Cálculo de Integrais Duplas e Aplicações em Geometria

EXEMPLO 3 Calcule Z B p x y z d x d y onde B é o triângulo de vértices 0 0 1 0 e 0 1 EXEMPLO 4 Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide z x² y² acima do plano xy e dentro do cilindro x² y² 2x Como este resultado foi feito sugerimos ter cuidado Vamos agora determinar B p Exercícios 183 184 A INTEGRAL DUPLA EM COORDENADAS POLARES 89 Exercícios z 2 x2 y2 81 z 2 z 100 y sqrtx2 z2 e 4 x2 y2 2y 0 z 0 e 4 y x y z z 4 x 1 y 2 os planos coordenados I R x² y² dV onde T é o cilindro x² y² 1 0 z 4 x2 z2 4 y2 z2 4 T xy dV onde T é a região do primeiro octante limitada por x 4 y² y z x 0 e z 0 Verificar se o campo vetorial dado é conservativo Em caso positivo determinar uma função potencial para a b c f e o valor da integral 000 fx y z yz xz 8y xy dS poligonal ABC com A1 1 B3 3 e C4 14 dx dy dz onde C é a interseção das superfícies y z 5 e z x² do ponto A2 5 0 ao ponto B2 5 0 zd x yd z onde C é a interseção das superfícies z x² y² e x 2 do ponto A2 12 4 ao ponto B2 12 4 Um fio delgado é preso em dois suportes fixos de mesalura tomando a forma da catenária y cosh x 2 x 2 Supondo que a densidade do fio seja a mesma em todos os pontos calcular a massa do fio Um fio delgado tem a forma de segmento de reta que une os pontos 1 1 2 4 Determinar o momento de inércia do fio em relação ao eixo y 1 supondo que a densidade do ponto x y é proporcional à distância desse ponto até o eixo dos y Calcular o centro de massa de um arame com forma de um quadrado de vértices 0 1 2 1 2 1 0 1 sabendo que a densidade no ponto x y é proporcional ao quadrado da distância desse ponto até a origem Calcule intA rho dx rho dy onde A é o triângulo de vértices A00 0 A10 1 A21 1 x 0 axis orientada no sentido antihorário Se C é uma curva de classe C1 e F um campo vetorial contínuo em C e Fx y P Q então intC F cdot dr intC P dx Q dy Calcule intC y dx x3 dy onde C é a curva de perímetro C1 onde 0 leq t leq 2 pi mathbfFx y left y2 x2 2xy right 2 cos heta sin heta 0 leq heta leq 2pi extÁREA E INTEGRAL DE SUPERFÍCIE sumB intpartial B mathbfFx y cdot dmathbfr intB left fracpartial Qpartial x fracpartial Ppartial y right dA 1011 Exercícios 1 Calcular a área da superfície plana 2x 2y 3z 6 tomada no 1º octante 2 Calcular a área da superfície do paraboloide y 3 x² z² interceptado pelo plano y 0 3 Encontrar a área da superfície do cilindro x² z² 25 limitada pelos planos x 0 x 2 y 0 e y 3 4 Encontrar a área do paraboloide z x² y² limitada do superiormente pelo plano z 2 5 Encontrar a área da superfície do plano 2x y 2z 16 interceptado por a x 0 y 0 z 2y 3 b x 0 y 0 e x² y² 36 no 1º octante 6 Encontrar a área da superfície do cone z 3x² y² interceptado pelo paraboloide z x² y² 7 Determinar a área da superfície esférica x² y² z² 9 que está no interior do cilindro x² y² 3x 8 Calcular a área da parte da esfera x² y² z² 16 interior ao cilindro x² z² 4z 9 Calcular a área da parte da esfera x² y² z² 9 interior ao cilindro x² z² 4 1015 Calcular I S 𝑓 𝑛 dS sendo 𝑓 x 1𝑖 y𝑗 z𝑘 e S a superfície exterior de z y² 1 delimitada por x 0 z 1 e z 17 10 Calcular a área da parte do paraboloide x y² z² delimitada pelos planos x 4 e x 9 11 Determinar a área da porção esférica x² y² z² 4 cortada pelo plano z 4 12 Determinar a área da superfície plana x 2 delimitada pelos planos coordenados pelo plano z 4 e a normal afastase da origem 13 Determinar o fluxo do campo vetorial 𝑓 2x 2y 2z através da superfície esférica x² y² z² 3 14 Calcular a área da parte do paraboloide z 4 x² y² acima do plano xy 15 Calcular a área da parte do