do problema O aluno determina as condições do problema O aluno define os objetivos do problema Indicador essencial O aluno define os objetivos do problema Indicadores da dimensão Nível da ação construir o modelo matemático Y2 Determinar as operações expressar as operações de forma algébrica que assim construirá um modelo matemático Indicador essencial O aluno define e constrói o modelo matemático dos valores dados e operações Indicadoras da dimensão Nível da ação solucionar o modelo matemático Y3 Selecionar os métodos matemáticos para solucionar o modelo matemático deve distinguir as propriedades das operações de modo que usem corretamente para a obtenção do resultado Indicador essencial O aluno identifica a operação e usa suas propriedades Indicadores da dimensão Nível da ação interpretar a solução Y4 Interpretar o resultado Extrair os resultados significativos que tenham relação com os objetivos do problema Dar resposta aos objetivos do problema 29 Indicador essencial O aluno dá resposta aos objetivos do problema 23 Fases e instrumentos de coletas de dados da pesquisa A amostra foi realizada na turma 7º B com 21 alunos do Ensino Fundamental da Escola Voltaire Pinto Ribeiro A pesquisa acontece em dois momentos distintos que são 1º MOMENTO Aplicação da prova lápis e papel que objetiva conhecer o nível de partida do conhecimento matemático dos alunos 2º MOMENTO Com o resultado da prova lápis e papel foi traçado um plano de ensino que teve como base as ações para a resolução dos problemas matemáticos que teve como modelo matemático o conteúdo operações de números inteiros A teoria utilizada BOA nº 3 onde os alunos aprendam de forma independente geral e completa juntamente com a ASP que auxilia nas ações mentais da aprendizagem O intuito da pesquisa é identificar os pontos que os alunos que os alunos possuem maiores dificuldades para que em cima dessas dificuldades encontradas possamos traçar um plano de aula que ajuda a solidificar os conhecimentos dos alunos com a direção e aplicação das teorias citadas acima com um foco principal na ASP em que consiste o nosso método de ensino Foi proposto aos alunos problemas referente ao assunto de Operações de Números Inteiros em que a solução consistia em aplicar o método de Atividade de Situações Problema que é composto por quatros parâmetros que são Compreender Y1 construir Y2 solucionar Y3 e interpretar a problema Y4 Problema 1 Determine os resultados a seguir a 5² 9 20 4 3 b 3 1² 2 x 5 10⁰ c 25 12 2 8² 6 2 Ao propor esse problema aos alunos o objetivo é avaliar como os alunos identificam o terceiro parâmetro na base de resolução de problemas o qual é solucionar o modelo matemática como base no conteúdo ministrado Essa questão visa identificar como os alunos dominam as operações sendo elas adição subtração divisão multiplicação potenciação e radiciação todas envolvendo somente os números inteiros através de expressões numéricas correlacionando as operações entre si 30 Problema 2 Ao sair de casa pela manhã Berenice levava em sua carteira 425 reais Na padaria gastou 12 reais Depois foi a farmácia e comprou um remédio de 29 reais No supermercado seu gasto foi de 287 reais Encontrou com Maria e recebeu dela 130 reais relativos a um empréstimo depois foi à feira e lá se foram 12 reais Parou no posto e colocou 30 reais de combustível em seu automóvel Numa banca de jornal comprou algumas revistas num total de 11 reais Passou num caixa eletrônico e viu que o seu saldo no banco estava negativo em 254 reais Depositou em sua conta bancária toda a quantia que lhe sobrara na carteira a Quanto tinha a Berenice antes de receber o dinheiro de Maria b Qual a quantia que Berenice tinha antes de depositar o dinheiro no banco c Quanto Berenice precisa depositar no banco para seu saldo sair do negativo Ao propor um problema contextualizado buscamos integrar todos os parâmetros da resolução de problema o primeiros deles que é compreender o problema podemos encontrar na forma como o aluno extrai as informações do enunciado o segundo é construir com as informações extraídas o enunciado e relacionar com o assunto de operações de números inteiros essas ações são encontradas na questão a que pede quanto de dinheiro tinha com a Berenice antes de receber de Maria ou seja uma conta de subtração na questão b que recebe dinheiro de Maria depois gasta no caso já envolve soma e subtração e por fim na questão c que necessita saber quanto Berenice precisa depositar no banco para seu saldo sair do negativo que já envolve operação com números negativos essa é a intenção do enunciado desse problema do aluno desenvolver uma linha de raciocínio em relação a conta simples do dia a dia Problema 3 Um gato come 5 ratos por dia Quantos ratos 5 gatos comem em 5 dias O objetivo dessa questão é de fazer com que o aluno identifique qual operação se deve aplicar em base da interpretação do enunciado Problema 4 Em um teatro há 945 poltronas distribuídas igualmente em 15 fileiras Quantas poltronas foram colocadas em cada fileira E cada poltrona cabia duas pessoas então pessoas cabem na sala do teatro O intuito desse problema é que os alunos sejam capazes de compreender o problema ou seja identificar o que o problema pede como as poltronas foram distribuídas além de extrair as 31 informações necessárias como quantas filas têm e total depois construir um modelo em base da primeira ação armar a conta de divisão e seguindo assim para a solução do problema aonde os alunos aplicam as definições conceitos e propriedades das operações de números inteiros e por fim interpretam o resultando do problema chegando a uma conclusão do enunciado 32 CAPITULO III ANALISE DOS RESULTADOS Neste capitulo será versado sobre o processo de correção da prova diagnóstica com o intuito de construir um plano de ensino básico para orientar o trabalho com a resolução de problemas na educação de ensino fundamental Sabemos que a resolução de problemas é um mecanismo ou podemos chamar de processo de orientação para a aprendizagem pois se adequa na conjuntura em que se podem aprender conceitos procedimentos e atitudes matemáticas À medida que são feitas as correções da prova diagnostica são destacados os desempenhos dos alunos que ao serem analisados demonstraram como por em prática o conteúdo aprendido utilizando o método de resolução de problemas levando em consideração que o professor titular da turma possuía uma abordagem diferente Resultado da correção do primeiro problema A tabela seguir mostra como os alunos se saíram na terceira ação Solucionar o problema e identificar quais alunos tiveram mais êxito e os que possuem mais dificuldade além de servir como base para explicar o comportamento dos alunos Veja a tabela 3 Tabela 3 Resultados do Problema 1 da prova diagnóstica P1 A 3ªA E01 5 E02 1 E03 5 E04 2 E05 4 E06 1 E07 1 E08 1 E09 1 E10 1 E11 4 E12 4 E13 4 E14 4 E15 5 E16 4 E17 1 33 E18 1 E19 4 E20 4 E21 4 Media 29 Mediana 4 Modo 4 DP 16 Tendo em consideração os resultados da tabela vale destacar que os alunos E01 E03 E15 no critério solucionar o problema estes alunos obtiveram uma pontuação cinco na escala de 15 do critério da 3ª ação esses alunos foram estes capazes de extrair as informações do problema e compreendêlo Ao corrigir a prova diagnóstica podese observar que o entendimento desses alunos sobre a regra de sinais quais operações devem ser feitas primeiros uso de parênteses colchetes e chaves foram capazes de associar o que se pedia na questão com o que foi ministrado sobre Operações de Números Inteiros A seguir exibimos um gráfico para denotar a proporcionalidade dos alunos com nota máxima em relação aos outros alunos Veja o gráfico 1 Gráfico 1 Resultado pergunta 1 0 1 2 3 4 5 E01E02E03E04E05E06E07E08E09E10E11E12E13E14E15E16E17E18E19E20E21 Resultado da 3ªA da P1 3ªA 34 Já os alunos E05 E11 E12 E13 E14 E16 E19 E20 E21 obtiveram a pontuação igual a 4 ao analisar a prova diagnóstica de cada um encontramos um erro comum entre eles quando foi proposta uma expressão numérica com jogos de sinais sucessivos além de parênteses colchetes e chaves ao alunos tiveram dificuldades em como separar por fases quais ações deveriam tomar para solucionarem o problema Em contrapartida temos os alunos E02 E04 E01 E07 E08 E09 E10 E17 E18 que obtiveram pontuação 1 e 2 não se saíram muito bem no critério de solucionar o problema apesar de tentarem solucionar a questão porém alguns erros em comuns identificados nesse grupo de estudantes como pro exemplo aplicar uma soma sem antes de fazer jogo de sinais ou aplicar a ordem equivocada das operações a exemplo resolver uma subtração antes de uma potência Conforme os resultados os 21 alunos foram razoavelmente bem em solucionar o problema matemático levando em consideração que mais da metade obtiveram a pontuação entre 5 e 4 dessa forma fazendo a média da turma no geral ter uma homogeneidade As formas de resolver os problemas que foram apresentados aos alunos requer um embasamento consistente dos conhecimentos teóricos assim o aluno parte da intuição junto com o conhecimento adquirido para colocar em prática no contexto geral dos problemas propostos 31 Resultado da correção do segundo problema Na pergunta nº 2 buscar integrar todos os parâmetros da Resolução de problemas referente ao assunto de números inteiros de forma contextualizada a pergunta exige que os alunos sejam capazes de identificar cada etapa e assim resolvêlo como um todo A tabela abaixo mostra a relação e explicamos em base da tabela como foi cada ação dos alunos Veja a tabela 4 Tabela 4 Resultados do problema 2 da prova diagnóstica P2 A 1ªA 2ªA 3ªA 4ªA E01 5 4 4 4 E02 5 1 1 1 E03 5 4 4 4 E04 5 5 5 5 E05 5 4 4 4 E06 1 1 1 1 E07 1 1 1 1 E08 3 2 2 1 35 E09 5 5 5 5 E10 1 1 1 1 E11 5 5 5 5 E12 2 2 2 2 E13 1 1 1 1 E14 5 5 5 5 E15 5 5 5 5 E16 5 5 5 5 E17 1 1 1 1 E18 5 5 5 5 E19 5 5 5 5 E20 1 1 1 1 E21 5 5 5 5 Media 36 32 32 32 Mediana 5 4 4 4 Modo 5 5 5 5 DP 18 18 18 18 Ao ministramos um conteúdo novo de matemática com os alunos devemos fazer uma breve revisão do conteúdo que serve de base para o novo conteúdo a partir daí introduzimos um problema que instiga os alunos a buscar os conhecimentos já aprendidos O problema 2 é posto de forma contextualizado a fim de buscar a aplicação das quatros ações de modo que o aluno seja capaz de interligar e generalizar todo o conteúdo como um todo Foram identificados no decorrer das correções 3 alunos E01 E03 E05 que tiveram a mesma dificuldade no desenvolvimento das questões Na 1ª ação que é compreender o problema os três alunos foram capazes de identificar o que se pedia na questão portanto obtiveram a pontuação 5 já no critério da 2ª ação que consiste em construir o modelo matemático os mesmos tiveram uma dificuldade de identificar quais operações deveriam sem empregadas nas resoluções dos problemas assim ficaram com a pontuação 4 seguindo para o critério da 3ª ação que objetiva solucionar o modelo matemático como os alunos não conseguiram construir o modelo matemático de forma adequada acarretou que no momento de solucionar o problema também foi de forma equivocada se estendendo assim para a 4ª ação onde os alunos não conseguiram interpretar de forma correta Para melhor visualização dispomos de um gráfico para correlacionar os alunos com as ações Veja o gráfico 2 36 Gráfico 2 Resultado pergunta 2 Ao contrário dos 3 alunos citados acima temos os E04 E09 E11 E14 E15 E16 E18 E19 E21 obtiveram pontuação 5 em todas as ações aplicaram corretamente a linha de raciocínio desde o momento da construção do modelo matemático já que o problema em questão é de forma contextualizada passando pela compreensão do problema seguindo para a solução até a última a ação aonde interpretaram de forma objetiva e coesa usando as definições operações e as propriedades das operações dos números inteiros Por fim temos os alunos E02 E06 E07 E08 E10 E12 E13 E17 E20 que ficaram na faixa de pontuação entre 13 ao analisarmos as provas desses alunos podemos constatar que desde a 1ª ação não conseguiram compreender o que a questão pedia dessa forma as outras ações não puderam ser aplicadas de forma eficaz devido à falta de compreensão e entendimento do problema 32 Resultado da correção do terceiro problema O problema 3 buscar verificar como os alunos estão lidando em como interpretar o problema mas a questão não é embasada em interpretação pois a interpretação requer que o problema seja compreendido já que o parâmetro dois que é construir o problema já foi dado 0 1 2 3 4 5 E01 E02 E03 E04 E05 E06 E07 E08 E09 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 1ªA 2ªA 3ªA 4ªA Resultado da 1ª 2ª 3ª e 4ªA da P2 37 como pronto A tabela abaixo mostra a relação dos alunos diante desse parâmetro Veja a tabela 5 Tabela 5Resultados do Problema 3 da prova diagnóstica P3 A 4ªA E01 4 E02 1 E03 4 E04 5 E05 4 E06 1 E07 1 E08 1 E09 5 E10 1 E11 5 E12 2 E13 1 E14 5 E15 5 E16 5 E17 1 E18 5 E19 5 E20 1 E21 5 Media 32 Mediana 4 Modo 5 DP 18 Ao propor esse tipo de problema aos alunos o objetivo é ver como os alunos de comportam diante de um modelo matemático já elaborado cabendo a eles somente a 4ª ação ou seja como os alunos interpretam o problema Para uma maior ilustração exibimos um gráfico dessa relação Veja o gráfico 3 38 Gráfico 3 Resultado pergunta 3 Perante a esse problema destacamos os alunos E04 E09 E11 E14 E15 E16 E18 E19 e E21 que obtiveram a pontuação máxima de 5 a partir dessa pontuação podemos presumir que os alunos conseguiram aplicar o conhecimento pertinente a questão que no caso seria sobre multiplicaçãopontuação restringindo a questão a um tipo de operação já que as questões anteriores eram junções de pelo menos duas operações com suas respectivas propriedades e definições Já os restantes dos alunos nem seque tentaram solucionar ou interpretar o problema assim ficaram com a pontuação de 13 33 Resultado da correção do quarto problema O problema 4 consiste em unir todas as ações da fase de resolução de problema pois dessa maneira podemos enxergar como os alunos estão em cada ação e como eles estão relacionando essas ações com assunto de operações de números inteiros A seguir temos uma tabela que nos mostra como cada aluno se apresenta nas quatro ações Veja a tabela 6 0 1 2 3 4 5 E01 E02 E03 E04 E05 E06 E07 E08 E09 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 Resultado da 4ªA da P3 4ªA 39 Tabela 6 Resultados do Problema 4 da prova diagnóstica P4 A 1ªA 2ªA 3ªA 4ªA E01 5 5 5 5 E02 1 1 1 1 E03 5 5 5 5 E04 5 5 5 5 E05 5 5 5 5 E06 3 3 3 3 E07 2 2 2 2 E08 2 2 2 2 E09 5 5 5 5 E10 3 3 3 3 E11 5 5 5 5 E12 5 5 5 5 E13 5 5 5 5 E14 5 5 5 5 E15 5 5 5 5 E16 5 5 5 5 E17 1 1 1 1 E18 5 5 5 5 E19 5 5 5 5 E20 1 1 1 1 E21 5 5 5 5 Media 40 40 40 40 Mediana 5 5 5 5 Modo 5 5 5 5 DP 16 16 16 16 A resolução de problemas que dirigem as operações de números inteiros devia ser um assunto aonde os alunos pudessem demonstrar conhecimentos já massificados porque são conteúdos trabalhados desde os anos iniciais no ensino fundamental A última questão da prova diagnóstica é semelhante à questão 2 onde é contextualizada uma situação e os alunos devem aplicar as quatro ações O gráfico nos mostra a relação de cada ação entre os alunos Veja o gráfico 4 40 Gráfico 4 Resultado da pergunta 4 Os alunos E01 E03 E04 E05 E09 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E18 E19 E21 conseguiram pontuação máxima em todas as ações compreenderam o que se pedia o problema construíram o modelo desse problema assim o solucionando e por fim interpretando o problema em um contexto geral É válido salientar que pelo fato de terem conseguido ter um bom desempenho na questão 4 ainda há o que melhorar visto que muitos ressaltaram que a questão em si era um exercício similar Em um contexto geral da prova diagnóstica com base na ASP em Operações dos números inteiros demonstrou ser uma eficácia em todas as questões pois os alunos em geral atingiram o objetivo do problema conseguindo extrair os dados do mesmo Apesar de alguns alunos não terem um desempenho como os demais mas no geral como dentro de 21 alunos e entre esses em torno de 13 a 15 alunos conseguirem pontuações 4 e 5 a média da turma tenha uma razoabilidade As médias das ações nos mostra no geral como cada aluno foi avaliado nas quatro ações ou seja faz um apanhando geral de como os alunos puderam identificar o que o problema pedia de que forma foi construída a maneira que usaram para solucionar cada problema e por último como a interpretação era feita em base do assunto de operações de números inteiros Veja a tabela 7 0 1 2 3 4 5 E01 E02 E03 E04 E05 E06 E07 E08 E09 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20 E21 P4 1ªA P4 2ªA P4 3ªA P4 4ªA 41 Tabela 7 Resultado geral das médias das quatro ações Média das Ações A 1ªA 2ªA 3ªA 4ªA Y E01 47 47 43 43 137 E02 10 23 10 10 43 E03 47 47 43 43 137 E04 40 50 50 50 140 E05 43 47 43 43 133 E06 17 17 17 17 50 E07 13 13 13 13 40 E08 17 23 17 17 57 E09 37 50 50 50 137 E10 17 17 17 17 50 E11 47 50 50 50 147 E12 37 30 30 30 97 E13 33 23 23 23 80 E14 47 50 50 50 147 E15 50 50 50 50 150 E16 47 50 50 50 147 E17 10 10 10 10 30 E18 37 50 50 50 137 E19 47 50 50 50 147 E20 20 10 10 10 40 E21 47 50 50 50 147 Media 34 36 35 35 104 Mediana 37 47 43 43 137 Modo 47 50 50 50 147 DP 14 16 17 17 46 Com base das médias das ações foi estabelecida uma tabela de frequência a qual a cada parte do gráfico corresponde a certa quantidade de alunos que obtivem uma pontuação ótima boa mediana e ruim Veja a tabela 8 seguir Tabela 8 Resultados da tabela de frequência com intervalo de classe dos alunos Intervalo Frequência 47 7 811 2 1215 12 1620 1 42 Com essa tabela temos uma noção de quantidades de alunos que podem se encaixar em um conceito ótimo aquele aluno que é capaz de resolver todas as ações com o mínimo de dificuldades possíveis bom alunos têm dificuldades moderada em relação as ações médio os alunos são capazes de entender as ações porém não saber como usálas e por fim ruim os alunos não conseguem desenvolver todas as ações na resolução do exercício A seguir temos um gráfico que mostra como estão distribuídas essas frequências além de acompanhar com a porcentagem Veja o gráfico 5 Gráfico 5 Frequência das médias Com base nesse gráfico de setores foram selecionados um aluno de cada frequência pata analisarmos o seu desenvolvimento na prova diagnóstica Ao analisar a proba diagnóstica do E15 que é classificado como ótimo devido compreender e entender todas as ações mentais que as atividades ofereciam vamos destacar a seguir nas questões como o aluno fez esse processo Questão 1 Nessa questão percebemos que o entendimento do aluno sobre as regras de sinais e quais operações se deve fazer primeiro foram bastante satisfatório pois dentre as três alternativas da questão 1 o aluno teve dominio da 3ª ação que é solucionar o modelo matemático Segue a imagem para acompanhar a resolução Veja a figura 1 Frequência 4 7 7 32 RUIM Frequência 8 11 2 9 MÉDIO Frequência 12 15 12 55 BOM Frequência 16 20 1 4 ÓTIMO Frequências 43 Figura 3 Correção questão 1 E15 Questão 2 A proposta dessa questão é envolver todas as ações assim como na primeira questão o aluno teve um ótimo aproveitamento soube entender o teor da questão construiu o modelo matemático que proporcionou a compreensão do problema e assim extraindo as informações a fim de que pudesse solucionar e interpretar o que a questão pedia Veja a figura 2 Figura 4 Correção questão 2 E15 Questão 3 e 4 Na questão 3 envolve a 3º ação que está relacionada a solucionar a questão o modelo matemático já está construído e assim o aluno tem como objetivo de apenas de encontrar a operação matemática que é aplicável ao enunciado d pergunta Já na questão 4 todas as ações são aplicáveis assim como no questão 2 o aluno soube desenvolver a questão com base de todo conteúdo aprendido sobre as operações de números inteiros Veja a figura 5 44 Figura 5 Correção questões 3 e 4 E15 Por fim podemos constatar que o E15 teve um êxito bem satisfatório na prova diagnóstica sabendo aplicar cada conceito como de potenciação regras de sinais prioridade das operações ou seja no modo geral o desenvolvimento do aluno referente às operações de números inteiros aprendida e internalizada de forma que agrega mais conhecimento ao aluno com é dito na Zona de Desenvolvimento Proximal O E05 foi classificado como BOM pois ao decorrer da prova teve dificuldades moderadas em relação às operações de números inteiros veremos a seguir na analise de cada questão respondida Questão 1 Como podemos observar na questão 1 o aluno não conseguir desenvolver todas as alternativas porém resolveu com êxito a letra A e B aplicando as propriedades e definições sobre a operação de números inteiros ao analisar a letra C o aluno colocou uma resposta aleatória então não há como fazer uma análise mais detalhada do desenvolvimento Veja a figura 6 45 Figura 6 Correção questão 1 E05 Questão 2 Como nessa questão envolve todas as ações o aluno soube compreender o problema matemático que se dispõe de forma contextualizada e a partir das informações dadas pelo enunciado construir armando as contas de adição e subtração em seguida solucionou e interpretou o problema matemático Veja a figura 7 Figura 7 Correção questão 2 E05 Questão 3 e 4 A questão 3 aplicamos a ação de solucionar o problema matemático como podemos ver o aluno desenvolveu o problema começou certo mas não completou o raciocínio que se refere sobre a potenciação Já na questão 4 o aluno teve a capacidade construir o modelo compreender interpretar e solucionar aplicando a operação adequada que é a divisão e multiplicação de números inteiros Veja a figura 8 46 Figura 8 Correção questão 3 e 4 E05 Classificamos o E09 como MÉDIO são os alunos que até entendem as ações mas não conseguem desenvolver o que se pede ao analisarmos cada questão podemos constatar essa informação com o E09 Questão 1 Como podemos ver o aluno até desenvolve as questões porém não consegue aplicar os conceitos como por exemplo na letra A não soube aplicar a regra de sinal das operações na letra B não teve domínio sobre o assunto de potenciação assim como n letra C Veja a figura 9 Figura 9 Correção questão 1 E09 47 O aluno não chegou a desenvolver a questão 2 então não há analise a ser feita Questão 3 e 4 Na questão 3 o aluno conseguir aplicar o conceito de potenciação de forma correta dessa forma solucionou o problema matemático que é a 3ª ação aplicada nessa questão Na questão 4 o aluno identificou e desenvolveu as operações pertinentes ao enunciado aplicando de forma correta a divisão e multiplicação de números inteiros Veja a figura 10 Figura 10 Correção questões 3 e 4 E09 O E06 é classificado como RUIM pois não conseguiu desenvolver praticamente nada da prova diagnóstica não houve tentativa de resolução assim podemos identificar que o assunto operações de números inteiros não foi aprendido pelo aluno e muito menos internalizado Há apenas uma questão resolvida como é uma questão que de operações que já foram proposta em alguns enunciados na prova diagnostica supõese que pode ter colado de algum colega o aluno não teve a capacidade de identificar uma operação como a adição e subtração que se pede na questão 2 potenciação na questão 2 e nem solucionar um problema já construído que é o caso da questão 1 Veja a figura 11 48 Figura 11 Correção questão 123 e 4 E06 Feitas as analises das provas fazemos agora um estudo sobre o gráfico percebemos que a menor porcentagem 4 é aquela que refere aos alunos classificados como ótimos aqueles que foram capazes de identificar cada ação além de resolver o problema da melhor forma possível e possuíam pouquíssimas dificuldades sobre operações de números inteiros Seguida pela porcentagem dos alunos médios 9 que possuem uma dificuldade em como resolver ou como começarem a resolução das operações os alunos até conseguem compreender algumas ações mas possuem dificuldades como as regras de sinais ou qual operação fazer primeiro Com 32 classificamos os alunos ruins são aqueles que chutaram as respostas sem fazer o cálculo das operações que não foram capazes de extrair informações dos problemas e por último temos os alunos com a classificação BOM aonde se concentra mais da metade da turma esses alunos possuem uma dificuldade moderada como por exemplo em regras de sinais das operações Em base de toda essa analise feita sobre a prova diagnóstica observamos que 59 do total de 21 alunos obtiveram êxito no entendimento sobre operações de números inteiros A 49 partir disso podemos ter uma noção como toda essa análise pode ajudar o mediador do conhecimento professor a traçar um plano de ensino que seja benéfico a todos e priorizando as dificuldades que os alunos tiveram sobre as operações de números inteiros A seguir é proposto um plano de ensino em base das análises feitas da prova diagnóstica 34 Proposta do plano de ensino Com esse plano de ensino o enfoque é na parte que os alunos tiveram mais dificuldades ao decorrer do assunto de operações de números inteiros buscando meios diferentes de ministrar o assunto e aplicando as teorias que foram contextualizadas ao decorrer dessa pesquisa dessa forma podemos presumir que o ensino será mais eficaz e a dificuldade dos alunos poderá ser diminuídas consideravelmente Além da ajuda de recursos como livros didáticos tecnológicos laboratoriais que a escola