Atividade sobre Espaços Vetoriais Dependência Linear Transformações Lineares

1 Verifique se WftPℝft0t ℝ é um subespaço do espaço vetorial Pℝ dos polinômios reais 2 Verifique se o conjunto 2 3 1 1 3 2 3 7 1 0 0 2 1 1 2 5 é uma base de M22 3 Com base no produto interno Px Qx Px Qxdx 1 0 do espaço dos polinômios em x de grau menor ou igual a n sobre ℝ determine a norma a distância e o angulo entre os polinômios Px 12x 3X2 e Qx 3 5x 7x3 4 Verifique se o conjunto Vx yℝ2 yx2 com as operações e assim definidas xybd xb yd2 e xy x 2y é um espeço vetorial sobre o conjunto dos números reais 5 Verificar se 𝑢 𝑣 e 𝑤 são linearmente independentes ou linearmente dependentes nos casos a 𝑢 2 1 0 𝑣 1 1 1 e 𝑤 0 3 2 b 𝑢 1 1 2 𝑣 1 0 1 e 𝑤 0 1 2 6 Dentre as transformações T R2 R2 definidas pelas seguintes leis verificar quais são lineares a Tx y x 3y 2x 5y b Tx y y x c Tx y x2 y2 d Tx y x 1 y e Tx y y x 0 f Tx y x 2y g Tx y sen x y h Tx y xy x y i Tx y 3y 2x 7 Sejam u x1 y1 e v x2 y2 Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno em R2 a uv x1x2 y1y2 b uv 2x1x2 5y1y2 e c uv x1x2 x1y2 x2y1 2y1y2 8 Verifique se o conjunto V ab abℝ com as operações a b c d a c b d e ab a b é um espaço vetorial sobre o conjunto ℝ 9 Determinar o valor de K que torna os vetores 𝑢 k 1 0 𝑣 2 2 3 e 𝑤 1 0 2 linearmente independente 10 Seja V R2 Fazer um gráfico de um vetor genérico v x y do domínio e de sua imagem Tv sob a transformação linear T R2 R2 dada por a Tx y 2x 0 b Tx y 2x y c Tx y 2x 2y d Tx y 3x 2y e Tx y 2x y f Tx y x y 11calcular o produto interno dos vetores u 1 1 e v 3 2 segundo cada produto do exercício anterior 12 Verifique se o conjunto Vx y x yℝ com as operações x y c d x y e kx y kx ky é um espaço vetorial sobre conjunto ℝ 13 Seja T um operador linear no R3 tal que T1 0 0 0 2 0 T0 1 0 0 0 2 e T0 0 1 1 0 3 Determinar Tx y z e o vetor vR3 tal que Tv 5 4 9 14 Mostre que no espaço M2ℝ das matrizes quadradas de ordem 2 sobre ℝ AB trBtA é um produto interno 15 Mostre que em um espaço vetorial só há um vetor nulo 16 Mostrar que os vetores 𝑢 101 𝑣 011 e 𝑤 111 são linearmente independente 17 Determinar o núcleo e a imagem do operador linear T R3 R3 Tx y z x 2y z y 2z x 3y z Obs Se T V W é uma transformação linear e v1 v2 vn gera V então Tv1 Tv2 Tvn gera ImT 18Mostre que num produto interno em um espaço vetorial V sobre o conjunto dos números reais possui a seguinte propriedade u v u v ℝu vV 19 Mostre que em um espaço vetorial só existe um único vetor oposto para cada vetor do espaço vetorial 20 Sejam os vetores 𝑢 1 2 2 𝑣 m11m2 e 𝑤 m1m12 Determine m para que 𝑢 𝑣 𝑤 sejam LD 21 Seja T R3 R2 uma transformação linear Te1 1 2 Te2 0 1 e Te3 1 3 sendo e1 e2 e3 a base canônica de R3 a Determinar NT e uma de suas bases T é injetora b Determinar a ImT e uma de suas bases T é sobejetora 22 Mostre que num produto interno em um espaço vetorial V sobre o conjunto dos números reais possui a seguinte propriedade u v w u v u wu v wV 23 Verifique se S AMnℝ TA AT sendo T uma matriz fixa de Mnℝ é um subespaço de Mnℝ 24 Determinar k para que 1 0 1 1 2 1 1 0 0 0 k 0 seja LD 25 Sendo S e T operadores lineares do R3 definidos por Sx y z x 2y x y e Tx y z x z y z determinar a SoT b ToS 26 Mostre que no espaço ℝ2vale 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 27 Verifique se S x y zℝ3x ℤ é um subespaço de ℝ3 28 Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base de R2 a 1 2 1 3 b 3 6 4 8 c 0 0 2 3 d 3 1 2 3 29 Os pontos A1 1 B4 1 e Ca b são vértices de um triângulo isósceles reto em A Determinar o vértice C fazendo uso da matriz rotação 30 Mostre que no espaço ℝ2vale 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 𝑢 𝑤