Cálculo de Várias Variáveis

Considere w fxyz uma função de três variáveis Já vimos que o gradiente de f é o vetor definido por fx y z fxx y z i fy x y z j fz x y z k Ou seja Du fx0 y0 z0 fx0 y0 z0 u fx0 y0 z0u cosθ Em que usamos a definição de produto escalar entre dois vetores θ o ângulo entre eles Como u é um vetor unitário obtemos Du fx0 y0 z0 fx0 y0 z0 cosθ O valor máximo de cosθ é 1 e isso ocorre quando θ 0 Ou seja quando u tem a mesma direção e sentido que fx0 y0 z0 a função f tem a maior taxa de variação no ponto x0 y0 z0 e essa taxa é dada por f x0 y0 z0 Por outro lado o valor mínimo de cosθ é 1 e isso ocorre quando θ π rad Ou seja quando u tem a mesma direção e sentido contrário ao do vetor fx0 y0 z0 a função tem a menor taxa de variação no ponto x0 y0 z0 e essa taxa é dada por fx0 y0 z0 Em uma região do espaço a temperatura pode variar de acordo com uma função de três variáveis Considere uma região do espaço possuindo como distribuição de temperatura a seguinte função Tx y z 20 x2 y2 z2 Uma partícula P1 localizada no ponto P1 2 3 4 necessita aquecerse o mais rápido possível Outra partícula P2 localizada no ponto P2 0 1 0 necessita resfriarse o mais rápido possível Pedese 1 Qual será a direção e o sentido que a partícula P1 deve tomar 2 Qual será a direção e o sentido que a partícula P2 deve tomar 3 Qual a taxa máxima de crescimento da temperatura no ponto P1 e qual a taxa máxima de decrescimento de temperatura no ponto P2 Ramos sábado 30 de março de 2024 1029 Página 1 de Nova Seção 1