dispõe através da sua base curricular 50 CONCLUSÃO Diante da pesquisa realizada neste projeto que teve como base teorias de suma importância como de Vygotsky Galperin Talizina Majmutov buscou compreender e encontrar uma alternativa de didática de ensino que contribuísse e fomentasse o ensino aprendizagem dos alunos levando em consideração o ponto de partida do conhecimento até o momento em que o conhecimento é adquirido de forma efetiva e qualitativa no campo da compreensão do saber Assim tendo em vista todas as etapas de aprendizagem concluída seguindo a linha de pensamento da ZDP e BOA podem estimular cada vez mais a forma de pensar ensinar e instigar os alunos para um conhecimento mais completo de forma independente e generalizada Com bases dos procedimentos metodológicos utilizados foram feitas as analises da turma na qual foi experienciado a pesquisa possibilitando compreender a forma como se pode dá o ensino e aprendizagem além de notar o quanto uma base didática eficiente pode ajudar no ensino aprendizagem dos alunos além de permitir ao mediador do conhecimento uma finidade de forma que pode buscar de ensinar cada conteúdo matemático Por fim o proveito que se pode tirar deste trabalho é que com uma boa base de conhecimentos teóricos alinhado com resoluções de exercícios e base orientadora bem direcionada podemos ter um ensino de mais qualidade e alunos mais propensos mais entusiasmados em aprender porque a partir de uma abordagem diferente prendemos atenção dos alunos e fazemos que eles solidifiquem seus conhecimentos matemáticos 51 REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS BITTENCOURT J Obstáculos Epistemológicos e a Pesquisa em Didática da Matemática In Educação Matemática em Revista Número 6 ano 5 Sociedade Brasileira de Educação Matemática 1998 p 13 17 BRASIL ESCOLA O que é radiciação Disponível em httpsbrasilescolauolcombro queematematicaoqueeradiciacaohtm Acesso em 5 de Março de 2018 DANTE L R Didática da Resolução de Problema de Matemática11 ed São Paulo Atica 1998 LEITE Jardel S A aprendizagem da atividade de situações problema em sistema de equações lineares fundamentado na teoria de formação por etapas das ações mentais de galperin nos estudantes do 2º ano de ensino médio da escola estadual maria das dores brasil 2015 MENDOZA Héctor José García TINTORER A contribuição do ensino problematizador de Majmutov na formação por etapas das ações mentais de Galperin MUNDO EDUCAÇÃO Raiz Quadrada de Números Racionais Positivos Disponível em httpsmundoeducacaoboluolcombrmatematicaraizquadradanumerosracionais positivoshtmr Acesso em 5 de Março de 2018 ROCHA NETO Francisco Tavares da DIFICULDADES NA APRENDIZAGEM OPERATÓRIA DE NÚMEROS INTEIROS NO ENSINO FUNDAMENTAL 2010 SALVADOR Célia Maria Ananias NACARATO Adair Mendes Os números relativos em sala de aula um olhar para o zero TINTORER O Formação por etapas das ações mentais na Atividade de Situações Problema em Matemática In X Encontro Nacional de Educação Matemática X ENEM Salvador 2010 52 ANEXO Plano de aula 1 Escola Estadual Voltaire Pinto Ribeiro Disciplina Matemática Estagiária regente Amanda Caroline Gomes da Silva Professora Miraselva Curso Matemática Turno Matutino Série 7º ano Tempo 240 minutos Data 21 de Novembro 2017 CONTEÚDO Números Inteiros Adição e Subtração Introdução O intuito do plano de aula é mostrar como as aulas serão ministradas os recursos utilizados maneira de como será expostos os assuntos e trabalhados O conhecimento matemático e o ensino por meio da didática instruirão os alunos a entender e concretizar os elementos mais amplos desenvolvidos em etapas sequenciais em consonância com objetivos e conteúdos previstos OBJETIVOS ESPECÍFICOS Os alunos devem ser capazes de Explicar a diferença dos números inteiros e conceituando Reconhecer as diferentes representações de um número racional Observar sistematicamente a presença da Matemática no diaadia Efetuar adição subtração e suas regras METODOLOGIA Explicar o conteúdo oralmente com as observações necessárias na lousa Aplicação e resolução de exemplos do dia a dia e exercícios 53 PROCEDIMENTO Expor o conteúdo a ser abordado apresentar situações que exigem e propondo um problema inicial para explicar o assunto Problema de Subtração proposto no inicio da aula Imagine que uma pessoa tem R50000 depositados em um banco e faça sucessivos saques 1º saque R20000 2º saque R10000 3º saque R30000 Qual o saldo no banco dessa pessoa após os saques Problema de adição proposto no inicio da aula Em uma loja de informática Paulo comprou um computador no valor de 2200 reais uma impressora por 800 reais e um cartucho que custa 90 reais Qual o valor total da compra RECURSOS Humanos professora e alunos Didáticos Quadro pincel apagador livro oferecido pela escola AVALIAÇÃO A avaliação será de forma contínua desde a observação a participação dos alunos nas atividades Também a partir da resolução de alguns exercícios observando verificando a aprendizagem individual dos mesmos 54 PLANO DE AULA 2 Escola Estadual Voltaire Pinto Ribeiro Disciplina Matemática Estagiária regente Amanda Caroline Gomes da Silva Professora Miraselva Curso Matemática Turno Matutino Série 7º ano Tempo120 minutos Data 28 de Novembro 2017 CONTEÚDO Números Inteiros MultiplicaçãoDivisão Introdução O intuito do plano de aula é mostrar como as aulas serão ministradas os recursos utilizados maneira de como será expostos os assuntos e trabalhados O conhecimento matemático e o ensino por meio da didática instruirão os alunos a entender e concretizar os elementos mais amplos desenvolvidos em etapas sequenciais em consonância com objetivos e conteúdos previstos OBJETIVOS ESPECÍFICOS Os alunos devem ser capazes de Resolver exercícios sobre o assunto de frações Explicar como é feito o procedimento da multiplicação com os números inteiros Encontrar situações do cotidiano que leve ao uso da multiplicação desses números Compreender o processo da divisão Identificar em uma divisão exata o dividendo o divisor o resto e o quociente METODOLOGIA Explicar o conteúdo oralmente com as observações necessárias na lousa Aplicação e resolução de exemplos do dia a dia e exercícios 55 PROCEDIMENTO E Expor o conteúdo a ser abordado apresentar situações que exigem e propondo um problema inicial para explicar o assunto Problema de Subtração proposto no inicio da aula Em uma loja de informática Paulo comprou um computador no valor de 2200 reais uma impressora por 800 reais e três cartuchos que custam 90 reais cada um Os objetos foram pagos em 5 parcelas iguais O valor de cada parcela em reais foi igual a quanto RECURSOS Humanos professora e alunos Didáticos Quadro pincel apagador livro oferecido pela escola AVALIAÇÃO A avaliação será de forma contínua desde a observação a participação dos alunos nas atividades Também a partir da resolução de alguns exercícios observando verificando a aprendizagem individual dos mesmos 56 PLANO DE AULA 3 Escola Estadual Voltaire Pinto Ribeiro Disciplina Matemática Estagiária regente Amanda Caroline Gomes da Silva Professora Miraselva Curso Matemática Turno Matutino Série 7º ano Tempo120 minutos Data 07 de Novembro 2017 CONTEÚDO Números Inteiros Raiz Quadrada de números exatos Introdução O intuito do plano de aula é mostrar como as aulas serão ministradas os recursos utilizados maneira de como será expostos os assuntos e trabalhados O conhecimento matemático e o ensino por meio da didática instruirão os alunos a entender e concretizar os elementos mais amplos desenvolvidos em etapas sequenciais em consonância com objetivos e conteúdos previstos OBJETIVOS ESPECÍFICOS Os alunos devem ser capazes de Identificar os elementos da radiciação Compreender o conceito de raiz quadrada Compreender que a radiciação é operação inversa da potenciação e Efetuar adição subtração multiplicação e divisão com raízes METODOLOGIA Explicar o conteúdo oralmente com as observações necessárias na lousa Aplicação e resolução de exemplos do dia a dia e exercícios 57 PROCEDIMENTO Expor o conteúdo a ser abordado utilizando um exemplo onde a problemática está no fato de encontramos um meio para resolução que envolverá a raiz quadrada Em seguida explicar os conceitos os elementos que fazem parte da radiciação Execução de atividades envolvendo a adiçãosubtraçãodivisãomultiplicação RECURSOS Humanos professora e alunos Didáticos Quadro pincel apagador livro oferecido pela escola AVALIAÇÃO A avaliação será de forma contínua desde a observação a participação dos alunos nas atividades Também a partir da resolução de alguns exercícios observando verificando a aprendizagem individual dos mesmos UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA LUIZ FELIPE MARTINS NASCIMENTO Contribuições da Teoria Histórico Cultural para uma aprendizagem desenvolvimental na resolução de equações de 1º grau nos estudantes de 8 ano de Ensino Fundamental na Escola Estadual Monteiro Lobato Boa Vista RR 2017 2 LUIZ FELIPE MARTINS NASCIMENTO Contribuições da Teoria Histórico Cultural para uma aprendizagem desenvolvimental na resolução de equações de 1º grau nos estudantes de 8 ano de Ensino Fundamental na Escola Estadual Monteiro Lobato Monografia apresentada como prérequisito para conclusão do Curso de Licenciatura Plena em Matemática do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Roraima Orientador Prof Dr Héctor José García Mendoza Boa Vista RR 2017 3 4 FOLHA DE APROVAÇÃO LUIZ FELIPE MARTINS NASCIMENTO Contribuições da Teoria Histórico Cultural para uma aprendizagem desenvolvimental na resolução de equações de 1º grau nos estudantes de 8 ano de Ensino Fundamental na Escola Estadual Monteiro Lobato Monografia apresentada como prérequisito para conclusão do Curso de Licenciatura Plena em Matemática do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Roraima Defendida em 2 de agosto de 2017 e avaliada pela seguinte banca examinadora Prof Dr Héctor José García Mendoza Orientador Curso de Matemática UFRR Prof Dr Alberto Martin Martínez Castañeda Curso de Matemática UFRR Prof Dr Oscar Tintorer Delgado Curso de Física UERR 5 Resumo Na atualidade a quantidade de pessoas que não sabe como resolver uma equação de 1º grau é muito alta fazendo uma comparação de entre as equações de 1º e 2º grau a maioria prefere responder a de 2º grau pois segundo eles tem formulas prédefinidas O processo de ensino aprendizagem deve estar fundamentado por teorias de aprendizagem que tenha como enfoque a cognição por isso será apresentada brevemente a evolução da teoria históricocultural de Vygotsky continuando pela teoria da atividade de Leóntiev até a teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin Neste trabalho a Atividade de Situações Problema em Matemática é compreendida como um sistema de quatro ações para o ensino aprendizagem na resolução de problemas em matemática baseado na teoria de Galperin O que será apresentada também uma experiência aplicada no conteúdo de equações de 1º grau na turma 8º ano da escola estadual Monteiro Lobato utilizando a resolução de problemas com a perspectiva de analisar a aprendizagem na Atividade de Situações Problema em Equações com a pesquisa sendo qualitativa quantitativa fundamentado na teoria de Galperin quanto ao nível de partida dos alunos e propor uma sequência didática E para finalizar o nível de partida na Atividade de Situações Problema em Matemática dos alunos não tiveram bons resultados o que foi proposto que uma sequência didática baseada numa base orientadora geral completa e independente Palavras Chaves Equações de 1º grau Formação por etapas das ações mentais Atividade de situações problema Base Orientadora da Ação 6 Resumen En la actualidad la cantidad de personas que no sabe cómo resolver una ecuación de primer grado es muy alta haciendo una comparación de entre las ecuaciones de 1º y 2º grado la mayoría prefiere responder la de segundo grado pues según ellos tienen fórmulas predefinida El proceso de enseñanza aprendizaje debe estar fundamentado por teorías de aprendizaje que tengan como enfoque la cognición por lo que será presentada brevemente la evolución de la teoría histórico cultural de Vygotsky continuando por la teoría de la actividad de Leóntiev hasta la teoría de formación por etapas de las acciones mentales de Galperin En este trabajo la Actividad de Situaciones Problema en Matemáticas se entiende como un sistema de cuatro acciones para la enseñanza aprendizaje en la resolución de problemas en matemáticas basado en la teoría de Galperin También será presentado una experiencia en el contenido de ecuaciones de primer grado en estudiantes del 8º año de la Escuela Estatal Monteiro Lobato utilizando la resolución de problemas para analizar el aprendizaje en la Actividad de Situaciones Problema en Ecuaciones a partir de una investigación cualitativa cuantitativa fundamentado en la teoría de Galperin en cuanto al nivel de partida de los alumnos se propone una secuencia didáctica Concluyese que el nivel de partida en la Actividad de Situaciones Problema en Matemáticas de los alumnos no tuvieron buenos resultados lo que se propuso que una secuencia didáctica basada en una base orientadora general completa e independiente Palabras claves Ecuaciones de primer grado Formación por etapas de las acciones mentales Actividad de situacionesproblema Base Orientadora de la Acción 7 LISTA DE FIGURAS Figura 1 Estrutura da zona de desenvolvimento Proximal 13 Figura 2 Interação do sujeito com o objeto 14 Figura 3 Relação entre atividade externa e interna 14 Figura 4 Direção da Atividade de Situações Problema 25 Figura 5 Dimensões das categorias de avaliação 27 Figura 6 Resultado do problema 1 em porcentagem 33 Figura 7 Resultado do problema 2 em porcentagem 35 Figura 8 Resultado do problema 3 em porcentagem 36 Figura 9 Resultado do problema 4 em porcentagem 38 8 LISTA DE TABELAS Tabela nº 1 tipos de base orientadora da ação 15 Tabela nº 2 resultado do problema 1 32 Tabela nº 3 resultado do problema 2 34 Tabela nº 4 resultado do problema 3 35 Tabela nº 5 resultado do problema 4 37 9 Sumário INTRODUÇÃO 10 CAPITULO I FUNDAMENTOS TEÓRICO DIDÁTICA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMA 11 11 Fundamentos Psicológicos 11 12 Equações do 1º grau com uma incógnita 16 13 A Atividade de situações problema em equações 23 CAPITULO II PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS 26 21 Caracterização da pesquisa categorias e variável de análises 26 22 Amostra fases e instrumentos de coletas de dados da pesquisa 28 CAPITULO III RESULTADOS E ANÁLISES 32 31 Diagnostico no nível de partida dos estudantes 32 32 Contribuição da base orientadora da ação 39 CONCLUSÕES 42 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 44 10 INTRODUÇÃO O motivo que escolher este tema foi por causa da grande quantidade de alunos que tem dificuldade sobre o conteúdo a meu ver possui conteúdos um pouco complicados em relação a equações de 1º grau e que possui técnicas nesta área que pode ser construídas para melhorar a assimilação dos estudantes os tornando mais fácil o que acaba se passando por difícil ou também não gostando da disciplina em si quando não são bem explicadas por não mostrar os detalhes do passo a passo para eles para que se desenvolvam bem Só tive a certeza do tema quando fui participar do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência Pibid que é uma proposta de valorização dos futuros docentes durante seu processo de formação Tem como objetivo ver como é a realidade escolar e com isso o aperfeiçoamento da formação de futuros professores para a educação básica e ter uma melhoria na qualidade da educação pública brasileira Problema da Pesquisa Quais são as contribuições da teoria história cultural para uma aprendizagem desenvolvimental na resolução de equações de 1º grau nos estudantes de 8 ano de Ensino Fundamental na Escola Estadual Monteiro Lobato Objetivo Geral Analisar as contribuições da teoria história cultural para uma aprendizagem desenvolvimental na resolução de equações de 1º grau nos estudantes de 8 ano de Ensino Fundamental na Escola Estadual Monteiro Lobato Objetivos Específicos Diagnosticar o nível de partida dos estudantes para a aprendizagem da resolução de equações de 1º grau Verificar a contribuição da base orientadora da ação na aprendizagem de 1º grau nos estudantes Sobre os detalhes dos capítulos a seguir que fazem parte deste trabalho podemos informar seus principais aspectos no capítulo 1 abordaremos sobre as teorias e conceitos adotados partindo dos fundamentos psicológicos cujo são processo de assimilação as Zona de Desenvolvimento Proximal ZDP de Vygotsky e sua evolução até a teoria de formação das ações mentais de Galperin que começa pela etapa motivacional e contem depois mais outras 5 Sendo que passando pela teoria da atividade de Leóntiev e direção da atividade de estudo de Talízina Um pouco da história do surgimento das equações de 11 1º grau e por último o desenvolvimento da Atividade de Situações Problema ASP em equações que vai está formada por um sistema invariante de quatro ações vinculandoas com o conteúdo de Equações do 1º grau com uma incógnita e apresentando os tópicos que serão objetos de estudo No capítulo 2 mostraremos quais são os procedimentos metodológicos usados como métodos adotados e dos instrumentos que foram utilizados durante todo o processo detalhando os porquês de cada um deles e os questionamentos levantados na pesquisa como a caracterização da pesquisa categorias e variável de análises amostra fases e instrumentos de coletas de dados No capítulo 3 os resultados e análises do diagnostico no nível de partida dos estudantes obtidas dos instrumentos utilizados da coleta de dados e depois observar qual foi a contribuição da base orientadora da ação BOA para a construção do plano de ensino e por fim as considerações finais CAPITULO I FUNDAMENTOS TEÓRICO DIDÁTICA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMA Teremos uma simples explanação da construção do método para a resolução de problemas matemáticos voltados para as equações de 1º grau e verificar como é aplicado a Atividade de Situações Problema em Matemática Num primeiro momento será explicada brevemente a teoria do processo de assimilação assim como as Zona de desenvolvimento proximal de Vygotsky e sua evolução até a teoria de formação das ações mentais de Galperin passando por pela teoria da atividade de Leóntiev e direção da atividade de estudo de Talízina 11 Fundamentos Psicológicos Os trabalhos de Vygotsky Leóntiev Rubinstein e seus partidários conduziram nos fins dos anos 40 aos princípios que constitui os fundamentos da psicologia soviética e da teoria de formação por etapas das ações mentais que são a o enfoque do caráter ativo do objeto da psicologia atividade b o reconhecimento da natureza social psíquica do sujeito c o reconhecimento da unidade da atividade psíquica e a atividade externa prática Talízina 1988 A ideia central de Vygotsky 2001 2003a 2003b é que a atividade psíquica interna é construída pela atividade externa estabelecendo uma unidade dialética entre 12 ambas A psiques sem a conduta não existe como a conduta sem a psiques também não No ser humano esta atividade está condicionada pelo uso de instrumentos e as formas de utilização que a sociedade há estabelecido historicamente Assim as funções psíquicas superiores no homem foram originadas nas primeiras formas de comunicação verbal entre as pessoas e estão mediatizadas pelos signos especificamente os signos linguísticos Para Vygotsky 2001 p 399 o significado da palavra tem um caráter especial e não puramente externa É um fenômeno de pensamento na medida em que o pensamento está relacionado com a palavra que se materializa e inversamente é um fenômeno de discurso apenas na medida em que o discurso está ligado ao pensamento e focalizado por sua luz É um fenômeno do pensamento discursivo ou palavra consciente é unidade da palavra e com o pensamento Para dominar sua conduta ou seja dirigir sua psique o homem deve apoiarse no inicio em objetos externos e só depois através da mediação ele adquire a capacidade de fazêlo mentalmente utilizando suas ideias internas que são agora elementos da atividade psíquica Vygotsky 2001 explicou que as funções intelectuais superiores e psicológicos aparecem duas vezes primeiro como funciona como interpsíquicas funções e após intrapsíquico Neste sentido desenvolveu os conceitos de área de desenvolvimento atual e zona de desenvolvimento proximal de suma importância para a educação como uma ciência Conforme considerações vigotskianas para zona de desenvolvimento atual significa o conhecimento disponível pelo aluno o real que possui enquanto na zona de desenvolvimento potencial se entende que o aluno possa chegar ao conhecimento com uma ajuda seja outro estudante superior ou pela própria professora Esta consideração explica o relacionamento inicial interpsicológico e assimilação pessoal e final do conhecimento uma condição de caráter intrapsicológica Por tanto Vygotsky 2003a define que a zona de desenvolvimento proximal é a distância entre o nível real de desenvolvimento que é habitual determinado por resolução de problemas e independente do nível de desenvolvimento potencial determinado através de resolução de problemas na direção de um adulto ou uma colaboração de pares mais capazes Figura 1 Zona de Desenvolvimento Proximal 1 1 httpscaeucbbrtastasimagenszdpjpg 13 Leóntiev torna a atividade o objeto da psicologia e é precisamente através dele que o sujeito se relaciona com o mundo Em seus estudos sobre a estrutura das atividades Leóntiev considerado o propósito e razão como elementoschave e estabelecido que tanto devem corresponder também separar os conceitos de ação atividade e operação Neste sentido a atividade humana é parte das ações que são executadas através de operações Considerando que a atividade mental como um caso especial da atividade humana na sua relação com seu mundo material externo Talízina 1988 p 23 Através da atividade o sujeito se relaciona com o objeto respondendo a suas necessidades e adotando uma atitude A interação entre o objeto e sujeito possibilita ao último internalizar o objeto e dá solução as tarefas A vida humana está formada por um sistema de atividades e elas não existe sem o objeto mas este último podese apresentar independente do sujeito ou como reflexo de sua interação A atividade está formada por ações operações e objetivos ou seja o sujeito se relaciona com o mundo exterior através de uma atividade que está formada por um sistema de ações a sua vez cada ação por um sistema de operações para alcançar um objetivo A atividade é movida pelo motivo material ou ideal as ações pelo objetivo e as operações se originam pelas condições da atividade mas o motivo pode influenciar nas ações para alcançar objetivo Uma atividade de estudo por suposto tem um objetivo de ensino vinculado à assimilação de certo conteúdo O aluno necessita realizar um conjunto de ações para ter 14 uma eficiência na assimilação dos conteúdos manifestado as habilidades de planejar controlar resumir corrigir entre outras Outras ações estão relacionadas com a ciência e a disciplina que se está estudando Mas ações num primeiro nível são ações não resumidas que devem transitar para ações resumidas no processo de formação das ações mentais Por tanto para avaliar a assimilação há que analisar a qualidades das ações que se pode classificar em três níveis as ações específicas das disciplinas as ações vinculadas com ciência e as do processo de assimilação Os elementos da atividade Sistema de ações Operações para realizar as ações Motivação dos alunos e alcançar um objetivo Chamamos Atividade aos processos mediante os quais o sujeito respondendo a suas necessidades se executando passo por passo para chegar no seu objetivo Figura 2 Interação do sujeito com o objeto Fonte confeccionado pelo autor 2017 Ela ocorre na interação sujeito objeto na qual se origina o reflexo psíquico que media na interação Isto possibilita que possa formarse no sujeito a representação subjetiva do objeto e produzirse a objetivação da regulação psíquica no resultado da Atividade Uma Atividade sem objeto não existe O objeto da Atividade responde as necessidades do sujeito A atividade existe através das ações e por sua vez ações através das operações No conceito de atividade Leóntiev aproxima mais a atividade interna e externa como mostra a figura abaixo Figura 3 Relação entre atividade externa e interna Fonte confeccionado pelo autor 2017 Leóntiev coloca que através a atividade o sujeito se relaciona com o mundo mas que estabelece a relação entre a atividade externa matéria e a atividade interna psíquica é Galperin ao indicar que existem cinco etapas qualitativas entre elas conhecida como a teoria de formação por etapas das ações mentais 15 Mas quem estabelece esta relação é Galperin com a teoria de formação por etapas das ações Mentais que são definidas em um total de 6 etapas sendo 5 etapas mais a motivacional a motivação é uma etapa fixa ou permanente pois sem ela não dar para ir de uma etapa para outra e essas etapas em detalhes são E0 Motivacional a motivação tem que começar dos alunos que queiram aprender e que também influencia do professor transmitir seus conhecimentos ao indivíduo para mostrar uma direção a ser seguida Em outras