Atividades

1ª Avaliação de Economia Matemática I Diurno 30042014 Departamento de Ciências Econômicas FCL Nome Nota Instruções Resolva os exercícios deixando todos os cálculos na folha Coloque as respostas a tinta Respostas sem os cálculos não serão consideradas Cada questão vale 20 pontos O exercício desafio vale 1 ponto a prova terá nota máxima dez 1 Adaptada da questão 6 ANPEC 2005 Considere que 2 2 5 2 3 2 x x x f x x x para todo Calcule se possível justificando todos os passos 2 Considere a função Encontre os pontos críticos os extremos relativos os pontos de inflexão o intervalo que h é côncava e convexa e faça o gráfico 3 Do gráfico f mostrado abaixo diga os pontos nos quais f é descontínua e explique por quê usando a definição de continuidade 4 Considere as funções 7 3 4 f x x e 2 3 1 x x x g x Calcule f 1 e g0 5 Num mercado de concorrência perfeita a curva de oferta de um determinado produto é dada por 900 600 p Qs p e a curva da demanda p Qd p 200 3500 a Encontre o preço de equilíbrio do mercado E faça o gráfico da curvas no mesmo plano cartesiano b Encontre a elasticidade para o preço R 600 Se este preço sofrer um aumento de 3 o que ocorrerá com a demanda Desafio Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão que tem dimensões 12 cm por 20 cm Devem se cortar quadrados de lados x em cada canto do papelão e depois dobrálos Expresse o volume da caixa em função de x e encontre o valor de x que maximiza o volume x ℜ lim x f x 21 x x h x 1ª Avaliação de Economia Matemática I Noturno 30042014 Departamento de Ciências Econômicas FCL Nome Nota Instruções Resolva os exercícios deixando todos os cálculos na folha Coloque as respostas a tinta Respostas sem os cálculos não serão consideradas Cada questão vale 20 pontos O exercício desafio vale 1 ponto a prova terá nota máxima dez 1 Adaptada da questão 7 ANPEC 2011 Considere a função definida por 5 2 2 x x f x Encontre os pontos críticos os extremos relativos os pontos de inflexão o intervalo que f é côncava e convexa e faça o gráfico 2 Sejam ln3 2 x x f x e 3 4 2 3 x x g x Calcule f 1 3 e g0 3 Seja ℜ 43 f Determine f3 diga os pontos nos quais f é descontínua e explique por quê usando a definição de continuidade 4 Num mercado de concorrência perfeita a curva de oferta de um determinado produto é dada por 800 500 p Qs p e a curva da demanda p Qd p 3400 100 a Encontre o preço de equilíbrio do mercado E faça o gráfico da curvas no mesmo plano cartesiano b Encontre a elasticidade para o preço R 800 Se este preço sofrer um aumento de 2 o que ocorrerá com a demanda 5 Use o Teorema do confronto ou do sanduíche para calcular cos20 lim 0 2 x x x Desafio Seja x x f loga Prove que a x x f ln 1 Dica prove antes que a x a x ln ln log UNESP FCLAR Departamento de Economia Primeira Avaliacao de Matematica Econˆomica I Data Nome RA Instrucoes Resolva os exercıcios deixando todos os calculos na folha Respostas sem os calculos nao serao consideradas Cada questao vale 2 pontos e cada exercıcios desafio 1 ponto A nota maxima da prova sera 10 1 Considere a funcao fx x3 x25x6 Como podemos definir a funcao no ponto x 3 para que f fique contınua Justifique usando a definicao de continuidade 2 Calcule os seguintes limites a limx0 1cos3x x sen2x b limx0 sen23x x2 3 Seja a funcao hx ln3x2 a Encontre o polinˆomio de Taylor de grau 3 para h ao redor do ponto c b Use o item anterior com c 1 para achar um valor aproximado para ln0 5 4 Seja a