Cálculo de Derivas

LISTA 07 CÁLCULO DE DERIVADAS USANDO A REGRA DA CADEIA Questão 01 Calcule as derivadas das seguintes funções utilizando a Regra da Cadeia a fx 3x² 2x 5⁴ b gx sen2x³ 5x c hx e4x²3x d px ln7x² 1 e qx tg2x 1 f rx cos5x² 3x g sx 3x 413 Questão 02 Uma empresa fabrica um produto cujo custo de produção Cx é dado pela função Cx 5x³ 2x² 8x 1 onde x é a quantidade de produtos fabricados Determine a taxa de variação do custo em relação a x para x 2 utilizando a Regra da Cadeia Questão 03 A velocidade de um carro ao longo de uma estrada é dada pela função Vt et²3t onde t é o tempo em horas Calcule a aceleração do carro no instante t 1 Questão 04 A temperatura de uma substância Tx ao longo do tempo é dada por Tx ln3x² 4x 1 onde x é o tempo em horas Calcule a taxa de variação da temperatura no instante x 1 Questão 05 O valor de um investimento Vt ao longo do tempo é dado pela função Vt 5 e2t² 3 onde t é o tempo em anos Calcule a taxa de variação do valor do investimento no instante t 3 Questão 06 A distância percorrida por um objeto em movimento é dada por dt sen4t² 2t onde t é o tempo em segundos Determine a velocidade do objeto no instante t 1 Questão 07 A concentração de um produto químico em uma reação é dada pela função Ct cos3t² 5t onde t é o tempo em minutos Calcule a taxa de variação da concentração no instante t 2 Questão 08 A quantidade de clientes em uma loja ao longo do tempo é dada pela função Nt tg2t³ 3t onde t é o tempo em horas Calcule a taxa de variação do número de clientes no instante t 2 Questão 09 A altura de um foguete em relação ao solo é dada por ht 4t³ 2t 1⁵ onde t é o tempo em segundos Calcule a velocidade do foguete no instante t 1 Questão 10 O lucro de uma empresa ao longo do tempo é dado pela função Lt 3t² 4t 1⁴ onde t é o tempo em meses Determine a taxa de variação do lucro no instante t 1 1º A IDENTIFICAR AS FUNÇÕES Função externa u⁴ onde u 3x² 2x 5 Função interna u 3x² 2x 5 DERIVAR A FUNÇÃO EXTERNA EM RELAÇÃO A U ddu u⁴ 4u³ DERIVAR A FUNÇÃO INTERNA EM RELAÇÃO A X ddx 3x² 2x 5 6x 2 APLICAR A REGRA DA CADEIA fx ddu u⁴ dudx 4u³ 6x 2 SUBSTITUINDO u DE VOLTA NA EXPRESSÃO fx 43x² 2x 5³ 6x 2 PORTANTO A DERIVADA DE fx 3x² 2x 5⁴ é fx 43x² 2x 5³ 6x 2 B IDENTIFICAR AS FUNÇÕES COMPOSTAS A função gx sin u onde u 2x² 5x DERIVAR A FUNÇÃO EXTERNA A derivada de sin u em relação a u é cos u DERIVAR A FUNÇÃO INTERNA dudx ddx 2x² ddx 5x 4x 5 APLICANDO A REGRA DA CADEIA dgdx cos u dudx Substituindo u e dudx dgdx cos 2x² 5x 4x 5 RESULTADO FINAL gx 4x 5 cos 2x² 5x C IDENTIFICAR AS FUNÇÕES INTERNAS E EXTERNAS Função externa eu onde u x⁴ 3x Função