Exercícios de Modelagem

1 Uma massa de 1kg é presa a uma mola que tem constante de elasticidade igual a 1Nm A massa é solta 2m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de 4ms para baixo O meio em que o sistema está imerso oferece uma força de resistência em N numericamente igual ao dobro da velocidade instantânea em ms Além disso a massa sofre a ação de uma força externa igual a Ft sent 3cos2t em N para baixo com t em s Considere que deslocamentos abaixo da posição de equilíbrio estão no sentido positivo a Encontre uma fórmula para a posição em função do tempo b Como o movimento se comporta a longo prazo 2 Considere o sistema massamola mx βx kx 0 Relacione os valores das constantes com o tipo de sistema e o gráfico das soluções Exemplo ABC Valores das Constantes A1 m k 1 β 0 A2 m 2 β 3 k 1 A3 m β k 1 Tipo de Sistema B1 movimento livre subamortecido B2 movimento livre superamortecido B3 movimento livre nãoamortecido ou harmônico simples Gráficos das soluções C1 C2 C3 3 Uma esfera de cobre é aquecida a uma temperatura de 100ºC No instante t 0 ela é imersa em água que é mantida a uma temperatura de 30ºC Ao fim de 3 minutos a temperatura da esfera está reduzida a 70ºC Determinar o instante em que a temperatura se encontra reduzida a 31ºC Questão 1 1 Uma massa de 1 kg é presa a uma mola que tem constante de elasticidade igual a 1 Nm A massa é solta 2 m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de 4 ms para baixo O meio em que o sistema está imerso oferece uma força de resistência em N numericamente igual ao dobro da velocidade instantânea em ms Além disso a massa sofre a ação de uma força externa igual a Ft sent 3 cos2t emN para baixo com t em s Considere que deslocamentos abaixo da posição de equilíbrio estão no sentido positivo a Encontre uma fórmula para a posição em função do tempo b Como o movimento se comporta a longo prazo Solução do item a Apartir dos dados temos que A massa do bloco em kg é tal que m 1 e a constante elástica é 1Nm Logo a força elástica de Hooke é Fel x em que x é uma função do tempo isto é x é xt A força de atrito decorrente do meio em que o corpo está inserida é dada por Fa 2 dxdt em que dxdt é a velocidade dada e escrita em termos da derivada da posição A força externa é dada por Ft sent 3 cos2t A posição inicial do bloco é tal que x0 2m e sua velocidade inicial vale v0 4ms Perceba que todos os dados estão em unidades do SI fazendo assim não necessario quaisquer conversões De posse disso veja que a segunda lei de Newton nos fornece que Fresultante Σ Fi d2xdt2 Fel Fa Ft d2xdt2 x 2 dxdt sint 3 cos2t Logo nosso problema é resolver o seguinte PVI d2xdt2 2 dxdt x sent 3 cos2t x0 2 v0 4 Perceba que assumimos aqui o ponto de equilíbrio como referência do sistema dessa forma xt aqui denota a posição relativa do corpo em relação ao do ponto de equilíbrio Para reslvermos o PVI e obtermos uma solução para o problema começaremos a resolver a EDO homogênea associada supondo uma solução do tipo x ert em que r é um termo a determinar Assim segue que temos o seguinte desenvolvimento x ert d2dt2 ert 2 ddt ert ert 0 r2 ert 2 r ert ert 0 ert r2 2r 1 0 r2 2r 1 0 r 12 0 r 1 Com efeito obtemos r 1 e logo isso nos fornece uma única solução para o PVI que é dada por x1 et entretanto é necessário que tenhamos duas soluções linearmente independentes para