Cálculo 1 Unicamp

ATENÇÃO: Não é permitido destacar as folhas 1ª Prova de MA111 — Turmas A e B — 28/03/2014 NOME: GABARITO RA: ASSINATURA: 1(a) (1,5 pontos) Resolva a inequação \( \frac{5}{2x-1} \leq \frac{1}{x-2} \) e expresse o conjunto solução em notação de intervalos. 1(b) (0,5 ponto) Sendo A o conjunto encontrado na parte (a), encontre, caso existam, max A, min A, sup A e inf A. SOLUÇÃO 1 (a): \( \frac{5}{2x-1} \leq \frac{1}{x-2} \) (*) 2x-1 ≠ 0 x-2 ≠ 0 \Rightarrow x ≠ 1/2 x ≠ 2 (*) 5|x-2| \leq |2x-1| \leq 12x-1 x-2 — — — — + + 2x-1 — -— — — 1/2 + + x ≶ 1/2 5[-(x-2)] ≤ -(2x-1) ⟺ -5x+10 ≤ -2x+1 9 ≤ 3x ⟺ 3 ≤ x S₁ = (-∞, 1/2) ∩ [3, +∞) = ∅ 1/2 ≤ x < 2 5[-(x-2)] ≤ 2x-1 ⟺ -5x+10 ≤ 2x-1 11 ≤ 7x ⟺ 11/7 ≤ x S₂ = (1/2, 2) ∩ [11/7, +∞) = [11/7, 2) x > 2 5(x-2) ≤ 2x-1 ⟺ 5x-10 ≤ 2x-1 3x ≤ 9 ⟺ x ≤ 3 S₃ = (2, +∞) ∩ (-∞, 3] = (2, 3] S = S₁ ∪ S₂ ∪ S₃ = conjunto solução de (*) = ∅ ∪ [11/7, 2) ∪ (2, 3] = [11/7, 2) ∪ (2, 3] = [11/7, 3) \ {2} 1(b): A = [11/7, 3) \ {2} max A = 3, min A = 11/7 sup A = 3, inf A = 11/7 2(a) (1 ponto) Usando indução finita prove que, se p ∈ ℤ é ímpar, então pⁿ é ímpar, para todo n ∈ ℕ. 2(b) (1 ponto) Usando (a) prove que √2 é irracional, para n = 2, 3, 4, .... SOLUÇÃO 2(a): ∀ m ∈ ℕ, m ≥ 1 P(m): se p é ímpar, então pⁿ é ímpar p¹ ímpar ⇒ p¹ é ímpar ⇒ P(1) é verdadeira Suponhamos que P(m) seja verdadeira. Vamos mostrar que P(m+1) é verdadeira. p é ímpar ⇒ pᵐ é ímpar ∃ m ∈ ℕ tal que pᵐ = 2m+1 p^(m+1) = pᵐ ⋅ p = (2m+1)(2k+1) = 2(am+m+k)+1 -> 2l + 1, l = 2amk + m + k ∈ ℤ → p^(m+1) é ímpar Segue pelo P.T.I.F. que P(m) é verdadeira para todo m ∈ ℕ. 2(b): Suponhamos que a equação x^m = 2 admite uma solução racional x = a/b ∈ Q, a,b ∈ Z, b ≠ 0. Vamos supor também que o quociente a/b é irredutível, isto é, mdc(a,b) = 1. x^m = 2 ⇔ a^m/b^m = 2 ⇔ a^m = 2b^m ⇒ a^m é par Se 'a' for ímpar, pelo Lema 2.(a) teríamos a^m ímpar, logo 'a' deve ser par. Seja k ∈ Z tal que a = 2k. n n a = 2k ⇒ a = (2k) ⇒ 2 b n n n ∴ 2b = a ⇒ 2 b ⇒ b = 2 k para mais um 2 n-1 n b é par (Lema 2(a)) ⇒ b é par Concluímos que a e b são pares, o que contradiz mdc(a,b) = 1. Assim chegamos a uma contradição por termos suposto que existe x ∈ Q tal que x^m = 2, Logo a equação x^m=2 não admite solução racional e, portanto, raíz(m)(2) é irracional. 