Anéis de Polinômios - Exercícios Resolvidos e Teoria

Capítulo 8 Anéis de Polinômios 87 Se fx for irredutível sobre K então o teorema é verdadeiro Se fx não é irredutível sobre K então fx gx hx com 1 gx n I hx n Pela hipótese indutiva temos que gx b q1x q2x qrx hx c q1x q2x qsx com b c K e qjx qjx polinômios irredutíveis sobre K Logo fx gx hx b c q1x q2x qrx q1x q2x qsx com b c K Vejamos agora a unicidade suponhamos que fx a p1x p2x pmx a p1x p2x psx Então p1x a p1x p2x pmx pelo corolário 83 temos que existe 1 j0 s tal que p1x px Como px é redutível sobre K temos que px ajo p1x com aj0 K Isto é p1x e px são polinômios associados Como Kx é um anel de integridade temos que a p2x pmx a ajo p1x p1x p1x psx O mesmo raciocínio para p2x p3x Obtendo assim que m s e que a a a1 am 84 Exercícios 1 Determine todos os polinômios de grau 2 em Z2x 2 Determine todos os polinômios mónicos de grau 2 em Z3x e em Z5x 3 Sejam p primo e d N Capítulo 8 Anéis de Polinômios 88 a Determine o número de polinômios de grau menor ou igual a d em Zpx b Determine quantos polinômios mónicos de grau d existem em Zpx c Determine quantos polinômios de grau d existem em Zpx 4 Seja A um anel de integridade Prove que CarA CarAx 5 Prove que se A e B são anéis isomorfos então os anéis Ax e Bx são isomorfos 6 A derivada formal de um polinômio px a0 a1x anxn sobre A na indeterminada x é definida por px a1 2a2x nanxn1 Prove que px qx px qx e px qx px qx px qx 7 Em cada caso determine os polinômios gx e rx quociente e resto da divisão de fx por gx a fx x3 x 1 gx x 1 em Qx b fx x4 1 gx x2 2 em Qx c fx x2 2 gx x 1 em Z3x d fx x4 ix2 1 gx ix2 1 em Cx Capítulo 8 Anéis de Polinômios 89 8 Verifique que fx gx na prova do Algoritmo da divisão 9 Seja p um número primo prove que cada elemento de Zp é uma raiz de xp x 10 Dê um exemplo de polinômios fx e gx para mostrar que o algoritmo da divisão não vale em Zx