Atividade-cálculo 2

Questões 1 Calcule a integral indefinida 3x²5x1 dx 2 Resolva a seguinte integral por substituição x1x² dx 3 Resolva usando substituição trigonométrica 14x²9 dx 4 Resolva usando integração por partes x lnx dx 5 Calcule a seguinte integral racional por frações parciais 2x3x² x 2 dx 6 Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular ₁⁴ 2t³t dt 7 Determine a área entre as curvas y x² e y 2x 8 Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y x e o eixo x no intervalo 04 em torno do eixo x 9 Calcule o comprimento de arco da curva y 13 x32 no intervalo 0 x 4 10 Seja r t t² lnt t com t 12 Calcule a A derivada vetorial r t b O comprimento da curva no intervalo dado 1 3x²5x1 dx 3x² dx 5x dx 1 dx 3 x² dx 5 x dx 1 dx 3 x³3 5 x²2 x c₁ c₂ c₃ c x³ 52 x² x C 3x²5x1 dx x³ 52 x² x C 2 x1x² dx 1u du2 12 u12 1 12 u12 1 12 1 C u1x² du2x du2 dx x 12 u12 12 C u12 C u12 c 1x²12 C Daí x1x² dx 1x² C 3 1 4x²9 dx tome 4x²9 2x² 3² daí 2x 32 secθ x 32 secθ dx 32 secθ tgθ dθ 1 4 94 sec² θ 9 32 secθ tgθ dθ 1 9 sec² θ 9 32 secθ tgθ dθ assumindo tgθ 0 tgθ tgθ 1 32 tgθ dθ 12 secθ dθ 12 ln secθ tgθ C Como x 32 secθ secθ 2x3 a tgθ sec²θ 1 2x3² 1 4x²9 1 4x² 93 substituindo integral 1sqrt4x29 dx 12 ln2x3 sqrt4x293 c 12 ln2x sqrt4x29 ln 3 c 12 ln2x sqrt4x29 D em que D 12 ln 3 c que é constante integral 1sqrt4x29 dx 12 ln2x sqrt4x29 D 4 integral x ln x dx integral ln x x dx ln xx22 integral x22 1x dx x2 ln x2 integral x2 dx x2 ln x2 12 x22 C x2 ln x2 x24 C integral x ln x x22 ln x x24 C 5 integral 2x3x2x2 dx integral 2x3x2x1 dx integral 13 1x2 53 1x1 dx 13 integral 1x2 dx 53 integral 1x1 dx 13 lnx2 53 lnx1 c integral 2x3x2x2 dx 13 lnx2 53 lnx1 c 2x3x2x1 Ax2 Bx1 2x3 Ax1 Bx2 Ax A Bx 2B ABx A 2B 2x 3 A B 3 A 2B AB 2 A 2B 3 3B 5 B 53 A 53 2 A 2 53 13 6 integral14 2t3 t dt F4 F1 integral 2t3 t dt 2 integral t3 dt integral t dt 2 t44 t22 c t42 t22 c logo Ft 12 t4 12 t2 F4 12 44 12 42 12 256 12 16 128 8 120 F1 12 14 12 12 12 12 0 Daí F4 F1 120 0 120 integral14 2t3 t dt 120 7 x2 2x x2 2x 0 x x 2 0 logo x 0 ou x 2 Para x no intervalo 02 calculamos um ponto x1 y 2x x1 21 2 y x2 x1 12 1 daí 2x x2 em 02 A integral02 2x x2 dx 2 integral02 x dx integral02 x2 dx 2 x22 02 x33 02 22 02 233 033 40 83 0 4 83 123 83 43 logo a área entre as curvas y 2x e y x2 é 43 ua A integral02 2x x2 dx 43 ua 8 V pi integral04 sqrtx2 dx pi integral04 x dx pi x2204 pi 422 022 pi 8 0 8pi uv O volume do sólido gerado pela rotação da região sob y sqrtx de x0 até x4 em torno do eixo x é 8pi uv 9 L integralab sqrt1 dydx2 dx com y x323 dydx 13 32 x321 12 x12 Daí dydx2 12 x122 14 x e teremos L integral04 sqrt1 14 x dx L integral04 sqrt4 x4 dx 12 integral04 sqrt4 x dx 12 integral48 sqrtu du 12 23 u32 48 u 4 x x 0 u 4 dudx 1 x 4 du dx u 8 integral04 sqrt4 x4 dx 13 832 432 13 2 sqrt 23 23 13 16 sqrt 2 8 83 2 sqrt 2 1 L integral04 sqrt4 x4 dx 83 2 sqrt 2 1 uc O comprimento do arco da curva y 13 x32 de x0 a x4 é 83 2 sqrt 2 1 uc 40 a rt ddt t2 ddt lnt ddt t 2t 1t 1 logo rt 2t 1t 1 b L ab rt dt rt 2t2 1t2 12 4 t2 1t2 1 4 t4 1 t2 t rt 4 t4 t2 1 t Daí temos L 12 4 t4 t2 1 t dt Essa integral só pode ser resolvida numericamente entõs a solução consiste na expressão L 12 4 t4 t2 1 t dt 325323 Calculado pelo Wolfram