a EDO visto que nossa EDO é de segunda ordem Dessa forma segue que devemos ter então uma segunda solução x2 t que é dada por x2 t t x1 tet o qual segue do método de redução de ordem para o caso particular de uma EDO de coeficiêntes constantes Dessa forma a solução homogênea é então dada pela combinação linear dessas soluções que é xht Ax1 Bx2 Aet Btet em que A e B são constantes a determinar Agora de posse da solução homogênea vmos resolver o problema particular associado ao termo não homogêneo da função Ft Para isso vamos supor uma solução da forma xp a sinkt b coskt Com efeito teremos na verdade que aplicar o método dos coeficientes a determinar duas vezes uma para o termo sint e outra para o termo cos2t No entanto ambas as propostas de solução tem a mesma expressão de xp diferindo apenas o do valor de k sendo k 1 para sint e k 2 para cos2t Nesse sentido podemos fazer o desenvolvimento a partir de xp e então depois substituiremos o valor de k Com efeito segue que as derivadas de xp são xp a sinkt b coskt dxp dt ka coskt b sinkt d2xp dt2 k2a sinkt b coskt Levando os resultados acima na EDO teremos fkt d2xp dt2 2dxp dt xp k2a sinkt b coskt 2ka coskt b sinkt a sinkt b coskt k2a 2kb a sinkt k2b 2ka b coskt Então veja que para k 1 segue que f1 sint e temos que a 2b a sint b 2a b coskt sint 2b 1 2a 0 logo b 1 2 e a 0 e segue que a solução para essa função é xp1t 1 2 cost Por outro lado teremos para o caso em que k 2 que f2 3 cos2t e logo 4a 4b a sin2t 4b 4a b cos2t 3 cos2t 4b 3a 0 3b 4a 3 ou seja a 4b 3 e logo segue que 3b 16b 3 3 9b 16b 9 b 9 25 consequentemente a 4b 3 4 3 9 25 12 25 Logo segue que temos o seguinte xp2t 12 25 sin2t 9 25 cos2t 3 Portanto a solução final do problema é dada por xt xh xp1 xp2 Aet Btet 12 cost 1225 sin2t 925 cos2t Resta então colocarmos o PVI na solução Com efeito veja que da posição temos que x0 2 2 A 12 925 A 14350 Agora para a velocidade veja que dxdt Aet Bet Btet 12 cost 2425 cos2t 1825 sin2t logo em t 0 temos que 4 A B 12 2425 B 4 A 12 2425 5910 Logo identificamos as constantes e disso segue que a solução final para a posição x do bloco é dada por xt 14350 et 59ett10 1225 sin2t 925 cos2t 12 cost Com isso obtemos o desejado Solução do item b Para longo prazo entendemos o regime assintótico tal que t Dessa forma nesse limite temos que lim t xt lim t 14350 et 59ett10 1225 sin2t 925 cos2t 12 cost lim t 1225 sin2t 925 cos2t 12 cost uma vez que os termos proporcionais vão a zero uma vez que limt et 0 e limt tet pois et decresce mais rapidamente que t Então segue que no regime de longo tempo a posição xt do bloco é determinada pela solução associada a parte particular do sistema em especial o teremos o regime oscilatório dado por elas até que para valores muito grandes de t a solução deixa de valer uma vez que os limites das funções seno e cosseno não existem para quando seus argumentos tendem ao infinito Questão 2 2 Considere o sistema massamola mx βx kx 0 Relacione os valores das constantes com o tipo de sistema e o gráfico das soluções Para os casos A1 m 1 β 0 k 1 A2 m 2 β 3 k 1 A3 m β k 1 Solução Vamos primeiro resolver o problema de forma geral Com efeito veja que as soluções da EDO dada são do tipo x ert logo segue que teremos o seguinte desenvolvimento x ert mert βert kert 0 mr2 ert βrert kerrt 0 ert mr2 Br k 0 mr2 βr k 0 r12 β β2 4 m k 2m