Resolver Integrais

1 Encontre as derivadas das funções a Y tgodo b hx 1x z2z4 1 dz 2 Calcule a Integral se existir a 0π6 sentcos2 t dt b 01 3150 dt 3 Calcule a Integral a 1x2x dx b x29x2 dx 4 Calcule a Integral a cos3 x cos2 x dx b 1x21 dx Questão 03 Parte a 1x2x dx Substituição Seja x sinhu então dx coshu du Substituímos na integral 1x2x dx 1sinh2usinhu coshu du 1 sinh2u cosh2u 1 sinh2u coshu Portanto a integral se torna coshusinhu coshu du cosh2usinhu du cosh2usinhu coshutanhu coshutanhu du u arsinhx 1x2x dx arsinhx C Parte b x29x2 dx Substituição Seja x 3 sinu então dx 3 cosu du Substituímos na integral 3 sinu293 sinu2 3 cosu du 3 sinu2 9 sin2u 9 3 sinu2 91 sin2u 9 cos2u 9 3 sinu2 3 cosu 9 sin2u3 cosu 3 cosu du 9 sin2u du sin2u 1 cos2u2 9 sin2u du 9 1 cos2u2 du 92 1 cos2u du 92 1 du cos2u du 1 du u cos2u du sin2u2 Portanto 92u sin2u2 u arcsinx3 sin2u 2 sinu cosu 2 x3 1 x29 x29x2 dx 92arcsinx3 x31 x29 C Questão 01 Parte a Y xπ θ tanθ dθ Utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo que afirma que se Fx axbx ft dt então dFdx fbx dbdx fax dadx fθ θ tanθ ax x e bx π4 dYdx fπ4 ddx π4 fx ddx x Como π4 é uma constante ddx π4 0 então fπ4 ddx π4 0 Temos ddx x 1 então o segundo termo se simplifica para fx x tanx dYdx x tanx Parte b hx 1x z2 z2 1 dz Aplicamos novamente o Teorema Fundamental do Cálculo fz z2 z2 1 ax 1 e bx x dhdx fx ddx x f1 ddx 1 Sabemos que ddx 1 0 logo o segundo termo é nulo Derivada de x é 12x Avaliando fx x2 x2 1 x x 1 dhdx x x 1 1 2x dhdx x 2xx 1 x 2x 1 dhdx x 2x 1 Questão 02 Parte a 0π6 sin t cos2 t dt u cos t dudt sin t dt du sin t t 0 u 1 t π6 u 32 132 u2 du u11132 1u132 1 32 1 23 1 233 1 Parte b 01 3t 150 dt u 3t 1 dudt 3 dt du3 t 0 u 1 t 1 u 2 13 12 u50 du 13 u5151 12 13 25151 151 13 251 151 251 1153 Questão 04 Parte a cos3x cos2x dx cos5x dx Substituímos u sinx dudx cosx du cosx dx cos5x dx 1 u22 du 1 u22 1 2u2 u4 1 2u2 u4 du 1 du 2 u2 du u4 du 1 du u u2 du u33 u4 du u55 u 2u33 u55 sinx 2 sin3x3 sin5x5 C Parte b 1x2 1 dx x2 1 x 1x 1 1x2 1 Ax 1 Bx 1 1 Ax 1 Bx 1 1 Ax A Bx B 1 A B x A B A B 0 A B 1 A 12 B 12 1x2 1 12 x 1 12 x 1 1x2 1 dx 12 1x 1 dx 12 1x 1 dx 12 lnx 1 12 lnx 1 C 12 lnx 1x 1 C