palavras é o impulso interno que leva à ação de conquista o seu objetivo E1 Elaboração da Base Orientadora da Ação BOA a BOA distinguese por três caraterísticas do sistema de ações a primeira caraterística pode ser geral ou concreta ou seja quando o estudante domina ações gerais em relação ao objetivo para resolver um número maior de tarefas A segunda está relacionada com o êxito da atividade que depende da plenitude das ações orientadas que devem ser suficientes completa para alcançar o objetivo e nunca insuficiente incompleta A terceira característica é a forma de obtenção do sistema das ações pelo estudante a partir das orientações do professor o estudante vai incorporando o sistema de ações para dar solução às tarefas a serem desenvolvidas de forma independente Quando o professor apresenta o sistema de ações pronto sem muito esforço para o estudante se diz que a forma de obtenção é preparada veja na tabela abaixo Tabela nº 1 Tipos de Base Orientadora da Ação Nº Caráter Generalizado Plenitude Modo de obtenção 1 Concreta Incompleta Independente 2 Concreta Completa Preparada 3 Generalizado Completa Independente 4 Generalizado Completa Preparada 5 Generalizado Incompleta Preparada 6 Generalizado Incompleta Independente 7 Concreta Completa Independente 8 Concreta Incompleta Preparada Fonte Talízina 1988 p 89 Talízina 1988 indica que a BOA mais produtiva é a orientada de forma geral completa e obtida de forma independe pelos estudantes mas é possível utilizar outra 16 BOA sempre que seja completa dependendo das condições de ensino ainda com limitações na retenção e transferência E2 Formação da ação em forma material ou materializada o estudante deve realizar as ações passo a passo com a ajuda de portadores externos da informação O papel do professor é ativo deve verificar a execução da cada ação com suas respetivas operações e o controle do objetivo e se é necessário realizar as correções necessárias A generalização das ações está limitada pelos casos padrões onde são aplicadas as ações Ainda as ações são compartilhadas com o professor e colegas e não automatizadas consciente mas saber fazer as ações não significa saber explicar E3 Formação da ação verbal externa a linguagem tem rol fundamental o estudante deve saber explicar as ações de forma consciente sem o apoio das ações externas materializadas e o principal objetivo é assimilar as operações se começa a trabalhar num plano teórico A posição do professor muda nesta etapa aumenta a função reguladora no controle das ações sendo muito importante corrigilo quando cometem erros No final da etapa deve aumentar a independência dos estudantes mas é ainda explanada compartilhada e consciente É necessário aumentar a complexidades dos problemas eou exercícios devem ser heterogêneos diferentes e aplicados a diversas situações A generalização toma outra dimensão o sistema de ações deve ser explicado pelos estudantes alcançando certo grau de compactação ante novas tarefas não trabalhadas nas etapas anteriores E4 Formação da ação na linguagem externa para si ela é transitória antes da formação da linguagem interno Caracterizamse pela realização das ações pelo estudante para adentro como se fosse um pensamento em voz alta onde as ações são explanadas conscientes e generalizadas As ações começam a reduzirse rapidamente e automatizar se dando passo a internalização O controle das ações passa do externo para o interno E5 Formação da ação na linguagem interna a atividade adquire a forma mental ou seja as ações agora passam a ser mental generalizada comprimida independente e automatizada 12 Equações do 1º grau com uma incógnita 17 Na Índia antiga fala de um passa tempo muito popular dos matemáticos hindus da época a solução de quebracabeças em competições públicas em que um competidor propunha problemas para outro resolver2 Era muito difícil a Matemática nesse período Sem nenhum sinal sem nenhuma variável somente alguns poucos sábios eram capazes de resolver os problemas usando muitos artifícios e trabalhosas construções geométricas Hoje temos a linguagem exata para representar qualquer quebracabeça ou problema Basta traduzilos para o idioma da Álgebra a equação Equação é uma maneira de resolver situações nas quais surgem valores desconhecidos quando se tem uma igualdade A palavra equação vem do latim equatione equacionar que quer dizer igualar pesar igualar em peso E a origem primeira da palavra equação vem do árabe adala que significa ser igual a de novo a idéia de igualdade Por serem desconhecidos esses valores são representados por letras Por isso na língua portuguesa existe uma expressão muito usada o x da questão Ela é utilizada quando temos um problema dentro de uma determinada situação Matematicamente dizemos que esse x é o valor que não se conhece A primeira referência a equações de que se têm notícias consta do papiro de Rhind um dos documentos egípcios mais antigos que tratam de matemática escrito há mais ou menos 4000 anos Como os egípcios não utilizavam a notação algébrica os métodos de solução de uma equação eram complexos e cansativos Os gregos resolviam equações através de Geometria Mas foram os árabes que cultivando a Matemática dos gregos promoveram um acentuado progresso na resolução de equações Para representar o valor desconhecido em uma situação matemática ou seja em uma equação os árabes chamavam o valor desconhecido em uma situação matemática de coisa Em árabe a palavra coisa era pronunciada como xay Daí surge o x como tradução simplificada de palavra coisa em árabe No trabalho dos árabes destacase o de AlKhowarizmi século IX que resolveu e discutiu equações de vários tipos AlKhowarizmi é considerado o matemático árabe de maior expressão do século IX Ele escreveu dois livros que desempenharam importante papel na história da Matemática Num deles Sobre a arte hindu de calcular AlKhowarizmi faz uma exposição completa 2 httpwwwmatematiquescombrconteudophpid582 no dia 372017 ás 1524 18 dos numerais hindus O outro considerado o seu livro mais importante Aljabr wal mugãbalah contém uma exposição clara e sistemática sobre resolução de equações As equações ganharam importância a partir do momento em que passaram a ser escritas com símbolos matemáticos e letras O primeiro a fazer isso foi o francês François Viète no final do século XVI Por esse motivo é chamado pai da Álgebra Viète também foi o primeiro a estudar as propriedades das equações através de expressões gerais como ax b 0 Graças a Viète os objetos de estudo da Matemática deixaram de ser somente problemas numéricos sobre preços das coisas idade das pessoas ou medidas dos lados das figuras e passaram a englobar também as próprias expressões algébricas A partir desse momento as equações começaram a ser interpretadas como as entendemos atualmente equação o idioma da álgebra Atualmente as equações são usadas entre outras coisas para determinar o lucro de uma firma para calcular a taxa de uma aplicação financeira para fazer a previsão do tempo etc E devido a evolução dos estudos das equações podemos utilizar outras variáveis letras para representar o valor desconhecido ou seja o que se quer descobrir em uma equação Hoje chamamos o termo desconhecido de incógnita que é uma palavra originária do latim incognitu que também quer dizer coisa desconhecida A incógnita é um símbolo que está ocupando o lugar de um elemento desconhecido em uma equação Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais PCN em Matemática é desejável que o professor proponha aos alunos a análise interpretação formulação e resolução de novas situaçõesproblema envolvendo números naturais inteiros e racionais e os diferentes significados das operações e que valorize as resoluções aritméticas tanto quanto as algébricas Os objetivos de Matemática para o quarto ciclo do ensino deve visar ao desenvolvimento Do pensamento numérico por meio da exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a ampliar e consolidar os significados dos números racionais a partir dos diferentes usos em contextos sociais e matemáticos e reconhecer que existem números que não são racionais resolver situaçõesproblema envolvendo números naturais inteiros racionais e irracionais ampliando e consolidando os significados da adição subtração multiplicação divisão potenciação e radiciação selecionar e utilizar diferentes procedimentos de cálculo com números naturais inteiros racionais e irracionais Do pensamento algébrico por meio da exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a produzir e interpretar diferentes escritas algébricas expressões igualdades e desigualdades identificando as equações inequações e sistemas 19 resolver situaçõesproblema por meio de equações e inequações do primeiro grau compreendendo os procedimentos envolvidos observar regularidades e estabelecer leis matemáticas que expressem a relação de dependência entre variáveis Para ter um melhor desenvolvimento do conteúdo de equações temos que verificar como estão indo em determinados conjuntos numéricos primeiramente começando pelo conjunto dos números Naturais pois se tratar da base dos conjuntos nele verificou como se descobri o que é um antecessor de um número ou um sucessor pois terá vários problemas envolvendoos O conjunto seguinte é dos Inteiros a diferencia dos números Naturais é pouca tem mais propriedades e que todos do conjunto dos Naturais está contido dentro do conjunto dos números Inteiros E por fim tem os Racionais que se trata de uma divisão temos que para todo número inteiro no numerador e já no denominador são os inteiros diferentes de zero Tendo conhecimentos básicos nestes três conjuntos na hora de resolveram os problemas de equação do 1º grau terão mais habilidades para executar os métodos aprendidos dos conjuntos Números Naturais Para contar usamos os números de 123456 etc junto com zero esses números formam o conjunto dos números naturais que é indicado assim 𝑁012345 Sabemos muitas coisas sobre os números naturais Veja Todo número natural tem sucessor existem infinitos números naturais O sucessor de 13 é 14 O sucessor de 1999 é 2000 Todo número natural com exceção do zero tem um antecessor O antecessor de 25 é 24 O antecessor de 4576 é 4575 A soma de dois números naturais e sempre um número natural O produto de dois números naturais e sempre um número natural Ex1 Responda a qual é o sucessor de 48999 b qual é o antecessor de 72000 20 c 8000 é o sucessor de que número d 3640 é o antecessor de que número Ex2 Escreva o número 35 como a o produto de dois números naturais ímpares b a soma de dois números naturais consecutivos c a soma de cinco números naturais consecutivos Ex3 Utilizando uma só vez cada um dos algarismos 246 e 7 escreva a o maior número natural b o maior número ímpar c o menor número par Números Inteiros Juntando ao conjunto dos números naturais os números inteiros negativos obtemos o conjunto de todos os números inteiros 𝑍 Sobre os números inteiros sabemos entre outras coisas que Todo número inteiro tem sucessor O sucessor de 13 é 14 O sucessor de 13 é 12 Todo número inteiro tem antecessor O antecessor de 25 é 24 O antecessor de 25 é 26 Os números inteiros podem ser representados por pontos na reta numérica A soma de dois números inteiros e sempre um número inteiro O produto de dois números inteiros e sempre um número inteiro A diferença de dois números inteiros e sempre um número inteiro O quociente entre dois números inteiros muitas vezes não é um número inteiro Veja que 34 ou 75 e inúmeras outras divisões entre inteiros não tem como resultado um número inteiro Sabemos por exemplo que raiz de 9 3 por que 329 Mas e raiz de 20 é um número inteiro Ex1 Responda 21 a se 15 significa 15 metros para a esquerda o que significa 15 b se 70 significa um lucro de R 70 o que significa 70 c se 6 significa 6 anos mais novo o que significa 6 Ex2 Responda a existe o menor número inteiro b existe o maior número inteiro c quantos números inteiros existem Ex3 Responda a sou um número inteiro e o meu sucessor é 999 Quem sou b sou um número inteiro Não sou positivo Não sou negativo Quem sou c sou um número inteiro maior que 15 e menor que 13 Quem sou Números Racionais Os números obtidos pela divisão de dois números inteiros formam o conjunto dos números racionais que é representado pela letra 𝑄 de quociente Divisões que não tem resultado em 𝑍 tem resultado em 𝑄 Podemos descrever os números racionais assim Os números racionais são os que podem ser escritos na forma 𝑎 𝑏 sendo 𝑎𝑒𝑏 𝑍 e b diferente de zero Ex1 Veja os números que aparecem nas frases a seguir A jarra tem capacidade para 34 de litro numa cidade há 8049 bicicletas o saldo de gols de um time de futebol é 6 Leandro tem 17 anos a velocidade de um carro é de 9275 kmh a temperatura atingiu 28C Responda a quais deles representam números naturais b quais deles representam números inteiros c quais deles representam números racionais Ex2 o que você pode dizer sobre estes números 5 10 1 2 05 13 26 22 Ex3 Procure entre os cartões aqueles que correspondem a cada condição 𝑎 20 8 𝑏 30 5 𝑐 10 3 a representa um número inteiro b representa um número entre 3 e 4 c representa um número fracionário entre 2 e 3 Ex4 Se um pacote de café pesar 125g quantos pacotes com este peso poderão ser feitos com 1kg de café Equações de 1º Grau Equação é uma igualdade em que há pelo menos uma letra para representar o valor desconhecido A letra ou as letras que representam valores desconhecidos são as incógnitas da equação Na equação x352 a incógnita é x Toda equação tem dois membros x352 x3 1º membro 52 2º membro Observe que o valor de x que torna a igualdade verdadeira é 4 pois trocando x por 4 na equação igualdade fica verdadeira 4352 x4 é a única solução dessa equação Resolver uma equação é encontrar sua solução Vamos resolver a equação 5x83x12 para recordar Encontramos a solução da equação Verificamos se a solução está correta substituindo x por 2 na equação 5283212 108612 1818Verdadeiro Fazendo a verificação temos certeza se acertamos a resolução da equação A solução x2 está correta Exemplos 23 x412 t763 y519 x62 23x514 t68 2x153 4x8x36 4s32s8 3x10 2t513t 373m52 Ex2 Um Número é adicionado a seu dobro é igual a 36 Qual o valor desse número Ex3 A soma de dois números é 17 Qual o valor do maior numero Ex4 Um pai tem 37 anos e seu filho 7 Daqui a quantos anos a idade do pai será o triplo da idade do filho Ex5 Júnior e Aline tem 100 livros Se tirarem 25 livros de Júnior e derem a Aline eles ficarão com o mesmo número de livros Quantos livros tem cada um Ex6 Que numero natural sou eu O dobro do meu antecessor menos 3 é igual a 25 Ex7 Francisca tinha certa quantia em dinheiro e ganhou de sua mãe o quíntuplo do que tinha Com isso ficou com R 204 Quanto de dinheiro tinha no início Quanto sua mãe deu 13 A Atividade de situações problema em equações A Atividade de Situações Problema ASP em Matemática está orientada pelo objetivo de resolver situações problema na zona de desenvolvimento proximal num contexto de ensino aprendizagem onde existe uma interação entre o professor o estudante e a situação problema utilizando a resolução de problema em Matemática como metodologia de ensino a tecnologia disponível e outros recursos didáticos para transitar pelos diferentes estados do processo de assimilação Mendoza Tintorer 2017 A ASP em Matemática está formada por um sistema invariante de quatro ações com suas respetivas operações que permitem solucionar várias classes de problemas matemáticos A continuação é exposta o sistema de ações com suas respectivas operações Mendoza 2009 Mendoza et al2009 Mendoza Tintorer 2010 A ASP em equações do 1º Grau está constituída por quatros ações invariante que são 1ª ação compreender o problema 2ª ação construir a equação de 1º grau 3ª ação solucionar a equação encontrar a variável pedida e 4ª ação interpretar a solução encontrada Em cada ação existe um conjunto de operações com o objetivo de realizar 24 cada ação Mendoza 2009 Tintorer Mendoza 2009 A primeira ação é compreender o problema e está formada pelas operações ler o problema e extrair todos os elementos desconhecidos estudar os dados e suas condições e determinar os objetivos do problema A segunda ação é de construir o modelo matemático que é determinar variável a ser utilizada na equação atribuir o significado que a variável deve representar na equação realizar as análises das unidades de medidas do modelo matemático elaborar o modelo matemático a partir das informações e condições extraídas do problema A terceira ação que é de solucionar o modelo matemático a qual temos que observar os membros separados pela igualdade da equação separar um membro somente com as variáveis da equação e o outro com as não variáveis somar os termos semelhantes isolar a variável pedida encontrar a solução do modelo matemático Por último a quarta ação é interpretar a solução formada pelas operações interpretar o resultado extrair os resultados significativos que tenham relação com os objetivos do problema dar resposta aos objetivos do problema realizar uma reflexão baseado nos objetivos do problema analisar a partir de novos dados e condições que tenham relação direta ou não com os objetivos do problema existindo a possibilidade de reformular o problema e assim construir novamente o modelo matemático e interpretar sua solução Talízina 1988 p 14 afirma que o ensino planejado inclui os seguintes aspectos a a escolha da teoria psicológica de estudo que responde melhor às características específicas do ensino do homem b a formulação e realização das exigências de direção do processo de estudo apresentada pela teoria geral de direção c a criação dos recursos técnicos de ensino orientados ao modelo selecionado de ensino que satisfaça as exigências da teoria geral de direção A direção da atividade de estudo deve considerar os seguintes elementos o objetivo de ensino o estado de partida da atividade psíquica dos estudantes as tarefas para garantir as etapas do processo de assimilação o enlace de retorno ou retroalimentação e a correção do processo de estudo Talízina 1984 1988 1994 Os conteúdos antes de ser internalizado pelos estudantes o sistema de ações da atividade devem passar por cinco etapas qualitativas que são E0 Motivação E1 formação da Base Orientadora da Ação BOA E2 formação da ação em forma material ou materializada E3 formação da ação em verbal externa E4 formação da ação em linguagem externa par si e E5 formação da 25 ação em linguagem interno O processo de ensino aprendizagem deve estar sob o comando do professor seguindo os princípios da teoria geral de direção constituída por o objetivo de ensino D1 o estado de partida da atividade psíquica dos estudantes D2 o processo de assimilação D3 a retroalimentação D4 e a correção D5 Este processo deve ser cíclico e transparente visando como elemento principal o processo de transformação da atividade externa à atividade interna Talízina 1984 1988 19942000 Se representará a direção da atividade a partir da figura 1 onde E1 E2 até E5 significa as cinco etapas de formação das ações mentais Figura 4 Direção da Atividade de Situações Problema 26 CAPITULO II PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS O fator metodológico em que está situada a investigação demanda o emprego de métodos técnicas e instrumentos que facilitem a coleta de dados e interpretação dos mesmos A observação direta com a observação participativa centrada em anotações de campos relatórios prova de lápis e papel e com enfoque qualitativo e quantitativo tem sido considerada essencial na investigação realizada porque se adéqua ao âmbito de conhecimento evitando o reducionismo e a contextualização inadequada 21 Caracterização da pesquisa categorias e variável de análises A Escola Estadual Monteiro Lobato está localizada na Rua Cecilia Brasil 1506 Centro CEP 69301160 Funciona em três turnos matutino vespertino e noturno e atende aos alunos do Ensino Fundamental 5ª a 8ª série 6º ao 9º ano Ensino Médio 1º ano e a Educação de Jovens e Adultos EJA para o Ensino Médio também Atende ao Ensino Fundamental funcionando no seguinte horário matutino das 730 as 1150 E conta com 21 salas de aula uma direção uma secretaria uma coordenação uma sala de professores uma sala de materiais de educação física uma biblioteca um laboratório de informática e sala de educação matemática um refeitório com cantina e uma quadra poliesportiva As salas de aula fica no edifício de 2 pisos que ficam mais próximo da avenida Ene Garcez e tem dois portões uma na rua Cecilia Brasil e na rua Araújo Filho que ficam abertos até as 8hs e que depois só funcionar o da rua Cecilia Brasil como entrada e saída que tem um espaço imenso entre o edifício e a quadra poliesportiva que servi de estacionamento Num primeiro momento as observações foi menos formal identificando situações de observação específicas e descrevendo fatos que acontecem na sala Num segundo momento tornouse mais formal e categorial completando as anotações com o estudo e aplicação de provas de lápis e papel A avaliação das provas de lápis e papel foi analisado com um caráter qualitativo e quantitativo As ações de Atividade de Situações Problema em Equações de 1º grau nas análises qualitativas se convertem em categorias e operações em indicadores das categorias Nos quantitativos as ações são convertidas em variáveis e as operações em seus indicadores Lembremos as ações da ASP são compreender o problema construir o modelo matemático solucionar o modelo matemático e interpretar a solução 27 A pesquisa é qualitativa quantitativa que nas análises qualitativas as ações são convertidas em categorias de análises e as ações como seus indicadores que serão utilizadas na descrição da prova diagnóstica e nas contribuições da sequência didática na aprendizagem de equações cujas variáveis mensuráveis com valores ordinais 1 2 3 4 5 Ou seja temos a variáveis compreender o problema construir o modelo matemático solucionar o modelo matemático e interpretar a solução Em cada variável existe um indicador constituído pelas operações da ASP como critério de essencial ou seja é considerado como o conhecimento mínimo que deve saber o aluno Dimensões das categorias de avaliação Figura 5 Dimensões das categorias de avaliação Resumindo temos que se o aluno tem critério um 1 foi Muito Ruim critério dois 2 foi Ruim critério três 3 foi Regular critério quatro 4 foi Bom e critério cinco 5 foi Ótimo Indicadores da dimensão Nível da ação compreender o problema Y1 O aluno extrai os dados do problema O aluno determina as condições do problema O aluno define os objetivos do problema Indicador essencial O aluno define os objetivos do problema 28 Indicadores da dimensão Nível da ação construir o modelo matemático Y2 Determinar variável a ser utilizada na equação Atribuir o significado que a variável deve representar na equação Realizar as análises das unidades de medidas do modelo matemático Elaborar o modelo matemático a partir das informações e condições extraídas do problema Indicador essencial O aluno define e constrói o modelo matemático a partir das variáveis e incógnitas e condições Indicadores da dimensão Nível da ação solucionar o modelo matemático Y3 Observar os membros separados pela igualdade da equação Separar um membro somente com as variáveis da equação e o outro com as nãovariáveis Somar os termos semelhantes Isolar a variável pedida encontrar a solução do modelo matemático Indicador essencial O aluno utilizar a melhor caminho de passo a passo que contenha recurso necessário para solucionar o modelo matemático Indicadores da dimensão Nível da ação interpretar a solução Y4 Interpretar o resultado Extrair os resultados significativos que tenham relação com os objetivos do problema Dar resposta aos objetivos do problema Realizar um relatório baseado nos objetivos do problema Analisar a partir de novos dados e condições que tenham relação direta ou não com os objetivo do problema a possibilidade de reformular o problema construir novamente o modelo matemático solucionar o modelo matemático e interpretar a solução Indicador essencial O aluno dá resposta aos objetivos do problema 22 Amostra fases e instrumentos de coletas de dados da pesquisa A amostra utilizada foi formada pela turma 8ºF da disciplina de matemática da Escola Estadual Monteiro Lobato A pesquisa foi dividida em duas fases na fase I está relacionada como nível de partida dos alunos na ASP nos conteúdos matemáticos na fase II correspondeu com as etapas de orientação das ações Na fase I para determinar nível de partida dos alunos foi aplicado uma prova de lápis e papel com conteúdo que já estudaram no ensino fundamental As ideias dos 29 problemas tiveram uma relação com a vida cotidiana dos mesmos Depois de conhecer o nível de partida dos estudantes na fase II foi preparado e orientado o sistema de ações para a resolução dos problemas matemáticos que teve como modelo matemático o conteúdo de equações do 1º grau Utilizei a BOA do tipo geral completa e independente por ter características essenciais para a aprendizagem dos alunos onde se exigiu dos alunos a resolução de exercícios de equações do 1 grau Conjuntos Naturais Inteiros e Racionais Os problemas passaram a ser situações problema No primeiro bimestre a amostra estava formada por 27 alunos Depois de conhecer o nível que apresentam os estudantes foi