De posse disso vamos determinar as soluções para cada caso dado Para A1 temos m 1 β 0 e k 1 e logo ficamos com r12 0 02 4 2 4i2 i Nesse caso as soluções são então dadas por x eit Ou seja a solução geral é da forma xt A eit B eit A cost i sint B cost i sint A B cost A i B i sint A cost B sint em que A A i B i e B A B são constantes Logo essa solução é periódica e é associada ao oscilador harmônico simples sem amortecimento Dessa forma seu gráfico deve ser uma função oscilatória apenas A correspondência então fica A1 B3 C1 Para A2 temos m 2 β 3 e k 1 daí segue que r12 3 9 4 1 2 4 3 1 4 r1 44 1 r2 24 12 e logo a solução fica dada por xt Aet Be12t em que A e B são constantes Perceba que essas soluções são funções que não oscilam e ainda veja que os termos et e e12t são sempre positivos e logo não deve haver soluções negativas ou que mudem de sinal para esse caso Em verdade essa solução tende a zero rapidamente para quando t assim correspondendo ao movimento superamortecido e assim seu gráfico correspondente é C3 logo a correspondência fica A2 B2 C3 Por fim no caso em que todas as constantes são 1 temos que r12 1 1 4 1 1 2 1 3 2 12 32 i daí segue que r 12 32 i e logo a solução xt fica dada por xt A er t B er t e12t A e32 it B e32 it e12t A cos32 t i sin32 t B cos32 t i sin32 t e12t A cos32 t B sin32 t em que A A B e B A i B i são constantes de integração Nesse caso veja que parte da solução termo dos colchetes contém uma parte oscilatória enquanto há um termo exponencial negativo multiplicandoo Com efeito esse caso é o oscilador harmônico subamortecido e seu gráfico correspnde a uma curva decrescente tendo algu mas oscilações que tem suas amplitudes diminuindo ao longo tempo dessa forma essa correspondência deve ser A3 B1 C2 Obs Todos os osciladores são livres uma vez que não há termo não homogêneo em sua EDO 7 Questão 3 3 Uma esfera de cobre é aquecida a uma temperatura de 100C No instante t 0 ela é imersa em água que é mantida a uma temperatura de 30C Ao fim de 3 minutos a temperatura da esfera está reduzida a 70C Determinar o instante em que a temperatura se encontra reduzida a 31C Solução Com efeito seja 𝜙𝑡 a temperatura do corpo em um instante t então o modelo de resfriamento de corpos com uma temperatura ambiente 𝜙𝑎 é tal que ddt 𝜙𝑡 𝑘 𝜙𝑡 𝜙𝑎 𝜙0 100 𝜙3 70 em que 𝜙𝑎 30 é a temperatura da água que representa o ambiente em que a esfera está imerssa Então de posse disso podemos passsar para a solução da EDO fazendo o seguinte desenvolvimento ddt 𝜙𝑡 𝑘 𝜙𝑡 𝜙𝑎 d𝜙𝜙 𝜙𝑎 𝑘𝑑𝑡 d𝜙𝜙 𝜙𝑎 𝑘𝑑𝑡 ln 𝜙 𝜙𝑎 𝑘𝑡 𝐶1 𝜙 𝜙𝑎 𝑒𝑘𝑡𝑐1 𝜙𝑡 𝜙𝑎 𝐶 𝑒𝑘𝑡 𝐶 𝑒𝐶1 Agora vams aplicar a condição inicial e a condição de contorno 𝜙3 70 Com efeito segue que 𝜙0 100 100 30 𝐶𝑒0 𝐶 100 30 70 logo 𝐶 70Daí nosso modelo fica dado por então por 𝜙𝑡 30 70 𝑒𝑘𝑡 Agora vamos aplicar a condição de contorno 𝜙3 70 70 30 70𝑒3k 70𝑒3k 40 𝑒3k 47 ln𝑒3k ln47 3k ln 47 𝑘 13 ln 47 018653859 que estabelece o valor da constante k de proporcionalidade E com isso nosso modelo fica completamente determindo por 𝜙𝑡 30 70 𝑒𝑘𝑡 com 𝑘 13 ln 47 018653859 De posse disso segue então que o instante t tal que 𝜙𝑡 31 pode ser obtido pelo seguinte desenvolvimento 𝜙𝑡 31 31 30 70𝑒𝑘𝑡 70𝑒𝑘𝑡 1 𝑒𝑘𝑡 170 ln𝑒𝑘𝑡 ln 170 𝑘𝑡 ln 170 𝑡 1𝑘 ln70 𝑡 ln70 13 ln 47 22775 logo como t é dado em minutos segue que após t 22775 teremos que a temperatura da esfera será aproximadamente de 31 graus