Cálculo 1 - 9 Questões

Sejam A e B tais que 6x 105 x2 29x 190 A x 10 B x 19 Então A B é igual a Seja Rx o conjunto de polinômios na variável x com coeficientes em R Lembre que uma função T Rx Rx é uma transformação linear se ela leva combinações lineares em combinações lineares ou seja satisfaz Tapx bqx aTpx bTqx para quaisquer polinômios px qx Rx e escalares a b R Dentre as seguintes funções T Rx Rx marque TODAS que são transformações lineares Uma alternativa errada anula uma correta Tpx 10 7 15 pxdx Tpx 11 10pxdx Tpx 15 xpxdx Tpx 3 ddx 15 pxdx Tpx 15 pxdx Tpx dpdx x 15 pxdx Tpx xpx 17 15 pxdx Tpx 15 dpdx dx Considere a função f cujo gráfico está representado a seguir Então 13 fxdx é igual a Qual o valor de 5155 x3 dx A derivada de fx lnx 19x 18 é 1x18x19 x19x18 x19x18 x18x19 x19x18 Se f é a função dada por fx x sin1x para todo x 0 então f14π é o 14π o 4π o 4π o 0 o 14π Considere as curvas planas dadas por y² 32x5 48x4 16x3 4784x2 7134x 2375 y ax3 bx2 cx d para certos coeficientes a b c d R Encontre os valores de a b c d para que estas duas curvas se tangenciem nos pontos P 12 2 e Q 1 5 a b c d Se y arctan17x então dydx é o 17 1 289x2 o 17 1 17x2 o 1 1 17x2 o 1 1 17x2 o 289 1 17x2 Neste problema chegamos finalmente ao clímax dos cursos de cálculo os famosos e tão aguardados problemas de embalagem Uma caixa sem tampa é obtida cortandose um quadrado de lado x de cada um dos 4 cantos de um papelão quadrado de dimensões 5148 5148 e em seguida dobrandoo para montar a caixa O valor de x que maximiza o volume da caixa é Tap bq aTp bTq violado pela parte escalar 7 Tpx xpx 17 15 px dx Aqui temos Tpx xpx c onde c 17 15 px dx Note que a subtração de uma constante escalar compromete a forma de polinômio pois remove a linearidade em relação ao espaço vetorial Vamos testar Tap bq xap bq 17 15 ap bq dx axp bxq 17a 15 p dx 17b 15 q dx aTp bTq Portanto essa transformação preserva a linearidade Além disso a saída é um polinômio produto de polinômios e constantes Transformação linear válida 8 Tpx 15 dpdx dx p5 p1 Resultado é um número real constante pois se trata da integral de uma derivada definida Isso viola o contradomínio esperado Tpx Rx não é transformação válida Conclusão A única transformação linear válida que mapeia de Rx em Rx e preserva todas as propriedades esperadas é Tpx xpx 17 15 px dx Resolução Questão 9 Desejase construir uma caixa sem tampa a partir de um papelão quadrado de lado 5148 recortandose quadrados de lado x em cada canto e dobrandose as laterais para cima Após o corte e a dobra a caixa terá Altura x Comprimento da base 5148 2x Largura da base 5148 2x Assim o volume da caixa é dado por Vx x5148 2x2 Para encontrar o valor de x que maximiza o volume derivamos Vx e igualamos a zero Aplicamos a regra do produto Vx ddx x5148 2x2 5148 2x2 x 25148 2x2 Vx 5148 2x2 4x5148 2x Colocando o fator comum 5148 2x em evidência Vx 5148 2x 5148 2x 4x 5148 2x5148 6x Zerando a derivada Vx 0 5148 2x 0 x 2574 5148 6x 0 x 858 O valor x 2574 anula a base da caixa pois 5148 2x 0 volume nulo O valor x 858 fornece uma base com comprimento 5148 2 858 3432 e portanto gera volume positivo V 858 34322 sendo este o valor que maximiza o volume da caixa Resposta final x 858 Resolução Questão 8 Sejam as curvas definidas por y2 32x5 48x4 16x3 4784x2 7134x 2375 e y ax3 bx2 cx d e sabemos que elas se tangenciam nos pontos P 12 2 e Q 1 5 Para que haja tangência nos dois pontos é necessário que A parábola passe por ambos os pontos As derivadas das curvas coincidam nesses pontos 1 Condições de passagem pelos pontos Substituindo os pontos na equação da parábola y ax3 bx2 cx d Em P 12 2 2 a8 b4 c2 d 1 Em Q 1 5 5 a b c d 2 2 Cálculo das derivadas A derivada implícita