preparado e orientado o sistema de ações para a resolução dos problemas matemáticos que tenham como modelo matemático equações do 1 grau A pesquisa teve o intuito de analisar a formação das ações mentais na aprendizagem da ASP nos conteúdos A inicialização da pesquisa começa através de observações em sala de aula verificando se que o método utilizado se qualifica de maneira tradicional para o ensino dos conteúdos Considerando que o conteúdo de equações do 1 grau pode ser aplicado num contexto de atividades situações problemas aos estudantes O sistema de quatro ações da ASP são as categorias de análises da pesquisa Foi apresentado o problema aos estudantes para que trabalhe em sua solução utilizando a Atividade de Situações Problema Na primeira ação compreender o problema o estudante deve primeiramente ler e extrair os elementos desconhecidos para ele empreendendo uma análise minuciosa até que sejam compreendidos com todos os detalhes Posteriormente deve determinar os dados as condições e os objetivos do problema A segunda ação construir a equação do 1 grau o estudante deve realizar as seguintes operações determinar e nominar as variáveis ou incógnitas construir a equação considerando em ambos os casos as análises das unidades de medidas das variáveis e equações O próximo passo é a execução da terceira ação solucionar a equação do 1 grau O estudante deve selecionar o método que melhor lhe agrada para a solução do mesmo Na quarta ação interpretar a solução além de interpretar as soluções se dá as respostas aos objetivos do problema aí se pode induzir novas problemáticas não previstas Os problemas citados abaixo são da prova diagnostica aplicado aos alunos da turma 8ºF começando pelo Problema 1 30 Resolva as seguintes equações a 5x 45 75 b 7x 23 255x c 11 t 45 4t O principal objetivo do problema um está com foco na terceira ação da ASP solucionar o modelo matemático temos que as letras a e b possui a mesma variável que muito conhecida por todos que é a variável x mas na letra c mesmo tendo como variável t a resolução segue semelhante das letras a e b Problema 2 Numa sala existem 4 meninos a mais do que meninas Se o número total de alunos é igual a 32 Determine o número de meninos O objetivo do problema dois tem como a primeira ação de compreender o problema e saber identificar com qual variável será usada para representar o valor desconhecido e depois serão utilizados para construção do modelo matemático que está na segunda ação da ASP que serão encontradas as quantidades de meninos e meninas Depois indo para terceira ação que é de solucionar o modelo encontrado na segunda para mostrar os resultados obtidos dela e para finalizar com a última ação de interpretar o problema prestar atenção no que está sendo pedido no contexto do problema Problema 3 O quíntuplo de um número mais 15 é igual ao dobro desse número adicionado de 45 Qual é esse número O objetivo do problema três tem como a primeira ação de compreender o problema e saber identificar com qual variável será usada para representar o valor desconhecido que será utilizado para construção do modelo matemático que está na segunda ação da ASP Depois indo para terceira ação que é de solucionar o modelo encontrado na segunda para mostrar os resultados obtidos dela e para finalizar com a última ação de interpretar o problema prestar atenção no que está sendo pedido no contexto do problema Problema 4 No centro da cidade existe um estacionamento para carros e motos Sabendo que o número total de rodas é 180 e que o número de carros é igual a 30 Determine o número 31 de motos O objetivo do problema quatro tem como a primeira ação de compreender o problema e saber identificar com qual variável será usada para representar o valor desconhecido e depois serão utilizados para construção do modelo matemático que está na segunda ação da ASP que será encontrada a quantidade de motos já que a de carros já foi fornecida Depois indo para terceira ação que é de solucionar o modelo encontrado na segunda para mostrar os resultados obtidos dela e para finalizar com a última ação de interpretar o problema prestar atenção no que está sendo pedido no contexto do problema 32 CAPITULO III RESULTADOS E ANÁLISES Neste capítulo será abordado o processo de correção da prova diagnóstica assim como a construção de um plano de ensino básico para se começar a trabalhar com resolução de problemas na educação de ensino fundamental Tendo em vista que a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem mas uma orientação para a aprendizagem pois proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos procedimentos e atitudes matemáticas 31 Diagnostico no nível de partida dos estudantes Com base nos procedimentos de correções da prova diagnostica destaco os desempenhos dos alunos que não trabalharam com este tipo de abordagem por parte dos professores sendo que estes mesmos estavam acostumados com problemas básicos que são apresentados nos livros adotados pela escola conforme segue as respectivas considerações Por se tratar de uma coisa que viram no ano passado tentei aplicar coisa simples para resolução das equações a maioria tentou fazer as três equações da questão 1 sendo que nas duas primeiras foram feitas por completa por uma grande parte deles os que receberam nota 1 um é que não chegaram a tentar fazer nada nota 2 dois rabiscaram alguns detalhes não resolveram não concluir o que foi pedido e a resposta estava errado nota 3 três só colocaram a resposta correta nota 4 quatro resposta estavam correta mas esqueceram os sinais ou não concluirão a divisão deixada e nota 5 cinco toda a estrutura para resolução está correta junto a resposta No primeiro problema temos Resolva as seguintes equações a 5x 45 75 b 7x 23 255x c 11 t 45 4t semelhante na resolução com variável de x só que no lugar que era para ser x temos a variável t Tabela nº 2 Resultado DO PROBLEMA 1 ESCOLA ESTADUAL MONTEIRO LOBATO Alunos PARÂMETROS Y3 Média A B C A01 2 2 2 200 A02 2 2 1 167 A03 2 2 2 200 A04 5 5 5 500 A05 2 1 2 167 33 A06 5 5 5 500 A07 5 5 4 467 A08 5 5 5 500 A09 5 5 4 467 A10 3 2 2 233 A11 1 1 1 100 A12 2 2 2 200 A13 3 2 2 233 A14 5 5 4 467 A15 5 4 4 433 A16 1 1 1 100 A17 2 1 2 167 A18 1 1 1 100 A19 4 4 4 400 A20 1 1 1 100 A21 1 2 1 133 A22 2 2 1 167 A23 1 1 1 100 A24 4 4 3 367 A25 1 1 1 100 A26 2 2 1 167 A27 1 2 1 133 Figura 6 Resultado do problema 1 em porcentagem Fonte confeccionado pelo autor 2017 O não participa do intervalo Verificouse que grande parte dos estudantes não possuíam os requisitos para alcançar o objetivo do problema e além disso para esta simples solução os que não conseguiram completar as questões por falta de não saber a divisão ao qual ficava x305 x4812 ou t4515 sendo que todos os resultados do problema 1 têm como respostas valores nos inteiros E com isso não determinava solução da equação por completo 48 19 3 30 Porcentagem do Problema 1 1 a 2 2 a 3 3 a 4 4 a 5 34 Aos alunos que ficaram com média de 4 a 5 tiveram um ótimo desempenho pois três fizeram certo tendo a nota máxima mas os que ficaram abaixo não conseguiram fazer uma divisão com número negativo e acabaram ficando sem ação para respondêla E ao aluno A24 que ficou sozinho com média de 3 a 4 não chegou a dividir os dois primeiros e na terceira não completou o desenvolvimento da questão Os demais que ficaram de 1 a 3 tentaram fazer a prova ou só colocaram a resposta correta sem o desenvolvimento dos cálculos pois não chegaram a resolver com a resposta certa todos me disseram que sabia que a variável poderia ser substituída por qualquer letra mas para resolver corretamente passo a passo não conseguia Em uma entrevista oral com os alunos A4 A6 A7 A8 A9 A14 A15 A19 e A24 conversei com eles sobre o que acharam da prova e como foi que resolveram o problema 1 uma grande maioria disse que exercitavam muito no ano passado por isso que não ia erra o máximo seria a divisão no final Exceto o aluno A04 que além de resolver corretamente na entrevista falou que tinha aplicado a prova real em todas as questões e se o resultado não batia ele refazia a questão toda para ver aonde tinha errado Isso comprovar que saiba todos os detalhes e o que estava fazendo Logo somente 8 dos 27 conseguiu executar a terceira ação da ASP No segundo problema os alunos de modo geral não conseguiram extrair os dados do problema muitos dos quais alcançaram o objetivo foi atribuindo valores para meninas e os meninos alguns dos alunos não foram capazes de construir o modelo matemático pois não relacionaram as variáveis para as meninas e os meninos Tabela nº 3 Resultado DO PROBLEMA 2 ESCOLA ESTADUAL MONTEIRO LOBATO Alunos PARÂMETROS Média Y1 Y2 Y3 Y4 A01 1 1 1 1 100 A02 1 1 1 1 100 A03 1 1 1 1 100 A04 5 5 5 5 500 A05 1 1 1 1 100 A06 2 2 2 2 200 A07 1 1 1 1 100 A08 1 1 1 1 100 A09 2 2 2 2 200 A10 1 1 1 1 100 A11 1 1 1 1 100 A12 2 2 2 2 200 A13 1 1 1 1 100 A14 1 1 1 1 100 A15 1 1 1 1 100 A16 1 1 1 1 100 35 A17 1 1 1 1 100 A18 1 1 1 1 100 A19 1 1 1 1 100 A20 1 1 1 1 100 A21 1 1 1 1 100 A22 2 2 2 2 200 A23 3 3 3 3 300 A24 1 1 1 1 100 A25 1 1 1 1 100 A26 1 1 1 1 100 A27 1 1 1 1 100 Fonte confeccionado pelo autor 2017 Figura 7 Resultado do problema 2 em porcentagem Fonte confeccionado pelo autor 2017 O não participa do intervalo Diferente do problema 1 somente dois alunos tiraram boas notas o aluno A04 que ficou com 5 além de resolver fez a prova real para saber que o valor encontrado estaria correto o aluno A23 que ficou com media 3 porque os dados que extraiu estava bagunçados na hora de formular o modelo fez pelo método da tentativa acerto e encontrou a valor mas não soube justificar no final Na questão 2 pode se notar que 2 alunos foram capazes de compreender o problema e assim extrair as informações da questão sendo que apenas um foi capaz de construir o modelo matemático onde boa parte não chegaram a uma solução viável tendo dificuldades em solucionar e resolver a questão neste aspecto apenas 2 alunos foram capazes de conseguir completar todas as etapas dos critérios de avaliação Uma grande maioria não foi capaz de começar o problema acima E já no problema 3 temos o seguinte enunciado O quíntuplo de um número mais 15 é igual ao dobro desse número adicionado de 45 Qual é esse número 78 16 3 3 Porcentagem do Problema 2 1 a 2 2 a 3 3 a 4 4 a 5 36 Tabela nº 4 Resultado DO PROBLEMA 3 ESCOLA ESTADUAL MONTEIRO LOBATO Alunos PARÂMETROS Média Y1 Y2 Y3 Y4 A01 1 2 2 2 175 A02 1 1 2 1 125 A03 1 1 1 1 100 A04 5 5 5 5 500 A05 2 1 1 1 125 A06 5 4 5 4 450 A07 5 5 4 3 425 A08 2 2 2 1 175 A09 5 5 5 3 450 A10 2 2 2 2 200 A11 3 2 1 1 175 A12 2 1 1 1 125 A13 4 5 4 1 350 A14 3 2 2 2 225 A15 2 2 2 2 200 A16 1 1 1 1 100 A17 2 1 1 1 125 A18 1 1 1 1 100 A19 1 1 1 1 100 A20 1 1 1 1 100 A21 1 1 2 1 125 A22 2 2 2 2 200 A23 1 1 1 1 100 A24 4 4 2 2 300 A25 1 1 1 1 100 A26 2 1 1 1 125 A27 2 2 2 2 200 Fonte confeccionado pelo autor 2017 Figura 8 Resultado do problema 3 em porcentagem 56 23 6 15 Porcentagem do Problema 3 1 a 2 2 a 3 3 a 4 4 a 5 37 Fonte confeccionado pelo autor 2017 O não participa do intervalo Desta vez na extração dos dados do modelo comparado ao problema 2 eles se esforçaram um pouco a mais para fazer este problema Notei que a maioria teve o mesmo erro na hora da construção do modelo sendo que depois da igualdade ficaria 2 vezes a variável escolhida mais 45 e colocava 245 o que não encontrava a solução deste problema foram os que tiveram a média de 1 a 3 Os que atingiram uma média maior que 3 não chegou a concluir tudo pois não sabia a divisão ou tinha errado algum passo na resolução Neste problema pode se notar que 6 alunos foram capazes de compreender o problema e assim extrair as informações da questão sendo que eles também foram capazes de construir o modelo matemático onde boa parte não chegou a uma solução viável tendo dificuldades em solucionar e resolver a questão neste aspecto apenas 5 alunos foram capazes de conseguir completar todas as etapas dos critérios de avaliação E na última questão tinha como problema saber a quantidade de motos num estacionamento várias informações foram dadas como a quantidade de carros e número de rodas dos dois veículos e tendo como resultado os seguintes valores Tabela nº 5 Resultado DO PROBLEMA 4 ESCOLA ESTADUAL MONTEIRO LOBATO Alunos PARÂMETROS Média Y1 Y2 Y3 Y4 A01 1 1 1 1 100 A02 1 1 1 1 100 A03 1 1 1 1 100 A04 5 5 5 4 475 A05 2 2 2 2 200 A06 3 3 4 4 350 A07 2 2 2 2 200 A08 3 3 3 3 300 A09 4 4 5 4 425 A10 2 2 2 2 200 A11 1 1 3 3 200 A12 3 2 2 1 200 A13 2 2 2 2 200 A14 4 4 4 4 400 A15 4 4 4 4 400 A16 1 1 1 1 100 A17 1 1 1 1 100 A18 1 1 1 1 100 A19 1 1 1 1 100 A20 1 1 1 1 100 A21 1 1 1 1 100 A22 3 2 2 1 200 A23 1 1 1 1 100 A24 2 2 1 1 150 A25 1 1 1 1 100 38 A26 3 2 2 1 200 A27 1 2 3 2 200 Fonte confeccionado pelo autor 2017 Figura 9 Resultado do problema 4 em porcentagem Fonte confeccionado pelo autor 2017 O não participa do intervalo Na questão 4 pode se notar que 4 alunos foram capazes de compreender o problema e assim extrair as informações da questão sendo que os mesmos foram capazes de construir o modelo matemático onde boa parte não chegou a uma solução viável tendo dificuldades em solucionar e resolver a questão neste aspecto apenas 5 alunos foram capazes de conseguir completar todas as etapas dos critérios de avaliação Grande erro da maioria foi por causa da confusão das rodas com as dos veículos pois quando encontrava multiplicavam por 2 no final e com isso não conseguia executar a quarta ação da ASP A maioria que não conseguiram fazer disseram que não tinha entendido os problemas proposto das questões de 2 a 4 Vale destacar que o aluno A04 que conseguiu atingir uma pontuação satisfatória em todos os indicadores Com base na ASP em equações de 1º grau no que concerne a primeira ação em todas as questões os estudantes em geral atingiram o objetivo do problema conseguindo extrair os dados do mesmo Muitos apresentaram uma grande dificuldade ao terem que justificar o significado de cada resposta da questão Na segunda ação os estudantes não conseguiram construir o modelo matemático pois estão acostumados a receber o modelo de matemático construído A mesma 44 35 6 15 Porcentagem do Problema 4 1 a 2 2 a 3 3 a 4 4 a 5 39 conclusão se chega quando os mesmos têm de construir o modelo para assim poderem solucionálo por não estarem habituados a este tipo de problema Segundo a perspectiva da ASP em Equações de 1º grau pode se notar que na primeira ação uma pequena quantidade de alunos sabe como determinar o objetivo do problema e identificar os dados desconhecidos mas não foram capazes de analisar suas condições Na segunda ação pode se verificar que os alunos não sabem representar os dados desconhecidos por variáveis considerando suas unidades de medidas consequentemente não conseguem construir as equações Quanto à terceira ação notou se que uma grande quantidade de alunos recebe as equações em sua forma final ele é capaz de solucionálo corretamente apresentando um desempenho satisfatório Em relação à última ação se constatou que os alunos não sabem justificar bem como entender os resultados desta forma podemos inferir que o sistema de ações da atividade de situações problema encontrase nas etapas de compreensão e realização do sistema de ações Levando em consideração os resultados foi construído um plano de ensino para que se pudesse trabalhar com os alunos utilizando a resolução de problema como metodologia de ensino devo destacar que o aluno até o momento se quer haviam trabalhado com esta metodologia 32 Contribuição da base orientadora da ação O uso da Base Orientadora da Ação BOA ilustrase com seis aulas experimentais Cujo seu objetivo foi explicar os resultados com o uso da BOA na formação de conceitos de Equações de 1º grau Quando o estudo se organiza numa lógica dedutiva na BOA é a correta os alunos aprendem rápido e se desenvolve intelectualmente pois o que foi trabalhado na sua zona de desenvolvimento proximal terá um grande avanço para conseguir alcançar os seus objetivos Verificouse que é possível criar formas de organização do processo de ensinoaprendizagem tendentes a fazer avançar a qualidade da aprendizagem e do desenvolvimento cognitivo dos alunos por meio da ASP que devem passar por etapas qualitativas PLANO DE ENSINO Disciplina Matemática Ano 2017 Nº de Aulas período 6 Justificativa Utilizando a resolução de problemas como metodologia de ensino possibilitar aos alunos o contato mais próximo com a matemática envolvendo problemas do cotidiano Objetivo Geral 40 Os alunos devem ser capazes de Identificar e classificar equações do 1º grau Resolver problemas matemáticos que tenham como modelo matemáticos equações do 1º grau N Aula Objetivos Específicos Os alunos devem ser capazes Conteúdos Etapa Mental N da BOA Desenvolvimento Metodológico 1 Resolver problemas que envolvam números naturais Identificar as regras que formar o conjunto Como o conjunto é representado Números Naturais Etapa de formação da BOA A 3 Geral completa e dependente Orientar através do sistema de ações e atividade da resolução de problema a aplicação do conteúdo referente a base para a formação do conteúdo de equação de 1º grau e a teoria geral da direção do processo de ensino Com problemas para aumentar os níveis de conhecimento dos alunos 2 Resolver problemas que envolvam números inteiros Identificar as regras que formar o conjunto Como o conjunto é representado Números Inteiros Etapa de formação da BOA A 3 Geral completa e dependente 3 Resolver problemas que envolvam números racionais Identificar as regras que formar o conjunto Como o conjunto é representado Números Racionais Etapa de formação da BOA A 3 Geral completa e dependente 4 Números decimais e dizimas periódicas 5 Identificar as variáveis de qualquer equação do 1º grau Resolver problemas que envolvam equação do 1º grau Equação de 1º grau Formação da ação em forma material ou materializada A 3 Geral completa e independente Serão aulas de exercícios com o objetivo de fazer com que os alunos aprendam a solucionar as equações de 1º grau para encontrar a variável pedida Escreverei os exercícios no quadro e explicarei mas não vou responder apenas explicarei como se faz e vou pedir para que eles o façam na lousa para mostrar como encontrála 6 A 3 Geral completa e independente Avaliação Métodos de Ensino A resolução da metodologia de ensino através de aulas expositivas e práticas Critérios de avaliação Será utilizada a avaliação diagnostica formativa ou final as técnicas de avaliação ao serem utilizadas são Informais semiformais e formais Observação das atividades realizadas pelos alunos Exploração por meio de perguntas formuladas pelo professor durante a aula Prova de lápis e papel 41 Fonte confeccionado pelo autor 2017 Este plano de ensino é apenas um esboço básico para se começar a trabalhar com a atividade de situações problemas com os estudantes do ensino fundamental foi escolhida a base orientadora da ação de número três pelo fato de se trabalhar com exercícios de casos gerais para que assim os alunos possam ampliar seu processo de assimilação para solucionar uma infinidade de casos específicos de questões Por ser uma base completa o professor pode assim trabalhar de forma mais efetiva os conteúdos com os alunos visto que os mesmos estarão aptos para solucionar diversos exercícios tendo em vista que se trabalhou com eles a resolução de casos gerais ou seja o professor passa a construir os modelos e métodos de resolução em conjunto com os alunos Com o passar de todos os processos os alunos se tornarão mais independentes na resolução de exercícios assim o professor passara a ter um papel de regulador das ações corrigindo e esclarecendo as dúvidas dos alunos caso necessário Assim destaco a necessidade de um planejamento em conjunto com os demais professores das outras disciplinas para que se possa estimular ainda mais a capacidade de aprendizagem dos alunos conforme segue minhas considerações e recomendações finais 42 CONCLUSÕES A ideia inicial no processo de ensino dos conteúdos matemáticos deve ser as situações problema como uma justificativa para a assimilação dos conteúdos na zona de desenvolvimento proximal Sendo assim a aprendizagem deve ser uma classe didática criando uma relação entre os conteúdos e resolução de problema e também uma classe psicológica para entender o processo de assimilação do mesmo O resultado do sistema de ações da ASP no nível de partida não foi como esperado só que foram bem na ação de solucionar o modelo matemático pois os alunos se comportaram diante de problemas matemáticos contextualizados visto que os mesmos não possuíam o costume de estudar matemática por meio desta metodologia de ensino já que o ensino predominante na escola é apresentado na forma tradicionalista Identificouse também que os estudantes ainda não conseguiam abreviar o processo de resolução dos problemas não possibilitando ao aluno desenvolver posicionamento crítico e independente diante das situações problemas apresentados no instrumento exigindo deles uma resolução detalhada passo a passo E com isso os alunos não conseguem explicar as respostas o que sugere que os mesmos se encontram entre a etapa de materialização da ação o que implica que as operações exigidas para a resolução dos problemas de 2 a 4 presentes na prova diagnóstica Tais informações obtidas através da aplicação da prova diagnóstica foram remetidas na construção do plano de ensino a fim de corrigir as falhas diagnosticadas nessa turma Que depois das aulas tiveram uma grande melhora em resolver os problemas com enunciados Contudo o processo de ensino aprendizagem também pode ser organizado a partir da teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin utilizando como base os princípios metodológicos de direção da atividade de estudo A Atividade de Situações Problema em Matemática é uma ferramenta com um vasto campo que pode ser utilizado para criar habilidades nos estudantes na resolução de problemas matemáticos e pode ser usado pelo professor como metodologia de ensino na formação dos conceitos e métodos matemáticos As orientações da base do sistema de quatro ações para resolver modelos matemáticos que conduzem a equações de 1º grau necessitam ser gerais que permitam resolver a maior variedade de problemas matemáticos Também devem ser repassadas 43 todas as informações sobre as ações para que os estudantes passassem a obtêla de forma independentemente Manter o controle das ações por parte do professor nas três primeiras etapas de formação das ações mentais deve ser organizado controlando todas as ações com suas eventuais operações Na terceira etapa a verbal o controle deve ser repassado com os estudantes para ao final ficarem independentes nas resoluções dos problemas 44 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANDRINI A VASCONCELLOS M J Praticando Matemática 8 4º edição São Paulo Editora do Brasil 2015 GALPERIN P Y TALÍZINA N F La formación de conceptos geométricos elementales y su dependencia sobre la participación dirigida de los alumnos In Psicología Soviética Contemporánea Selección de artículos científicos La Habana Ciencia y Técnica 1967 p 272301 LENIN V L Materialismo y Empiriocriticismo 2ª ed Moscú Ediciones en Lenguas extranjeras 1975 LEONTIEV Alexis O desenvolvimento do psiquismo 2 ed São Paulo Centauro 2004 MENDOZA Héctor J García Estudio del efecto del sistema de acciones en el proceso de aprendizaje de los alumnos en la actividad de situaciones problemas em Matemática en la asignatura de Álgebra Lineal en el contexto de la Facultad Actual de la Amazonia Teses doutorado em psicopedagogia Faculdade de Humanidade e Ciência na Educação Universidade de Jaén 2009 MENDOZA H J G TINTORER Oscar A atividade de Situações Problema em Matemática In LONGAREZI Andréa Maturano PUENTES Roberto Valdés Aprendizagem desenvolvimento Implicações para e do ensino EDUFU 2017 MOREIRA M A Teorias de Aprendizagem São Paulo EDU 2ª ed 2011 PILAR Rico Montero La Zona de Desarrollo Próximo Habana Pueblo y Revolución 2003 RUBINSTEIN J L Principios de Psicologia General Habana Revolucionaria 1970 SMIRNOV A A LEÓNTIEV A N Psicología Habana Imprenta Nacional de Cuba 1961 TALÍZINA N Conferencias sobre Los Fundamentos de la Enseñanza en la Educación Superior Universidad de la Habana 1984 TALÍZINA N Psicología de la Enseñanza Moscú Progreso 1988 VYGOTSKY L S A construção do Pensamento e da Linguagem São Paulo Martins Fonte 2001 Formulação e resolução de problema Teoria e Pratica São Paulo Atica 2010 ORTIZ Ana M MARTÍNEZ Juan M TINTORER Oscar La teoría de la actividad de formación por etapas de las acciones mentales en la resolución de problemas Revista Inter Sciencie Place Rio de Janeiro Ano 2 N º 09 SetembroOutubro 2009 45 Psicología de la Enseñanza Moscú Progreso 1988 TINTORER Oscar Formação por etapas das ações mentais na Atividade de Situações Problema em Matemática X Encontro Nacional de Educação Matemática Salvador 2010 UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA NAYARA VITÓRIA SOUSA COSTA O PENSAMENTO ALGÉBRICO POR MEIO DA ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA DISCENTE NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES PARA ESTUDANTES DO 7º ANO DE ENSINO FUNDAMENTAL BOA VISTARR 2022 NAYARA VITÓRIA SOUSA COSTA O PENSAMENTO ALGÉBRICO POR MEIO DA ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA