Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias

Calculo J o s é Armando 2 equações S e g u n d a Lei de newton ocoz F a E m i n dat d m a f Wtmido at bo âçmü m d F d t m ü m m 4 r 1 2 I exempliticação Cur w i e r t w v 1Programa da disciplina Introducão a equações dilerencias ordinarias Equações diferencials ordinarias de primeira ordem Equações de variavess separaueis equaçóes homógeas Equações ineares Equações de Bernowll Equações Exata Equação redutivel a Exata Equações dilerencias ordinarias de segunda Ordem Método da redução da Ordem método da variação dos Parâmetros 2 Bibliogratia Agres Jr F E q u a ç o e s Dilerenciais MEGRAW H i l l BOyce W E F DIPRIMA R C E q u a ç o e s dilerencias elementares e problemas de valores de contorno Gvanabarallts Nagle R K SAFF E B snider A D E q u a ç o e s dileremciais Bearson Simons 6 F Krant 2 S 6 e q u a ç o e s diterercias MOGRAbe Hill Goncalees m B 4 Fleming D m C a t c o l o A Prentice HALL I Pearson Dem doultobs B P r o b l e m a s e exercicios de analise malematica MiR 3 Avaliação Nota 12 Prowaregimental 92 avaliaçao parcial nota substi tert iwa Prova Serbstitutiva Nota Exame Exame 4 Data das Provas Exercicios t calcular a derivada 11 x 2 y 2 s 2 f g z 1 0 Gz t x 2 x 2 9 O y W x 2 1 x 2 j k y 1 x 2 l z 2 enr dx 1 I y 2 k 2 2 x dy z dx 1 1 y 2 1 2 2 x X dy z 1 y 2 usando derivada implicita x 2 4 y 2 1 x 2 t egz 1 x 2 z 2 1 egz t x 2 2 x t a g y o g o x 4 gi 2 zy x y 12 Se xy tyz 1 encontre o valor de dx ro ponto Co e t a z e r em casa 2 Calcule as Inkgrais 21 Ssenix dx Ssenudu l y sent l corn enty Ssentzudn Ssen x d x I sen x c o s x 1 Saenixdx 1 sent cosnt Solx Z 1 sento cosx E zcJGlnxdx Staydx SfInx d x St d t E t h Subststuindo L n x t diserenciando I m x dx t e l t dx 1 dt Fdx d t 1310 z Equações Diterenciais Detinicão 1 chamase equação diferencial umaexpressão que relacione uma função desconhecida y t 1 x com a sea variavel Aecomas swas devivadal dy dry dy 2 d Y axs d 7 a x n dx éuma expressão que tem a torma flxiy d ax A t y axzd 3 y axs d 7 y a x n 0 exemplos i dx 5 27 ax s e n x 3 d 3 Y dxs d Z y dxz tsenxdy dx tInx 0 Detiniçãoz Order de uma equação diferencial éo grav da derivada de maiorgrav que nela comparece exemplos Dd 3 Y dx 3 d 2 dx 2 senx 0 EDO de ordem 3 21 dy ax f d y axp c o s x E D O de ordem 1 3 d 2 y axz a i t d y ax s E D O de ondem z Detinição 3 solução de uma equação diferencial é a tunção y f e x que a satistaça on seja que a torna uma entidade exemplo D y s e n x é solução da equação diferencial dyx c o s x 0 2 y ee soluçãoda equação diferendae Definição 4 Existemtrêstiposdesolucasparaumaequacaoderedthe constantee erigualàordem da equação diferencial Fx yccz n 20 Solucas Particularéobtida da soluçãogeral como conhecimento numérico das constantes mediante as chamadas condições iniciais or condições de contorno tantas quantas são as constantes 5Solução singularnão eobtida da soluçãogeral Seráestudada futuramentel Resumindo Equação diferencial I S Soluçãosingular Soluçãogeral condições iniciais ou condições de contorno Solução particular W 2702 Equação diferencial ordinária de 10 Ordem Tipo eso de Ordem de variavels separáveis definiçãoétoda equação diferencial do tipo dy f x dx fy Soluçãoé encontrada fazendo a separação de variaveis e entrando a integração dyof X dx fy fxdx fydy integrando Sfxdx Sfyoy fxc fg c fx fly c2 c1 23 fx fy c Exercicio 1 Calcule a soluçãogeral da equação diferencial ordinária eso dada por de x dx 1 yz no verificação érmaepo de Mordem do tipo dyfx onde fx x oX f y fy 1 y Portanto éuma eino de ordem devariaveis separáveis 20 solução dy xx2 x 4x 1 y2dy d4 1 y2 IntegrandogydySityzdy 13 01 y y x3 3x 3y y3 3c B B x3 y3 3y 3x2 3x1 23 x3y33y c soluçargeral da EDO Exercício 2 2702 Resolver as seguintes equações diferenciais 21 xy y y3 22 tgxsenly dxcos2xcotyyoly 0 23 i texyy exdadas as condições iniciaisy0 