Cálculo Diferencial e Integral 1

Atualmente os problemas de máximos e mínimos aparecem em diferentes contextos e em geral associados à análise do comportamento do gráfico de uma função e a problemas de otimização em que se busca maximizar ou minimizar uma função em um determinado domínio A compreensão dos conceitos envolvidos na solução destes problemas é imprescindível aos estudantes de diferentes áreas de conhecimento especialmente das ciências naturais exatas e tecnológicas entre outras em que as disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral estão presentes Além disso a compreensão das ideias que contribuíram para a evolução de conceitoschave do Cálculo é essencial na formação acadêmica de várias áreas de estudo Com relação aos pontos de mínimos eou de máximos de uma função observe o gráfico a seguir Fonte o autor No gráfico constam informações sobre pontos de mínimos local e absoluto e pontos de máximos local e absolutos Observando o gráfico e a teoria de Derivada que envolve pontos de mínimos e máximos responda a Observando o gráfico em quais pontos a derivada primeira é igual a zero Justifique sua resposta b A derivada segunda é igual a zero em algum dos pontos destacados do gráfico Justifique sua resposta c Em quais dos pontos destacados do gráfico a derivada segunda é maior do que zero e em quais a derivada segunda é menor que zero Justifique sua resposta d Em quais intervalos ocorrem pontos de inflexão Justifique sua resposta e O que significam os pontos de mínimo absoluto e máximo absoluto Para melhor entendimento da atividade usaremos a função fx x4 4x2 x que possui 2 mínimos um local e um global como indicados na figura Sua primeira derivada fx 4x3 8x 1 As soluções reais aproximadas para fx0fx 0fx0 que representam os pontos críticos da função são x 1473 x 0126 x 1347 Perceba que tanto o mínimo local quanto o global a tangente é zero ou seja a primeira derivada é zero O que nos leva a concluir que pouco importa se o ponto é global ou local a primeira derivada vai ser igual a zero a Sim pois em pontos de máximo ou mínimo locais ou globais a primeira derivada é igual a zero pois esses pontos críticos indicam onde a inclinação da tangente à curva é horizontal b Nos pontos de inflexão a segunda derivada é igual a zero pois nesses pontos ocorre uma mudança na concavidade da função Em outras palavras é onde a função transita de côncava para cima para côncava para baixo ou viceversa Esse ponto marca uma inversão na curvatura da função indicando que a forma da curva muda de direção c A segunda derivada é maior que zero nos pontos onde a função é côncava para cima o que indica a presença de um mínimo local Já nos pontos onde a segunda derivada é menor que zero a função é côncava para baixo sinalizando um máximo local Esses valores da segunda derivada nos ajudam a entender a forma da curva e identificar onde estão os máximos e mínimos locais d Os pontos de inflexão ocorrem em intervalos onde a segunda derivada muda de sinal o que indica uma mudança na concavidade da função Esses pontos marcam a transição entre regiões onde a função é côncava para cima e côncava para baixo ou viceversa e O ponto de mínimo absoluto é o menor valor que a função atinge em todo o seu domínio enquanto o ponto de máximo absoluto é o maior valor alcançado pela função em todo o domínio Esses pontos são conhecidos como extremos globais da função Para melhor entendimento da atividade usaremos a função f xx 44 x 2x que possui 2 mínimos um local e um global como indicados na figura Sua primeira derivada f x4 x 38 x1 As soluções reais aproximadas para fx0fx 0fx0 que representam os pontos críticos da função são x 1473 x 0126 x 1347 Perceba que tanto o mínimo local quanto o global a tangente é zero ou seja a primeira derivada é zero O que nos leva a concluir que pouco importa se o ponto é global ou local a primeira derivada vai ser igual a zero a Sim pois em pontos de máximo ou mínimo locais ou globais a primeira derivada é igual a zero pois esses pontos críticos indicam onde a inclinação da tangente à curva é horizontal b Nos pontos de inflexão a segunda derivada é igual a zero pois nesses pontos ocorre uma mudança na concavidade da função Em outras palavras é onde a função transita de côncava para cima para côncava para baixo ou viceversa Esse ponto marca uma inversão na curvatura da função indicando que a forma da curva muda de direção c A segunda derivada é maior que zero nos pontos onde a função é côncava para cima o que indica a presença de um mínimo local Já nos pontos onde a segunda derivada é menor que zero a função é côncava para baixo sinalizando um máximo local Esses valores da segunda derivada nos ajudam a entender a forma da curva e identificar onde estão os máximos e mínimos locais d Os pontos de inflexão ocorrem em intervalos onde a segunda derivada muda de sinal o que indica uma mudança na concavidade da função Esses pontos marcam a transição entre regiões onde a função é côncava para cima e côncava para baixo ou viceversa e O ponto de mínimo absoluto é o menor valor que a função atinge em todo o seu domínio enquanto o ponto de máximo absoluto é o maior valor alcançado pela função em todo o domínio Esses pontos são conhecidos como extremos globais da função