DISCENTE NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES PARA ESTUDANTES DO 7º ANO DE ENSINO FUNDAMENTAL Trabalho de Conclusão do Curso apresentado como pré requisito para conclusão do curso de Licenciatura em Matemática do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Roraima sob a orientação do Prof Dr Héctor José García Mendoza BOA VISTARR 2022 FICHA CATALOGRÁFICA Dados Internacionais de Catalogação na publicação CIP Biblioteca Central da Universidade Federal de Roraima C837p Costa Nayara Vitória Sousa O pensamento algébrico por meio da atividade de situações problema discente na resolução de equações para estudantes do 7º ano do ensino fundamental Nayara Vitória Sousa Costa Boa Vista 2022 48 f il Inclui Apêndices Orientador Prof Dr Héctor José García Mendoza Trabalho de Conclusão de Curso graduação Universidade Federal de Roraima Curso de Matemática 1 Resolução de problema 2 Atividade de situações problema discente 3 Pensamento algébrico 4 Resolução de equações I Título II Mendoza Héctor José García orientador CDU 51412 Ficha Catalográfica elaborada pela BibliotecáriaDocumentalista Maria de Fátima Andrade Costa CRB11453AM NAYARA VITÓRIA SOUSA COSTA O PENSAMENTO ALGÉBRICO POR MEIO DA ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA DISCENTE NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES PARA ESTUDANTES DO 7º ANO DE ENSINO FUNDAMENTAL Trabalho de Conclusão do Curso apresentado como pré requisito para conclusão do curso de Licenciatura em Matemática do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Roraima sob a orientação do Prof Dr Héctor José García Mendoza Prof Dr Héctor José García Mendoza Orientador Departamento de Matemática UFRR Prof Dr Marcelo Batista de Souza Departamento de Matemática UFRR Profª Ma Soraya de Araújo Feitosa Membro Externo CAPUFRR APROVAÇÃO Nº 22022 DMAT 110513 Nº do Protocolo NÃO PROTOCOLADO Assinado digitalmente em 30032022 1109 HECTOR JOSE GARCIA MENDOZA PROFESSOR DO MAGISTERIO SUPERIOR DMAT 110513 Matrícula 1284321 Assinado digitalmente em 30032022 1110 MARCELO BATISTA DE SOUZA PROFESSOR DO MAGISTERIO SUPERIOR DMAT 110513 Matrícula 1330997 Assinado digitalmente em 30032022 1647 SORAYA DE ARAUJO FEITOSA PROFESSOR DE ENSINO BASICO TECNICO E TECNOLOGICO DCAp 118817 Matrícula 3064728 Para verificar a autenticidade deste documento entre em httpsipacufrrbrdocumentos informando seu número 2 ano 2022 tipo APROVAÇÃO data de emissão 30032022 e o código de verificação bbd22444ae MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA SISTEMA INTEGRADO DE PATRIMÔNIO ADMINISTRAÇÃO E CONTRATOS FOLHA DE ASSINATURAS Emitido em 30032022 DEDICATÓRIA Deus criou a matemática para servir a humanidade como um manual de descrição do mundo AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus que sempre esteve cuidando de mim e me fazendo mais que vencedora em toda essa minha jornada na UFRR com perseverança e dedicação Ao meu esposo companheiro de lutas e amor da minha vida Joaquim Diego por sempre acreditar nos meus sonhos me ajudando apoiando e investindo tempo dinheiro e conselhos para que a desistência não fosse uma opção Aos meus pais Gizeuda e Gilvan por sempre priorizarem meus estudos ao longo de toda a minha vida e me ensinar a dar valor a cada conquista À minha irmã Isis por diversas vezes me encorajar e consolar mostrandome que sou capaz de conquistar todas as coisas que almejo À minha vozinha Ozana por desde criança me incentivar aos estudos e me fazer entender que o conhecimento é a única coisa que ninguém jamais poderá tirar de mim A Universidade Federal de Roraima por ofertar auxílios e bolsas para me manter até o término do curso Ao meu orientador professor Dr Héctor José García Mendoza por toda dedicação a minha pesquisa e ensinamentos ao longo da minha formação Ao Departamento de Matemática e todos os professores que o compõe agradeço por todos os ensinamentos ministrados ao longo do Curso Em especial a professora Drª Edileusa Valente do Socorro Belo por todo o seu comprometimento no meu processo de ensino e aprendizagem e formação docente As minhas amigas que a UFRR me proporcionou conhecer Claudenice Crislene Joana Rosailda e Vânia que sempre me ajudaram e consolaram nessa caminhada difícil e árdua da Graduação Por fim a todos que compraram os lanches trufas e bolos que eu vendia na UFRR para conseguir me manter ativa no curso Em virtude disso declaro os meus sinceros e singelos agradecimentos a todos que de alguma forma direta ou indireta fizeram parte dessa conquista enriquecedora e desafiadora que foi a Graduação RESUMO A resolução de problema como metodologia de ensino coloca o estudante no centro do processo de aprendizagem O objetivo é analisar contribuições do Esquema da Base Orientadora Completa da Ação EBOCA da Atividade de Situações Problema Discente ASPD para resolução de equações utilizando o pensamento algébrico para estudantes do 7º Ano do Ensino Fundamental O trabalho está fundamentado na Teoria Histórico Cultural por meio da Atividade na perspectiva de Leontiev Galperin Talízina e ensino problematizador de Majmutov A ASPD tem por objetivo resolver tarefas com enfoque problematizador e por meio das ações formular o problema discente construir núcleo conceitual e procedimental solucionar o problema discente e interpretar a solução O Esquema da Base Orientadora Completa da Ação é atividade idealizada pelo professor que servirá para o controle da Base Orientadora da Ação BOA dos estudantes A partir dos princípios do pensamento algébricos definido por Walle e da ASPD é utilizado para a resolução de equações Palavras Chaves Resolução de Problema Atividade de Situações Problema Discente Pensamento Algébrico Resolução de Equações ABSTRACT Problem solving as a teaching methodology places the student at the center of the learning process The objective is to analyze contributions of the Scheme of the Complete Orienting Base of Action SCOBA of the Student Problem Situations Activity SPSA for solving equations using algebraic thinking for students 7th Year Elementary School The work is based on the Cultural History theory through the Activity in the perspective of Leontiev Galperin Talízina and the problematizing teaching of Majmutov The Student Problem Situations Activity aims to solve tasks with a problematized approach through the actions to formulate the student problem build a conceptual and procedural core solve the student problem and interpret the solution The Scheme of the Complete Orienting Base of Action is an activity designed by the teacher that will serve to control the Orienting Basis of the Action OBA in students Based on the algebraic thinking principles defined by Walle and the Student Problem Situations Activity it is used to solve equations Keywords Problem Resolution Student Problem Situations Activity Algebraic Thinking Solving Equations LISTA DE QUADROS Quadro 1 Modelo da Ação e de Controle da Atividade de Situações Problema Discente20 Quadro 2 Competências Específicas de Matemática para o Ensino Fundamental22 Quadro 3 Habilidades da BNCC no Conteúdo de Álgebra23 Quadro 4 Tarefas de Sentenças verdadeiras ou falsas sem contexto36 Quadro 5 Tarefa com enfoque problematizador de sentença aberta com contexto37 Quadro 6 Tarefa com enfoque problematizador em equação do 1º grau39 Quadro 7 Tarefas com conjecturas de adição e subtração41 Quadro 8 Tarefas com conjecturas de multiplicação e divisão43 LISTA DE ABREVIAÇÕES E SIGLAS ASPD Atividade de Situação Problema Discente BOA Base Orientadora da Ação BNCC Base Nacional Comum Curricular EBOCA Esquema da Base Orientadora Completa da Ação ZDP Zona de Desenvolvimento Proximal SUMÁRIO INTRODUÇÃO 13 CAPITULO I TEORIA HISTÓRICOCULTURAL NA PERCEPTIVA DE GALPERIN TALÍZINA E MAJMUTOV 15 11 TEORIA DA ATIVIDADE DE ESTUDO 15 12 A ATIVIDADE DE ESTUDO FUNDAMENTADA EM GALPERIN E TALÍZINA 16 13 O ENSINO PROBLEMATIZADOR POR MEIO DA ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA DISCENTE 18 CAPÍTULO II DIDÁTICA DO ENSINO PROBLEMATIZADOR 22 21 A FORMAÇÃO DE COMPETÊNCIAS E HABILIDADES NA BASE NACIONAL COMUM CURRICULAR BNCC 22 22 A CONSTRUÇÃO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO NO ENSINO FUNDAMENTAL 24 23 PENSAMENTO ALGÉBRICO GENERALIZAÇÕES 26 CAPITULO III PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS 32 CAPITULO IV PROPOSTA DIDÁTICA 34 41 PRINCÍPIOS DIDÁTICOS 34 42 SISTEMA DE TAREFAS 35 43 SUGESTÕES PARA A ORGANIZAÇÃO DO PROCESSO DE ENSINO APRENDIZAGEM 45 CONSIDERAÇÕES FINAIS 47 REFERÊNCIAS 48 13 INTRODUÇÃO O ensino da Álgebra na Educação Básica exige o conhecimento de todas as temáticas do ramo da Matemática que a Base Nacional Comum Curricular BNCC subdivide em seu documento formativo Números e Operações Grandezas e Medidas Estatística e Probabilidade pois a Álgebra em sua aplicabilidade demanda um ensino entrelaçado com todos os eixos citados anteriormente A BNCC enfatiza com relevância a construção do pensamento algébrico ao longo de cada etapa do Ensino Básico porque isso dará aos discentes inúmeras possibilidades de desenvolver o letramento matemático sendo capazes de raciocinar representar comunicar e argumentar matematicamente de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de contextos utilizando conceitos procedimentos fatos e ferramentas matemáticas A pesquisa terá o enfoque num ensino problematizador respaldado por Majmutov 1983 que estimule a construção desse raciocínio algébrico nos Anos Finais do Ensino Fundamental o qual se fundamentará na teoria de formação por etapas mentais e conceito de Galperin 1992 e na direção de atividade de estudo de Talízina 1988 Assim desenvolveremos o Esquema da Base Orientadora Completa da Ação EBOCA da Atividade de Situações Problema Discente ASPD de Mendoza e Delgado 2020 2021 na construção desse pensamento e verificaremos se contribui para a formação de competências e habilidades na resolução de problemas exigidas pela BNCC O problema da pesquisa é Quais são as contribuições Esquema da Base Orientadora Completa da Ação EBOCA da Atividade de Situações Problema Discente ASPD para a resolução de equações utilizando o pensamento algébrico em estudantes 7º Ano do Ensino Fundamental A tendência do ensino tradicional como proposta didática mais usada nas salas de aulas brasileiras traz inúmeros questionamentos acerca da qualidade do ensino básico pois ao educador apoiarse em conteúdos e metodologias de ensinos rudimentares a formação dos estudantes fica com uma defasagem de habilidades necessárias e específicas para aplicações dos conceitos algébricos tanto na ciência quanto no seu cotidiano Por isso a pesquisa nos traz uma perspectiva de HistóricoCultural para promover uma aprendizagem partindo de uma psicologia cognitiva na inserção de procedimentos na resolução de problemas Em virtude disso a construção de sequências didáticas seguindo a ASPD como modelo servirá como um suporte para analisarmos a construção gradativa que o pensamento algébrico 14 impõe em cada ano do Ensino Fundamental II facilitando assim a arguição do nível de aprendizagem dos estudantes a luz da teoria de Vygotsky da Linguagem e Zona de Desenvolvimento Proximal Assim temos como objetivo geral analisar as contribuições do EBOCA da ASPD para resolução de equações utilizando o pensamento algébrico para estudantes 7º Ano de Ensino Fundamental E como objetivo específico verificar a contribuição do ensino problematizador de Majmutov para a construção de tarefas para a resolução de equações e analisar o aporte da ASPD como estratégia de ensino para a resolução de problema de equações Diante disso o trabalho está subdividido entre quatro capítulos os quais apresentam respectivamente A Teoria HistóricoCultural na perspectiva de Galperin Talízina e Majmutov Didática do Ensino Problematizador Procedimentos metodológicos e Propostas didáticas O capítulo I é fundamentado na Teoria Histórico Cultural na perspectiva de Galperin Talízina e Majmutov com base nas seguintes teorias Linguagens de Vygotsky Zona de Desenvolvimento Proximal a Teoria da Atividade de Leontiev a Formação por etapas das ações mentais de Galperin a Direção da Atividade de Estudo Talízina o Ensino Problematizador de Majmutov e o EBOCA da ASPD de Mendoza e Delgado no estudo da construção do pensamento algébrico O capítulo II aborda a formação de competências e habilidades que a BNCC normatiza para a construção do pensamento algébrico ao longo dos anos do Ensino Fundamental II e também apresenta as generalizações e padrões do simbolismo matemático no qual Walle 2009 destaca que o pensamento algébrico exige nas etapas de consolidação do letramento matemático com o pensamento relacional O capítulo III destaca os procedimentos metodológicos utilizados para a construção da pesquisa com caráter teórico No capítulo IV é apresentada uma construção de um sistema de tarefas vinculadas à teoria da ASPD em suas resoluções para fundamentar uma base sólida e edificada para consolidar o pensamento algébrico seguindo cada passo que Walle 2009 nos sugere Assim serão apresentadas quatro classificações dos problemas discentes que nos permitirá organizar o processo de ensino e aprendizagem entrelaçando o pensamento relacional com o raciocínio algébrico seguindo quatro ações lógicas para a resolução dos problemas definidas pela ASPD as quais possibilitará ao estudante formular o problema construir o núcleo conceitual para solucionálo e analisar os passos da sua resolução 15 CAPITULO I TEORIA HISTÓRICOCULTURAL NA PERCEPTIVA DE GALPERIN TALÍZINA E MAJMUTOV Neste capítulo será fundamentada a Teoria HistóricoCultural com base nas seguintes perspectivas teóricas Linguagens e Zona de Desenvolvimento Proximal ZDP de Vygotsky a Teoria da Atividade de Leontiev a Formação por etapas das ações mentais de Galperin a Direção da Atividade de Estudo Talízina o Ensino Problematizador de Majmutov e o EBOCA da ASPD de Mendoza e Delgado no estudo da construção do pensamento algébrico 11 TEORIA DA ATIVIDADE DE ESTUDO Vygotsky 1989 afirma em sua teoria que a linguagem influencia na evolução humana onde o desenvolvimento do sujeito ocorre partindo de apropriação de significados culturais do seu meio social isto é a condição humana de linguagem consciência e atividade evoluem transformandose de biológica para sociocultural Isso nada mais é que a linguagem externa sendo transformada pelo sujeito em uma linguagem interna proporcionando assim um aprendizado com influência do exterior Para Vygotsky 1989 as funções intelectuais superiores e psicológicas influenciam na forma de aprendizagem dos estudantes por isso ele as estabeleceu de duas formas respectivamente interpsíquica e intrapsíquica Contudo constituemse os conceitos de área de desenvolvimento atual e as Zonas de Desenvolvimento tanto a Potencial quanto a Proximal priorizando a Zona de Desenvolvimento Proximal pois nessa zona é onde o professor intervém para que a aprendizagem ocorra por isso é bastante utilizada na educação como uma ciência Segundo sua teoria a Zona de Desenvolvimento AtualÁrea de Desenvolvimento Atual engloba a bagagem de conhecimento que o estudante possui isto é o conhecimento disponível e internalizado por ele o qual o professor pode usufruir para atingir o potencial com algo ainda desconhecido por esse discente já no Desenvolvimento Potencial o estudante ainda não possui o conhecimento requerido por ser algo desconhecido entretanto com uma intervenção pedagógica do professor ou uma ajuda de um estudante mais avançado esse potencial pode ser atingindo Logo percebese que a Zona de Desenvolvimento Proximal é a mais importante de todas elas pois a mesma funciona como uma ponte partindo de um conhecimento real para alcançar ao conhecimento potencial desse discente Essa consideração explica o relacionamento inicial interpsicológico assim como a assimilação pessoal e final do conhecimento como uma condição de caráter intrapsicológica Na Teoria da Atividade segundo Leontiev 2004 o sujeito se relaciona com o mundo externo por meio de uma atividade mental e a partir disso faz uma distinção entre os elementos 16 motivo objetivo ação e operações Onde tanto o conceito de motivo vinculase com o conceito de atividade quanto o conceito de objetivo correlacionase ao conceito de ação Nesse sentido a ação nessa teoria desempenha um papel intencional e operacional isto é o que deve se obter e por que meios podese atingir o objetivo buscado Portanto devese destacar que a teoria da atividade de Leontiev 2004 a Teoria HistóricoCultural e da linguagem de Vygotsky 1989 estão entrelaçadas entre si pois as duas visam à interação do estudante no processo de ensino e aprendizagem com o ambiente e as relações humanas construídas ao decorrer de todo o procedimento para a realização da atividade 12 A ATIVIDADE DE ESTUDO FUNDAMENTADA EM GALPERIN E TALÍZINA O estudo de Galperin traz uma continuação da perspectiva de Vygotsky sobre o conceito de internalização que os estudantes desenvolvem no seu intelectual para atingir a aprendizagem de forma significativa Os principais problemas dessa pesquisa são a aprendizagem o desenvolvimento e o ensino em que serviria como um termômetro para analisar o aprendizado consolidado dos discentes estudando as estratégias de formação de ações mentais utilizada por eles Ou seja suas pesquisas traziam a junção da psicologia com a aprendizagem no contexto escolar na qual a didática desenvolvimental oferece uma possibilidade de superação do ensino tradicional pois seu objetivo maior é a qualidade do ensino e os procedimentos adotados pelos estudantes do que os resultados que o ensino tradicional analisa Entretanto apesar da pesquisa de Galperin ser considerada uma extensão da teoria de Vygotsky no quesito HistóricoCultural a mesma é mais completa pois ele se propôs a resolver as limitações estabelecidas tanto na teoria de Vygotsky quanto na de Leontiev a Teoria da Atividade limitações essas que estagnavam as possibilidades de realizar uma pesquisa mais ampla e objetiva partilhando de respostas quanto à assimilação de ferramentas culturais externas durante o processo de desenvolvimento na formação de ações mentais e conceitos Partindo desses fatos Galperin 1992 sofisticou a sua teoria seguindo a mesma linha de pensamento das citadas anteriormente porém com mais robustez ficando conhecida como A Teoria da Formação Planejada das Ações Mentais e dos Conceitos em que a ideia fundamental era analisar a influência que as ações mentais possuem na aprendizagem partindo do apoio de manipulações por etapas de objetos externos até a internalização dos conteúdos se tornando assim uma propriedade da psique humana e por fim atingindo o desenvolvimento intelectual Essa teoria de Galperin foi subdividida entre três ideias centrais nesta pesquisa 17 definir um sistema de orientação estabelecer um sistema das características da ação e as etapas da formação dessa ação mental e dos conceitos O subsistema da orientação ficou conhecido como Base Orientadora da Ação BOA justamente por ser nessa etapa que o sujeito faz uma representação antecipada da tarefa a ser executada isto é a orientação funciona como base central para a estruturação do pensamento Dessa forma a BOA traz uma definição sistemática e estruturada da organização de cada operação a qual assegura o controle da ação no processo dessa efetuação Todavia o sistema BOA é responsável pela exibição da imagem da ação na qual o sujeito irá realizar ou seja ela traz tanto os procedimentos necessários para a execução organizados de forma correta quanto as condicionantes exigidas para ação atingindose o objetivo central na resolução do problema Em outras palavras de maneira clara e objetiva os estudantes devem conhecer a estrutura da atividade antes de desenvolvêla partindo da boa compreensão do assunto para estabelecer estratégias de ações a serem efetuadas no decorrer da realização da atividade Galperin 1992 aprimorou ainda mais a sua teoria trazendo as etapas das ações mentais como algo primordial para o professor analisar no processo de ensino e aprendizagem sendo divididas entre cinco etapas assumindo a etapa zero onde Talízina 1988 afirma que é a motivação pois sem interesse provindo do estudante o processo de ensino e aprendizagem se torna mais dificultoso A etapa um é conhecida como a construção da Base Orientadora da Ação na qual o professor é responsável por definila traçando o objetivo de ensino da atividade que deseja desempenhar com os estudantes partindo de um diagnóstico do grau de conhecimento prévio que eles possuem para incorporar na BOA selecionada onde o objeto de estudo escolhido pelo professor os orientará na execução tendo o controle da ação Assim o estudante passa a ter uma visão geral das ações explicadas pelo professor e tenta compreender os aspectos essências para a execução da ação da atividade seguindo é claro o plano de ensino construído pelo professor A etapa dois é conhecida como a formação da ação em forma material ou materializada onde o estudante tem um auxilio externo para a realização da tarefa apoiandose no Esquema da Base Orientadora da Ação EBOCA1 mediado pelo professor para que as execuções das ações ocorram de forma correta e caso haja erros nesse processo o professor tem total liberdade 1 O Esquema da Base Orientadora da Ação EBOCA é a atividade planejada e idealizada pelo professor que servirá de referência para os estudantes construir sua BOA Também é utilizada para o controle do professore e autocontrole pelos estudantes 18 para corrigilos assegurando que o esquema desenvolvido por ele seja seguido Nessa segunda etapa o estudante compartilha as ações realizadas com o professor e os demais da classe porém ainda não é exigida a explicação de cada passo das ações tomadas A etapa três é conhecida como a formação da ação verbal externa o objeto apresenta se de forma verbal ou escrita sem auxilio externo ao estudante Ou seja nessa etapa o estudante já deve ser capaz de explicar as ações realizadas na execução da tarefa com total clareza e consciência das operações O professor ainda intervém nesse processo mas de uma forma controladora da ação isto é corrigindo possíveis erros no entanto o intuito é que essa intervenção diminua no decorrer do processo para que a generalização teórica nos estudantes se aproxime cada vez mais do EBOCA formado pelo docente A etapa quatro é conhecida como a formação da linguagem externa para si ou seja a linguagem externa passa a ser internalizada proporcionando aos discentes uma capacidade de resolução de situações problemas com um grau de dificuldade mais elevados e ainda nunca trabalhados corretamente ou com poucos erros Nessa etapa a intervenção do professor com relação ao controle das operações deve ocorrer casualmente Ainda é exigida a explicação detalhada de cada ação e operação desenvolvida pelo estudante de forma consciente com o objetivo de sintetizarse ao final dessa etapa isto é as ações passam a ser automatizadas na medida em que o estudante se apropria do EBOCA para si dentro dos limites de generalizações indicados por este A etapa cinco é conhecida como a formação da linguagem interna o estudante internaliza o sistema de ações como esquema seguindo uma disposição lógica que varia para cada estudante Nessa etapa o estudante passa a ser independente na execução das ações e operações e sua generalização ganha um grau máximo sintetizando assim a sua execução Partindo disso Talízina 1988 ressalta que a direção da atividade de estudo é estabelecida pelo o objetivo de ensino elaborado pelo professor o estado de partida da atividade psíquica dos estudantes análise da BOA dos estudantes as tarefas para garantir as etapas do processo de assimilação o enlace de retorno ou retroalimentação e por fim a correção do processo de estudo sendo estes fundamentais para a consolidação da aprendizagem 13 O ENSINO PROBLEMATIZADOR POR MEIO DA ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA DISCENTE Majmutov 1983 no ensino problematizador destaca a diferenciação que há entre os conceitos de tarefa situação problema e problema discente como características principais que 19 exigem do professor uma intermediação ativa na qual abranja situações problemáticas na sua didática para que assim o estudante tenha possibilidades de aprendizado O ensino problematizador é a atividade do professor que objetiva a criação de um sistema de situações problemáticas à exposição do material didático e sua explicação total ou parcial e o direcionamento da atividade dos discentes no que diz respeito à assimilação de conhecimentos novos tanto na forma de conclusões já prontas quanto através de uma abordagem independente dos problemas discente e suas soluções MAJMUTOV 1983 p266 Segundo Majmutov 1983 na tarefa é apresentada pelo professor uma contradição objetiva para o estudante por meio de dados incógnitas o qual apresente algo desconhecido para agregar na aprendizagem Por meio de conexões entre o conhecido e o desconhecido o estudante admite uma contradição objetiva que passa a ser subjetiva e nesse momento entra a situação problema Na situação problema o estudante se apropria da contradição objetiva dada pela tarefa Partindo disso surge uma necessidade cognitiva interna de assimilação da contradição objetiva da tarefa para apropriarse de novos conceitos e procedimentos para a resolução