funcao fx x3 9x2 24x 20 a 08 pontos Encontre os pontos crıticos e determine qual deles e um maximo eou mınimo relativo b 08 pontos Determine os intervalos onde f e crescente e decrescente e onde f e cˆoncava e convexa c 04 pontos Faca o grafico de f 5 Uma companhia de turismo verificou que quando o seu preco era de 9 por pessoa havia em media 100 clientes por semana Apos reduzir o preco para 7 por pessoa a clientela aumentou para 1500 por semana Admita que a expressao procurada para a demanda em funcao do preco seja linear a 08 pontos Encontre a funcao que representa a demanda b 04 pontos Qual a elasticidade para o preco 6 c 08 pontos Se o preco 6 sofrer um aumento de 05 qual a taxa de variacao percentual da demanda 6 Exercıcio Desafio Seja a fx x cos x definida no intervalo fechado 0 π2 Use o Teorema de Rolle para provar que existe c 0 π2 tal que cotg c c 0 1 7 Exercício Desafio Questão 14 ANPEC 2011 Sejam f R R e g R R funções diferenciáveis tais que gx 3x 4 e fgx 9x² 6x 1 Calcule f0 f0 Fórmulas Polinômio de Taylor fx fc fcx c fc 2 x c² fc 3 x c³ fⁿc n x cⁿ Regras de derivação fx gx fxgx fxgx fx gx fxgx fxgx gx² fgx fgx gx Elasticidade Ep fpp fp Equação de reta y ax b com a y₂ y₁ x₂ x₁ cotgx cos x sen x Prova Substitutiva de Economia Matemática I noturnodiurno Departamento de Economia FCL UNESPAraraquara Instruções Resolva os exercícios deixando todos os cálculos na folha Coloque as respostas a tinta Respostas sem os cálculos não serão consideradas Cada questão vale 10 ponto Parte A A questão abaixo foi retirada da prova da ANPEC 2009 Assinale se é verdadeira ou falsa a questão mas todos os cálculos devem ser feitos para justificar a sua resposta Em caso da sentença ser falsa coloque a afirmação correta Parte B Resolva as questões aplicadas 1 A receita mensal para a venda de um determinado produto é 2 26 x x R x e o custo para a sua produção é x C x 6 14 Obtenha a quantidade que maximiza o lucro 2 Um empreendedor do segmento de aparelhos de barbear como qualquer outro empresário busca incessantemente maximizar seus lucros Para tal contratou uma empresa que com o auxílio de matemáticos conseguiram depois de algum tempo equacionar a relação que melhor representa o comportamento da demanda em função dos preços 2 2 18 p d p a Qual a elasticidade para o preço p R 200 b O que o empreendedor pode concluir a respeito da demanda aumentando o preço do barbeador em 3 Se com o preço p R 200 a demanda era de 2500 compradores com este aumento de 3 no preço qual será a quantidade de compradores Parte D Diga em quais pontos a função f é descontínua justificando pela definição de continuidade Parte E Usando as regras de derivação calcule a derivada das funções abaixo a sen x cox x f x b lnsen ax f x c 4 7 4 2 x x f x 1 lim x 2x 3 x lim x 2 3x 2 lim x 2x² 5xx² lim x x 2x 5x² lim x 2x 5 x lim x 2 5x 2 Seja 2x 3x gx e 2x² 5xx² hx então Como lim x gx lim x hx 2 pelo Teorema do Confronto segue que lim x fx 2 2 hx x x² 2x 1 x³ 2x² x hx 3x² 4x 1 0 x 4 16 12 6 4 2 6 x₁ 1 x₂ 13 h1 1³ 21² 1 0 1 0 h13 13³ 2 13² 13 127 29 13 1 6 9 27 427 13 427 0 0 13 1 Como hx 0 se x 13 e hx 0 se 13 x 1 então x 13 é ponto de máximo e x 1 é mínimo hx 6x 4 0 x 23 ponto de inflexão h23 23³ 2 23² 23 827 89 23 8 24 18 27 227 23 227 0 0 23 x se x 23 hx é côncava se x 23 hx é convexa Encontrando os sinais de hx x Θ x x 1² x xx 1² Θ x 3 f é descontínua em x 1 e x 3 pois I lim x1 fx lim x1 fx 1 mas f1 3 logo f é descontínua