interna u x⁴ 3x DERIVAR A FUNÇÃO EXTERNA EM RELAÇÃO A FUNÇÃO INTERNA A derivada de eu em relação a u é eu DERIVAR A FUNÇÃO INTERNA EM RELAÇÃO A X A derivada de u x⁴ 3x em relação a x é dudx 4x³ 3 APLICANDO A REGRA DA CADEIA A derivada de hx é dada por dhdx ddu eu dudx SUBSTITUINDO AS DERIVADAS CALCULADAS dhdx ex⁴ 3x 4x³ 3 RESULTADO FINAL A derivada de hx é hx ex⁴ 3x 4x³ 3 Assim a derivada de hx ex⁴ 3x eu hx ex⁴ 3x 4x³ 3 D Função externa uv lnv Função interna vx 7x² 1 A derivada da função externa em relação a v é dudv 1v A derivada da função interna em relação a x é dvdx ddx 7x² 1 14x APLICANDO A REGRA DA CADEIA a derivada de Px em relação a x é dPdx dudv dvdx 17x² 1 14x A derivada de Px é dPdx 14x7x² 1 E A derivada hx é dada por hx fgx gx No caso fu tanu e gx 2x 1 1 Derivada de fu tanu fu sec²u 2 Derivada de gx 2x 1 gx 2 3 Aplicando a regra da cadeia para encontrar qx qx fgx gx sec²2x 1 2 A derivada de qx tan2x 1 qx 2 sec² 2x 1 F Função externa cosu onde u 5x2 3x Derivando a função externa A derivada de cosu em relação a u é sinu Derivando a função interna A função interna é u 5x2 3x A derivada de u em relação a x é dudx ddx 5x2 3x 10x 3 Aplicando a regra da cadeia A derivada de rx em relação a x é dada Por rx ddx cosu sinu dudx Substituindo u e dudx rx sin5x2 3x 10x 3 Portanto a derivada da função rx cos 5x2 3x é rx 10x 3 sin 5x2 3x G IDENTIFICANDO AS FUNÇÕES ux 3x 4 sx ux13 DERIVANDO CADA FUNÇÃO Derivada de ux ux ddx 3x 4 3 Derivada de su u13 ddu u13 13 u23 APLICANDO A REGRA DA CADEIA A derivada de sx é sx 13 3x 423 3 SIMPLIFICANDO sx 33 3x 423 3x 423 A DERIVADA DE sx 3x 413 é sx 3x 423 2º IDENTIFICAR AS FUNÇÕES INTERNAS E EXTERNAS A função externa é u 12 onde u 5x3 2x2 8x 1 A função interna é u 5x3 2x2 8x 1 DERIVANDO A FUNÇÃO EXTERNA A derivada de u12 em relação a u é 12 u 12 DERIVANDO A FUNÇÃO INTERNA Derivando u 5x3 2x2 8x 1 em relação a x temos dudx 15x2 4x 8 APLICANDO a regra da cadeia A derivada de C x em relação a x é dada Por dcdx 12 5x3 2x2 8x 1 12 15x2 4x 8 AVALIAR A DERIVADA EM X 2 calculando u em x 2 u 523 222 82 1 40 8 16 1 33 Substituindo u e du na expressão da derivada dcdxx2 12 3312 1522 42 8 calculando dudx em x 2 dudxx2 15 22 42 8 60 8 8 60 dcdxx2 12 60sqrt33 30sqrt33 3 IDENTIFICANDO A FUNÇÃO COMPOSTA A função é Vt eu onde u t2 3t APLICANDO A REGRA DA CADEIA A derivada de eu em relação a t é eu dudt CALCULANDO dudt u t2 3t dudt ddt t2 3t 2t 3 SUBSTITUINDO NA REGRA DA CADEIA Vt et2 3t 2t 3 CALCULANDO A1 substituindo t1 na expressão de Vt a1 e12 31 2 1 3 a1 e1 3 2 3 a1 e4 5 A aceleração do carro no instante t1 é se4 4 Derivada de Tx A função é