MAJMUTOV 1983 p 170 Assim o estudante ao internalizar a contradição objetiva dada pela tarefa ele precisa também externalizar por meio de linguagens ou signos e nesse momento entra o problema discente dado por meio dessa contradição que a tarefa apresenta a qual é absorvida pelo estudante que passa a ser capaz de fazer representações em forma de signos ou linguagens ou seja além dele acolher a contradição objetiva ele também é capaz de expressála Atividade de Situações Problema Discente ASPD como a atividade de estudo tem como modelo do objeto a formação de competências na resolução de problemas discentes na zona de desenvolvimento proximal em um contexto de ensino aprendizagem no qual exista uma interação entre o professor o estudante e a tarefa com caráter problematizador com o uso da tecnologia disponível e de outros recursos didáticos para transitar pelas etapas de formação das ações mentais MENDOZA DELGADO 2020 p 191 Em virtude disso segundo Mendoza e Delgado 2020 a ASPD funciona como um sistema invariante que contempla quatro ações onde cada uma possui operações A ASPD está formada pelo seguinte sistema de ações e operações A primeira ação é formular o problema discente formada pelas operações a Determinar os elementos conhecidos a partir dos dados eou condições eou conceitos eou procedimentos da tarefa b Definir os elementos desconhecidos a partir dos dados eou condições eou conceitos eou procedimentos da tarefa e c Reconhecer o conhecimento buscado A segunda ação é Construir o núcleo conceitual e procedimental e as operações são a Selecionar os conceitos e procedimentos conhecidos necessários para a solução do problema discente b Atualizar outros conceitos e procedimentos conhecidos que possam estar vinculados com os desconhecidos e c Encontrar estratégias de conexão entre os conceitos e procedimentos conhecidos e desconhecidos A terceira ação é Solucionar o problema discente está constituída pelas operações a 20 Aplicar as estratégias para relacionar os procedimentos conhecidos e desconhecidos e b Determinar o conhecimento buscado eou objetivo A última ação é Analisar a solução está organizada pelas operações a Verificar se a solução corresponde com objetivo e as condições do problema discente b Verificar se existem outras maneiras de resolver o problema discente a partir do conhecido atualizado com o desconhecido e c Verificar se solução é coerente com dados e condições do problema MENDOZA DELGADO 2020 p 191 192 Partindo disso Galperin contempla em sua teoria o Esquema da Base Orientadora Completa da Ação EBOCA o qual traz três modelos de estruturação o do objeto que aborda o que é a ação na íntegra o da ação que segue uma estrutura de operações e por fim o controle que regula ação NÚÑEZ RAMALHO 2018 p419 Esses modelos têm como finalidade a facilitação de aprendizados fazendo com que cada vez mais a BOA do estudante se aproxime do EBOCA planejada pelo professor com uma intervenção pedagógica através da ASPD explorando a Zona de Desenvolvimento proximal baseado no ensino problematizador de Majmutov Sendo assim segue abaixo no Quadro 1 as ações e operações da ASPD Quadro 1 O modelo da ação e de controle da Atividade de Situações Problema Discente Modelo da Ação Modelo de Controle Ação Operações Formular o problema discente O1 Determinar os elementos conhecidos a partir dos dados eou condições eou conceitos eou procedimentos da tarefa O2 Definir os elementos desconhecidos a partir dos dados eou condições eou conceitos eou procedimentos da tarefa O3 Reconhecer a contradição gerada da situação problema O4 Determinar o conhecimento buscado eou objetivo C1 Determinou os elementos conhecidos a partir dos dados eou condições eou conceitos eou procedimentos da tarefa C2 Definiu os elementos desconhecidos a partir dos dados eou condições eou conceitos eou procedimentos da tarefa C3 Reconheceu a contradição gerada da situação problema C4 Determinou o conhecimento buscado eou objetivo Construir o núcleo conceitual e procedimental O5 Selecionar os possíveis conhecimentos necessários para a solução do problema discente O6 Atualizar outros conceitos e procedimentos conhecidos que possam estar vinculados com os desconhecidos O7 Expressar a contradição entre o conhecimento conhecido e desconhecido O8 Encontrar estratégias de conexão entre os conceitos e procedimentos conhecidos e desconhecidos C5 Selecionou os possíveis conhecimentos necessários para a solução do problema discente C6 Atualizou outros conceitos e procedimentos conhecidos que possam estar vinculados com os desconhecidos C7 Expressou a contradição entre o conhecimento conhecido e desconhecido C8 Encontrou estratégias de conexão entre os conceitos e procedimentos conhecidos e desconhecidos Solucionar o problema discente O9 Aplicar as estratégias para relacionar os conhecimentos conhecidos e desconhecidos O10 Determinar o conhecimento buscado eou objetivo C8 Aplicou as estratégias para relacionar os conhecimentos conhecidos e desconhecidos C9 Determinou o conhecimento buscado eou objetivo Analisar a solução do problema discente O11 Verificar se a solução corresponde com objetivo e as condições do problema discente O12 Verificar se existem outras maneiras de solucionar o problema discente a partir do conhecido atualizado com o desconhecido C10 Verificou se a solução corresponde com objetivo e as condições do problema discente C11 Verificou se existem outras maneiras de solucionar o problema discente a partir do conhecido atualizado com o desconhecido 21 O13 Analisar a possibilidade da reformulação do problema discente por meio de modificações dos objetivos dados condições estratégias etc C12 Analisou a possibilidade da reformulação do problema discente por meio de modificações dos objetivos dados condições estratégias etc Fonte Adaptado de Mendoza Delgado 2020 p 193 Na teoria HistóricoCultural tem conceitos que fora dela tem significados diferentes que serão esclarecidos a continuação Podese resumir na Teoria HistóricoCultural que os conceitos de tarefa situação problema problema discente problema atividade e Base Orientadora da Ação fundamentadas no Materialismo Dialético e na Teoria da Atividade são diferentes A tarefa é apresentada ao estudante como uma contradição objetiva entre o conhecimento conhecido e desconhecido entretanto quando o estudante assume a contradição objetiva esta passa a ser subjetiva e neste momento surge a situação problema ou seja seu conhecimento é insuficiente para dar resposta à tarefa proposta O problema discente é quando o estudante determina a dificuldade que não permite solucionar a tarefa proposta A atividade é um sistema de ações e operações dos estudantes para resolver a tarefa combinada com os seus motivos e necessidades Base Orientadora da Ação BOA orientação real do estudante subjetiva para resolver a tarefa WAKIYAMA MENDOZA 2021 p 5 Portanto o ensino problematizador de Majmutov 1983 destaca pontos edificantes para o processo de ensino e aprendizagem pois nele há uma contradição objetiva que as tarefas devem contemplar em sua estrutura para que assim por meio da ASPD conforme suas ações e operações nas resoluções de problemas o professor possa construir uma nova BOA nos estudantes 22 CAPÍTULO II DIDÁTICA DO ENSINO PROBLEMATIZADOR Neste capítulo será exposta a formação de competências e habilidades que a Base Nacional Comum Curricular BNCC normatiza para a construção do pensamento algébrico ao longo dos anos do Ensino Fundamental II Diante disso também apresentaremos as generalizações e padrões simbólicos da matemática que o pensamento algébrico exige durante todas as etapas para a consolidação do letramento matemático segundo Walle 2009 21 A FORMAÇÃO DE COMPETÊNCIAS E HABILIDADES NA BASE NACIONAL COMUM CURRICULAR BNCC A Base Nacional Comum Curricular BNCC na área de conhecimento de Matemática traz para a Educação Matemática no Ensino Básico competências e habilidades que devem ser construídas e exploradas ao longo de todas as etapas de ensino Assim o estudante deve não apenas saber os conteúdos matemáticos mas também saber fazer e aplicar no seu cotidiano para resolução de problemas Este documento tem um caráter normalizador que norteia os profissionais da Educação Básica a como desenvolver uma aprendizagem com significado Ademais a BNCC também enfatiza a importância do desenvolvimento do letramento matemático em cada etapa do Ensino Básico definindo assim as competências e habilidades de raciocinar representar comunicar e argumentar matematicamente de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de contextos utilizando conceitos procedimentos fatos e ferramentas matemáticas BRASIL 2018 p266 Dessa forma de acordo com BRASIL 2018 p 267 as competências específicas de Matemática para o Ensino Fundamental são oito sendo distribuídas a seguir no Quadro 2 Quadro 2 Competências Específicas de Matemática para o Ensino Fundamental Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas em diferentes momentos históricos que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções inclusive com impactos no mundo do trabalho Desenvolver o raciocínio lógico o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática Aritmética Álgebra Geometria Estatística e Probabilidade e de outras áreas do conhecimento sentindo se confiante em sua capacidade de construir e aplicar definições matemáticas Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais de modo a investigar organizar representar e comunicar informações relevantes para interpretá las e avaliálas crítica e eticamente produzindo argumentos convincentes Utilizar processos e ferramentas matemáticas inclusive tecnologias digitais disponíveis para modelar e resolver problemas cotidianos sociais e de outras áreas de conhecimento validando estratégias e resultados Enfrentar situaçõesproblema em múltiplos contextos incluindose situações imaginadas não diretamente relacionadas com o aspecto práticoutilitário expressar suas respostas e sintetizar conclusões utilizando 23 diferentes registros e linguagens gráficos tabelas esquemas além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos como fluxogramas e dados Desenvolver eou discutir projetos que abordem sobretudo questões de urgência social com base em princípios éticos democráticos sustentáveis e solidários valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais sem preconceitos de qualquer natureza Interagir com seus pares de forma cooperativa trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles Fonte Brasil 2018 Embora sejam vastos os conteúdos da área da Matemática nos Anos Finais do Ensino Fundamental este trabalho terá o enfoque apenas na unidade temática de Álgebra Ademais Brasil 2018 comtempla algumas habilidades que devem ser trabalhadas e enriquecidas ao longo do processo de ensino e aprendizagem de Álgebra nos Anos Finais do Ensino Fundamental as quais são exibidas abaixo no Quadro 3 Quadro 3 Habilidades da BNCC no conteúdo de Álgebra Unidades Temáticas Objetos de Conhecimento Habilidades 6º ANO Propriedades da igualdade EF06MA14 Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar subtrair multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais envolvendo razões entre as partes e entre uma das partes e o todo EF06MA15 Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais envolvendo relações aditivas e multiplicativas bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo 7º ANO Linguagem algébrica variável e incógnita EF07MA13 Compreender a ideia de variável representada por letra ou símbolo para expressar relação entre duas grandezas diferenciandoa da ideia de incógnita EF07MA14 Classificar sequências em recursivas e não recursivas reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática mas também nas artes e na literatura EF07MA15 Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas Equivalência de expressões algébricas identificação da regularidade de uma sequência numérica EF07MA16 Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais EF07MA17 Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas Equações polinomiais do 1º grau EF07MA18 Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1º grau redutíveis à forma ax b c fazendo uso das propriedades da igualdade 8º ANO Valor numérico de expressões algébricas EF08MA06 Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas utilizando as propriedades das operações 24 Associação de uma equação linear de 1º grau a uma reta no plano cartesiano EF08MA07 Associar uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano Sistema de equações polinomiais de 1º grau resolução algébrica e representação no plano cartesiano EF08MA08 Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo que possam ser representados por sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitas e interpretálos utilizando inclusive o plano cartesiano como recurso Equação polinomial de 2º grau do tipo 𝑎𝑥2 𝑏 EF08MA09 Resolver e elaborar com e sem uso de tecnologias problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2º grau do tipo ax2 b Sequências recursivas e não recursivas EF08MA10 Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes EF08MA11 Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes Variação de grandezas diretamente proporcionais inversamente proporcionais ou não proporcionais EF08MA12 Identificar a natureza da variação de duas grandezas diretamente inversamente proporcionais ou não proporcionais expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representála no plano cartesiano EF08MA13 Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas 9º ANO Funções representações numérica algébrica e gráfica EF09MA06 Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis Razão entre grandezas de espécies diferentes EF09MA07 Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes como velocidade e densidade demográfica Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais EF09MA08 Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas inclusive escalas divisão em partes proporcionais e taxa de variação em contextos socioculturais ambientais e de outras áreas Expressões algébricas fatoração e produtos notáveis Resolução de equações polinomiais do 2º grau por meio de fatorações EF09MA09 Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas com base em suas relações com os produtos notáveis para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau Fonte Brasil 2018 22 A CONSTRUÇÃO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO NO ENSINO FUNDAMENTAL O conhecimento é um processo dialético de reflexão do mundo material na consciência humana É o movimento da ideia do desconhecimento ao conhecimento de um conhecimento incompleto e inexato para um mais completo e mais exato Os homens bem conhecem o mundo não por causa de sua curiosidade congênita O conhecimento do mundo decorre da necessidade de sua mudança prática GUÉTMANOVA 1989 p 8 25 Assim temse que todo conhecimento começa com uma contemplação viva com sensações percepções sensíveis Os objetos ativam nossos sentidos e produzem sensações e percepções em nosso cérebro O homem carece de outros meios além dos sentidos para perceber os sinais do mundo exterior e transmitilos ao cérebro GUÉTMANOVA 1989 p 10 Por meio da reflexão sensorial conhecemos um fenômeno mas não sua essência e com isso refletimos sobre alguns objetos com clareza Conhecemos as leis do mundo a essência dos objetos e fenômenos através do pensamento abstrato que é a forma mais complexa de conhecimento O pensamento abstrato ou racional reflete o mundo e seus processos de um modo mais completo e profundo do que o conhecimento sensorial A passagem do conhecimento sensorial ao pensamento abstrato é um salto no processo cognitivo um salto do conhecimento dos fatos ao conhecimento das leis GUÉTMANOVA 1989 p 13 As formas essenciais do pensamento teórico são conceitos julgamentos e raciocínios O conceito é a forma de pensamento que reflete os indícios essenciais de um objeto ou de uma classe de objetos homogêneos O juízo é a forma de pensamento pelo qual algo é afirmado ou negado em relação a seus indícios e relações O raciocínio é a forma de pensamento que partindo de um ou mais juízos verdadeiros que chamamos de premissas chegamos a uma conclusão segundo certas regras de inferência GUÉTMANOVA 1989 p13 O pensamento abstrato é uma forma de reflexão mediata indireta e generalizada da realidade Assim por meio das formas de cognição sensível conhecemos imediatamente diretamente coisas e propriedades O pensamento abstrato permitenos obter conhecimento sem recorrer diretamente à experiência indicada pelos sentidos ou seja permitenos conhecer o mundo de forma generalizada GUÉTMANOVA 1989 p 15 O pensamento abstrato tem a particularidade de manter uma relação indissociável com a linguagem O pensamento é o reflexo da realidade objetiva e a linguagem é o modo de expressão o meio de reafirmar e transmitir ideias a outros homens GUÉTMANOVA 1989 p16 A Matemática nos Anos Finais do Ensino fundamental visa formar gradativamente estudantes capazes de compreender a linguagem matemática os conceitos dos conteúdos que nela compõem estabelecer uma argumentação concisa e objetiva para sobretudo aplicálos na resolução de problemas onde nos permitirá acompanhar o nível de aprendizagem e de habilidades abstraída pelo discente Entretanto além do estudante resolver esse problema ele deve também reelaborálo baseandose na reflexão e no questionamento sobre o que ocorreria 26 se alguma condição fosse modificada ou se algum dado fosse acrescentado ou retirado do problema proposto Na unidade temática de Álgebra o foco da BNCC tem sido formar um pensamento algébrico que vem desde o letramento matemático no qual as generalizações ainda são feitas com números pois esse possibilitará uma aprendizagem mais completa quanto ao desenvolvimento de uma linguagem matemática e modelagem com letras e outros símbolos Assim segundo Brasil 2018 As ideias matemáticas fundamentais vinculadas a essa unidade são equivalência variação interdependência e proporcionalidade Em síntese essa unidade temática deve enfatizar o desenvolvimento de uma linguagem o estabelecimento de generalizações a análise da interdependência de grandezas e a resolução de problemas por meio de equações ou inequações BRASIL 2018 p 270 Dessa forma temos uma evidente necessidade de uma didática de resolução de problema para evolução de um pensamento algébrico consolidando a aprendizagem partindo de um ensino problematizador a exemplo que destaca Majmutov 1983 A Álgebra deve permear todo o Ensino Fundamental aparecendo assim nos Anos Iniciais com as ideias de regularidades sem o uso de letras generalização de padrões e propriedades da igualdade e nos Anos Finais aprofundando e ampliando o que já foi estudado anteriormente todavia será necessário que os estudantes desenvolvam habilidades de compreensão entre os diferentes significados de variáveis numéricas em uma expressão e que sejam capazes de estabelecer conexões entre variável e função e entre incógnita e equação Partindo disso Brasil 2018 p 271 destaca que os procedimentos nas resoluções de equações e inequações devem ser explorados com o auxílio do plano cartesiano para validar a capacidade do discente de representar e resolver determinados tipos de problema Ainda nos Anos Finais será necessário associar o pensamento computacional onde nos permite resolver problemas por meio de estratégias traçadas com o uso de tecnologias com algoritmos e seus fluxogramas com a linguagem algébrica por terem conceitos parecidos quanto a variáveis 23 PENSAMENTO ALGÉBRICO GENERALIZAÇÕES O raciocínio algébrico faz parte de todos os assuntos da Matemática os quais exigem generalizações padrões e funções Dessa forma esse pensamento almeja formalizar o conhecimento matemático partindo de generalizações com números e operações formando assim padrões com sistemas de símbolos e leis que devem ser respeitadas ao longo de toda a manipulação algébrica onde permite a associação de membros de conjuntos numéricos distintos 27 Segundo Kaput citado por Walle 2009 p 288 o pensamento algébrico é descrito em cinco formas diferentes 1 Generalização da aritmética e de padrões em toda a Matemática 2 Uso significativo de simbolismo 3 Estudo da estrutura no sistema de numeração 4 Estudo de padrões e funções 5 Processo de modelagem matemática que integra as quatro anteriores As generalizações da aritmética envolvendo operações começam desde o Ensino Fundamental dos Anos Iniciais até o Ensino Médio Assim por mais que a Álgebra seja um ramo da Matemática independente na BNCC essa permeia todos os outros raciocínios matemáticos ou seja números geometria estatística e probabilidades e grandezas e medidas Logo temse que a construção do pensamento algébrico está totalmente interligada as modelagens matemáticas que as unidades temáticas exigem a fim de que as realizações das generalizações que essas exigem façam o uso significativo do simbolismo Segundo Walle 2009 p 288 ao utilizar números e operações um dos símbolos matemáticos mais importantes é o sinal de igualdade pois através da compreensão do estudante podese avançar para as possíveis relações dos sistemas numéricos Isto é quando estabelecemos um exemplo como 7 5 6 5 5 esperase que os estudantes situem ideias básicas da aritmética elementar para resolver este problema aritmético tal como simplesmente expressar um número partindo de soma 7 1 6 e em seguida aplicar a propriedade distributiva que permite fazer as multiplicações separadamente em cada uma das partes 1 6 5 1 5 6 5 e por fim as propriedades numéricas adicionais transformam essa expressão em 6 5 5 Assim é notório que quando a generalização passa a ser representada por símbolos tornase uma ferramenta poderosa para resolver quaisquer problemas numéricos de um modo mais abrangente Por isso é extremamente necessário que o discente entenda o significado do símbolo de igualdade para que quando forem manusear expressões algébricas não apresentem dificuldades com relação à equivalência em ambos os lados Para Walle 2009 a utilização de sentenças de verdadeiro ou falso nas equações como estratégia introdutória para proporcionar aos estudantes a compreensão do real significado do sinal de igualdade se faz necessário Partindo de exemplos simples tais como 4 13 Verdadeiro 6 2 9 Falso 10 13 2 Falso para que o estudante passe a construir a ideia de equivalência com o sinal de igualdade até exemplos que apresentem equações menos tradicionais como por exemplo 4 3 5 2 Verdadeiro 8 3 9 5 Falso Assim essa construção do conhecimento partindo daquilo que o estudante conhece possibilitao 28 potencializálo para internalizar que o sinal de igualdade sempre trará consigo o significado de é o mesmo que WALLE 2009 p 289 Após essa internalização podemse explorar também sentenças abertas às quais exigirá do estudante descobrir um valor desconhecido por exemplo 5 8 9 6 2 7 3 Diante disso é importante destacar as diversas possibilidades de resolver essas expressões no entanto fazse necessário apresentar o pensamento relacional o qual estabelecerá a utilização de relações numéricas em ambos os lados da igualdade em vez de focar no cálculo das quantidades Isso consolidará ainda mais a ideia de equivalência do sinal de igualdade na internalização da aprendizagem dessas generalizações Seguindo esse raciocínio devemse propor desafios envolvendo números maiores e operação de multiplicação tais como 144 109 23 30 46 15 5 48 8 Em virtude das atividades e exemplos desenvolvidos para avaliar melhor a assimilação dos estudantes diante do significado do símbolo de igualdade é imprescindível à realização de uma tarefa na qual deve consistir na construção de sentenças verdadeiras ou falsas e abertas feitas pelos estudantes onde o pensamento relacional na resolução apresentese como uma ocorrência em vez de cálculos diretos pois só assim conseguiremos avançar na construção de um pensamento algébrico Segundo Walle 2009 as generalizações nas equações são dadas nas expressões que envolvam variáveis pois através delas os estudantes são desafiados a trabalhar sem pensar em números específicos para assumir o valor da incógnita que regularmente é expresso por letras que buscam valores desconhecidos simples ou da variável que são expressas como quantidades que variam Assim esse desafio é chamado de manipulação de formalismos opacos onde as incógnitas ou variáveis que são representações simbólicas bastam para a manipulação das expressões sem procurar valores numéricos que possam assumir Outra sugestão de Walle 2009 é o uso de letras como valores desconhecidos simples ser introduzido ao conhecimento do estudante como substituição da caixinha aberta utilizadas nos exemplos anteriores em manipulações de sentenças abertas isto é o professor deve estimular o estudante a encontrar o valor verdadeiro para a expressão dada e isso primeiramente necessita ser ensinado usando o valor posicional já trabalhado anteriormente e conhecido pelos estudantes para que somente depois os estudantes possam criar técnicas específicas para resolver as equações Seguindo esse pensamento o docente apresentará um exemplo como 9 19 e mostrará a substituição da caixa por alguma letra n n 9 n 19 ou seja é feito uma conversão de símbolos para letras