1 24 ysenxyiny dadas as condiçõesinclaisy i121 Resolução 21 xyy ys como ydy podemos escrever X xy y y xde y E xdyy ydx otydyA e sótem y X integrando ambos os membros lemos SgdyS1dx vamos trabalhar o integrando da no integral afim de transformato em uma função equivalente poremmais facil de ser integrada sy 9y21 5 By c yz 1 vamos trabalhar o integrando da no integral atim de transformato em uma função 27102 S equivalente poremmais facil de ser integrada sty gy21 5 By c yz 1 Ay2 1 By cy yyz 1 Ayc A By2cy yy 1 A By2 cy A yyz 1 0y2 1 1 By2 cy Portanto A B 0 D B A BB 1 E C 0 A 1 Portanto 1 yly21 y voltandoingregg55995y y2 1 w 1yz 1dy ude zydy de ydy a SIdaInlulc 55dySawe Stay Ist n1y c1 na c Voltando a expressão 2702 1 dyG1dX Sy3 y in g1 c3 nx c4 y nx 0405 25 In 21 in xcge C5 In y C5 xyz 1 de definição de logaritimo In A B log A B e eB A y e4506 X yz 1 y a soluço geral X yz 1 22 tgx seny dx cos2xcotgy dy 0 2702 Egy senlydxcosX cotgy dy fgx sengcosx cotgy gsencycotgy ee e Igx dy COS2X dN colgy seny dxge Equação diferencial ordinária de ordem do tipo homogênea 103 Definicão S Étoda equação diferencial do tipo dy fxy dN Onde Fixy é uma função homogênea degraw zero observação dizemos que uma função fix y éhomogea degrau se ftxy fxy para tool te R Exemplo 1Veriticar se a função fixy x y éhomogenea e em caso afirmativo em que grow verificação fxy x2 y2 f x y x y2 t2x2 t2yz 2x2 yz t2fxy Portanto ftxty t2fxy a homogênea de grauz Exemplo 2 veriticarsefxyéhomogêneae veriticação fxy ftx ty 3x zy t3x tzy 3x zy x y tx ty tx y t3x2y tfxy homogênea de xy grau zero Exemplo 3 veriticar se fxy x 2 3xy éhomogenea x 5 verificação fxy x 2 3xy x 5 ftxty tx2 3 xy 2x t23xy x 5 x 5 2x2 3xy x E continuação f x y 4fxy portanto1x3 x 3x4 não éhomogênea x 5 Solução da EDO de 1 Ordem do Tipo homogênea Uma vez verificando que a função fixilehomogenea degrau zero fxy tfxy Podemos fazer uma troca de variaveis que transformaráa EDo em uma EDo de variaveis separaveis fazndo G xx Il Diferenciando dy du x ldx 1 dN dX dy dy dex u V dx dX substituindo na equação diferencial I temos de fxy du x a fxux dN onde fxmx x if1x aux u x001f1u dN de x f1a u dN de fau sotem sotem e 2703 EDO ordem linear dy Dixy ax dN y uvuv 0 dy del vrdv dN X dX du 2 udr Pxuv ax dX dX E des V Px ur 0 D da Pxe 0 dX dX udr aX ② du PX u dN dX Dxdx Ja fDIxd x e du Qxdx v get xdx InulfDIxdx u e SpNdX ①xdx Exercício 3 Resolver a EDO dity corxmnixpara y0 x 0 y 1 1verificação S dy Px y ax dX eDo ordem do tipo linear I dicay nnex I 20 Solução I y e2 dy del v udr dX dX dx Substituindo na equação diferencial de 2 COLX uV 0 ⑫ de Vedr colx Mn2x S aX dN dX udr Mn2x ② dX De v du colx 0 I dx como v toduCd xx 0 dX del COX U dX Ja gorxd Inanx 4 e Anx substituindo em eandr unx dx ArMnzeMnxnx Jdwgehnunzxdx de emux gehenx un2xdx da trigronometriarenzxzenx cax gehnxzenxcaxdezjeunx unxaxdx eitt fazendosenxt Diferenciandocarx dx dt Sede LetGetdttetet ta Fu e t du dt de etdt vSetdt et r 2 tetettC2tetzet 22 Portanto y u y ebnx ztetzet c MASt Senx y enx zeinxernzennx2 y zenxenxenxzeunx Ihnczeenx I y zunx2 cenux sorçãogeral Solução particular o para x0y 1 12 en102 cemno e 1 1 2 C 6 1 2 C 3 y zunxz 3eunx Solução Particular Equação diferencial ordinária de 10 ordem de Bernoulli Definição É toda Epo do tipo dy Dxx y axy dX ⑪ onden Fo Solução éobtida através da seguinte técnica no multiplicando ambosos membrosda EDo por y y nay xixy axxiyn y ydy Dy axy aX yny 4xyn a 20 Substituindo yln ③ M n41 Diferenclandoyn dy dX dx 1 ny1 n 1y 1 dX X y 4 n so substituindo e na expressão En Pxz ax multiplicando ambos os membros por1n dz xmPx z fax dX Px 4xz a1x Exercícios para entrega Identificar o tipo das equações e calculara soluçãogeral e quando fornecidas as condições a sonção particular 1fxyy1 1 x4 2 xyz xdx x2 ydy 0paray0 1 37 xnn YanY x 4 xy x2 y2 57y y zex 6 xy 2x mnx I y 2 y cosParay 87 xy y xnx 9 3 xy zy x3y 2