Cálculo 1 - Derivadas e Retas Tangentes - Lista de Exercícios UCSal 2024

Odete Amanda UCSal 20241 Universidade Católica do Salvador Escola das Engenharias e Arquitetura de Tecnologias Curso Bacharelado em Engenharias 20241 Cálculo 1 Professora Odete Amanda Discente Data 07052024 Atividade pontuada 2 Total de pontos 60 Valor 20 Instruções 1 Imprima este documento identifiquese no cabeçalho e resolva a sua atividade atentando para as instruções a seguir Se necessário anexe folhas extras desde que organizadas e apresentáveis 2 Leia as questões com atenção e resolvaas com calma de forma organizada usando caneta de tinta azul ou preta 3 É obrigatória a apresentação de todos os procedimentos de senvolvidos em cada item das questões Isto poderá lhe ajudar na pontuação pois resposta parcialmente correta é parcialmente pontuada 4 Entregue sua resolução física e impreterivelmente até o dia 28052024 5 A atividade só será corrigida se respondida de acordo com estas instruções Sucesso Considere a função fx 3x2 2 para resolver as questões 1 a 3 usando o conceito inicial de derivada de um ponto 15 1 Determine a derivada da função no ponto x0 4 f x0 lim xx0 fx fx0 x x0 fx0 f4 3 42 2 3 16 2 48 2 46 f 4 lim x4 3x2 2 46 x 4 lim x4 3x2 48 x 4 0 0 f 4 lim x4 3x2 16 x 4 lim x4 3x 4x 4 x 4 f 4 lim x4 3x 4 34 4 24 f 4 24 15 2 Determine a equação da reta tangente à curva no ponto x0 1 A reta tangente à curva no ponto x0 tem por equação y y0 f x0 x x0 onde y0 fx0 Assim como x0 1 y0 f1 3 12 2 1 f 1 lim x 1 3x2 2 1 x 1 lim x 1 3x2 3 x 1 0 0 f 4 lim x 1 3x2 1 x 1 lim x 1 3x 1x 1 x 1 f 4 lim x 1 3x 1 31 1 6 Então y 1 6 x 1 y 6x 6 1 y 6x 5 Logo a equação da reta tangente é y 6x 5 Odete Amanda UCSal 20241 15 3 Determine a equação da reta normal à curva no ponto de coordenadas 2 10 A reta normal à curva no ponto x0 tem por equação y y0 1 f x0 x x0 onde y0 fx0 Neste caso x0 2 y0 10 f 2 lim x 2 3x2 2 10 x 2 lim x 2 3x2 12 x 2 0 0 f 2 lim x 2 3x2 4 x 2 lim x 2 3x 2x 2 x 2 f 2 lim x 23x 2 32 2 12 Então y 10 1 12 x 2 y x 12 1 6 10 y x 12 61 6 Logo a equação da reta normal é y x 12 61 6 15 4 Sabendo que no instante t em segundos o espaço percorrido por um móvel em metros é dado pela equação s 2t2 4t 12 A determine a velocidade média no intervalo 1 6 vm1 6 s6 s1 6 1 s6 2 62 4 6 12 84m s1 2 12 4 1 12 6m Então vm1 6 84 6 6 1 84 6 5 90 5 18ms B determine a velocidade no instante t 3 v3 s3 lim t 3 st s3 t 3 s3 2 32 4 3 12 18m Logo v3 s3 lim t 3 2t2 4t 12 18 t 3 lim t 3 2t2 4t 30 t 3 lim t 3 2t2 2t 15 t 3 lim t 3 2 t 5 t 3 t 3 lim t 3 2 t 5 16 Portanto a velocidade no instante t 3 é 16ms C interprete o resultado encontrado no item B Como no instante t 3s a velocidade é positiva a interpretação que se pode fazer é que o móvel está ganhando velocidade