da curva dada por y2 fx com fx 32x5 48x4 16x3 4784x2 7134x 2375 é dada por dydx fx 2y onde fx 160x4 192x3 48x2 9568x 7134 No ponto P 12 2 f12 160 116 192 18 48 14 9568 12 7134 10 24 12 4784 7134 2352 dydx P 2352 22 588 3 No ponto Q 1 5 f1 160 192 48 9568 7134 2450 dydx Q 2450 25 245 4 3 Derivada da parábola A derivada de y ax3 bx2 cx d é y 3ax2 2bx c No ponto P 12 2 3a4 b c 588 No ponto Q 1 5 3a 2b c 245 4 Resolvendo o sistema Das equações 1 e 2 multiplicando 1 por 8 a 2b 4c 8d 16 1 Subtraindo 2 a 2b 4c 8d a b c d 11 b 3c 7d 11 7 Multiplicando 5 por 4 3a 4b 4c 2352 5 Subtraindo 6 3a 4b 4c 3a 2b c 2597 2b 3c 2597 8 Resolvendo 7 e 8 Multiplicando 7 por 2 2b 6c 14d 22 2b 3c 2b 6c 14d 2619 3c 14d 2619 c 2619 14d3 Substituindo em 7 b 2608 7d Substituindo em 2 a 5 b c d 5 2608 7d 2619 14d3 d 32613 8d 2619 14d3 5220 10d3 Testando d 3 c 2619 423 859 b 2608 21 2587 a 5220 303 1730 Resposta Final a 1730 b 2587 c 859 d 3 Resolução Questão 7 Seja a função fx lnx 19x 18 Aplicamos a propriedade do logaritmo de quociente fx lnx 19 lnx 18 Derivando ambos os termos fx ddx lnx 19 ddx lnx 18 1x 19 1x 18 Colocando os termos no mesmo denominador fx x 18 x 19x 19x 18 x 18 x 19x 19x 18 1x 19x 18 Portanto a derivada da função é 1x 18x 19 Resolucao Questao 6 Dada a funcao y arctan17x desejase calcular a derivada dy dx Utilizamos a formula da derivada da funcao arcotangente composta d dxarctanu 1 1 u2 du dx onde neste caso u 17x Assim temos du dx 17 e u2 17x2 289x2 Substituindo na formula dy dx 1 1 289x2 17 17 1 289x2 Portanto a derivada da funcao e 17 1 289x2 1 Resolução Questão 5 Seja a função fx x sin 1x definida para x 0 Desejase calcular a derivada de f no ponto x 14π ou seja f14π A função é um produto de duas funções x e sin1x Aplicando a regra do produto temos fx ddx x sin 1x sin1x x ddx sin 1x Derivando sin1x pela regra da cadeia ddx sin 1x cos 1x 1x2 1x2 cos 1x Portanto a derivada completa é fx sin 1x 1x cos 1x Substituindo x 14π temos f14π sin4π 4π cos4π Sabemos que sin4π 0 e cos4π 1 Logo f14π 0 4π 4π Resolução Questão 4 Queremos calcular o valor da integral definida ₅₁⁵⁵ x³ dx A função integranda é um polinômio cuja primitiva é dada por x³ dx x⁴4 C Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo ₅₁⁵⁵ x³ dx x⁴4₅₁⁵⁵ 55⁴4 51⁴4 Calculamos 55² 3025 55⁴ 3025² 9150625 51² 2601 51⁴ 2601² 6765201 Subtraindo 55⁴ 51⁴4 9150625 67652014 23854244 596356 Portanto o valor da integral é 596356 Resolução Questão 3 Queremos calcular o valor da integral definida ₁³ fx dx com base no gráfico da função f Observase que o gráfico é formado por dois trechos No intervalo 1 2 a função é constante fx 5 No intervalo 2 3 o gráfico é um segmento de reta que liga os pontos 2 5 e 3 19 caracterizando um comportamento linear No primeiro trecho como fx 5 a área sob a curva é a área de um retângulo de altura 5 e base 2 1 3 ₁² fx dx ₁² 5 dx 5 3 15 No segundo trecho de x 2 até x 3 a área sob a curva é um trapézio com bases 5 e 19 e altura 1 Assim a área é dada por ₂³ fx dx 5 192 3 2 242 1 12 Somando os dois valores ₁³ fx dx 15 12 27 Resolução Questão 1 Queremos determinar os valores de A e B tais que 6x 105x² 29x 190 Ax 10 Bx 19 Primeiramente fatoramos o denominador do lado esquerdo Note que x² 29x 190 x 10x 19 Portanto reescrevemos a equação como 6x 105x 10x 19 Ax 10 Bx 19 Multiplicando ambos os lados da equação por x 10x 19 obtemos 6x 105 Ax 19 Bx 10 Desenvolvendo o lado direito Ax 19 Bx 10 Ax 19A Bx 10B A Bx 19A 10B Igualando os dois lados da equação 6x 105 A Bx 19A 10B Comparando os coeficientes dos dois lados temos o sistema A B 6 19A 10B 105 Substituímos B 6 A na segunda equação 19A 106 A 105 19A 60 10A 105 9A 45 A 5 Com isso B 6 A 6 5 1 Assim concluímos que A B 5 1 4