cone z x² y² que está no interior do paraboloide z x² y² Usando a equação 5 da Seção 1010 vem Iz S x² y²kz dS sendo δzx y z x² y² ver Figura 1049 Aplicando a equação 2 da Seção 109 2 temos Iz k R x² y²1 x² y² dy dx Passando para coordenadas polares temos Iz k R r²1 r²1 r² cos² θ1 r² r² sen² θ1 r² r dr dθ sendo R r θ 0 r 1 0 θ 2π Resolvendo essa integral imprópria obtemos Iz limr 1 ₀²π r⁴ dr dθ kπ2 unidades de momento de inércia Parte da esfera x² y² z² 36 tal que z 0 e y 0 Parte da esfera x² y² z² 1 que está entre os semiplanos y 2x z 0 Cilindro y² z² 9 0 x 4 Cálculo B Funções de várias variáveis integrais múltiplas integrais curvilíneas e de superfície Fazendo r 0 P P e então podemos escrever div 𝑓P lim S0 S 𝑓 𝑛 dS isto ε a divergência de 𝑓 em P é o valor limite do fluxo por unidade de volume sobre uma esfera de centro em P quando o raio dessa esfera tende para zero Figura 1069 1016 Exercícios Nos exercícios 1 a 9 usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada 1 𝑦2dx 𝑥2dz onde C é o contorno da parte do plano 2𝑥 𝑦 𝑧 4 que está no 1º octante no sentido antihorário 2 𝑡𝑦 2𝑡dx 2𝑡 𝑥dy 𝑥 𝑦dz onde C é a interseção das superfícies 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑎2 e 𝑥 𝑎2 Considerar os dois sentidos de percurso 3 𝑥dz 𝑦dy 𝑧dz onde C é o perímetro do retângulo 0 𝑥 2 0 𝑦 4 𝑧 0 no sentido antihorário 4 𝑒𝑒dx 𝑥 2dy 2𝑥 2dz onde C é o contorno da parte do plano 𝑥 2𝑦 𝑧 4 que está no 1º octante no sentido antihorário 5 𝑓 𝑑𝑟 onde 𝑓 𝑥cos𝑡𝑖 2𝑡𝑗 𝑧𝑗 𝑘 onde C é o retângulo 0 𝑥 4 0 𝑧 1 no plano 𝑦 2 Considerar os dois sentidos do percurso 6 𝑦dx 𝑥 2𝑡𝑧dy 𝑥 2𝑦dz onde C é a interseção do cilindro 𝑥2 𝑦2 1 com o plano 𝑧 𝑦 orientada no sentido antihorário 7 𝑦 𝑥dx 𝑥 𝑧dy 𝑥 𝑦dz onde C é o retângulo de vértices 0 05 02 5 10 5 e 1 25 no sentido horário 8 𝑓 𝑑𝑟 sendo 𝑓 𝑒𝑡 2𝑦 𝑒𝑡 𝑥 𝑒𝑡 C a elipse 𝑥 cos 𝑡 𝑦 2 sin 𝑡 2 𝑡 2π 9 𝑥2 2𝑦2dx 𝑥ydy 𝑧 1d𝑧 sendo C a circunferência 𝑥 a cos 𝑡 𝑦 a sin 𝑡 𝑧 2 0 𝑡 2π 10 Seja S a parte do gráfico z 16 𝑥2 𝑦2 z 0 com normal exterior Determinar S 𝑔 𝑛 dS sendo 𝑔 2𝑦 𝑦 𝑧 11 Calcular rot 𝑔 𝑛 dS sendo 𝑔 𝑥𝑦 𝑦 𝑧 e S qualquer superfície suave delimitada pela curva 𝑟𝑡 2cos𝑡 3 sen 𝑡 1 0 𝑡 2π com a normal apontando para cima Nos exercícios 12 a 19 usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada 12 S 𝑥2𝑦dz 𝑦2dzdx 𝑧2dzy sendo S a superfície exterior do tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano 𝑥 𝑦 𝑧 1 13 S 𝑓 𝑛 dS sendo 𝑓 2𝑥𝑖 3𝑦𝑗 4𝑧𝑘 S a superfície exterior do paralelepípedo retângulo delimitado pelos planos coordenados e pelos planos 𝑥 1 𝑦 2 𝑧 3 14 S 𝑓 𝑛 dS sendo 𝑓 2𝑥𝑖 3𝑦𝑗 4𝑧𝑘 S a superfície exterior do sólido delimitado pelos paraboloides 𝑧 𝑥2 𝑦2 9 e 𝑧 2𝑥2 2𝑦2 9 15 S 𝑓 𝑛 dS sendo 𝑓 2𝑥 2𝑦 𝑧 S a superfície do Exercício 13 exceto a face superior 16 S 𝑓 𝑛 dS sendo 𝑓 0 0 2𝑡 S a superfície do Exercício 13 exceto a face superior 17 S 𝑥dy 𝑦dz 𝑧dx sendo S a parte da esfera 𝑥2 𝑦2 𝑧2 1 abaixo do plano 𝑧 12 18 Calcular I S 4𝑥 𝑦dy 𝑦2dz 𝑥ydx onde S é a superfície exterior do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos 𝑥 2 𝑦 2 e 𝑧 0 19 S 2𝑦dz 3𝑧dx 5dx onde S é a superfície do parabolóide 𝑧 9 𝑥2 𝑦2 acima do plano 𝑧 0 20 Usar o teorema da divergência para calcular o fluxo do campo vetorial 𝑓 através da superfície do sólido T sendo a 𝑓 𝑥𝑖 𝑦𝑗 𝑧𝑘 e T o cilindro 𝑥2 𝑦2 16 z 0 b 𝑓 𝑥𝑖 𝑦𝑗 𝑥𝑧𝑘 e T cone c 𝑓 2i 2𝑗 2𝑘 T a esfera 𝑥2 𝑦2 𝑧2 4 21 Verificar o teorema de Stokes para 𝑔 4𝑦𝑖 𝑥𝑗 𝑦2𝑘 onde S é a superfície do parabolóide 2𝑥 𝑦2 𝑧 6 limitado por 𝑥 0 𝑦 0 e 𝑧 0 22 Verificar o teorema da divergência para 𝑓 2𝑥𝑦 𝑧𝑖 𝑦3𝑗 𝑥 3𝑦𝑘 tomado no sólido limitado por 𝑥 𝑦 2𝑧 6 𝑥 0 𝑦 0 e 𝑧 0 S 𝑓 𝑛 dS V div 𝑓 dV