em x 1 II lim x3 fx 1 e lim x3 fx 1 e f3 1 logo f é descontínua em x 3 fx 7x3 46 3x2 21x2 x3 46 fx 42x x3 46 21x2 6x3 45 3x2 f1 42 1 13 46 21 12 6 13 45 3 12 f1 30618 91854 61236 gx 1 3x21 x2 x x32x 1 x22 g0 1 0 12 1 5 a Qsp Qdp 600p 900 3500 200p 800p 4400 p 55 b Ep fp p fp Oferta EQs 600 6 6006 900 133 Demanda EQd 200 6 3500 2006 052 Se o preço aumenta em 3 de R 600 a demanda diminui Desafio V Abase x h 12 2x20 2x x 240x 24x2 40x2 4x3 Vx 4x3 64x2 240x Vx 12x2 128x 240 maximizar Vx 0 12x2 128x 240 0 X 128 sqrt1282 4 12 240 2 12 128 697 24 x1 82 x2 24 Verificando se é máximo ou mínimo Vx 24x 128 V82 24 82 128 688 0 V24 24 24 128 704 0 Para ser ponto de máximo devemos ter Vx 0 e Vx 0 Logo x 24 cm 1 fx x2 4x 4x 5 x3 9x2 4x 5x2 20x 20 fx x3 9x2 24x 20 fx 3x2 18x 24 0 3 x2 6x 8 0 s 6 p 8 x1 4 x2 2 fx 6x 18 f2 6 2 18 0 máximo f4 6 4 18 0 mínimo fx 0 6x 18 0 x 3 inflexão x 3 fx 0 fx é convexa x 3 fx 0 fx é côncava 2 fx 2x 1 x fx 2 1 x2 f13 2 1 132 2 9 11 gx 3x2 4x2 3 x3 8x 4x2 32 g0 0 0 32 0 3 Por definição a função não está definida em x 3 uma vez que f 34 R e portanto o domínio não inclui x 3 Contudo o gráfico admite f3 3 f é descontinua em x 3 x 2 e x 1 pois I lim fx não existe e lim fx 4 e f3 3 II lim fx 6 e lim fx 2 e f2 6 III lim fx 2 e lim fx 4 e f1 4 4 a Qsp Qdp 500p 800 3400 100p 600p 4200 p 7 b Oferta Eqs 5008 5008 800 125 Demanda Eqd 1008 1007 3400 031 Se preço aumentar 2 demanda cai 5 Sabese que 1 cos20x 1 e como x2 0 x2 x2 cos20x x2 como lim x0 x2 lim x0 x2 0 então pelo Teorema do Confronto lim x0 x2 cos20x 0 Desafio Seja loga x b então ab x lnab lnx blna lnx b lnxlna mas b loga x loga x lnxlna Portanto para calcular fx podemos calcular ddx lnxlna como lna R temos 1lna ddx lnx 1lna 1x fx 1 x lna 1 Achando as raízes de x2 5x 6 0 S5 P6 x1 2 x2 3 Logo x2 5x 6 x2x3 fx x3 x2x3 lim x3 fx lim x3 x3x2x3 lim x3 1x2 13 lim x3 fx fx x3x2 5x 6 se x 3 13 se x 3 2a lim x0 1 cos3x x sin2x LHopital lim x0 3 sin3x sin2x 2x cos2x LHopital lim x0 9 cos3x 2 cos2x 2 cos2x 4x sin2x 9 1 21 2 1 0 94 b lim x0 sin23xx2 99 lim x0 9 sin23x 3x2 lim x0 9 sin3x3x2 Dos limites fundamentais lim θ0 sinθθ 1 então lim x0 9 12 lim x0 sin23xx2 9 3a fx fc fcxc f22 xc2 fc3 xc3 fx 1 3x2 6x 2x fc 2c fx 2x2 fc 2c2 fx 4x3 fc 4c3 fx ln3c2 2xcc xc2c2 2xc33c3 b fx ln3 2x1 x12 23 x13 ln05 ln3x2 12 3x2 x2 16 x 66 f66 ln3 204081 040812 23 040813 f66 ln05 1099 1184 0350 0138 ln05 0573 4 a fx 3x2 18x 24 0 x2 6x 8 0 S6 x14 P8 x22 fx 6x 18 f4 6 4 18 0 x 4 é mínimo f2 62 18 0 x2 é máximo b fx x2 6x 8 Crescente x 2 4 Decrescente x 2 4 fx 6x 18 Convexa x 3 c Côncava x 3 5 a fx ax b 100 9a b 2a 1400 1500 7a b a 700 100 9700 b b 6200 fx 700x 6200 b E 7006 7006 6200 21 c 70061005 6200 7006 6200 1979 2000 99 Demanda cai 1 Desafio f0 0 e fπ2 0 pelo Teorema de Rolle existe c 0 π2 tal que fc 0 fx cosx x senx fc cosc c senc 0 cosc c senc cosc senc c cotgc c cotgc c 0 Desafio g43 343 4 0 fg43 9432 643 1 f0 16 8 1 f0 9 fgx fgx gx 18x 6 fgx 18x 63 6x 2 fg43 f0 643 2 8 2 f0 6 6 0 gx 3x2 18x 24 0 x2 6x 8 S6 x14 P8 x22 gx 6x 18 g4 64 18 0 x4 mínimo g2 62 18 0 x2 máximo VERDADEIRO 1 gx 3x2 18x 24 decrescente em x 2 4 FALSA 2 lim x 2x2 x2 1 lim x 2x2 x2 1 1x2 lim x 2 1 1x2 2 FALSA 1 Lx Rx Cx 26x x2 14 6x Lx x2 20x 14 Lx 2x 20 Lx 0 2x 20 0 x 10 2 a Ep dpp dp 4pp 18 2p2 422 18 222 16 b 3 x 16 48 Demanda cai 48 2500 100 48 100 2380 compradores a fx cos²x sen²x cos2x b fx 1 senax cosax a a cotgax c fx 1 24x² 7x 4 8x 7 8x 7 24x² 7x 4