3. Considere as funções: f(x) = 2 - x e g(x) = { -x , se -2 ≤ x < 0, x - 1 , se 0 ≤ x ≤ 2, 0, se x ∉ [-2, 2]. (a) (1,5 pontos) Encontre a expressão da função composta (g º f)(x). (b) (0,5 ponto) Esboce o gráfico de g º f e a partir do gráfico conclua em que pontos a função g º f é descontínua. SOLUÇÃO (a) -2 < 2 - x < 0 ⇔ -4 < -x < 2 ⇔ 2 < x ≤ 4 g(f(x)) = g(2 - x) = -(2 - x) = x - 2 0 < x ≤ 2 g(f(x)) = (2 - x) - 1 = 1 - x x ∉ [0,1] { x - 2 , se 2 < x ≤ 4, g(f(x)) = { 1 - x , se 0 < x ≤ 2, { 0 , se x ∉ [0,1] f(0) = 1, f(2) = -1, f(4) = 2 (b) O gráfico de g º f está quebrado em 0, 2 e 4, e somente em 0, 2 e 4. Portanto os pontos de descontinuidade de g º f são: 0, 2 e 4. 4. Seja f : R -> R uma função tal que f(a+b) = f(a)f(b), ∀ a, b ∈ R. (a) (0.5 ponto) Quais os possíveis valores para f(0). (b) (1,5 pontos) Suponha que f(0) ≠ 0 e que f é contínua em p = 0. Mostre que f é contínua em todo p ∈ R. (Sugestão: Calcule lim( x->p)(f(x) - f(p))). SOLUÇÃO. (a): f(0) = f(0+0) = f(0) ⋅ f(0) = (f(0))^2 0 = (f(0))^2 - f(0) = f(0) (f(0) - 1) => f(0) = 0 ou f(0) = 1. (b) Como f(0) ≠ 0, então f(0) = 1. Tomando x = y+p, (1) f(x) - f(p) = f(y+p) - f(p) = f(y)f(p) - f(p) = f(p) (f(y) - 1) = f(p) (f(y) - f(0)) (a) y = x-p => lim( x->p) = lim( x->p)(x-p) = 0 (2) f é contínua em 0 => lim( y->0) f(y) = f(0) => lim( y->0) (f(y) - f(0)) = lim( y->0) f(y) - f(0) = f(0) - f(0) = 0 Assim lim( x->p) (f(x) - f(p)) = lim( y->0) f(p) (f(y) - f(0)) = f(p) lim( y->0) f(y) - f(0) (3) = f(p) ⋅ 0 = 0 5. Calcular: (a)(0,8) lim( x->1) √3√x^2 - 2√x + 1 / (x-1)^2 (b)(0,7) lim( x->0) 8x / 3senx - x (c)(0,8) lim( x->2)([[x]] + [[3-x]]) (Sugestão: Use limites laterais), (d)(0,7) lim( x->0)(f(x)) sabendo que |f(x) - 5| ≤ x^1 x cos^2 1/x, ∀ x ∈ R, x ≠ 0. SOLUÇÃO. (a): = 3√x - 2√x + 1 = (3√x - 1)^2 Tomando a = 3√x e b = 1, obtemos x-1 = a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) = (3√x - 1) ((3√x)^2 + 3√x + 1) e assim 3√x - 2√x + 1 / (x-1)^2 = (3√x - 1)^2 / (3√x^2 + 3√x + 1) ≈ = 1 (3√x^2 + 3√x + 1)^2 = 1/9 (b) lim( x->0) 8x / 3 sen x - x = lim( x->0) 8 / 3 sen x / x = 8 / 3 ⋅ lim( x->0) sen x / x - 1 = 8 / 3 - 1 = 8/2 = 4 (c) x ∈ (2,3) => [[x]] = 2 x ∈ (2,3) => 2 < x < 3 => -3 < -x < -3 => 0 < 3-x < 1 => [[3-x]] = 0 (1) lim( x->2⁺)([[x]] + [[3-x]]) = lim( x->2⁺)([[x]] + [[3-x]]) = lim( x->2⁺)(2+0) = 2 x ∈ (1,2) => [[x]] = 1 x ∈ (1,2) => 1 < x < 2 => -2 < -x < -1 => 1 < 3-x < 2 => [[3-x]] = 1 (2) lim( x->2⁻)([[x]] + [[3-x]]) = lim( x->2⁻)([[x]] + [[3-x]]) = lim( x->2⁻)(1+1) = 2 Logo, por (1) e (2) que lim( x->2)([[x]] + [[3-x]]) = 2 (d) |(1/x) cos (1/x)^2 | ≤ 1, ∀ x ≠ 0 => lim( x->0) cos (1/x)^2| = 0 (per propriedade de limites) lim( x->0) x/1/x = 0 |f(x) - 5| ≤ x^1 cos (1/x)^2 , ∀ x ≠ 0 => 5 - x^1 cos 1/x ≤ f(x) ≤ 5 + x^1 cos^2 1/x, ∀ x ≠ 0 Como lim( x->0) (5 + x^1 cos^2 1/x) = 5 + lim( x->0) x^1 cos^2 1/x = 5 + 0 = 5, segue pelo teorema da confornçta que lim( x->0) f(x) = 5.