Tx lnu onde u 3x2 4x 1 usando a regra da cadeia para derivar Tx ddx lnu 1u dudx Derivada de u u 3x2 4x 1 Derivando u em relação a x dudx 6x 4 Substituindo na derivada de Tx Tx 13x2 4x 1 6x 4 SIMPLIFICANDO Tx 6x 43x2 4x 1 Avaliando em x1 substituindo x1 no derivada T1 61 4312 41 1 6 43 4 1 108 54 A taxa de variação da temperatura no instante x1 é 54 5 DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL A função é da forma ft egt onde gt 2t2 3 A derivada de egt é egt gt DERIVADA DE gt 2 t2 3 gt ddt 2t2 3 4t APLICANDO A REGRA DA CADEIA Vt ddt 5 e2t2 3 5 e2t2 3 4t Portanto Vt 20t e2t2 3 AVALIANDO EM t3 V3 20 3 e232 3 60 e18 3 60 e21 A taxa de variação do valor do investimento no instante t3 é 60 e21 6º A função dada é dt sin 4t² 2t Seja ut 4t² 2t temos dt sin ut Derivada de sinu em relação a t é ddt sin ut cos ut dudt Calculando dudt ut 4t² 2t dudt ddt 4t² 2t 8t 2 A derivada da função distância é vt cos 4t² 2t 8t 2 Substituindo t 1 para encontrar a velocidade no instante t 1 v1 cos 41² 21 81 2 v1 cos 4 2 8 2 v1 cos 6 10 A velocidade do objeto no instante t 1 é v1 10 cos 6 7º Encontrando a derivada Ct A função Ct cos3t² 5t é uma composição de funções então usaremos a regra da cadeia Seja ut 3t² 5t Assim Ct cosut A derivada de cosu em relação a u é sinu Usando a regra da cadeia Ct sinut ut Calculando ut ut 3t² 5t ut 6t 5 Substituindo na expressão de Ct Ct sin3t² 5t 6t 5 Avaliar Ct em t 2 Substituindo t 2 na expressão de Ct C2 sin32² 52 62 5 Calculando os valores 32² 52 34 10 12 10 22 62 5 12 5 17 Portanto C2 sin22 17 A taxa de variação da concentração no instante t 2 é 17 sin22 8º Derivada da função composta A função Nt tanu onde u 2t² 3t A derivada de tanu em relação a u é sec²u Derivada de u em relação a t u 2t² 3t dudt ddt 2t² 3t 4t 3 Derivada de Nt Usando a regra da cadeia dNdt sec²u dudt Substituindo u e dudt dNdt sec²2t² 3t 4t 3 Avaliando em t 2 Calculando u quando t 2 u 22² 32 8 6 2 Substituindo dNdt dNdtt2 sec²2 42 3 sec²2 5 Calculando sec²2 sec²2 1 cos2² 1 cos²2 A taxa de variação no instante t 2 é dNdtt2 5 cos²2 9 Se zt 4t3 2t 1 então ht zt5 A DERIVADA DE ht EM RELAÇÃO A t é ht 5zt4 zt CALCULANDO zt zt 4t3 2t 1 zt 12t2 2 SUBSTITUINDO zt e zt NA EXPRESSÃO PARA ht ht 54t3 2t 14 12t2 2 CALCULANDO h1 Calculando z1 z1 413 21 1 4 2 1 3 SUBSTITUINDO EM ht h1 534 1212 2 h1 5 x 81 x 10 h1 4050 10 DERIVADA DE Lt Se ut 3t2 4t 1 então Lt ut5 A DERIVADA DE Lt EM RELAÇÃO A t é Lt 5ut4 ut CALCULANDO ut ut 3t2 4t 1 ut 6t 4 SUBSTITUINDO NA EXPRESSÃO PARA Lt Lt 53t2 4t 14 6t 4 AVALIANDO Lt em t 1 Substituindo t 1 na expressão de Lt u1 312 41 1 3 4 1 0 u1 61 4 2 L1 504 2 0