e com isso é analisado junto ao estudante 29 o uso de símbolos ou letras iguais na mesma equação representar o mesmo valor numérico para ambos Em seguida Walle 2009 destaca que devemse apresentar as letras como quantidades que variam mostrando que sempre que existirem letras ou variáveis diferentes em uma equação consequentemente seus valores também serão distintos Uma estratégia é o professor utilizar sentenças abertas para iniciar a construção desse pensamento de variação no conhecimento do estudante e em seguida avançar com uma introdução de situação problema o qual o estudante terá que construir tabelas para resolver a atividade Assim uma sugestão de exemplo para iniciar seria uma equação com duas variáveis diferentes tal como a 5 9 b nesse tipo de exemplo é importante já aplicar o uso das tabelas para facilitar a visualização dos discentes junto à variação de cada incógnita da equação Ademais outro exemplo para consolidar ainda mais esse conhecimento e que explore também a construção de tabelas para a resolução e visualização das variações seria uma situação problema o qual Walle 2009 destaca em seu livro Matemática no Ensino Fundamental Formação de Professores e Aplicações em sala de aula 6ª Edição Sete macacos querem brincar de subir em duas árvores uma grande e uma pequena Mostre todos os modos diferentes em que os sete macacos podem subir para brincar nas duas árvores WALLE 2009 p 291 Portanto é notório que a relação entre o uso de letras em valores desconhecidos simples e as diversas variáveis existentes em uma equação com valores distintos é claro trazem consigo a generalização em toda a sua totalidade e isso agrega ainda mais na construção do pensamento algébrico que buscamos formar ao longo do Ensino Fundamental II A resolução de equações ou desigualdades pode ser iniciada partindo da ideia de equilíbrio com uma balança contendo dois pratos simples no qual as duas partes da igualdade deve ter o mesmo valor para balança não ficar desequilibrada Diante disso o recomendável seria iniciar com exemplos de expressões numéricas e em seguida introduzir as expressões algébricas com o uso de letras Assim é imprescindível que o estudante saiba corretamente o conceito do sinal de igualdade para formalizar esse conhecimento produzido na construção de um pensamento algébrico Para Walle 2009 entender o sistema numérico e conjecturas é de suma importância para o estudante aprender estratégias fundamentais para a resolução de cálculos incluindo posteriormente a resolução de expressões algébricas Além disso o uso da propriedade comutativa ou de ordem para adição e multiplicação minimiza as chances de memorização pois já foram aplicadas mesmo que intuitivamente na resolução de sentenças abertas o que 30 exige um pensamento relacional em ambos os lados da igualdade Contudo podese também fazer o uso de exemplos os quais exijam dos discentes apenas a examinação de estruturas e propriedades do sistema numérico e que as expressem de forma generalizada sem necessitar de valor numérico específico tal como 296 103 N 296 Nesse exemplo em sua resolução o estudante deve avaliar que N 103 pois 296 103 resultam no mesmo que 103 296 Partindo disso observase que ao trazer a propriedade comutativa na integra como a b b a e verificar que isso se aplica a todos os números enriquece o entendimento dos estudantes sobre o sistema numérico e consequentemente auxiliaos a alcançar um nível elevado de abstração que o pensamento algébrico exige Diante disso exemplos com sentenças numéricas verdadeiras ou falsas e abertas propiciaram a validação da propriedade comutativa no entendimento dos estudantes envolvendo dois números diferentes como 23 x 3 3 x 23 97 25 25 97 e a propriedade associativa quando envolver três números na mesma expressão tanto adicionando quanto multiplicando Todavia vale ainda ressaltar que a propriedade distributiva é fundamental para multiplicar números de dois algarismos Dessa forma é permitido aos estudantes o desenvolvimento de conjecturas e suas verificações de maneira simplificada nos Anos Finais do Ensino Fundamental Na sequência são destacadas as propriedades do sistema numérico partindo de Walle 2009 Adição e Subtração a 0 a Quando você adiciona zero a um número obtém o mesmo número com que começou a 0 a Quando você subtrai zero de um número obtém o mesmo número com que começou a a 0 Quando você subtrai um número dele mesmo obtém zero a b b a Você pode adicionar números em uma ordem e então mudar a ordem obtendo o mesmo resultado Multiplicação e Divisão a 1 a Quando você multiplica um número por 1 obtém o mesmo número com que você começou a 1 a Quando você divide um número por 1 obtém o número que com que começou a a 1 a 0 Quando você divide um número que não é zero por si mesmo obtém 1 a 0 0 Quando você multiplica um número por zero obtém zero 0 a 0 a 0 Quando você divide zero por qualquer número exceto zero obtém zero a b b a Quando você multiplica dois números pode fazer isso em qualquer ordem e obter o mesmo número Conjecturas derivadas de propriedades básicas a b b a Quando você adicionar um número a outro número e então subtrair o número que adicionou obterá o número com que começou a b b a b 0 Quando você multiplicar um número por outro número que não é zero e então dividir pelo mesmo número obtém o mesmo número com que começou WALLE 2009 p295 31 Logo observamos que para o desenvolvimento de um pensamento algébrico ao longo do Ensino Fundamental II é necessário primeiramente que o estudante reconheça o real significado do símbolo de igualdade para assim poder construir relações verdadeiras em ambos os membros do sinal tendo como base o equilíbrio de uma balança pois somente através de um pensamento relacional associado aos símbolos matemáticos é possível consolidar a aprendizagem do raciocínio algébrico 32 CAPITULO III PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS A pesquisa é qualitativa com enfoque teórico e foi dividida entre quatro momentos tais como no primeiro momento foram realizadas análises bibliográficas da Teoria Histórico Cultural da Atividade na perspectiva de Galperin e Talízina para o processo de ensino e aprendizagem com um enfoque de ensino problematizador de Majmutov o segundo foi centralizado em um diagnóstico na BNCC BRASIL 2018 seguindo a temática de Álgebra para o desenvolvimento do letramento matemático o terceiro foi feita uma pesquisa no livro de Walle 2009 acerca das generalizações necessárias para a construção do pensamento algébrico no ensino fundamental e o quarto momento foi destinado à construção de um sistema de tarefas vinculadas a Teoria HistóricoCultural baseada na ASPD proposto por Mendoza e Delgado 2020 A Teoria HistóricoCultural foi utilizada para definirmos o processo de ensino e aprendizagem uma vez que essa só ocorre com influencia do meio externo para o interno do indivíduo a qual Vygotsky 1989 destaca como uma linguagem intrapsíquica Assim nela foram levadas em consideração as Zonas de Desenvolvimentos como aspectos extremamentes importantes para explicar como o processo de ensino e aprendizagem pode ocorrer dentro de sala de aula isto é a Zona de Desenvolvimento Real referese ao conhecido que o estudante já tem internalizado e que é capaz de resolver sozinho a Zona de Desenvolvimento Proximal ZDP que faz parte da intermediação do professor no processo de ensino e por fim a Zona de Desenvolvimento Potencial que é caracterizada por atingir a internalização da aprendizagem intermediada pelo professor Ademais foi utilizada a Teoria da Atividade de Leontiev 2004 onde traçamos os elementos principais para elaboração de uma atividade contendo características intencionais e operacionais com a compreensão da distinção entre os elementos motivo objetivo ação e operações os quais são fundamentais ao decorrer do processo de ensino dos estudantes Em seguida foram destacadas as contribuições de Galperin 1992 com a teoria da Formação Planejada das Ações Mentais e dos Conceitos onde nos auxilia na organização das ações planejadas pelos discentes até atingir o objetivo central no ensino isto é a aprendizagem Sendo assim uma formação direcionada pela atividade de estudo de Talízina 1988 na qual possui como caráter metodológico táticas de mediação entre os assuntos matemáticos para que os estudantes consigam assimilálos com êxito Partindo disso seguimos com o aporte do ensino problematizador de Majmutov 1983 como um recurso metodológico auxiliador para desenvolver estratégias didáticas focadas em 33 situações problemas relacionando aos sistemas da BOA dando aos estudantes possibilidades de organização de suas ações na resolução de atividades com o enfoque problematizador Com isso foi também promulgada a construção do EBOCA para que objetivos de ensino e aprendizagem sejam atingidos ao longo da aplicação dos conteúdos de Álgebra Com base em Mendoza e Delgado 2020 as propostas didáticas foram constituídas com um enfoque problematizador visando às táticas de resoluções de situações problemas conforme a ASPD promulga isto é fazendo com que o docente e o discente formulem o problema construam o núcleo conceitual para que assim possam solucionálos e analisálos passo a passo das resoluções No segundo momento foram realizadas análises na BNCC BRASIL 2018 com o foco na temática Álgebra onde abordamos tanto como se comporta a construção do raciocínio algébrico no Ensino Fundamental II com os assuntos que se relacionam de forma direta ou indireta visando o letramento matemático quanto às competências e habilidades que devem ser exploradas ao longo de cada etapa do Ensino Básico ou seja o estudante tem que compreender o conteúdo matemático e aplicálo no seu cotidiano No terceiro momento seguindo as orientações da BNCC foram delineadas estratégias de construção de um pensamento algébrico no 7º ano do Ensino Fundamental II segundo o livro de Walle 2009 aborda as generalizações aritméticas de padrões com o uso dos símbolos da matemática por meio do significado do sinal de igualdade onde envolve o pensamento relacional como princípio primordial para internalizar esse significado e fazer a distinção destes e por fim a introdução do estudo da estrutura no sistema de numeração dada pelas conjecturas das quatro operações da matemática O quarto momento foi destinado à construção do sistema de tarefas levando em consideração os seis princípios de organização que Mendoza e Delgado 2021 destaca ou seja a ASPD como objeto da direção do processo ensino e aprendizagem o diagnóstico da ASPD a seleção do sistema de tarefas com caráter problematizador segundo Majmutov 1983 organização da sequência didática segundo Galperin Talízina a partir da Resolução de problemas como metodologia de ensino e por fim o controle do processo de assimilação por ações e operações da ASPD e correção Portanto as propostas didáticas da pesquisa foram desenvolvidas respeitando a Teoria HistóricoCultural o ensino problematizador respaldados pela BNCC visando competências e habilidades para a aplicabilidade no cotidiano do estudante e assim conduzilos a uma aprendizagem com significado 34 CAPITULO IV PROPOSTA DIDÁTICA Neste capítulo elaboraremos uma sequência de tarefas vinculadas à ASPD em suas resoluções para fundamentar uma base sólida e edificada para a consolidação do pensamento algébrico seguindo cada passo que Walle 2009 nos sugere Assim apresentaremos quatro classificações dos problemas discentes que nos permitirá organizar o processo de ensino e aprendizagem entrelaçando o pensamento relacional com o raciocínio algébrico seguindo quatro ações lógicas para a resolução dos problemas definidas pela ASPD o qual possibilitará ao estudante fazer a formulação do problema construir o núcleo conceitual para assim solucionálo e analisar cada passo de sua resolução 41 PRINCÍPIOS DIDÁTICOS Mendoza e Delgado propões seis princípios para organizar uma sequência didática Portanto o Sistema Galperin Talízina Majmutov permite organizar o processo de ensino e aprendizagem na resolução de problemas como uma metodologia de ensino seguindo os princípios didáticos a a Atividade de Situações Problema Discente como objeto da direção do processo ensino e aprendizagem b o diagnóstico da Atividade de Situações Problema Discente c a seleção do sistema de tarefas com caráter problematizador segundo Majmutov d organização da sequência didática segundo Galperin Talízina a partir da Resolução de problemas como metodologia de ensino e e o controle do processo de assimilação por ações e operações da Atividade de Situações Problema Discente e correção se necessário MENDOZA DELGADO 2021 p 8 Majmutov 1983 p 195 sugere quatro regras lógicas psicológicas para a formulação do problema discente 1 separação do conhecido e desconhecido 2 localização do desconhecido 3 determinação das condições possíveis para a solução independente do problema e 4 a existência de indeterminação no problema O professor deve recordar antes de o estudante formular o problema discente os conhecimentos prévios vinculados com a tarefa caso contrário não se compreenderá e não será aceito pelos estudantes Quando o professor coloca uma tarefa nova deve considerar se os algoritmos de soluções resolvidas anteriormente pelos estudantes podem ser utilizados O estudante aprender a separar o conhecimento conhecido e desconhecido é importante para encontrar uma estratégia de solução do problema discente ou seja encontrar uma conexão entre o conhecimento conhecido e desconhecido que pode ser por vias algorítmicas ou heurísticas A construção das tarefas sugere os seguintes fundamentos didáticos a tarefa deve se transformar na força motriz do pensamento quando aparece para o estudante como contradição entre o conhecido e o desconhecido chamamos problema discente à tarefa que cria a contradição lógica e psicológica no processo de assimilação a função do professor é encontrar 35 a tarefa que possa converterse em problema discente apoiando nos objetivos de ensino e o problema discente deve orientar na direção da solução e a formar capacidades cognoscitivas interesses e motivos para assimilar novos conhecimentos Portanto os requisitos para o problema discente são relacionarse com o conteúdo de estudo deve ser adequado ao nível de ensino expressar a contradição entre o conhecido e o desconhecido nas informações dirigir a busca do conhecimento novo e as vias de solução conhecido deve relacionarse com o desconhecido e a formulação deve conter palavras relacionadas com o conhecido e o desconhecido Para a resolução de equações por meio do pensamento algébrico relacional serão construídos os seguintes problemas discentes que servirão de gerador sistema de tarefas Problema Discente nº1 A partir de sentenças matemáticas formadas pelas quatro operações numéricas determinar se são verdadeiras ou falsas por meio do significado de igualdade Problema Discente nº2 Encontrar a solução de uma equação utilizando sentenças abertas com a finalidade de converter em verdadeiras por meio do significado de igualdade Problema Discente nº3 Encontrar a solução de uma equação introduzindo letras como valor desconhecido utilizando sentenças abertas com a finalidade de converter em verdadeiras por meio do significado de igualdade Problema Discente nº4 Construir as propriedades do sistema numérico utilizando sentenças numéricas por meio das conjeturas e do significado de igualdade Para construção do sistema de tarefa será utilizado os seguintes elementos texto da tarefa objetivo da tarefa o conhecido o desconhecido problema discente estratégia de conexão entre conhecimento conhecido e desconhecido ações e operações de ASPD e outras informações contextualizadas 42 SISTEMA DE TAREFAS Os sistemas de tarefas terá um enfoque problematizador seguindo a teoria de Majmutov isto é haverá uma contradição entre o conhecido e o desconhecido ao estudante onde possibilitará a construção de um pensamento algébrico unificado com a ideia de pensamento relacional trazendo o significado de igualdade em cada passo de construção A seguir destacaremos quatro tarefas baseadas nos problemas discentes citados anteriormente No Quadro 4 a tarefa está vinculada ao problema nº1 com a abordagem de sentenças verdadeiras ou falsas sem contexto onde tem como finalidade explorar dos discentes o significado conciso e consistente do sinal de igualdade 36 Quadro 4 Tarefas de sentenças verdadeiras ou falsas sem contexto Itens Descrição Texto da tarefa Determine quais sentenças são verdadeiras ou falsas Justifique sua resposta a 347 b 791 c 53 71 d 148 2017 Objetivo da tarefa Interpretar o signo de igualdade por meio de sentenças com operações de adição e subtração O Conhecido As operações de soma e subtração O Desconhecido Determinar se a sentenças são verdadeiras ou falsas por meio do significado de igualdade Problema Discente nº1 A partir das operações de soma e subtração determinar se as sentenças são verdadeiras ou falsas por meio significado de igualdade Estratégia de conexão entre conhecimento conhecido e desconhecido Realizar as operações em ambos os lados da igualdade e comparar Ações da ASPD As ações de construção do problema discente e do núcleo conceitual e procedimental serão elaboradas junto com os estudantes As ações relacionadas à solução e à análise do problema discente serão realizadas pelos estudantes independentemente Outras informações contextualizadas Sugere colocar tarefas com multiplicação e divisão combinação das quatro operações Fonte Elaborado pela Autora Para a resolução dessa tarefa primeiramente será necessário à formulação do problema discente pelos estudantes onde consolidará ainda mais a manipulação das operações de adição e de subtração o qual já deve fazer parte da zona de desenvolvimento real do estudante isto é esses elementos devem ser conhecidos por eles de anos anteriores Em contrapartida destacar os elementos desconhecidos que são dados por determinar se as sentenças são verdadeiras ou falsas por meio do significado de igualdade para que assim os estudantes possam reconhecer a contradição gerada pelo problema e enfim reconhecer qual é o conhecimento buscado O segundo passo para a resolução é baseado em construir o núcleo conceitual e procedimental visando estratégias de conexões entre os conceitos de adição e subtração e os procedimentos aplicados na resolução dessas duas operações para que assim possamos determinar quais sentenças são verdadeiras ou falsas na tarefa expressas pelo modelo matemático já dado em cada alternativa da tarefa Diante isso temos as seguintes sentenças escolhidas para essa resolução 53 71 148 2017 O terceiro passo consiste em aplicar as estratégias traçadas no segundo passo relacionando com os dados conhecidos e desconhecidos que a tarefa destaca ou seja teremos que 53 71 8 8 essa sentença é verdadeira já a sentença 148 2017 6 3 é falsa No quarto e último passo dessa modelagem é feito uma análise das soluções encontradas o qual verificará se é correspondente com o objetivo e as condições apresentados no problema discente Partindo disso analisando as soluções temos que a primeira sentença 37 resolvida é verdadeira pois os valores encontrados de ambos os lados da igualdade são iguais e isso completa o significado do signo de igualdade Já a segunda sentença é falsa pois os resultados de ambos os lados da igualdade são diferentes Em virtude da resolução fazse necessário que o estudante seja motivado a verificar se existem outras maneiras de solucionar o problema discente partindo no conhecido agora atualizado pelo desconhecido No Quadro 5 a tarefa está pautada no problema nº2 com a abordagem de sentenças abertas contextualizada que tem como finalidade explorar dos discentes o significado do sinal de igualdade de forma que a sentença seja verdadeira Quadro 5 Tarefa com enfoque problematizador de sentença aberta com contexto Itens Descrição Texto da tarefa Mariana fez o seguinte questionamento para uma amiga Pensei num número que somado com 30 resulta em 55 Em qual número Mariana pensou Objetivo da tarefa Interpretar o signo de igualdade por meio de sentenças abertas com operações de adição O Conhecido Operação de soma O Desconhecido Determinar o número que Mariana pensou Problema Discente nº2 Encontrar a solução de uma equação utilizando sentenças abertas com a finalidade de convertêla para verdadeira por meio do significado de igualdade Estratégia de conexão entre conhecimento conhecido e desconhecido Realizar a operação de adição com número já dado por Mariana e verificar se o resultado é igual o desejado Operações de controle da ASPD As ações de construção do problema discente e do núcleo conceitual e procedimental serão elaboradas junto com os estudantes As ações relacionadas à solução e à análise do problema discente serão realizadas pelos estudantes independentemente Outras informações contextualizadas Sugere colocar tarefas com subtração multiplicação e divisão combinação das quatro operações Fonte Elaborado pela Autora Os estudantes iniciam a resolução dessa tarefa formulando o problema discente onde exigirá o conhecimento conhecido a cerca da manipulação da operação de adição o qual já deve fazer parte de sua da zona de desenvolvimento real Em seguida destacamse os elementos desconhecidos que são dados pela determinação do número que Mariana pensou para que assim os estudantes possam reconhecer a contradição gerada pelo problema e enfim reconhecer qual é o conhecimento almejado O segundo passo para a resolução consiste em construir o núcleo conceitual e procedimental visando estratégias de conexões entre os conceitos de sentenças abertas e de adição e os procedimentos aplicados na resolução de sentenças abertas aplicando a operação de adição como pivô nesses artifícios para que assim possamos determinar qual número Mariana pensou e assim afirmar a veracidade da sentença aberta expressa pelo modelo 38 matemático construído Dessa forma temos o seguinte modelo para a resolução dessa tarefa 30 55 O terceiro passo busca a aplicabilidade das estratégias balizadas no passo anterior relacionadas com os conhecimentos conhecidos e desconhecidos já formulados pelo estudante ou seja teremos como resolução da sentença aberta 30 55 2530 55 No quarto e último passo dessa modelagem é realizada uma análise das soluções encontradas o qual verificará se é correspondente com o objetivo e as condições apresentados no problema discente Assim analisando a solução da sentença aberta temos como conclusão da resolução do problema discente que o número natural que Mariana pensou foi 25 pois 25 somado com 30 resultam no número 55 Logo a sentença aberta só poderá ser substituída por 25 Portanto depois de toda resolução do problema discente é importante que o estudante seja motivado a verificar se existem outras maneiras de solucionar o problema discente partindo no conhecido agora atualizado pelo desconhecido A seguir sugestões de atividades contextualizadas para explorar o conhecimento de sentenças abertas envolvidas com o pensamento relacional Pense num número que subtraindo 17 o resultado é igual a 80 Qual é esse número Para a resolução dessa atividade teremos que o único número que poderá substituir essa sentença aberta é 97 pois 971780 Juliane tem o dobro da idade de sua irmã mais nova Sabendo que a idade das duas somadas resulta em 45 anos quantos anos a irmã mais nova de Juliane têm Para a resolução dessa atividade teremos que o único número que poderá substituir essa sentença aberta é 15 pois 21515 45 Outras sugestões de atividades não contextualizadas são Determine o valor que pode ser colocado nas sentenças abertas abaixo de modo que continuem verdadeiras a 6 2 1ª forma 6 4 2 então 4 é a solução 2ª forma 6 2 6 6 4 então 4 logo a solução é 4 b 7 6 4 1ª forma Como 6 4 2 7 2 podese resolver utilizando a estratégia do inciso 5 é solução 2ª forma 7 6 4 7 1 6 4 1 6 6 5 5 assim 5 é a solução 39 c 534 175 174 1ª forma 534 175 709 709 174 535 então a solução é 535 2ª forma Como 175 174 1 534 174 1 174 534 1 então a solução é 535 Observase que esta forma parece ser mais fácil para números grandes d 25 5 1ª forma 255 5 então 5 é a solução 2ª forma 55 25 então 5 logo a solução é 5 No Quadro 6 a tarefa está relacionada ao problema nº3 com a abordagem de letras como valor desconhecido o que denotamos por incógnitas partindo de conversões de sentenças abertas em verdadeiras como a finalidade de explorar dos discentes o conhecimento sobre incógnita Quadro 6 Tarefa com enfoque problematizador em equação do 1º grau Itens Descrição Texto da tarefa Mirtes tinha uma quantia no banco Na segundafeira retirou 135 reais e na terçafeira fez um deposito de 87 reais Com isso ficou com saldo de 344 reais Quanto ela tinha no início DANTE 2010 p 70 Objetivo da tarefa Introduzindo letras como valor desconhecido por meio da conversão de sentenças abertas em verdadeiras O Conhecido Operação de adição e subtração O Desconhecido Determinar a quantia que Mirtes tinha no inicio no banco Problema Discente nº3 Encontrar a solução de uma equação utilizando letras como valores desconhecidos com a finalidade de converter a sentença aberta em verdadeira por meio do significado de igualdade Estratégia de conexão entre conhecimento conhecido e desconhecido Realizar a operação de adição e subtração com as quantias retiradas e depositadas visando o