Cálculo de Exercícios de Séries e Funções de Duas Variáveis

Exercíciois e Problemas 2 Determine o raio de convergência da série de potência n0 1n xn n1 3 Determine a série de Maclaurin para as funções a fx ex2 b fx sinx2 4 Dada as seguintes funções em termos de séries de potência ex n0 xn n sinx n0 1n x2n1 2n1 Determine por multiplicação de séries de potência os quatro primeiros termos não nulos da série de potência que representa a função ex sinx 5 Determine os seis primeiros termos da integral n0 1n x2n1 2n1 dx 6 Esboce o domínio da função fxy sqrt1 x y no plano Cartesiano xOy 7 Determine o limite se existir ou mostre que o limite não existe limxy01 x2 2y x2 y2 8 Calcule as derivadas fx fy e ²fyx Onde fxy ex sin y 9 Se fxy x2 y2 onde x r cosθ e y r sinθ determine então fθ e fr 10 A temperatura em um ponto Pxy é dada por Txy 200 ex2 2y2 onde T é medido em oC e x y em metros Determine a taxa de variação da temperatura no ponto Q21 na direção do vetor v 23 Encontre a taxa máxima de crescimento em Q 11 Calcule as integrais iteradas a 01 02 x2 y dx dy b 01 0x2 2x y dy dx 2 n0 1n xn n1 Pelo Teste da Razão o raio de convergência é dado por 1R limn an1 an an 1n n1 an1 1n1 n2 an1 an 1n1 n2 n1 1n 1n1 n2 n1 1n 1n 1 n2n1 n1 1n 1 n2 1 n2 limn 1 n2 1 2 1 0 1R 0 R Logo o raio de convergência da série n0 1n xn n1 é R 3 a Sabemos que ex sumn0 xnn 1 x x22 x33 Logo substituindo x por x2 temos ex2 sumn0 x2nn sumn0 1n x2nn 1 x2 x42 x63 x84 x105 3 b Sabemos que senx sumn0 1n x2n12n1 Logo substituindo x por x2 temos senx2 sumn0 1n x22n12n1 sumn0 1n x4n22n1 x2 x66 x10120 Sabemos que ex sumn0 xnn e senx sumn0 1n x2n12n1 Então ex senx sumn0 xnn sumn0 1n x2n12n1 1 x x22 x33 x x33 x55 x77 1 x x22 x36 x x36 x5120 x75040 Por distributividade 1x x36 x5120 x75040 x x36 x5120 x75040 xx x36 x5120 x75040 x2 x46 x6120 x85040 x22 x x36 x5120 x75040 x32 x512 x7240 x910080 x36 x x36 x5120 x75040 x46 x636 x8720 x1030240 Combinando os termos semelhantes e simplificando temos que os quatro primeiros termos não nulos da série de potência que representa a função são ex senx x x2 13 x3 130 x5 sumn0 1n x2n12n1 dx Primeiramente vamos escrever os seis primeiros termos dessa série sumn0 1n x2n12n1 x1 x33 x55 x77 x99 x1111 x x36 x5120 x75040 x9362880 x1139916800 Agora vamos integrar cada termo individualmente x dx x22 x36 dx 16 x3 dx 16 x44 x424 x5120 dx 1120 x5 dx 1120 x66 x6720 x75040 dx 15040 x7 dx 15040 x88 x840320 x9362880 dx 1362880 x9 dx 1362880 x1010 x103628800 x1139916800 dx 139916800 x11 dx 139916800 x1212 x12479001600 Assim os seis primeiros termos da integral são sumn0 1n x2n12n1 dx x22 x424 x6720 x840320 x103628800 x12479001600 6 fxy 1 x y Domf xy R² 1 x y 0 xy R² x y 1 xy R² x y 1 xy R² y x 1 lim xy 01 x² 2y x² y² 0² 21 0² 1² 0 2 0 1 2 1 2 fxy ex seny Pela Regra do Produto fx xy x ex seny ex x seny ex seny ex 0 ex seny 0 ex seny fy xy y ex seny ex y seny 0 seny ex cosy 0 ex cosy ex cosy Pelo Teorema de ClairautSchwartz ²fyx xy ²fxy xy ex cosy g fxy x2 y2 xrθ r cosθ e yrθ r senθ Pela Regra da Cadeia fθ fx xθ fy yθ 2x r senθ 2y r cosθ 2y r cosθ 2x r senθ 2r senθ r cosθ 2r cosθ r senθ 0 fr fx xr fy yr 2x cosθ 2y senθ 2r cosθ cosθ 2r senθ senθ 2r cos2 θ 2r sen2 θ 2r cos2 θ sen2 θ 2r 1 2r 10 Txy 200 ex2 2y2 vecv 23 Q21 Vamos calcular a derivada direcional da função Txy na direção de vecv que é dada por Dvecv Txy Txy hatn onde Txy é o vetor gradiente de T e hatn é o vetor unitário na direção de vecv Txy Tx Ty 400x ex2 2y2 800y ex2 2y2 Tx xy 200 ex2 2y2 x x2 2y2 200 ex2 2y2 2x 400x ex2 2y2 Ty xy 200 ex2 2y2 y x2 2y2 200 ex2 2y2 4y 800y ex2 2y2 Logo o gradiente no ponto Q21 é T21 400 2 e22 212 800 1 e22 212 800 e6 800 e6 hatn vecvvecv 23sqrt22 32 23sqrt4 9 23sqrt13 2sqrt13 3sqrt13 Portanto a taxa de variação na direção de vecv é Dvecv Txy T21 hatn 800 e6 800 e6 2sqrt13 3sqrt13 800 e6 2sqrt13 800 e6 3sqrt13 800 e6 2sqrt13 3sqrt13 800 e6 1sqrt13 800 e6 sqrt13 10 continuação A taxa máxima de crescimento é dada pelo módulo do vetor gradiente da função Txy ou seja T21 sqrtTx2 Ty2 T21 sqrt800 e62 800 e62 T21 sqrt800 e62 1 1 800 e6 sqrt1 1 800 e6 sqrt2 11 a x²y dx dy x² y dy dx x² y²20¹ dx 0² x²12 0 dx 0² x²2 dx 12 0² x² dx 12 x³30² 12 2³3 0 12 83 43 11 b 2xy dy dx 0¹ 2xy y²20x² dx 0¹ 2xx² x²²2 0 dx 0¹ 2x³ x42 dx 2x⁴4 12 x550¹ x⁴2 x5100¹ 12 110 0 12 110 5110 610 35