Calculo 1 - Atividade Avaliativa Especial - Funções e Domínios

Universidade Federal de Itajuba Campus Itabira Nome Matrıcula Turma 03 Atividade Avaliativa Especial 1 MATI2301 Calculo 1 20231 1 3 pontos Seja fx x 3 para todo x R Justifique sua resposta i Usando a definicao da funcao valor absoluto escreva fx como uma funcao por partes ii Calcular f0 f1 f2 f2 f1 f2 2 3 pontos Determinar domınio e imagem das seguintes funcoesJustifique sua resposta i gx 4 x2 ii hx 4x2 1 x iii rx 2 gx x2 3 3 pontos Esbocar o grafico aproximado das seguintes funcoesJustifique sua resposta i fx x2 2 ii gx 2x2 4x 1 iii hx x 5 x 2 2x 2 x 2 x2 x 2 4 6 pontos Determinar as funcoes compostas quando possıvel em cada caso Justifique sua resposta i f g g f g g em que a fx x 1 x gx sin2x b fx x x 1 gx 3x ii h r s em que a hx 3x 2 rx cosx sx x2 b hx x 4 rx 2x sx x Instrucoes para a entrega da atividade Observacao IMPORTANTE Se descumprir alguma das seguintes instrucoes seu trabalho nao sera considerado e perdera o total pontos correspondentes a esta avaliacao O trabalho devera ser entregue em folhas brancas A4 Cada folha deve ser enumerada com caneta azul na esquina superior direita da primeira pagina As resolucoes das questoes devem ser entregues grampeadas na esquina superior direita Se desejar pode colocar como primeira pagina a folha dos enunciados devidamente identifi cada com seu nome e matrıcula em caneta azul Caso vocˆe for reescrever os enunciados na hora de fazer a resolucao estes devem ser escritos na parte superior da folha em caneta azul as resolucoes de cada questao devem ser entregues a lapis Sera permitido o uso de lapis de cores caso precisar A apresentacao e importante trabalhos mal apresentados terao uma punicao na nota final Page 2 1 LEMBRE QUE y y SE y 0 y SE y 0 ENTÃO i fx x3 SE x3 0 x3 SE x3 0 x3 SE x 3 3x SE x 3 ii f0 Temos 0 x 3 f0 3x 30 3 x1 3 fx f1 31 2 x2 3 fx f2 32 1 x1 3 fx f1 31 31 4 x2 3 fx f2 32 32 5 2 i LEMBRANDO QUE y ESTÁ DEFINIDA QUANDO y0 TEMOS QUE 4x²0 4x² 2x2 PORTANTO DOMÍNIO Df x R 2 x 2 AGORA VEJA QUE fx 4x² 4 2 f0 E fx 0 x LOGO x R 0 fx 2 ENTÃO IMAGEM Imf y R 0 y 2 2 ii hx 4x²1x NA RAIZ 4x²1 0 4x² 1 x² 14 LOGO x 12 OU x 12 NO DENOMINADOR x 0 x 0 PORTANTO O DOMÍNIO É Dh x R x 12 OU x 12 PARA A IMAGEM VEJA QUE hx 0 pois 4x²1 0 E x 0 x R AINDA MAIS hx 2 x R PARA VER ISSO SUPONHA QUE hx₀ 2 PARA ALGUM x₀ R COMO hx hx SUPONHA x₀ 0 LOGO hx₀ 2 4x₀²1x₀ 4x₀²1x₀ 2 4x₀²1 2x₀ 4x₀²1² 2x₀² 4x₀²1 4x₀² CONTRADIÇÃO PORTANTO 0 hx 2 x R LOGO Imh 0 2 ObS h12 h12 412² 1 12 1112 0 2 iii rx 2gxx² 2 4x²x² 4x² 4x² 0 2 x 2 EXERCÍCIO 2 i x² 0 x 0 PORTANTO DOMÍNIO Dr x R x 0 2 x 2 VAMOS MOSTRAR QUE 14 rx 12 x Dr Imr 14 12 DE FATO VEJA QUE r2 r2 2 444 24 12 SUPONHA QUE rx₀ 12 com x₀ Dr ASSIM 2 4x₀²x₀² 12 2 4x₀² x₀²2 2 4x₀²2 4x₀² x₀²2 2 4x₀² 4 4x₀²² x₀²2 2 4x₀² x₀² x₀² x₀²2 4x₀² CONTRADIÇÃO PORTANTO rx 12 SUPONHA QUE rx₀ 14 x₀ Dr COM ISSO 2 4x₀²x₀² 14 2 4x₀² x₀²4 2 4x₀²2 4x₀² x₀²4 2 4x₀² x₀² x₀²2 x₀²²4 4x₀² COMO x₀ 0 4x₀² 2 LOGO x₀² x₀²2 x₀²4 2 x₀² CONTRADIÇÃO 3 i fx x² 2 TRATASE DE UMA PARÁBOLA CONCAVIDADE ax² bx c a 1 0 RAÍZES fx x² 2 0 x² 2 x 2 Logo f0 0 2 2 f2 0 f2 0 ii gx 2x² 4x 1 PARÁBOLA COM CONCAVIDADE PARA CIMA RAÍZES BHASKARA 2x² 4x 1 0 x 4 16 421 22 4 8 4 4 22 4 2 2 2 f0 1 f1 21² 41 1 1 3 iii hx x5 x 2 2x 2 x 2 x² x 2 Por partes 0 x 2 RETA h5 5 5 0 h1 1 5 4 2 x 2 h2 22 4 RETA h2 22 4 x 2 h3 9 PARÁBOLA 4 i a f g x fgx gx 1 gx sen2x 1 sen2x g f x gfx sen2fx sen2x 1 x g g x ggx sen2gx sen2sen2x 4 ii b f g x fgx gx gx 1 ³x ³x 1 g f x gfx ³fx ³x x 1 g g x ggx ³gx ³³x ⁹x ii a h r sx hrsx hrx² hcosx² 3cosx² 2 b h r sx hrsx hrx h2x 2x 4