saldo que Mirtes ficou em sua conta Operações de controle da ASPD As ações de construção do problema discente e do núcleo conceitual e procedimental serão elaboradas junto com os estudantes As ações relacionadas à solução e à análise do problema discente serão realizadas pelos estudantes independentemente Outras informações contextualizadas Sugere colocar tarefas com multiplicação e divisão combinação das quatro operações Fonte Elaborado pela Autora A resolução dessa tarefa iniciase com a formulação do problema pelo estudante onde serão destacados os conhecimentos conhecidos a cerca da manipulação da operação de adição e subtração e de 135 reais retirado 87 reais adicionado a conta de Mirtes e o saldo final da conta de 344 Partindo disso destacamse os elementos desconhecidos que são apresentados pela determinação da quantia que Mirtes tinha em sua conta bancária para que assim os estudantes possam reconhecer a contradição gerada pelo problema e enfim reconhecer qual é o conhecimento almejado 40 O segundo passo para a resolução relacionase com a construção do núcleo conceitual e procedimental visando estratégias de conexões entre os conceitos de adição subtração e incógnitas e os procedimentos aplicados na busca do valor desconhecido aplicando a operação de adição e subtração como agente principal nesses artifícios para que assim possamos determinar qual a quantia que Mirtes tinha em sua conta bancária e assim afirmar a veracidade da substituição da sentença aberta para incógnitas expressa pelo modelo matemático construído Logo temos o seguinte modelo para a resolução dessa tarefa 135 87 344 O terceiro passo consiste na aplicabilidade das estratégias balizadas no passo anterior relacionada aos conhecimentos conhecidos e desconhecidos já formulados pelo estudante ou seja teremos como resolução da sentença aberta 135 87 344 135 135 87 87 344 135 87 344 135 87 392 No quarto e último passo dessa modelagem é realizada uma análise das soluções encontradas o qual será verificado se é correspondente com o objetivo e as condições apresentados no problema discente Portanto considerando a solução da sentença aberta temos como conclusão da resolução do problema discente que o valor inicial que Mirtes tinha em sua conta era de 392 Assim para que a sentença seja verdadeira ela só poderá ser substituída por 392 Portanto depois de toda resolução do problema discente fazse imprescindível que o estudante seja motivado a verificar se existem outras maneiras de solucionar o problema discente partindo no conhecido agora atualizado pelo desconhecido Ou seja nesse momento podese introduzir o assunto de incógnitas na substituição das sentenças abertas assim a solução será a seguinte 𝑥 135 87 344 𝑥 135 135 87 87 344 135 87 𝑥 344 135 87 𝑥 392 Dessa forma o valor da nossa incógnita 𝑥 que representa o valor inicial do saldo da conta bancária de Mirtes é 392 A seguir sugestões de atividades contextualizadas para explorar o conhecimento de sentenças abertas substituídas por incógnitas 41 Um fazendeiro possui uma criação de porcos e galinha Sabendo que a quantidade de galinha é o triplo da quantidade de porcos e que os dois somados é igual a 144 Determine a quantidade de porcos e galinhas que o fazendeiro possui em sua fazenda Para a resolução dessa questão temos a interpretação em sentenças abertas como 3 144 e como equação 3𝑥 𝑥 144 as quais terão como resultado 36 porcos e 108 galinhas Sete macacos querem brincar de subir em duas árvores uma grande e uma pequena Quantos modos diferentes os sete macacos podem subir para brincar nas duas árvores Expresse uma sentença numérica de todos os modos diferentes em que os sete macacos podem subir para brincar nas duas árvoresWALLE 2009 p 291 Para a resolução dessa questão temos a interpretação em sentenças abertas como 7 e como equação 𝑎 𝑏 7 isto é 077 167 257 347 No Quadro 7 a tarefa está catalogada ao problema nº4 com o intuito de construir as propriedades do sistema numérico de forma generalizada utilizando sentenças numéricas por meio de conjecturas relacionadas ao significado do símbolo de igualdade tendo em vista ampliar o conhecimento aritmético com as operações de adição e subtração Quadro 7 Tarefa com conjecturas de adição e subtração Itens Descrição Texto das tarefas aSome a um numero o valor zero Teste com vários números A que conclusão você pode chegar Escreva uma sentença numérica e justifique sua resposta b subtraia um número dele mesmo Teste com vários números A que conclusão você pode chegar Escreva uma sentença numérica e justifique sua resposta c Some dois números e posteriormente inverta a ordem do somando e compare os resultados A que conclusão você pode chegar Escreva o fato anterior uma sentença numérica Objetivo da tarefa Introduzir o pensamento aritmético generalizado na construção e resolução de conjecturas O Conhecido Operação de adição e subtração O Desconhecido Determinar uma sentença numérica que satisfaça os testes com números Problema Discente nº4 Encontrar uma solução de uma sentença numérica generalizada utilizando letras para determinar os valores desconhecidos dos números com a finalidade de converter a sentença aberta em verdadeira por meio do significado de igualdade Estratégia de conexão entre conhecimento conhecido e desconhecido Realizar a operação de adição e subtração com as sentenças numéricas de modo que seja verdadeira a afirmativa da questão Operações de controle da ASPD As ações de construção do problema discente e do núcleo conceitual e procedimental serão elaboradas junto com os estudantes 42 As ações relacionadas à solução e à análise do problema discente serão realizadas pelos estudantes independentemente Outras informações contextualizadas Sugere colocar tarefas que explorem a construção de conjecturas com as operações de adição e subtração Fonte Elaborado pela Autora Para a resolução da alternativa a da tarefa primeiramente é sugerido aos estudantes formular o problema discente onde eles podem destacar os seus conhecimentos conhecidos acerca do domínio da aplicabilidade da operação de adição o qual já deve fazer parte de sua da zona de desenvolvimento real Em seguida os estudantes expõem os elementos desconhecidos que são dados pela determinação de uma sentença numérica generalizada que satisfaça os testes com números feitos por eles para que assim eles possam reconhecer a contradição gerada pelo problema e enfim reconhecer qual é o conhecimento almejado Prosseguindo com a resolução o segundo passo consta em construir o núcleo conceitual e procedimental visando estratégias de conexões entre os conceitos de sentenças numéricas e operação de adição e os procedimentos apresentados na resolução dessas sentenças com a operação de adição como suporte nas estratégias para que possamos determinar qual sentença numérica generalizada satisfaz os testes com números utilizados pelos estudantes de modo que seja possível expressar um modelo matemático Então temos o seguinte modelo para a resolução dessa alternativa 𝑎 0 𝑎 O terceiro passo busca a aplicabilidade das estratégias delineadas no passo anterior relacionadas com os conhecimentos conhecidos e desconhecidos já formulados pelo estudante isto é teremos como resolução do modelo matemático instituído os seguintes testes numéricos 404 606 909 e isso é uma verdade para todos os números somados com zero No quarto e último passo dessa modelagem é realizada uma análise das soluções dos testes numéricos feitos junto ao modelo matemático o qual verificará se corresponde com o objetivo e as condições apresentadas no problema discente Dessa forma analisando a solução das sentenças numéricas temos como conclusão que qualquer número adicionado a zero o valor resultará no próprio número Analogamente isso ocorre subtraindo zero de um número qualquer exemplo 4 0 4 7 0 7 e assim sucessivamente seguindo o modelo matemático 𝑎 0 𝑎 Logo depois de toda resolução do problema discente é indispensável que o estudante seja motivado a verificar se existem outras maneiras de solucionar o problema discente partindo do conhecido agora atualizado pelo desconhecido Ou seja que os estudantes façam vários testes numéricos onde as propriedades do sistema de numeração se aplicam 43 A seguir sugestões de atividades a serem exploradas na construção de um pensamento aritmético generalizado com conjecturas frisando o pensamento relacional nas resoluções Subtraia um número dele mesmo Teste com vários números A que conclusão você pode chegar Escreva uma sentença numérica e justifique sua resposta Na resolução dessa tarefa chegaremos a seguinte conclusão do modelo matemático 𝑎 𝑎 0 e os seguintes testes com números 4 4 0 9 9 0 Soma dois números e posteriormente inverta a ordem do somando e compare os resultados A que conclusão você pode chegar Escreva o fato anterior uma sentença numérica Na resolução dessa tarefa chegaremos a seguinte conclusão do modelo matemático 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 e os seguintes testes com números 4 5 5 4 9 3 3 9 No Quadro 8 a tarefa está também vinculada ao problema nº4 com o intuito de construir as propriedades do sistema numérico de forma generalizada utilizando sentenças numéricas por meio de conjecturas relacionadas ao significado do símbolo de igualdade ampliando assim o conhecimento generalizado aritmético com as operações de multiplicação e divisão Quadro 8 Tarefa com conjecturas de multiplicação e divisão Itens Descrição Texto das tarefas aMultiplique um número por 1 Teste com vários números A que conclusão você pode chegar Escreva uma sentença numérica e justifique sua resposta bDivida um número por 1 Teste com vários números A que conclusão você pode chegar Escreva uma sentença numérica e justifique sua resposta cDivida um número por ele mesmo de forma que o denominador seja diferente de zero Teste com vários números A que conclusão você pode chegar Escreva uma sentença numérica e justifique sua resposta dMultiplique dois números e posteriormente inverta a ordem do multiplicando e compare os resultados Teste com vários números A que conclusão você pode chegar Escreva uma sentença numérica e justifique sua resposta Objetivo da tarefa Introduzir o pensamento aritmético generalizado na construção e resolução de conjecturas O Conhecido Operação de multiplicação e divisão O Desconhecido Determinar uma sentença numérica que satisfaça os testes com números Problema Discente nº4 Encontrar uma solução de uma sentença numérica generalizada utilizando letras para determinar os valores desconhecidos dos números com a finalidade de converter a sentença aberta em verdadeira por meio do significado de igualdade Estratégia de conexão entre conhecimento conhecido e desconhecido Realizar as operações de multiplicação e divisão com as sentenças numéricas de modo que seja verdadeira a afirmativa da questão Operações de controle da ASPD As ações de construção do problema discente e do núcleo conceitual e procedimental serão elaboradas junto com os estudantes 44 As ações relacionadas à solução e à análise do problema discente serão realizadas pelos estudantes independentemente Outras informações contextualizadas Sugere colocar tarefas que explorem a construção e resolução de conjecturas com as operações de multiplicação e divisão Fonte Elaborado pela Autora Resolvendo a primeira alternativa da tarefa os estudantes terão que formular o problema discente concentrando em apresentar os conhecimentos conhecidos sobre a manipulação da operação de multiplicação Partindo disso é necessário que eles abordem os elementos desconhecidos que são dados pela determinação de uma sentença numérica generalizada que satisfaça os testes com números sugeridos por eles Diante disso os estudantes devem reconhecer a contradição gerada pelo problema e enfim reconhecer qual é o conhecimento ansiado O segundo passo é constituir o núcleo conceitual e procedimental traçando estratégias de conexões entre os conceitos de sentenças numéricas e operação de multiplicação e os algoritmos ligados à resolução dessas sentenças com a operação de multiplicação como base nas estratégias para que possamos determinar qual sentença numérica generalizada que satisfaça os testes com números sugeridos pelos discentes e assim escrever um modelo matemático Logo temos como modelo para a resolução dessa alternativa 𝑎 1 𝑎 Partindo do passo anterior agora podese sobrepor as estratégias destacadas relacionandoas aos conhecimentos conhecidos e desconhecidos já formulados pelo estudante Assim solucionando o modelo matemático temos os seguintes testes numéricos 414 616 919 e isso é verídico para todos os números multiplicados por um No último passo da resolução são analisadas as soluções dos testes numéricos feitos no passo anterior baseado no modelo matemático instituído e isso possibilitará averiguar se as condições apresentadas no problema discente correspondem ao objetivo da tarefa Decorrente a isso avaliando a solução das sentenças numéricas temos como conclusão que qualquer número multiplicado por um obtémse o valor do próprio número Reformulando o problema discente para multiplicação de qualquer número por zero alcançamos um resultado distinto do anterior isto é temos que qualquer número multiplicado por zero o resultado sempre será zero Segue daí o modelo matemático 𝑎 0 0 aplicando em exemplos numéricos teremos 4 0 4 9 0 0 Logo depois de toda resolução do problema discente é importante que o estudante seja motivado a verificar se existem outras maneiras de solucionar o problema discente partindo do conhecido agora atualizado pelo desconhecido Isto é que os estudantes façam vários testes numéricos onde as propriedades do sistema de numeração se aplicam 45 Abaixo listarei algumas sugestões de atividades a serem cultivadas dentro de sala de aula para a gradativa construção de um pensamento aritmético generalizado com conjecturas sempre frisando o pensamento relacional para suas resoluções Divida um número por 1 Teste com vários números A que conclusão você pode chegar Escreva uma sentença numérica e justifique sua resposta A tarefa tem como modelo matemático 𝑎 1 𝑎 e como aplicações numéricas de exemplos 4 1 4 6 1 6 e assim sucessivamente pois isso é uma propriedade verdadeira o qual conclui que qualquer número dividido por 1 o resultado sempre será o próprio número dividido Divida um número por ele mesmo de forma que o denominador seja diferente de zero Teste com vários números A que conclusão você pode chegar Escreva uma sentença numérica e justifique sua resposta A tarefa tem como modelo matemático 𝑎 𝑎 1 e como aplicações numéricas de exemplos 4 4 1 6 6 1 e assim sucessivamente pois isso é uma propriedade verdadeira o qual conclui que qualquer número dividido por ele mesmo o resultado sempre será 1 Multiplique dois números e posteriormente inverta a ordem do multiplicando e compare os resultados Teste com vários números A que conclusão você pode chegar Escreva uma sentença numérica e justifique sua resposta A tarefa tem como modelo matemático 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 e como aplicações numéricas de exemplos 4 6 6 4 5 7 7 5 e assim sucessivamente pois isso é uma propriedade verdadeira o qual conclui que qualquer número multiplicado por outro em qualquer ordem posicional sempre será resultará no mesmo resultado 43 SUGESTÕES PARA A ORGANIZAÇÃO DO PROCESSO DE ENSINO APRENDIZAGEM Para obter êxito no processo de ensino e aprendizagem a organização é primordial e para isso devese considerar uma lógica nos conteúdos ministrados uma teoria que explique como os estudantes aprendem e também a intervenção com estratégias mediadoras de ensino entre os estudantes e o objeto de aprendizagem A seguir serão apresentadas sugestões de princípios para o planejamento da sequência didática Identificar no processo de ensino e aprendizagem as principais propostas do projeto pedagógico no contexto em que se desenvolve a Matemática e as características dos estudantes professores e recursos didáticos referidos à atividade 46 Determinar o nível de partida da atividade cognitiva diagnóstico dos estudantes ou seja o nível dos conhecimentos matemáticos necessários para a referida resolução de equações a resolução de problema e verificar a atitude e motivação dos estudantes diante da atividade O professor a partir do diagnóstico deve construir os problemas discentes que geram o sistema de tarefas Construir o Esquema da Base Orientadora Completa da Ação EBOCA da Atividade de Situações Problema Discente ASPD que servirá para o estudante como modelo para sua BOA e avaliação para o professor Selecionar os recursos didáticos visando o tipo de Base Orientadora da Ação BOA Selecionar o sistema de avaliação considerando cada etapa que será formada Preparar o plano de ensino seguindo a formação das ações mentais Fazer os planos de aulas 47 CONSIDERAÇÕES FINAIS O ensino problematizador de Majmutov propõe a construção de um sistema de tarefa com uma contradição objetiva entre conhecimento conhecido e desconhecido que deve ser construído pelo professor dentro da zona de desenvolvimento proximal Por outro lado o professor deve mediar no processo de ensino e aprendizagem para que a contradição se converta num problema discente A proposta de Walle da utilização do pensamento algébrico para a resolução de equações ajuda ao estudante na formação do pensamento abstrato e para isso se sugere que seja utilizado à organização do processo de ensino aprendizagem por meio da teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin com o papel mediador do professor seguindo os princípios da Atividade de Estudo de Talízina A construção dos problemas discente permite a constituição do sistema de tarefa A Atividade de Situação Problema Discente possibilitará ao estudante orientarse para resolução correta de equações O EBOCA da ASPD servirá de modelo para os estudantes formar sua BOA e para o professor avaliar o desempenho dos estudantes Contudo a pesquisa apresenta um leque teórico e pedagógico com sequências didáticas que servirão para melhoria do sistema de ensino e aprendizagem da resolução de equações no 7º ano do Ensino Fundamental desenvolvendo competências e habilidades que se aplicam no cotidiano dos discentes Portanto temos que para a construção de um pensamento algébrico enraizado em generalizações aritméticas o pensamento relacional tornase indispensável pois possibilita correlacionálo com o conhecido do estudante até que ele atinja o seu potencial de aprendizagem para então consolidar o letramento matemático na sala de aula 48 REFERÊNCIAS BRASIL Ministério da Educação Base Nacional Comum Curricular Brasília DF 2018 DANTE L R Tudo é Matemática 6º Ano 3ed São Paulo Editora Ática 2010 GALPERIN P Ya Formation as a Method of Psychological Investigation Jornal of Russian and East European Psychology p 6080 jun 1992 GUÉTMANOVA A Lógica Moscú Editora Progresso 1989 LEONTIEV A O desenvolvimento do psiquismo tradução Rubens Eduardo Frias 2ed São Paulo Centauro 2004 MAJMUTOV MJ La enseñanza problémica Habana Pueblo y Revolunción 1983 MENDOZA H J G DELGADO O T Proposta de um esquema da base orientadora completa da ação da atividade de situações problema discente Obutchénie Revista de Didática e Psicologia Pedagógica v 4 n 1 p 180200 3 de agosto de 2020 MENDOZA H J G DELGADO O T Contribuições do sistema didático Galperin Talízina e Majmutov para resolução de problemas In Andréa Maturano Longarezi Roberto Váldes Puentes Org Ensino Desenvolvimental Sistema GalperinTalízina 1edGuarujá São Paulo Editora Científica Digital Ltda 2021 p 333359 NÚÑEZ I B RAMALHO B L Diagnóstico do nível de desenvolvimento da orientação de uma ação em Química Geral com futuros professores Obutchénie Revista de Didática e Psicologia Pedagógica 22 p 412439 2018 TALÍZINA N F Psicologia de la Enseñanza Moscú Editorial Progresso 1988 VYGOTSKY L S Pensamento e linguagem São Paulo Martins Fontes 1989 WAKIYAMA Y N MENDOZA H J G Diagnóstico da aprendizagem por meio da atividade de situações problema discente em modelagem Matemática dos estudantes de licenciatura em Matemática da Universidade Federal de Amazonas Revista de Ensino de Ciências e Matemática v 12 n 6 p 125 29 dez 2021 WALLE J A V Matemática no ensino fundamental formação de professores em sala de aula 6ed Porto Alegre Editora Artmed 2009 Tabela 3 Resultados Pedagógicos Fonte Elaboração Própria ¹ BOA Base Orientadora da Ação ² ZDP Zona de Desenvolvimento Proximal ³ EBOCA Esquema da Base Orientadora Completa da Ação A análise da tabela 3 mostra os principais resultados pedagógicos obtidos sobre o ensino da matemática em escolas de ensino fundamental nos 7 e 8 ano importante destacar que os trabalhos utilizados para a construção da tabela utilizam a mesma metodologia a teoria históricocultural Nascimento 2017 apoia a sua pesquisa com os fundamentos da teoria históricocultural tendo base autores como Vygotsky Galperin Leóntiev Talízina Esses autores corroboram resultados obtidos por Nascimento 2017 na sua pesquisa no qual o desenvolvimento dos alunos em matemática não deve ser algo mecânico deve haver um desenvolvimento do raciocínio matemático para isso ele enfatiza a formação por etapas das ações mentais de Galperin O tipo de atividade utilizada por Nascimento 2017 foi a Atividade de Situações Problema ASP para alunos do 8 ano do ensino fundamental da Escola Estadual Monteiro Lobato localizada no estado de Roraima tendo como base de estudos equações de 1 grau Na qual foi possível observar que os alunos tiveram melhor desempenho na resolução algébrica do que nas outras situações da ASP Devido a abordagem dos métodos de ensino já que eles recebiam os problemas matemáticos prontos ou seja eles não conseguiam desenvolver as outras habilidades por estarem habituados aos problemas prontos Ele pôde concluir que a maioria dos alunos tinham Conteúdo Principais Resultados Pedagógicos Equações do 1º grau 8º ano Dificuldade na construção de equações matemáticas Dificuldades com operações matemáticas básicas A utilização da BOA¹ ajudou no desenvolvimento dos alunos Expressões Algébricas e Valores Numéricos 8 ano Melhora na compreensão das expressões algébricas e valor numérico Maioria dos alunos conseguiu realizar a Atividade de Situação problema Uso efetivo da ZDP² e da BOA Operações com Números Inteiros 7 ano Dificuldades em sinais e ordem das operações Após a ASP os alunos melhoram significativamente Resolução de equações 7 ano ASPD desenvolveu a autonomia dos alunos no aprendizado Uso eficaz do EBOCA³ e da BOA Após o uso dos métodos os alunos foram capazes de construir as equações a partir de situações problema dificuldades básicas nas operações matemáticas por exemplo em divisão de números negativos o que gerava dificuldades nas resoluções das equações de 1 grau e que sem uma Base Orientadora da Ação BOA os alunos não conseguiam progredir nas resoluções Silva 2018 também utiliza a abordagem da teoria históricocultural no processo de aprendizagem Os seus dados foram obtidos a partir dos estudantes do 8 ano do Ensino Fundamental do Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Roraima CApUFRR através de uma prova de lápis e papel analisando o aprendizado sobre as expressões algébricas e valor numérico Neste caso os resultados obtidos pela ASP mostraram que a maioria dos alunos obtiveram melhora no desempenho das expressões algébricas e valor numérico já que eles conseguiram realizar as etapas Novamente a teoria de Galperin foi comprovada e a BOA ajudou no avanço do aprendizado dos alunos No TCC de Silva 2018 que analisou o aprendizado de operações com números inteiros com alunos do 7 ano na Escola Voltaire Pinto Ribeiro localizada em Roraima É utilizado a mesma base teórica mencionada nas análises anteriores após a aplicação da ASP os alunos obtiveram resultados satisfatórios nas quatro ações referentes Nesse trabalho a autora destaca que um uso integrado da Zona de Desenvolvimento Proximal ZPD e da Boa estimulam o aprendizado dos alunos e a sua autonomia no aprendizado da matemática Por fim Costa 2022 utiliza os mesmos conceitos teóricos apresentados anteriormente agora aplicados na resolução de equações com alunos do 7 ano do ensino fundamental A diferença desse trabalho para os anteriores está na utilização da Atividade de Situações Problema Discente ASPD e do Esquema da Base Orientadora Completa da Ação EBOCA pois estimularam os alunos a desenvolverem autonomia cognitiva eles foram levados a construir as equações a partir de situações problema ajudandoos a entenderem outros assuntos matemáticos como por exemplo o significado do sinal de igualdade A análise dos resultados mostra que a metodologia utilizada nos trabalhos para o processo de ensinoaprendizagem da matemática que é a teoria históricocultural apresenta impactos positivos no aprendizado dos alunos seja através da Atividade de Situações Problema ASP ou Atividade de Situações Problema Discente ASPD O uso da Base Orientadora da Ação BOA levou os estudantes a se desenvolverem cada vez mais nos estudos da matemática tornando capazes de resolverem problemas matemáticos com o uso contínuo da metodologia Com relação a Base Nacional Comum Curricular BNCC os trabalhos analisados mostramse alinhados a ela pois a metodologia utilizada elevam o nível de conhecimento e habilidades dos alunos em matemática